专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求空间点的坐标】 1 【题型2 空间向量运算的坐标表示】 2 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 3 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 4 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 5 【题型6 空间向量平行、共线的坐标表示】 5 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 6 【题型8 空间向量夹角（余弦）的坐标表示】 7 【知识点1 空间直角坐标系】 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 【题型1 求空间点的坐标】 【例1】（23-24高二下·甘肃·期中）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·甘肃定西·阶段练习）在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·广东梅州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【知识点2 空间向量的坐标运算】 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型2 空间向量运算的坐标表示】 【例2】（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）若向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·全国·课前预习）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高三·甘肃武威·单元测试）已知向量,则（    ） A． B． C． D． 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例3】（23-24高二上·河北·阶段练习）若，，则（    ） A．22 B． C． D．29 【变式3-1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【变式3-2】（23-24高二·四川德阳·阶段练习）若，，，则的值为（    ） A． B．5 C．7 D．36 【变式3-3】（23-24高二上·广东广州·阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 【例4】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·北京海淀·期中）在空间直角坐标系中，已知，，点满足，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知，，，若三向量共面，则实数（    ） A． B． C．3 D． 【变式4-3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知，，，若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点3 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题】 1．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝ . 2．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 3．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用空间向量的坐标运算可以求得． 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 【例5】（23-24高二上·重庆·期末）已知向量，，，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 【变式5-1】（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）在空间直角坐标系中，，点关于y轴的对称点为C，则=（        ） A． B． C．3 D． 【变式5-2】（23-24高二上·河南开封·期中）设，，，，且，，则（    ） A． B． C．3 D． 【变式5-3】（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【题型6 空间向量平行、共线的坐标表示】 【例6】（23-24高二下·江苏泰州·期末）设是实数，已知，若，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【变式6-1】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．8 【变式6-2】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知，若，则实数等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-3】（23-24高二上·北京延庆·阶段练习）已知向量，且与共线，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 【例7】（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知向量，，. (1)当时，若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值. 【变式7-1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知点，，，设，，． (1)若实数使与垂直，求值． (2)求在上的投影向量． 【变式7-2】（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知空间向量，，． (1)若向量与向量垂直，求x的值； (2)在（1）的条件下判断向量，，是否共面? 【变式7-3】（23-24高二上·湖南张家界·阶段练习）已知向量，． (1)求与的夹角余弦值． (2)若，求实数的值． 【题型8 空间向量夹角（余弦）的坐标表示】 【例8】（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二上·山东·阶段练习）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·广东·期中）已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二下·重庆北碚·阶段练习）已知， ，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求空间点的坐标】 1 【题型2 空间向量运算的坐标表示】 3 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 4 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 6 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 8 【题型6 空间向量平行、共线的坐标表示】 10 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 11 【题型8 空间向量夹角（余弦）的坐标表示】 13 【知识点1 空间直角坐标系】 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 【题型1 求空间点的坐标】 【例1】（23-24高二下·甘肃·期中）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用关于坐标轴对称的特点求出坐标即可. 【解答过程】点关于x轴对称的点的坐标为. 故选：B. 【变式1-1】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据终点坐标减去起点坐标，即为所求向量的坐标，即可得解. 【解答过程】设， 则， 所以，解得， 所以点坐标为. 故选：B. 【变式1-2】（23-24高二下·甘肃定西·阶段练习）在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间中点在坐标轴和坐标平面上的射影的特点进行求解. 【解答过程】点在x轴上的射影横坐标不变，纵坐标和竖坐标为0，即， 点在平面上的射影横坐标和竖坐标不变，纵坐标为0，即. 故选：D. 【变式1-3】（23-24高二上·广东梅州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，然后由即可求解. 【解答过程】设，因为， 所以，得， 所以，故B正确. 故选：B. 【知识点2 空间向量的坐标运算】 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型2 空间向量运算的坐标表示】 【例2】（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量的加减运算即可得解. 【解答过程】因为，， 所以. 故选：C. 【变式2-1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）若向量，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【解答过程】由，，得. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二上·全国·课前预习）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【解答过程】. 故选：A. 【变式2-3】（23-24高三·甘肃武威·单元测试）已知向量,则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】推导出,利用向量坐标运算法则直接求解. 【解答过程】∵向量, ∴. 故选:B. 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例3】（23-24高二上·河北·阶段练习）若，，则（    ） A．22 B． C． D．29 【解题思路】利用向量数量积的坐标公式即可求值. 【解答过程】由，， 得，， 所以． 故选：C． 【变式3-1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【解题思路】首先分析题意，作，建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标建立方程，整体代换求解即可. 【解答过程】作，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， ，即 ，即C正确, 故选：C. 【变式3-2】（23-24高二·四川德阳·阶段练习）若，，，则的值为（    ） A． B．5 C．7 D．36 【解题思路】先求得，然后求得的值. 【解答过程】，. 故选：B. 【变式3-3】（23-24高二上·广东广州·阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【解题思路】 建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案. 【解答过程】 如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系可得： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量，则，得， 故可设，，，即. 由于直线与平面平行，则， 得：，即：，，. ， ， 可知，由于，当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 【例4】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 根据空间向量的坐标运算可得，结合空间向量数量积的坐标表示计算即可求解. 【解答过程】由题意知， 由，得， 解得. 故选：B. 【变式4-1】（23-24高二上·北京海淀·期中）在空间直角坐标系中，已知，，点满足，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，根据可得点的坐标. 【解答过程】设，则， 由得即， 故选：C. 【变式4-2】（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知，，，若三向量共面，则实数（    ） A． B． C．3 D． 【解题思路】根据向量共面的充要条件可得存在，使得成立，根据坐标列出方程组，求解即可得出答案. 【解答过程】因为三向量共面， 所以存在，使得成立， 即，解得. 故选：B. 【变式4-3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知，，，若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据空间向量基本定理列方程求解即可. 【解答过程】若三向量不能构成空间向量的一组基底， 所以共面， 则存在使得， 则，解得， 所以实数的值为1． 故选：A． 【知识点3 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题】 1．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝ . 2．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 3．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用空间向量的坐标运算可以求得． 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 【例5】（23-24高二上·重庆·期末）已知向量，，，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 【解题思路】利用空间向量共线，列式计算可求出，进而求出，再由向量的模长公式求解即可. 【解答过程】向量，且， 则，解得，所以， 所以， 所以. 故选：A. 【变式5-1】（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）在空间直角坐标系中，，点关于y轴的对称点为C，则=（        ） A． B． C．3 D． 【解题思路】根据空间坐标系中的对称性求得点的坐标，计算即得的坐标和模长. 【解答过程】因点关于y轴的对称点为，， 则，故. 故选：C. 【变式5-2】（23-24高二上·河南开封·期中）设，，，，且，，则（    ） A． B． C．3 D． 【解题思路】根据向量的平行和垂直的坐标表示，列式计算，可求得向量的坐标，从而可得的坐标，根据向量模的计算公式，即可得答案. 【解答过程】因为，且， 所以，解得， 所以， 又因为，且， 所以，所以， 所以， 所以， 故选：D. 【变式5-3】（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立的函数关系求解即可. 【解答过程】三棱锥中，过作平面，由，知， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图，    由平面，得，则， 令，则，设， 于是， 当且仅当时取等号，所以线段的最小值为. 故选：B. 【题型6 空间向量平行、共线的坐标表示】 【例6】（23-24高二下·江苏泰州·期末）设是实数，已知，若，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【解题思路】利用向量平行的坐标运算求解答案. 【解答过程】因为， 所以使得即 即即 故选：B. 【变式6-1】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．8 【解题思路】根据三点共线得向量共线，然后根据向量共线的坐标形式列式计算即可. 【解答过程】因为三点共线，所以与共线，又向量， 所以，所以，所以. 故选：A. 【变式6-2】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知，若，则实数等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】利用空间向量的坐标运算，向量共线的坐标表示列式计算得解. 【解答过程】由，得，又，且， 则，所以. 故选：B. 【变式6-3】（23-24高二上·北京延庆·阶段练习）已知向量，且与共线，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【解题思路】根据题意，求得，结合与共线，列出方程，即可求解. 【解答过程】由向量， 可得， 因为与共线，可得，解得. 故选：B. 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 【例7】（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知向量，，. (1)当时，若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值. 【解题思路】（1）根据向量的模长的坐标表示和两个向量垂直的坐标表示求解即可. （2）根据共面定理列方程组求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以 解得，即， 由，且得 ，解得， 即的值为. （2）因为向量与向量，共面，所以设 ，R， 因此， 即解得， 所以的值为. 【变式7-1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知点，，，设，，． (1)若实数使与垂直，求值． (2)求在上的投影向量． 【解题思路】（1）根据给定条件，求出空间向量的坐标，再结合向量垂直的坐标表示列式计算即得. （2）利用投影向量的意义求解即得. 【解答过程】（1）依题意，，， 由与垂直，得，解得， 所以. （2）由（1）知，，， 所以在上的投影向量为. 【变式7-2】（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知空间向量，，． (1)若向量与向量垂直，求x的值； (2)在（1）的条件下判断向量，，是否共面? 【解题思路】（1）根据空间向量垂直的坐标关系运算得解； （2）根据向量共面定理判断. 【解答过程】（1）由题可得，若向量与垂直， 则，即，解得. （2）由（1）， 假设共面，则存在实数，使得， 即， ，，矛盾， 故不存在实数，即向量不共面. 【变式7-3】（23-24高二上·湖南张家界·阶段练习）已知向量，． (1)求与的夹角余弦值． (2)若，求实数的值． 【解题思路】（1）应用空间向量夹角的坐标表示求与的夹角余弦值． （2）由向量线性运算的坐标表示及垂直关系的坐标表示列方程求参数. 【解答过程】（1）由题设. （2）由，又， 所以， 则. 【题型8 空间向量夹角（余弦）的坐标表示】 【例8】（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】求得两向量的坐标，利用向量的夹角公式可求与的夹角. 【解答过程】∵， ， ∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为． 故选：C. 【变式8-1】（23-24高二上·山东·阶段练习）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，得到，再利用，即可求出结果. 【解答过程】由， 得到， 所以， 故选：A. 【变式8-2】（23-24高二上·广东·期中）已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 向量的夹角为钝角，则，排除的情况即可. 【解答过程】 由，得， 当时，，即，得，解得， ∴当向量的夹角为钝角时，的取值范围为． 故选：D. 【变式8-3】（23-24高二下·重庆北碚·阶段练习）已知， ，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 根据空间向量的平行、垂直关系求，再根据空间向量的坐标运算求夹角. 【解答过程】∵，∴，解得，即. 又∵ ，注意到，则，使得， ∴，解得，故. ∴， ∴，又， ∴. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$