专题1.3 空间向量基本定理【八大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.3 空间向量基本定理【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 1 【题型2 用空间基底表示向量】 2 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 3 【题型4 空间向量的正交分解】 5 【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 6 【题型6 利用空间向量基本定理解决夹角问题】 8 【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 10 【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 12 【知识点1 空间向量基本定理】 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，，，不能含有其他形式的向量． 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 【例1】（23-24高二上·四川宜宾·阶段练习）已知是空间的一个基底,设，则下列向量中可以与一起构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【变式1-1】（23-24高二上·江西·阶段练习）已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【变式1-3】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型2 用空间基底表示向量】 【例2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，空间四边形中，，，，在线段上，且，点为中点，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四面体中，是棱上靠近的三等分点，分别是的中点，设，，，用，，表示，则 （   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（    ）    A． B． C． D． 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 【例3】（23-24高二上·广东·阶段练习）已知四面体中，点分别为的中点，若，则分别为（   ）    A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·四川眉山·期中）如图，在平行六面体中，M是与的交点，若，，，且，则（   ） A．2 B． C．0 D． 【变式3-3】（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，若，则（    ）    A．3 B． C． D．1 【知识点2 空间向量的正交分解】 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型4 空间向量的正交分解】 【例4】（23-24高二上·湖北襄阳·期中）已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（    ） A． B． C． D． 【知识点3 空间向量基本定理的应用】 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 【例5】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【变式5-1】（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，E、F分别在和上，且，． (1)证明四点共面； (2)若，求的值． 【变式5-2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，，． (1)求证：、、三点共线； (2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线． 【变式5-3】（23-24高二·全国·单元测试）在正四面体中，，，，分别是，，，的中点．设，，． (1)用，，表示，； (2)求证：，，，四点共面； (3)求证：四边形为矩形． 【题型6 利用空间向量基本定理解决夹角问题】 【例6】（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 【变式6-1】（24-25高一上·全国·假期作业）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【变式6-2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知平行六面体，，，，，设，，；    (1)求的长度； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【变式6-3】（23-24高二上·湖北黄冈·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，．    (1)试用，，表示出向量； (2)求与所成的角的余弦值． 【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 【例7】（23-24高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．    (1)用向量表示向量； (2)利用向量法证明：． 【变式7-1】（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. (1)利用空间向量证明； (2)求的长. 【变式7-2】（23-24高二上·陕西咸阳·期末）如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 【变式7-3】（23-24高一下·山东青岛·期末）如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 【例8】（23-24高二上·江西九江·期末）如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且． (1)试用基底表示向量； (2)求线段的长． 【变式8-1】（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，正三棱柱的各棱长都为，、分别是、的中点，求的长. 【变式8-2】（23-24高二上·河北保定·期末）如图，在空间四边形ABCD中，为BC的中点，在CD上，且． (1)以为基底，表示； (2)，，求． 【变式8-3】（23-24高二上·四川凉山·期末）三棱柱中，为中点，点在线段上，．设，， (1)试用，，表示向量； (2)若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 空间向量基本定理【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 1 【题型2 用空间基底表示向量】 3 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 5 【题型4 空间向量的正交分解】 8 【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 10 【题型6 利用空间向量基本定理解决夹角问题】 15 【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 19 【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 23 【知识点1 空间向量基本定理】 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，，，不能含有其他形式的向量． 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 【例1】（23-24高二上·四川宜宾·阶段练习）已知是空间的一个基底,设，则下列向量中可以与一起构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量基底的意义判断即得. 【解答过程】向量是空间的一个基底，显然，即向量分别与向量共面，A、B不是； 假定向量与向量共面，显然不共线，即存在实数，使得， 即有，所以共面，与已知矛盾，因此向量与向量不共面， 所以向量可以与一起构成空间的另一个基底，C对，D错. 故选：C. 【变式1-1】（23-24高二上·江西·阶段练习）已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的共面充要条件与空间基底的性质逐项判断即可. 【解答过程】不存在实数，，使得，所以，，不共面，可以构成空间的另一组基； 因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基； 因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基； 因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基. 故选：A. 【变式1-2】（23-24高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【解题思路】根据向量共面列方程，化简求得的值. 【解答过程】由于，，所以不共线， 由于不能构成空间的一个基底， 所以存在使得，即 ， 所以，解得. 故选：B. 【变式1-3】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答. 【解答过程】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 【题型2 用空间基底表示向量】 【例2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，空间四边形中，，，，在线段上，且，点为中点，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的表达式. 【解答过程】因为为的中点，则， 因为，则， 因此，. 故选：B. 【变式2-1】（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四面体中，是棱上靠近的三等分点，分别是的中点，设，，，用，，表示，则 （   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意结合图形的几何性质将向量分解成，，的线性组合即可. 【解答过程】由题意 . 故选：D. 【变式2-2】（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的运算法则，化简得到，即可求解. 【解答过程】由题意，根据空间向量的运算法则，可得 ， 故选：A. 【变式2-3】（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量运算法则计算即可判断结果. 【解答过程】由题可知, 由得, 因为点C，D分别是母线的中点， 所以， 则 . 故选：D. 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 【例3】（23-24高二上·广东·阶段练习）已知四面体中，点分别为的中点，若，则分别为（   ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量基本定理即可解决. 【解答过程】由图可知 ， 所以. 故选：B． 【变式3-1】（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【解题思路】利用空间向量的线性运算由表示求解. 【解答过程】解：由题意， ， 又，不共面， 则. 故选：A. 【变式3-2】（23-24高二上·四川眉山·期中）如图，在平行六面体中，M是与的交点，若，，，且，则（   ） A．2 B． C．0 D． 【解题思路】以为基底表示出向量，即可求出对应的的值，即可得结果. 【解答过程】根据题意易知 ， 即可知，所以可得. 故选：A. 【变式3-3】（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，若，则（    ）    A．3 B． C． D．1 【解题思路】根据向量线性运算，以为基地表示出，从而确定的值即可. 【解答过程】， ， ， . 故选：B. 【知识点2 空间向量的正交分解】 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型4 空间向量的正交分解】 【例4】（23-24高二上·湖北襄阳·期中）已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正交分解的概念，进行求解即可. 【解答过程】设向量在基底下的坐标为， 则， 所以解得 故在基底下的坐标为. 故选：C. 【变式4-1】（23-24高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先得到两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底. 【解答过程】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 【变式4-2】（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量在基底下的坐标为得到，即可得到向量在基底下的坐标. 【解答过程】因为向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标为. 故选：C. 【变式4-3】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出与向量同向的单位向量的有序实数组，设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为，根据 ，可得，从而求出答案. 【解答过程】因为向量在基底下用有序实数组表示为， 所以与向量同向的单位向量的有序实数组表示为， 设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为， 所以， 又因为， 所以，解得， 则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为. 故选：C. 【知识点3 空间向量基本定理的应用】 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 【例5】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【解题思路】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【解答过程】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 【变式5-1】（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，E、F分别在和上，且，． (1)证明四点共面； (2)若，求的值． 【解题思路】（1）通过证明，由此能够证明四点共面； （2）结合图形利用空间向量的线性运算以及空间向量基本定理进行求解． 【解答过程】（1）证明：在平行六面体中，，， ∵ ， 所以共面，且A为公共点， 所以四点共面； （2）， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5-2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，，． (1)求证：、、三点共线； (2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线． 【解题思路】（1）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论； （2）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论； 【解答过程】（1）由题意，，， 故 , , 故，由于有公共点A， 故A、、三点共线； （2）由题意，点是平行四边形的中心， 故 ， 故 ,因为有公共点D， 故、、三点共线． 【变式5-3】（23-24高二·全国·单元测试）在正四面体中，，，，分别是，，，的中点．设，，． (1)用，，表示，； (2)求证：，，，四点共面； (3)求证：四边形为矩形． 【解题思路】（1）由题意可得，，由向量的减法可得答案. （2）用向量，，分别表示出，，，从而可得，从而可证. （3）由空间向量数量积的运算律求出，由，从而可证. 【解答过程】（1）解：因为，分别是，的中点， 所以且， 所以． 因为，分别是，的中点，所以且， 所以． （2）证明：， ，， 所以， 所以，，，四点共面． （3）证明：设正四面体的棱长为，由题意知向量，，中，两两之间的夹角均为，由（1）知， 因为，分别是，的中点， 所以，故， 所以，， 所以四边形为平行四边形． 又因为， 所以， 故． 所以平行四边形为矩形． 【题型6 利用空间向量基本定理解决夹角问题】 【例6】（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 【解题思路】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案； （2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案. 【解答过程】（1）由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； （2） ， 设异面直线和夹角为， 则. 【变式6-1】（24-25高一上·全国·假期作业）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【解题思路】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案； （2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值. 【解答过程】（1）由题意得， 所以 ； （2）， 所以 ， ，, ， 故， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 【变式6-2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知平行六面体，，，，，设，，；    (1)求的长度； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【解题思路】（1）以向量为基底表示向量，再根据向量数量积公式求模； （2）首先用基底表示向量和，再根据数量积公式求夹角的余弦值. 【解答过程】（1）由题意可知，，， ， , , , , , 所以 （2）， ， 设异面直线与所成的角为， ， ， ， ， . 【变式6-3】（23-24高二上·湖北黄冈·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，．    (1)试用，，表示出向量； (2)求与所成的角的余弦值． 【解题思路】（1）根据向量线性运算，化简即得用，，表示向量的式子； （2）利用空间的数量积和向量夹角公式进行求解即可． 【解答过程】（1）因为，则， 因为ABCD是边长为1的正方形，则， 且，可得， 又因为，，，所以. （2）由题意可知：，，与、的夹角均为60°，与的夹角为90°， 则 ， 可得， 又因为 ， 设与所成的角为，所以． 【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 【例7】（23-24高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．    (1)用向量表示向量； (2)利用向量法证明：． 【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算求得正确答案. （2）通过证明来证得结论成立. 【解答过程】（1）连接，则 （2）， 所以 ， 所以.    【变式7-1】（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. (1)利用空间向量证明； (2)求的长. 【解题思路】（1）以为基底，表达出，计算出，证明出结论； （2）在（1）基础上，表达出，平方后得到，开方后得到答案. 【解答过程】（1）证明：设，则构成空间的一个基底， ， ， 所以 ， 所以. （2）由（1）知， 所以 . 所以. 【变式7-2】（23-24高二上·陕西咸阳·期末）如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 【解题思路】（1）运用空间向量基本定理，用基底分别表示三个向量，，； （2）用基底表示的三个向量，，，分别计算、，证明了两组线线垂直、，证明结论即可. 【解答过程】（1）已知，，， 得：，， ． （2）证明：设， 又， 则，且， 则， 得， 即， 同理可得， 因为，，平面，平面，且， 所以平面． 【变式7-3】（23-24高一下·山东青岛·期末）如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）结合图形由空间向量的线性运算计算可得； （2）设，用向量表示，由向量垂直根据空间向量的数量积的坐标运算求出即可. 【解答过程】（1） （2）假设存在点，使，设， 显然. 因为，所以， 即 . 设，又， 即， 解得， 所以当时，. 【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 【例8】（23-24高二上·江西九江·期末）如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且． (1)试用基底表示向量； (2)求线段的长． 【解题思路】（1）连接，延长，交于，根据三角形重心的性质与该四棱锥的结构特征，算出用基底表示向量的式子； （2）根据题意，、、两两垂直，可用向量数量积的运算性质，结合题中所给的数据算出线段的长． 【解答过程】（1）连接，延长，交于， 由为的重心，得是边上的中线，且， 结合，得， 因为，所以，整理得， 因此，； （2）因为底面，，底面是边长为的正方形， 所以，，， 可得 ， 所以，即线段的长为． 【变式8-1】（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，正三棱柱的各棱长都为，、分别是、的中点，求的长. 【解题思路】设，，，利用空间向量的基本定理得出，计算出的值，从而求得的长. 【解答过程】依题意，设，，，则， 由题意可得，， 又、分别为、的中点， 所以， 所以 ， 因此. 【变式8-2】（23-24高二上·河北保定·期末）如图，在空间四边形ABCD中，为BC的中点，在CD上，且． (1)以为基底，表示； (2)，，求． 【解题思路】（1）由条件，结合图形利用空间向量线性运算法则求解即可； （2）由（1）结合向量的数量积的性质及定义求解. 【解答过程】（1） ， （2）由（1）得 . 【变式8-3】（23-24高二上·四川凉山·期末）三棱柱中，为中点，点在线段上，．设，， (1)试用，，表示向量； (2)若，，求的长． 【解题思路】（1）根据给定条件，结合几何图形，利用空间向量的线性运算求解即得. （2）由（1）的结论，利用空间向量的数量积运算计算即得. 【解答过程】（1）三棱柱中，为中点，点在线段上，， 则，， 因此 . （2），， 则，同理得， 所以 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$