专题1.4 充分条件与必要条件【七大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题1.4 充分条件与必要条件【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 命题的概念】 1 【题型2 判断命题的真假】 2 【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 3 【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 4 【题型5 由充分条件、必要条件求参数】 4 【题型6 根据充要条件求参数】 5 【题型7 充要条件的证明】 5 【知识点1 命题】 命题及相关概念 【题型1 命题的概念】 【例1】（23-24高一上·广西河池·阶段练习）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【变式1-2】（2024高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】（23-24高一上·江苏·课后作业）有下列语句，其中是命题的个数为（   ） （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【题型2 判断命题的真假】 【例2】（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【变式2-1】（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【变式2-2】（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C．存在一个实数，使得 D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 【变式2-3】（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 【知识点2 充分、必要与充要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【例3】（23-24高一上·四川乐山·期中）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【变式3-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（23-24高一上·山东淄博·期中）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题： ①是的充要条件；        ②是的充分不必要条件； ③是的必要不充分条件；    ④是的充分不必要条件. 正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 【例4】（23-24高一上·江西新余·期中）若，则的一个必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·安徽·阶段练习）“，”恒成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·福建泉州·期中）使得不等式“成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一上·河南南阳·期中）已知，则下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【题型5 由充分条件、必要条件求参数】 【例5】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·湖南·期中）设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·北京·阶段练习）设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）已知，条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 根据充要条件求参数】 【例6】（23-24高一上·全国·课后作业）已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式6-1】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二上·江苏常州·期中）“，”为真命题的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 【题型7 充要条件的证明】 【例7】（23-24高一上·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【变式7-1】（23-24高二·福建福州·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【变式7-2】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）中，角，，所对的边分别为，，，求证：的充要条件是． 【变式7-3】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 充分条件与必要条件【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 命题的概念】 1 【题型2 判断命题的真假】 3 【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 5 【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 6 【题型5 由充分条件、必要条件求参数】 8 【题型6 根据充要条件求参数】 9 【题型7 充要条件的证明】 10 【知识点1 命题】 命题及相关概念 【题型1 命题的概念】 【例1】（23-24高一上·广西河池·阶段练习）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】根据命题的概念逐项判断即可. 【解答过程】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题； 所以（1）､（4）不是命题，其余都是命题.其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是假命题. 故选：B. 【变式1-1】（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【解题思路】根据命题的定义逐个判断即可. 【解答过程】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B. 【变式1-2】（2024高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据命题的概念逐一判断. 【解答过程】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 【变式1-3】（23-24高一上·江苏·课后作业）有下列语句，其中是命题的个数为（   ） （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据命题的定义即可结合选项逐一求解. 【解答过程】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A. 【题型2 判断命题的真假】 【例2】（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【解题思路】根据命题的真假即可判定. 【解答过程】p为假，q为真, 故选：B. 【变式2-1】（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【解题思路】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可. 【解答过程】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B. 【变式2-2】（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C．存在一个实数，使得 D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 【解题思路】根据题意，对各选项逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等，所以两个三角形不一定全等，故A错误； 由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则则这个四边形是矩形，故B正确； 因为对于任意实数，，故C错误； 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0或者5，故D错误； 故选：B. 【变式2-3】（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 【解题思路】对命题举反例说明即可；对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确； 【解答过程】对命题：令，则集合是封闭集， 故， 但，故不是封闭集，故命题假； 对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集， 所以， 同理可得， 所以， 所以是封闭集，故命题真； 故选：C. 【知识点2 充分、必要与充要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【例3】（23-24高一上·四川乐山·期中）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【解答过程】由题，可得；但由，可得或， 故甲是乙的充分条件但不是必要条件， 故选：A． 【变式3-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由充分不必要条件的定义即可判断. 【解答过程】因为，所以p是q的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3-2】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【解答过程】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式3-3】（23-24高一上·山东淄博·期中）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题： ①是的充要条件；        ②是的充分不必要条件； ③是的必要不充分条件；    ④是的充分不必要条件. 正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【解题思路】由充分必要条件的定义和传递性，逐个判断，可得结论. 【解答过程】由是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件， 可得，推不出，，， 所以，故是的充要条件，①正确； ，推不出，故是的充分不必要条件，②正确； ，故是的充要条件，③错误； ，故是的充要条件，④错误. 故选：B. 【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 【例4】（23-24高一上·江西新余·期中）若，则的一个必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】的一个必要不充分条件是指由能推出的条件，但反之不能推出. 【解答过程】设的一个必要不充分条件为，则且， 故只有B选项成立. 故选：B. 【变式4-1】（23-24高一上·安徽·阶段练习）“，”恒成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据恒成立求解，即可根据集合间的关系求解. 【解答过程】若对，恒成立,则，故， 由于是的真子集，所以符合题意， 选项AB是既不充分也不必要条件，D是充要条件， 故选：C. 【变式4-2】（23-24高一上·福建泉州·期中）使得不等式“成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求解出不等式解集，根据题意可知所选取的条件为不等式解集的真子集，由此作出选择即可. 【解答过程】由题意可得， 又因为， 所以的一个充分不必要条件可以是D选项， 故选：D. 【变式4-3】（23-24高一上·河南南阳·期中）已知，则下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【解题思路】利用充分条件与必要条件的定义，结合特例法与不等式的性质求解即可 【解答过程】因为且不能推出，所以且不是的充分条件，A错； 因为且不能推出，所以且不是的充分条件，C错； 因为且不能推出，所以且不是的充分条件，D错； 对于B，由且可得，充分性成立，若不能推出且，例如时，满足，而且，必要性不成立，所以且是成立的一个充分不必要条件，B符合题意． 故选：B. 【题型5 由充分条件、必要条件求参数】 【例5】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据充分条件的定义可得，结合集合间的关系即可求解. 【解答过程】由题意，因为“”的充分条件是“”， 所以，即， 解得， 即实数a的取值范围为. 故选：B. 【变式5-1】（23-24高二上·湖南·期中）设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据充分不必要条件可确定两个集合的真包含关系，从而通过解不等式组即得. 【解答过程】若是的充分不必要条件，且等号不同时成立，解得. 故选：A. 【变式5-2】（23-24高一上·北京·阶段练习）设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系即可求解. 【解答过程】因为，，又是的必要不充分条件， 所以，解得，经检验满足题意. 故选：D. 【变式5-3】（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）已知，条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式性质，由的取值范围，可得的取值范围，结合充分不必要条件的定义，可得答案. 【解答过程】由，则，由是的充分不必要条件，则， 所以. 故选：D. 【题型6 根据充要条件求参数】 【例6】（23-24高一上·全国·课后作业）已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解题思路】由两个集合相等可求得参数． 【解答过程】由已知，， 由p是q充要条件得 ，因此解得， 故选：C. 【变式6-1】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【解题思路】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解. 【解答过程】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 【变式6-2】（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【解答过程】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D. 【变式6-3】（23-24高二上·江苏常州·期中）“，”为真命题的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将不等式转化为，解得答案. 【解答过程】，，即，即. 故选：B. 【题型7 充要条件的证明】 【例7】（23-24高一上·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【解题思路】根据充分性与必要性定义证明即可. 【解答过程】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 【变式7-1】（23-24高二·福建福州·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义结合一元二次方程的性质证明即可. 【解答过程】充分性： ，， 代入方程得，即． 关于的方程有一个根为； 必要性：方程有一个根为， 满足方程， ，即． 故关于的方程有一个根是的充要条件为． 【变式7-2】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）中，角，，所对的边分别为，，，求证：的充要条件是． 【解题思路】先利用等腰三角形中等角对等边即可证得，再结合因式分解即可证得必要性. 【解答过程】（1）先证充分性：若，则， ∴成立； （2）再证必要性：若成立， ∵， ∴，又因为中，，∴，∴，∴． 综上可知，的充要条件是． 【变式7-3】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是. 【解题思路】根据充要条件的定义进行证明即可． 【解答过程】（1）必要性：由，得，即， 又由，得，所以. （2）充分性：由及， 得，即. 综上所述，的充要条件是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$