专题1.3 集合的基本运算【九大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题1.3 集合的基本运算【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 并集的概念及运算】 2 【题型2 根据并集结果求集合或参数】 2 【题型3 交集的概念及运算】 3 【题型4 根据交集结果求集合或参数】 3 【题型5 补集的概念及运算】 3 【题型6 交、并、补集的混合运算】 4 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 5 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 6 【题型9 集合运算中的新定义问题】 7 【知识点1 并集与交集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 【题型1 并集的概念及运算】 【例1】（23-24高一上·青海海东·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，.若，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据并集结果求集合或参数】 【例2】（23-24高三上·山西大同·期末）已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高三上·河南·期中）已知集合，，其中，则x的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高三上·福建龙岩·期中）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 交集的概念及运算】 【例3】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 根据交集结果求集合或参数】 【例4】（23-24高一上·河北石家庄·期中）设集合，，若，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（23-24高三上·广东江门·阶段练习）已知集合，且，则集合M的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】（23-24高一上·广东江门·期中）设集合,，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高三上·山东青岛·期中）已知集合，，且，则实数的所有取值集合是（    ） A． B． C． D． 【知识点2 补集与全集】 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 【题型5 补集的概念及运算】 【例5】（23-24高一上·北京海淀·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·阶段练习）若全集，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 交、并、补集的混合运算】 【例6】（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·湖南·二模）已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·河南·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 【例7】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【变式7-1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【变式7-3】（23-24高一上·北京·阶段练习）已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【知识点3 Venn图表达集合的关系和运算】 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 【例8】（23-24高一上·全国·期末）已知全集,则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高一上·安徽淮北·阶段练习）如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【题型9 集合运算中的新定义问题】 【例9】（23-24高一上·湖北·阶段练习）设,为非空集合，定义，且，已知，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式9-1】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2024高一·全国·专题练习）若，，定义且，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 集合的基本运算【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 并集的概念及运算】 2 【题型2 根据并集结果求集合或参数】 3 【题型3 交集的概念及运算】 4 【题型4 根据交集结果求集合或参数】 5 【题型5 补集的概念及运算】 7 【题型6 交、并、补集的混合运算】 8 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 9 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 11 【题型9 集合运算中的新定义问题】 12 【知识点1 并集与交集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 【题型1 并集的概念及运算】 【例1】（23-24高一上·青海海东·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出集合，再由并集的定义求解即可. 【解答过程】因为集合， 所以 . 故选：A. 【变式1-1】（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合的并集的定义进行运算即可. 【解答过程】因为集合，， 则． 故选：． 【变式1-2】（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合并集运算的定义求解. 【解答过程】，， . 故选：A. 【变式1-3】（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，.若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题设2是方程的解求得，进而确定集合B，应用并运算求结果. 【解答过程】由题设知：2是方程的解，将代入方程，得， 所以的解为或，所以， 所以， 故选：B. 【题型2 根据并集结果求集合或参数】 【例2】（23-24高三上·山西大同·期末）已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据并集的定义结合集合的互异性可求. 【解答过程】由，得，解得且且， 故A错； 又， 若2，则，，满足题意.故B对； 若3，则，，不满足题意；故C错 若4，则，，不满足题意；故D错； 故选：B. 【变式2-1】（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据交集、并集运算结果分析求解. 【解答过程】因为，可知； 又因为，可知； 综上所述： . 故选：B. 【变式2-2】（23-24高三上·河南·期中）已知集合，，其中，则x的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定的条件，利用集合的包含关系，结合集合元素的互异性求解即得. 【解答过程】由，，知，由，得， 于是或，解得，解得或（不符合题意，舍去）， 经验证或符合题意，所以x的取值集合为. 故选：B. 【变式2-3】（23-24高三上·福建龙岩·期中）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据并集的结果，列出不等式，求解即可得出答案. 【解答过程】因为，所以，解得． 所以，实数的取值范围是. 故选：D. 【题型3 交集的概念及运算】 【例3】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由交集的运算，即可得到结果. 【解答过程】因为， 则. 故选：A. 【变式3-1】（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求解集合，再求解两个集合的交集. 【解答过程】由题意可知，，则. 故选：D. 【变式3-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据交集的定义计算可得. 【解答过程】因为，， 所以. 故选：B. 【变式3-3】（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用交集的运算可得答案. 【解答过程】因为或， 所以. 故选：A. 【题型4 根据交集结果求集合或参数】 【例4】（23-24高一上·河北石家庄·期中）设集合，，若，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据集合相等的定义求解即可. 【解答过程】因为集合，，， 所以，解得， 所以. 故选：C. 【变式4-1】（23-24高三上·广东江门·阶段练习）已知集合，且，则集合M的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据题设条件，利用交集的性质，由列举法能够写出满足条件的集合M，由此能够求出结果. 【解答过程】∵集合，且， ∴满足条件的集合为，，，， 共有4个， 故选：D. 【变式4-2】（23-24高一上·广东江门·期中）设集合,，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】在数轴上表示出集合，根据交集的定义即可求解. 【解答过程】由已知条件在数轴上表示出集合，如下图所示： 由此可知，所以的取值范围是， 故选: . 【变式4-3】（23-24高三上·山东青岛·期中）已知集合，，且，则实数的所有取值集合是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用集合交集结果得到，从而分类讨论的取值即可得解. 【解答过程】因为，所以， 而， ， 当时，集合，满足； 当时，集合， 由，得或，解得或， 综上，实数的取值集合为. 故选：C. 【知识点2 补集与全集】 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 【题型5 补集的概念及运算】 【例5】（23-24高一上·北京海淀·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据补集概念求解出结果. 【解答过程】因为，， 所以， 故选：B. 【变式5-1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由补集的定义求解. 【解答过程】集合，，则 . 故选：D. 【变式5-2】（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·阶段练习）若全集，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据子集的定义结合补集运算即可判断. 【解答过程】因为，， 所以集合A不是集合B的子集，集合B不是集合A的子集， 又，且，所以. 故选：D. 【变式5-3】（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】已知全集和，可求出集合，逐个验证选项. 【解答过程】全集，，∴，只有选项A正确， 故选：A. 【题型6 交、并、补集的混合运算】 【例6】（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据交集与补集的定义求解即可. 【解答过程】由题意，. 故选：C. 【变式6-1】（2024·湖南·二模）已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用不等式性质、交集、并集、补集定义求解． 【解答过程】由题意，，所以. 故选：D. 【变式6-2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合的运算法则计算可得. 【解答过程】因为，， 所以，， 所以，或， ，或， 所以， 或. 故选：B. 【变式6-3】（23-24高一上·河南·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】通过推理得到是的真子集，从而根据交集，并集和补集的概念进行计算，对四个选项一一进行判断正误. 【解答过程】因为，， 所以是的真子集，故， 所以，故A错误， B正确； 则，故D错误； 因为，所以，故C错误. 故选：B. 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 【例7】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【解题思路】由，得到，分与讨论即可. 【解答过程】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需， 解得：，综上得：，则实数的取值范围为. 故选：A. 【变式7-1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求得或，结合，即可求解. 【解答过程】由集合，，可得或， 因为，则满足. 故选：A. 【变式7-2】（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【解题思路】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【解答过程】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 【变式7-3】（23-24高一上·北京·阶段练习）已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【解题思路】利用条件，得到，从而求出，进而求出集合，得到，即可求出结果. 【解答过程】因为，，所以，得到， 当时，由，解得或，所以， 故，得到，所以， 故选：C. 【知识点3 Venn图表达集合的关系和运算】 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 【例8】（23-24高一上·全国·期末）已知全集,则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题中条件知，图中阴影部分表示集合,进一步计算即可. 【解答过程】因为全集， 所以，则由韦恩图知阴影部分为， 故选：D. 【变式8-1】（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】先求得集合，得到，结合，即可求解. 【解答过程】由题意，可得， 因为，可得， 所以阴影部分所表示的集合为. 故选：A. 【变式8-2】（23-24高一上·安徽淮北·阶段练习）如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据题图中阴影区域，再利用集合的交、补定义及运算即可求出结果. 【解答过程】因为题图中的阴影部分是的子集，且不属于集合，属于集合的补集，即是的子集，则阴影部分所表示的集合是， 故选：C. 【变式8-3】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据图中阴影部分表示的集合的含义，即可得答案. 【解答过程】由图中阴影部分可知，阴影部分相应的元素要么在集合的交集中， 要么在集合的交集中， 故阴影部分用集合符号可以表示为， 故选：D. 【题型9 集合运算中的新定义问题】 【例9】（23-24高一上·湖北·阶段练习）设,为非空集合，定义，且，已知，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【解题思路】由题意先求，进而求出 【解答过程】由于，， 所以， 所以或， 故选：C． 【变式9-1】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据与，利用集合交、并、补运算的法则可得到答案. 【解答过程】集合，， 则，， 由定义可得：且，且， 所以， 选项ABD错误，选项C正确． 故选：C. 【变式9-2】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据集合中的元素球集合，再求. 【解答过程】， 当，或，或，或，解得或或 或， 所以，， 所以. 故选：D. 【变式9-3】（2024高一·全国·专题练习）若，，定义且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别解不等式，根据的定义直接计算即可. 【解答过程】由已知，， 则， 故或，故 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$