2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课后作业 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.5一元二次方程的根与系数的关系 课后练习题 考试时间:40分钟 满分100分 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．已知x1，x2是方程x2﹣8x+6＝0的两个实数根，则x1+x2的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 2．已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则x1x2的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 3．若x＝1是一元二次方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A．x＝﹣4 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝4 4．已知方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则式子（x1+1）（x2+1）的值等于（　　） A．﹣4 B．0 C．2 D．6 5．以和为根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣10x﹣1＝0 B．x2+10x﹣1＝0 C．x2+10x+1＝0 D．x2﹣10x+1＝0 6．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x12+x22＝（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．10 7．设一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根为x1，x2，则（　　） A．﹣7 B．3 C．5 D．7 8．关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0的两实根x1，x2满足，则m的值为（　　） A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣5 D．5 9．已知x1，x2是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两个不相等的实数根，且，则m的值是（　　） A． B．﹣3 C． D． 10．若ab≠1，且有5a2+2024a+9＝0及9b2+2024b+5＝0，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x1x2＝ 　 　 ． 12．设x1，x2是方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根．若x1＝3，则x2＝ 　 　 ． 13．若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m、n，则2m2﹣3m+n的值为 　 　 ． 14．已知a和b是方程x2+4x﹣4＝0的两个根，则a2+5a﹣b（a﹣1）的值为　 　 ． 15．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根x1，x2有如下的关系：x1+x2，x1•x2．根据以上信息请写出一个两根互为倒数的一元二次方程：　 　 ． 三、解答题（本大题共5小题，总分50分） 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有一个根为﹣1，求m的值． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知5是此方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0的一个根，求k的值和这个方程的另一个根． 18．已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个实数根，分别为x1，x2． （1）求m的取值范围． （2）当2（x1+x2）+x1x2+10＝0时，求m的值． 19．已知关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m+3＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若x1，x2是方程的两根，且2x1+2x2＝3x1x2+3，求m的值． 20．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是 　 　 （填序号）． ①x2+x＝6；②x2+3x+2＝0；③x2；④x2﹣5x＝﹣6． （2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1，x2是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②求方程的两个根． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B D D B C C A 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．﹣1． 12．﹣1． 13．3． 14．4． 15．x2﹣3x+1＝0（答案不唯一）． 三、解答题（本大题共5小题，总分50分） 16．（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m﹣1）＝（m+1）2+12＞0， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由条件可知1+m+3+m﹣1＝0， 解得：． 17．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（k+2），c＝k﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（k﹣1）＝k2+8 无论k取何值，k2≥0， 则k2+8＞0， ∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：把x＝5代入方程可得25﹣5（k+2）+k﹣1＝0， 解得k， 当k时，原方程为x2x0， 解得x1，x2＝5， 即方程的另一根为． 18．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个实数根， ∴Δ＝42﹣4×1×（m﹣3）＝28﹣4m≥0， 解得：m≤7， ∴m的取值范围为m≤7； （2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个实数根， ∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝m﹣3， ∵2（x1+x2）+x1x2+10＝0， ∴2×（﹣4）+m﹣3+10＝0， 解得：m＝1， ∴m的值为1． 19．（1）证明：由题意得，Δ＝（m+4）2﹣4（m+3） ＝m2+8m+16﹣4m﹣12 ＝m2﹣4m+4 ＝（m﹣2）2≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根； （2）解：由条件可得x1+x2＝﹣（m+4）＝﹣m﹣4，x1x2＝m+3， ∵2x1+2x2＝3x1x2+3， ∴2（x1+x2）＝3x1x2+3， ∴2（﹣m﹣4）＝3（m+3）+3， 解得m＝﹣4． 20．解：（1）①解方程x2+x＝6得x1＝2，x2＝﹣3， ∵x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5， ∴方程x2+x＝6不是“邻根方程”； ②解方程x2+3x+2＝0得x1＝﹣1，x2＝﹣2， ∵x1﹣x2＝﹣1﹣（﹣2）＝1， ∴方程x2+3x+2＝0是“邻根方程”； ③解方程x2得x1＝x2， ∵x1﹣x20， ∴方程x2不是“邻根方程”； ④解方程x2﹣5x＝﹣6得x1＝3，x2＝2， ∵x1﹣x2＝3﹣2＝1， ∴方程x2﹣5x＝﹣6是“邻根方程”． 故答案为：②④． （2）①∵方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1、x2是方程的两根， ∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣k+1，x1﹣x2＝1， ∵（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2， ∴12＝（﹣2）2﹣4（﹣k+1）， 解得k； ②∵方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1、x2是方程的两根， ∴x1﹣x2＝1，x1+x2＝﹣2， 解得x1，x2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $