第08讲 根的判别式、公式法解一元二次方程-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（北师大版）

第08讲 根的判别式、公式法解一元二次方程 【北师大版】 ·模块一 根的判别式 ·模块二 公式法解一元二次方程 ·模块三 课后作业 模块一 根的判别式 一元二次方程根的判别式 b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等得实数根 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等得实数根 △＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根 【考点1 由根的判别式判断方程根的情况】 【例1.1】（2023·辽宁大连·八年级·期末）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【例1.2】（2023八年级·浙江宁波·期中）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【例1.3】（2023八年级·北京东城·期末）已知，为直角三角形的直角边，是斜边，那么关于的方程的根的情况是 ． 【变式1.1】（2023·河南信阳·八年级·期末）若关于x的方程． 有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·江苏连云港·八年级·期末）若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 【变式1.3】（2023·陕西咸阳·八年级·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有实数根； (2)若 是该方程的一个解，求n的值． 【考点2 由根的判别式求字母取值范围】 【例2.1】（2023八年级·山东淄博·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【例2.2】（2023·北京朝阳·八年级·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)给出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 【例2.3】（2023八年级·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2.1】（2023·四川德阳·八年级·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【变式2.2】（2023·吉林长春·八年级·期末）若关于x的方程有实数根，则k的最大整数值为 ． 【变式2.3】（2023·浙江宁波·八年级·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程． (2)若这个方程无实数根，求a的取值范围． 【考点3 由根的判别式确定整数根】 【例3.1】（2023八年级·内蒙古包头·期末）当为整数时，关于的一元二次方程方程的两个根都为正整数，则满足条件的所有整数的积为（  ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023八年级·福建厦门·期中）若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个． 【例3.3】（2023八年级·山东青岛·期末）已知是自然数，关于的方程至少有一个整数根，则可取值的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3.1】（2023八年级·四川乐山·期末）已知关于的方程的根都是整数，则满足条件的整数的值为 . 【变式3.2】（2023八年级·北京·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)写出一个满足条件的m的值，使方程的两根为整数根，并求此时方程的两根． 【变式3.3】（2023八年级·北京·期中）已知关于的方程有整数根，求自然数的值． 【考点4 由根的判别式求最值】 【例4.1】（2023八年级·广东广州·期末）若一元二次方程有两个相同的实数根，则的最小值为（    ） A．5 B．1 C． D． 【例4.2】（2023八年级·河北保定·期中）关于x的一元二次方程ax2＝4x﹣b有两个实数根，其中a，b分别表示菱形ABCD两条对角线的长度，则菱形ABCD面积的最大值为（　　） A．4 B．6 C．2 D．5.5 【例4.3】（2023八年级·安徽合肥·期末）若实数，满足，则的最大值与最小值之和为 ． 【变式4.1】（2023八年级·浙江·期末）设是正整数，若关于的方程有实根，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4.2】（2023八年级·河南平顶山·期中）小红遇到一个题目：解一元二次方程：． (1)若“”表示常数，请你用配方法帮助小红完成解方程． (2)若“”表示一个字母，且一元二次方程有实数根，求“”的最大值． (3)在（2）的条件下，直接写出方程的解． 【变式4.3】（2023八年级·全国·竞赛）已知一元二次方程和都有实数解，则的最小值为 ． 模块二 公式法解一元二次方程 公式法解一元二次方程 当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 【考点1 一元二次方程的求根公式】 【例1.1】（2023八年级·全国·假期作业）在用求根公式解方程的过程中，，，的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例1.2】（2023八年级·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【例1.3】（2023八年级·全国·假期作业）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为，下列判断一定正确的是（    ） A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝1 D． 【变式1.1】（2023八年级·福建厦门·期末）解一元二次方程，其中一个根为，则等于（    ） A．1 B． C．0 D．2 【变式1.2】（2023八年级·全国·期末）方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（  ） A．≥ B．＞ C．≤ D．＜ 【变式1.3】（2023八年级·四川绵阳·期末）已知（b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为 ． 【考点2 公式法解一元二次方程】 【例2.1】（2023八年级·江苏苏州·期末）一元二次方程的解为______． 【例2.2】（2023八年级·河南信阳·期末）当 时，代数式与的值互为相反数． 【例2.3】（2023八年级·安徽滁州·期末）已知两个整式，，我们在代数式中的“________”上添加加减乘除的运算符号，将运算结果叫做关于，的“三连运算”．比如就是关于，的一种“三连运算”，下列说法正确的个数是（    ） ①只存在一种关于，的“三连运算”使得结果为1；②将分解因式后为；③三连运算的解为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2.1】（2023八年级·全国·期末）小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： ∵，，（第一步）， ∴（第二步）， ∴（第三步）， ∴，（第四步）． 小明解答过程开始出错的步骤是（　　） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【变式2.2】（2023八年级·江苏苏州·期末）一元二次方程 的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（ ） A． B． C． D． 【变式2.3】（2023八年级·浙江金华·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结． (1)若，求的度数． (2)设，． ①线段的长是方程的一个根吗？说明理由． ②若，求的值． 【考点3 用适当的方法解一元二次方程】 【例3.1】（2023八年级·上海静安·期末）解方程的适当方法是（   ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解 【例3.2】（2023八年级·四川宜宾·期末）解方程：（1）；（2）；（3），较适合的方法依次为（    ） A．直接开平方法、公式法、配方法 B．因式分解法、公式法、公式法 C．直接开平方法、因式分解法、配方法 D．直接开平方法、公式法、因式分解法 【例3.3】（2023八年级·甘肃平凉·期末）用适当的方式解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【变式3.1】（2023八年级·全国·期末）认真观察下列方程，指出使用何种方法求解比较适当． （1），应选用 法； （2），应选用 法； （3），应选用 法； （4），应选用 法． 【变式3.2】（2023八年级·河南新乡·期中）下列一元二次方程最适合用因式分解来解的是(　　) A． B． C． D． 【变式3.3】（2023八年级·山东泰安·期末）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 模块三 课后作业 1．（2023·浙江杭州·八年级·期末）若一元二次方程的根的判别式的值是5，则b的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（2023·浙江台州·八年级·期末）已知关于x的一元二次方程，该方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．与b的取值有关 3．（2018·广西·八年级·期末）若一元二次方程x2+2x+m=0中的b2﹣4ac=0，则这个方程的两根为（　　） A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．不确定 4．（2023·北京·八年级·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么整数k的可能值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 5．（2023八年级·广东·单元测试）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且有，那么实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 6．（2023·安徽淮北·三模）关于x的方程有两个根，记作，，则 ． 7．（2023·四川内江·三模）已知，，则的值 ． 8．（2023八年级·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程，它的根是 ． 9．（2023八年级·上海浦东新·期中）若实数x满足，则 ． 10．（2023·甘肃平凉·八年级·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则的值可以是 ．（写出一个满足条件的值） 11．（2023八年级·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 12．（2023八年级·云南昭通·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求a的取值范围； (2)若，用公式法求该方程的解． 13．（2023·浙江金华·八年级·期末）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 14．（2023八年级·吉林长春·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为正整数，求此方程的解． 15．（2023八年级·湖南长沙·期末）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； (3)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 根的判别式、公式法解一元二次方程 【北师大版】 ·模块一 根的判别式 ·模块二 公式法解一元二次方程 ·模块三 课后作业 模块一 根的判别式 一元二次方程根的判别式 b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等得实数根 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等得实数根 △＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根 【考点1 由根的判别式判断方程根的情况】 【例1.1】（2023·辽宁大连·八年级·期末）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式．根据根的判别式，代入数据计算可得答案． 【详解】解：一元二次方程， ，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【例1.2】（2023八年级·浙江宁波·期中）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况．根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：A、，，方程没有实数根，不符合题意； B、，，方程没有实数根，不符合题意； C、，，方程有两个相等的实数根，不符合题意； D、，，方程有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 【例1.3】（2023八年级·北京东城·期末）已知，为直角三角形的直角边，是斜边，那么关于的方程的根的情况是 ． 【答案】有两个相等的实数根 【分析】本题考查了勾股定理与一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握“一元二次方程根的情况与判别式的关系：①，则方程有两个不相等的实数根；②，则方程有两个相等的实数根；③，则方程无实数根”． 根据直角三角形中的勾股定理与一元二次方程根的判别式解答． 【详解】解：直角三角形的三个边长为、、，且是斜边， ， ， 关于的方程有两个相等的实数根， 故答案为：有两个相等的实数根． 【变式1.1】（2023·河南信阳·八年级·期末）若关于x的方程． 有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，利用根的判别式的意义得到，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， A、若，，不符合题意； B、若，，不符合题意； C、若，，符合题意； D、若，，不符合题意． 故选：C． 【变式1.2】（2023·江苏连云港·八年级·期末）若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 【答案】两或2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一次函数的图象和性质等知识点，先根据一次函数的性质得到，再计算判别式的值得到，则，然后根据判别式的意义判断方程根的情况，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵一次函数（k、b为常数）的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：两． 【变式1.3】（2023·陕西咸阳·八年级·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有实数根； (2)若 是该方程的一个解，求n的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系, 一元二次方程的根的定义以及一元一次方程的解法． （1）根据方程的系数结合根的判别式可得，由此可证明无论取何值，该方程总有实数根； （2）把代入方程即可求出． 【详解】（1）证明：由题意得： ， ∴该方程总有实数根； （2）解：把代入方程，得：， 解得：， ∴的值为3． 【考点2 由根的判别式求字母取值范围】 【例2.1】（2023八年级·山东淄博·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式的运用是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴ 解得，， 故答案为： ． 【例2.2】（2023·北京朝阳·八年级·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)给出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 【答案】(1)； (2)取，此时，．（答案不唯一） 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求出m的值范围是解题的关键． （1）根据有两个不相等的实数根列出判别式，再解不等式即可得到答案； （2）按照（1）中的范围取m的值，代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：依题意，得． ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴． 即． ∴． （2）取． 此时方程为 解得，． 【例2.3】（2023八年级·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，先根据根的判别式推出，则，进而可得原方程为，解得，求出，再根据的符号与的符号关系进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴原方程为， 解得， ∴ 若，则，即，则，故A正确，符合题意； 若，则，即，故B、D错误，不符合题意； 若，则不一定成立，则不一定成立，故C错误，不符合题意； 【变式2.1】（2023·四川德阳·八年级·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，由题意得，，且，即可求解． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，且． 故选：D． 【变式2.2】（2023·吉林长春·八年级·期末）若关于x的方程有实数根，则k的最大整数值为 ． 【答案】2 【分析】由方程有两个实数根，得，解得，这样就很快得到满足条件的的非负整数值．本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了不等式的特殊解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， 解得． 所以满足的最大整数值为2． 故答案为：2． 【变式2.3】（2023·浙江宁波·八年级·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程． (2)若这个方程无实数根，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，，（答案不唯一）； (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题关键是熟练掌握利用判别式判断一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程有实数根得到判别式大于等于0，从而列出关于的不等式，求出的取值范围，然后再从已知的三个数中选择符合条件的数，最后解方程即可； （2）根据一元二次方程无实数根得到判别式小于0，从而列出关于的不等式，求出的取值范围． 【详解】（1）解：若关于的一元二次方程有实数根， ∴， ， ， ， 当或1时，这个方程有实数根， 当时，原方程为：， ， 或， ∴，； 当时，原方程为：， ， 解得，． （2）解：若关于的一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点3 由根的判别式确定整数根】 【例3.1】（2023八年级·内蒙古包头·期末）当为整数时，关于的一元二次方程方程的两个根都为正整数，则满足条件的所有整数的积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用求根公式求出方程的两个根，再根据两个根都为正整数求出m的值，再求积即可． 【详解】解：由题意可得出，，， ∴ ∴，， ∵方程的两个根都为正整数， ∴或， ∴或， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是根的判别式以及求根公式，利用求根公式得出方程的两个根是解此题的关键． 【例3.2】（2023八年级·福建厦门·期中）若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个． 【答案】3 【分析】若一元二次方程至少有一个整数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出根的判别式和a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．再根据根的判别式是完全平方数进行求解即可．本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解本题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有整数根， ∴且， 解得且， ∴方程的根为， 根据根与系数的关系可得，，且为正整数， ∴， ∵为完全平方数且为正整数， ∴或或， 解得或6或13， 即满足条件的共有3个， 故答案为：3． 【例3.3】（2023八年级·山东青岛·期末）已知是自然数，关于的方程至少有一个整数根，则可取值的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先根据方程,求得,再假设 设 (y为非负整数)，则求得x代入转化为y的方程．利用整数的特点进一步确定y的值，进而求得a的值． 【详解】 显然满足条件的x,必使得为整数,否则 不可能为整数， 设 (y为非负整数)， 则原式变为 ∵y为非负整数(又4能整除1+y)， ∴要使a为整数，则y=0，1，3， 此时a=6，2，−3. 又知a为非负整数，a=6，2， 当a=0时，方程也有一个整数根， a=6，2，0， 故选：C． 【点睛】考查一元二次方程的整数根与有理根，解决本题的关键是巧妙运用整数的特点以及在分数计算中整数的倍数关系． 【变式3.1】（2023八年级·四川乐山·期末）已知关于的方程的根都是整数，则满足条件的整数的值为 . 【答案】1，0，2，，3 【分析】根据题意分类讨论：当时，原方程为，解得，；②当时，原方程可整 理为：，则，是方程的根，即是 方程的整数根，且x是整数，则或，进行计算即可 得． 【详解】解：∵的根都是整数， ∴①当时，原方程为， 解得，； ②当时，原方程可整理为：， 则，， 即是方程的整数根，且x是整数， 则或， 解得，，，，， 综上，满足条件的整数的值为1，0，2，，3， 故答案为；1，0，2，，3． 【点睛】本题考查了方程整数解的求法，解题的关键是理解题意，分类讨论，正确计算． 【变式3.2】（2023八年级·北京·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)写出一个满足条件的m的值，使方程的两根为整数根，并求此时方程的两根． 【答案】(1) (2)，，（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及解一元二次方程． （1）根据一元二次方程的定义及根的判别式，建立关于的一元一次不等式求解，即可解题； （2）根据题意，确定的值，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， ； （2）解：当时， 一元二次方程为，有， 解得，，满足方程的两根为整数根．（答案不唯一） 【变式3.3】（2023八年级·北京·期中）已知关于的方程有整数根，求自然数的值． 【答案】1或13 【分析】本题考查了一元二次方程的整数根，解不等式等知识，当时，求出方程的解并判断是否符合题意；当即时，将原方程转化为，进而得出，根据，求出x的取值范围，把范围内的整数解依次代入检验，即可得出结论． 【详解】解：当时，原方程为， 解得，不符合题意，舍去； 当即时，原方程变形为， 当时，此时不成立， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∵方程有整数根， ∴x的整数解可能为，，0，1，2，3，4，5，6， 又， ∴， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上，自然数的值为1或13． 【考点4 由根的判别式求最值】 【例4.1】（2023八年级·广东广州·期末）若一元二次方程有两个相同的实数根，则的最小值为（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式，即可得出，即，将其代入中，利用配方法即可得出的最小值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相同的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及配方法的应用，由方程有两个相等的实数根得出是解题的关键． 【例4.2】（2023八年级·河北保定·期中）关于x的一元二次方程ax2＝4x﹣b有两个实数根，其中a，b分别表示菱形ABCD两条对角线的长度，则菱形ABCD面积的最大值为（　　） A．4 B．6 C．2 D．5.5 【答案】C 【分析】根据题意得到，求得，进而根据菱形的面积公式得到． 【详解】解：方程化为， ∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵a，b分别表示菱形两条对角线的长度， ∴菱形面积， ∴菱形面积的最大值为2， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式．菱形面积，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得△≥0． 【例4.3】（2023八年级·安徽合肥·期末）若实数，满足，则的最大值与最小值之和为 ． 【答案】 【分析】把方程化成关于的一元二次方程，将其整理成一元二次方程的一般形式．根据实数b有意义，判定方程有实根，则有，把不等式转化为不等式组求解，将其最大值与最小值相加即可． 【详解】解：把方程转化成的一元二次方程，得 ∵实数b有意义， ∴方程有实根， ∴， 即． 或， 解得， 的最大值与最小值之和为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，不等式组解法，熟练掌握根的判别式，并灵活求不等式组的解集是解题的关键． 【变式4.1】（2023八年级·浙江·期末）设是正整数，若关于的方程有实根，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式，结合是正整数，计算即可． 【详解】∵一元二次方程有实根， ∴， 解得， ∵a是正整数， 故选B． 【变式4.2】（2023八年级·河南平顶山·期中）小红遇到一个题目：解一元二次方程：． (1)若“”表示常数，请你用配方法帮助小红完成解方程． (2)若“”表示一个字母，且一元二次方程有实数根，求“”的最大值． (3)在（2）的条件下，直接写出方程的解． 【答案】(1)， (2)“”的最大值为9 (3) 【分析】（1）按配方法的一般步骤求解即可； （2）设□中为m，根据判别式得到，然后解不等式求出m后找出最大整数即可； （3）把9代入到方程中，然后解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：设“”为m，则， ∵方程有实数根 ∴，即， ∴ ∴“”的最大值为9． （3）解：∵“”的最大值为9， ∴原方程变为， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，以及一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【变式4.3】（2023八年级·全国·竞赛）已知一元二次方程和都有实数解，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及不等式基本性质应用，先得出，进而推导出，，得出结论即可． 【详解】解：由， 得：， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为6． 模块二 公式法解一元二次方程 公式法解一元二次方程 当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 【考点1 一元二次方程的求根公式】 【例1.1】（2023八年级·全国·假期作业）在用求根公式解方程的过程中，，，的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】方程，，， 【例1.2】（2023八年级·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴这个方程为． 故选：D 【例1.3】（2023八年级·全国·假期作业）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为，下列判断一定正确的是（    ） A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝1 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的求根公式可得答案． 【详解】解：根据一元二次方程的求根公式可得：，， ∵关于x的一元二次方程的两根分别为，， ∴， ∴,, ∴则，， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目． 【变式1.1】（2023八年级·福建厦门·期末）解一元二次方程，其中一个根为，则等于（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查用公式法解一元二次方程，牢记求根公式：，利用求根公式可直接求解c的值． 【详解】解：已知一元二次方程； 直接利用公式法可得：； 因为其中一个根为； 可得，，； 即，； ∴； 故选：B． 【变式1.2】（2023八年级·全国·期末）方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（  ） A．≥ B．＞ C．≤ D．＜ 【答案】A 【详解】因为,且 a＜0,所以≥,故选A. 【变式1.3】（2023八年级·四川绵阳·期末）已知（b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为 ． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程的求根公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴x为一元二次方程的一个根， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式为． 【考点2 公式法解一元二次方程】 【例2.1】（2023八年级·江苏苏州·期末）一元二次方程的解为______． 【答案】 【分析】先把方程化为一般式，然后利用公式法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解题的关键． 【例2.2】（2023八年级·河南信阳·期末）当 时，代数式与的值互为相反数． 【答案】或 【分析】根据互为相反数的定义列方程式，然后把方程化为一般式后，解一元二次方程即可． 【详解】∵代数式与的值互为相反数， ∴ 整理： ∴ ∴， ∴当或2时，代数式与的值互为相反数． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相反数的定义和一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键． 【例2.3】（2023八年级·安徽滁州·期末）已知两个整式，，我们在代数式中的“________”上添加加减乘除的运算符号，将运算结果叫做关于，的“三连运算”．比如就是关于，的一种“三连运算”，下列说法正确的个数是（    ） ①只存在一种关于，的“三连运算”使得结果为1；②将分解因式后为；③三连运算的解为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】找到两种关于、的“三连运算”使得结果为1，可判断①，利用因式分解可判断②，利用已知建立方程，解出方程可判断③，从而可以得到答案．本题考查因式分解与方程，掌握因式分解与解方程便可解决问题． 【详解】解：， ，故①不符合题意； ，故②不符合题意； ∵， ∴， 即， ∴， ∴或，故③符合题意； 故选B． 【变式2.1】（2023八年级·全国·期末）小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： ∵，，（第一步）， ∴（第二步）， ∴（第三步）， ∴，（第四步）． 小明解答过程开始出错的步骤是（　　） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】C 【分析】根据公式法，可得第三步为，即可解答． 【详解】解：根据公式法可得， 故第三步为， 所以第三步开始出错， 故选：C． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的解的公式是解题的关键． 【变式2.2】（2023八年级·江苏苏州·期末）一元二次方程 的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用公式法求出一元二次方程的解，找出较大根，与相邻整数进行比较即可得出结论． 【详解】解方程 得： 设 是方程 较大的根 ，即 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程求解及估算近似解，熟练掌握求解公式及估算方法是解题关键． 【变式2.3】（2023八年级·浙江金华·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结． (1)若，求的度数． (2)设，． ①线段的长是方程的一个根吗？说明理由． ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①是，理由见解析；② 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，计算即可； （2）①根据勾股定理求出，利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ； （2）解：①在中，由勾股定理得， ， 解方程得， 线段的长是方程的一个根； ②， ， 根据题意可得，， 在中，由勾股定理得，则， ， ． 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键． 【考点3 用适当的方法解一元二次方程】 【例3.1】（2023八年级·上海静安·期末）解方程的适当方法是（   ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解 【答案】D 【分析】先移项，即可发现可以提公因式，从而得出结论． 【详解】解：移项，得 ∴解方程的适当方法是因式分解 故选D． 【点睛】此题考查的是解一元二次方程方法的选择，掌握因式分解法是解决此题的关键． 【例3.2】（2023八年级·四川宜宾·期末）解方程：（1）；（2）；（3），较适合的方法依次为（    ） A．直接开平方法、公式法、配方法 B．因式分解法、公式法、公式法 C．直接开平方法、因式分解法、配方法 D．直接开平方法、公式法、因式分解法 【答案】A 【分析】先观察看式子的特点，再看它是几项式，然后看符合哪个特点从而选择合适的方法：①用直接开平方法，②用公式法，③用配方法． 【详解】解：（1）较适合的方法是直接开平方法； （2）较适合的方法是公式法； （3）较适合的方法是配方法， 故选：A 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，根据一元二次方程的特征灵活选用适当的方法解答是解题的关键． 【例3.3】（2023八年级·甘肃平凉·期末）用适当的方式解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，直接开平方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程-直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 或 解得：； （3）解： 解得：； （4）解： 或 解得：． 【变式3.1】（2023八年级·全国·期末）认真观察下列方程，指出使用何种方法求解比较适当． （1），应选用 法； （2），应选用 法； （3），应选用 法； （4），应选用 法． 【答案】 直接开平方 配方 因式分解 公式 【分析】（1）将方程的二次项系数化为1得到，用直接开平方法求解； （2）根据配方法在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边得到完全平方式，右边为常数，选用配方法； （3）先移项，然后提出公因式，用因式分解法； （4）二次项系数不为1，不易用配方法和因式分解法，选公式法． 【详解】解：（1）可直接开平方，故选择直接开平方法； （2）的两边都加上64，易配方得，故选配方法； （3）方程，移项得，直接提公因式求解即可，故选因式分解法； （4），二次项系数不为1，不易用配方法和因式分解法，故应选用公式法求解． 故答案为：直接开平方；配方；因式分解；公式 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，根据方程的不同结构特点，选择适当的方法解方程． 【变式3.2】（2023八年级·河南新乡·期中）下列一元二次方程最适合用因式分解来解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程根据解一元二次方程的方法直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适的方法，进行判断即可． 【详解】解：A. 适合用直接开平方法，符合题意； B. ，适合用因式分解法，符合题意； C. 适合用公式法，符合题意；     D. 适合用配方法法，符合题意； 故选：B． 【变式3.3】（2023八年级·山东泰安·期末）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）变形后，利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 则，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）， ∴， ∴或， 解得：，； （4）， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解． 模块三 课后作业 1．（2023·浙江杭州·八年级·期末）若一元二次方程的根的判别式的值是5，则b的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式列得方程求解即可，正确掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键 【详解】解： 解得， 故选：B 2．（2023·浙江台州·八年级·期末）已知关于x的一元二次方程，该方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．与b的取值有关 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 3．（2018·广西·八年级·期末）若一元二次方程x2+2x+m=0中的b2﹣4ac=0，则这个方程的两根为（　　） A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．不确定 【答案】C 【分析】根据求出m的值，再把求得的m的值代回原方程，然后解一元二次方程即可求出方程的两个根. 【详解】解：∵△=b2﹣4ac=0， ∴4﹣4m=0， 解得：m=1， ∴原方程可化为：x2+2x+1=0， ∴（x+1）2=0， ∴x1=x2=﹣1． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键. 4．（2023·北京·八年级·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么整数k的可能值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，时，方程有两个不相等的实数根，再结合一元二次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 解得：且， ∴k的值可能是． 故选：A． 5．（2023八年级·广东·单元测试）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且有，那么实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求根公式求得，结合条件，可知，，进而可得的范围，即可求解． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 6．（2023·安徽淮北·三模）关于x的方程有两个根，记作，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先计算，再利用公式法解方程，再进一步计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 7．（2023·四川内江·三模）已知，，则的值 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握求根公式，并注意进行分类讨论． 【详解】解：依题意得a，b是方程的解， 解得：，， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 8．（2023八年级·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程，它的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用公式法解一元二次方程即可；解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】解： ，， ∴， ∴ 解得，． 故答案为：，． 9．（2023八年级·上海浦东新·期中）若实数x满足，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查解一元二次方程，代数式求值．解题的关键是掌握换元思想，因式分解法解一元二次方程．设，原方程化为，解这个一元二次方程，可得 的值是或6，用判别式排除，得． 【详解】解：设， ∵， ∴， 解得：或， 当时，即：， ∵， ∴此时无解，舍去； ∴， 故答案为：6． 10．（2023·甘肃平凉·八年级·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则的值可以是 ．（写出一个满足条件的值） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根判别式的意义，根据题意可得一元二次方程根的判别式 ，即可求出答案． 【详解】由题意可知： 解得： 故答案为：0（答案不唯一）． 11．（2023八年级·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤． 【详解】（1），，， ， ∴， ∴，； （2），，， ， ∴， ∴，． 12．（2023八年级·云南昭通·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求a的取值范围； (2)若，用公式法求该方程的解． 【答案】(1)且； (2)，． 【分析】本题主要考查一元二次方程及其解，解答本题的关键在于熟练掌握一元二次方程有关知识点和解法．方程有两个不相等的实数根用根的判别式即可求出a的取值范围，根据公式法即可求解方程． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ，且 即， 解得，， ∴a的取值范围：且． （2）当时，原方程， ，即， ； ． ∴方程的解，． 13．（2023·浙江金华·八年级·期末）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 【答案】若选①，则方程的解为；若选②，则方程的解为 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根据题意解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：①当，， ∴， ∴ 解得：； ②，； ∴ ∴ 解得：； ③，． ，原方程无解． 14．（2023八年级·吉林长春·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为正整数，求此方程的解． 【答案】(1)且 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与系数的关系，解一元二次方程， （1）一元二次方程有两个实数根，则二次项系数不为，且； （2）由（1）可得的取值，解方程即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． （2）解： 为正整数，且， ． 原方程为， 解得，． 当为正整数时，该方程的根为或． 15．（2023八年级·湖南长沙·期末）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； (3)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)11或13 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； （3）分为腰和为底边两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）由题意，得：， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴； （3）①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得： ， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的三边为：， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的周长为：； 综上：周长为11或13． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$