九年级上册 第2章 第7课时一元二次方程的根与系数的关系-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

数学·九年级·全册（北师大版） 第7课时一元二次方程的根与系数的关系 新课学 元二次方程的根与系数的关系： 当 时，一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)有两个实数根，x1十x2= x1C2= 例1方程x2十3x十2=0有实数根吗？若有，求变式1关于x的方程x2一x一1=0有实数根 出两根的和与两根的积. 吗？若有，设两个根分别为x1,x2,求x1十x2一 x1x2的值. 例2若x1,x2是方程2x2+6x一8=0的两个根，变式2若x1,x2是方程2x2-4x-6=0的两个 求下列各式的值：(1)x2+x;(2)1+1 根，求下列各式的值： (1)(x1-3)(x2-3); (2)(x1-x2)2. 变式3将下列各式变为用x1十x2和xx2表示的形式. (1)x12+x22; （2)x12x2+x1x22; (3)(x1-x2)2; (4)|x1-x2; (5)1+1 (6)(x1+a)(x2+a) X1 2 ●>32《● 第二章 一元二次方程 课堂检列 圆基础过关 1.设一元二次方程x2一12x十3=0的两个实数2.已知x1,x2是方程x2一3x一1=0的两个实数 根为x1和x2,则x1x2的值为 ( 根，则(x1一2)(x2-2)= A.-2 B.2 C.-3 D.3 3.已知方程x2-3x十m=0的一个根是x1=1. 4.关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的 (1)求方程的另一个根x2; 两个实数根分别为x1,x2. (2)求m的值. (1)求m的取值范围； (2)若2(x1十x2)+x1x2十10=0，求m的值. 能力检测 5.已知方程x2-2025x十1=0的两根分别为m,6.已知关于x的一元二次方程x2-(2k十1)x十 m,求m2_2025的值. 2=0有两个实数根x1和x2. 2 (1)求的取值范围； (2)若方程的两实数根x1,x2满足x1x2一x- x=一9，求实数k的值， ●33参考苔案 △=b-4ac=(-2)2-4X2X1=-4<0, 【例2】解：原方程可变形为4x2一5x=0 第7课时 一元二次方程的根 .方程无实数根. x(4x-5)=0, 与系数的关系 【变式3】解：方程化为x2十3x十5=0. x=0,或4x-5=0, 新课学习了 a=1,b=3,c=5, .x1=0,x2=1.25 △=-4ac=32-4×1×5=-11<0, 【变式2】解：原方程可变形为(x+2)(x 4=-4uc≥0-合 a 方程无实数根。 1)=0,x+2=0,或x一1=0. 【例1】解：在方程x2十3x十2=0中， r课堂检测 .x=-2,x2=1. a=1,b=3,c=2, 1.C 【例3】解：原方程可变形为(x十1)-3(x △=b-4ac=9-8=1>0, +1)=0,(x+1)(x+1-3)=0, 2.一12无实数根 .方程有实数根， x十1=0，或x一2=0， 无实数根4不等实根 .x1=-1,x2=2. 十=-合=-3=台=2 3.(1)解：方程化为x2-2x十6=0. 【变式3】解：原方程可变形为(x-3)2 【变式1】解：方程x2一x-1=0中， .a=1,b=-2,c=6, 3(x-3)=0, a=1,b=-1,c=-1, △=-4ac=(-2)2-4X1X6=-20<0, (x-3-3)(x-3)=0, △=b2-4ac=1+4=5>0, 方程无实数根 6=0,或x-3=0, .方程有实数根， (2)解：方程化为x2-10x十25=0. .x1=6,x2=3. .a=1,b=-10,c=25, 【例4】解：原方程可变形为(x+1+5)(x 石十=-名=1,4=合=-1 △=b-4ac=(-10)2-4×1×25=0, +1-5)=0, .x1十x2-x1x2=1-(-1)=2. x=x2= 品=-5. -10 (x+6)(x-4)=0, 【例2】解：，a=2,b=6,c=一8， x十6=0，或x-4=0 m十x2=-3,1x2=-4. (3)解：a=5,b=2,c=一1， ∴.x1=-6,x2=4. (1)x12+x22=(x1十x2)-2x1x2 △=22-4×5×(-1)=24>0， 【变式4】解：原方程可变形为2(x十3)2= =(-3)2-2×(-4)=17, . -2±2V6_-1±√6 (x+3)(x-3), 10 5 2(x十3)2-(x十3)(x-3)=0, 即=二1+6 购=二16 (x+3)[2(x十3)-(x-3)]=0, 【变式2】解：a=2,b=-4,c=-6, 5 5 (x十3)(x+9)=0, x1+x2=2,x1x2=-3. (4)解：原方程可变形为3x2+10x+5=0. x十3=0，或x十9=0， (1)(x1-3)(x2-3)=x1x2-3(x1+x2) .a=3,b=10,c=5, .x1=-3,x2=-9. +9=-3-3×2+9=0. △=6-4ac=102-4×3X5=40>0, (2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=22 x=-b士y6-4ac=-10±40 汇课堂检测 4×(-3)=16. 2×3 1.B2.(1)x1=-2,x2=1(2)-3 【变式3】(1)解：原式=（十2）2-2x =-10±20_-5±/10 3.解：x(3-x)=0.x=0,或3-x=0. (2)解：原式=x1x2(x十x). 6 3 ∴.x1=0,x2=3. (3)解：原式=(x1十x2)2一4x1x2. 即x=一5+10 4.解：(x十2)(x一1)=0 (4)解：原式=√(x十x2)2一4xx2 3 =-5-0 3 x+2=0,或x一1=0 4.解：由题意知A(a, .x1=-2,x2=1. (5)解：原式=西十 t1x2 0),B(0,a),如答图， 5.解：x(x-2)十(x-2)=0, (6)解：原式=x1x2十a(x十x2)+a2. 过点P作PD⊥x轴 (x-2)(x+1)=0. 【课堂检测】 于点D,则D(10,0), x一2=0，或x+1=0. ∴.PD=4,OD=10, .x1=2,x2=-1. 1.D2.-3 答图 OA=a,OB=a,AD 6.解：原方程可变形为(5x-4十x)(5x一4 3.解：(1)依题意，得x1十x2=3, =10-a, -x)=0,(6x-4)(4x-4)=0. 即1十x2=3,解得x2=2. .方程的另一个根x2=2. ,.SAPAB=S梯形GEPD 6x-4=0,或4x-4=0. -S△ADP= 2 (2)依题意，得x2=m, ×10a+0-号d-号×4×(10-。) 1 西=3函=1 即1×2=m,.m的值为2. 7.解：原方程可变形为3x(2x十1)=2(2x十1)， 4.解：(1)方程x2+3x十m-1=0有两 =12,解得a1=2,a2=12(不符合题意， 3.x(2x+1)-2(2x+1)=0, 个实数根， 舍去).∴.a的值为2. (3x-2)(2x+1)=0. ∴.△=32-4(m-1)=13-4m≥0， 3x-2=0,或2x十1=0. 第6课时用因式分解法求解 解得m≤只 2 一元二次方程 (2):方程x2+3x十m-1=0的两个实 【新课学习 8.解：原方程可变形为(x一3)2-(5-2x}2=0, 数根分别为x,2,十2=一3，x (x-3+5-2x)(x-3-5+2x)=0, =m-1..2(8十x2)+x1x2+10=0, 00 (-x+2)(3x-8)=0. 即-6+(m-1)+10=0,.m=-3. 【例1】解：x十2=0，或x一1=0. -x+2=0,或3x-8=0. 5.解：：m,n是方程x2-2025x十1=0的 ∴.1=-2，x2=1. 4=2a=号 两个根，.m十n=2025,mn=1. 【变式1】解：x+3=0,或x一4=0. 又，m是方程x2-2025x+1=0的一 .x1=-3,x2=4. 9.A10.12 个根，∴.m2-2025m十1=0， .m2=2025m-1.① 高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 将0代入m-2025,得2025m-1 4.解：设这个宽度为xm, 课堂检测 根据题意，得(8-2x)(6-2x)=24. 2025_2025mm-2025-1 1.解：(1)(24-3x) 解得x1=1,x2=6(舍去). n (2)根据题意，得(24-3x)x=45, =2025×1-2025 答：这个宽度为1m. ∴.x2一8x十15=0，解得x1=3,x2=5. -1=-1. n 5.15+34 当AB=3时，AD=24-3×3=15> 6.解：(1)关于x的一元二次方程x2 2 14,不符合题意，故舍去；当AB=5时， (2k十1)x十k=0有两个实数根， 6.解：(1)设平均一个人传染了x个人，根 AD=24-3×5=9,符合题意. ,.△=b2-4ac=[-(2k+1)]2-4X1X 据题意，得x十1+(x十1)x=225. 答：此时花圃的长为9m,宽为5m 1 解得x1=14,x2=一16（舍去）. 2≥0，解得k≥一 2.解：(1)2t(5-t) 4 答：平均一个人传染了14个人。 1 (2)225×(14+1)=3375(个). (2)存在.根据题意，得2(5，一D=4, “k的取值范围为k>一 2 答：第三轮有3375个人患流感， 解得t=1,t=4, (2):x,x2是关于x的一元二次方程 当t=1时，BQ=2cm,符合题意， x2-(2k十1)x十=0的两个实数根， 第9课时应用一元二次方程(2) 当t=4时，BQ=8cm,不符合题意 .x1十x2=2k+1,x1x2=k 【新课学习 舍去..当t=1时，使得△PBQ的面积 又xx2-x号-x号=-9， 为4cm2. 即3x2-(x十x2)2=-9, 【例1】解：(1)设BC的长度为xm,则AB ∴.3k2-(2k+1)2=-9, 的长度为24m,根据题意，得x…242 2 第10课时应用一元二次方程(3) ∴.k2+4k-8=0. =40,整理，得x2一24x+80=0: 【新课学习】 解得.=一2一23（不符合题意，舍去）， 解得x1=4,x2=20. 【例1】(1)解：10+x500一20z k2=-2+25. 20>15,x=4.2422=2424=10. (10+x)(500-20x) .实数k的值为一2十2√3 2 2 答：AB的长为10m (2)依题意可得(10十x)(500-20x) 第8课时应用一元二次方程(1) (2)不能围成，理由：设BC的长为ym, =6000,x2-15x+50=0,x1=5,x2=10, 答：每斤应涨价5元或10元. 新课学习) 则AB的长为24，Ym,根据题意，得 3 【变式1】1010+房 2800-2200 一审、二设、三列、四解、五检验、六答 y.2422=50, 2800-x-2200(2800-2200)×10 是否是方程的解是否合理 3 【例1】解：设平均每次降价的百分率为x, 整理，得y-24y+150=0. 6825 .·△=(-24)2-4×1×150=-24<0， 解：根据题意，得 根据题意，得100×(1一x)2=64.解得x =0.2=20%,x2=1.8(不合题意舍去)， 该方程无实数根。 (2800-x-2200)(10+2元)=6825.， 答：这种药品平均每次降价的百分率是20%. 答：不能围成面积为50m的花圃. 解这个方程，得=275，x2=75. 【变式1】解：(1)设该“阅读公园”这两个月 【变式1】解：(1)设AB=xm,则BC=40 .2800-275=2525,2800-75=2725 藏书的月平均增长率为x, -2x+2=(42-2.x)(m), .每台冰箱的定价应为2525或2725元. 根据题意，得5000(1十x)2=7200. 根据题意，得x(42一2x)=220, 【变式2】1818001025 5.x 解得1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题 整理，得x2一21x+110=0. 意，舍去)， 解得x1=10,x2=11. 〔课堂检测】 1.解：设每件童装应降价x元，根据题意， 答：该“阅读公园”这两个月藏书的月平均 当x=10时，42-2x=42一2×10=22； 增长率为20%. 当x=11时，42-2x=42-2×11=20. 得(40-x)(20+2x)=1200. (2)7200×(1十20%)=8640（册）， 答：当AB=10m,BC=22m或AB=11m, 解得x=10,x2=20. 答：预测到6月份该“阅读公园”的藏书量 BC=20m时，能围成一个面积为220m的 要使顾客得到实惠，∴x=20 是8640册. 羊圈 答：每件童装应降价20元 【例2】解：根据题意，得(16一x)(12一x) (2)羊圈的面积不能达到240m2,理由如 2.解：设涨价x元，根据题意，得 下：假设羊圈的面积能达到240m, (2+x)(200-20x)=640. =96,整理，得x2一28x十96=0. 解得x1=4,x2=24(不符合题意，舍去). 设AB=ym,则BC=40-2y+2=(42 解得x1=2,x2=6. 答：每件涨价2元或6元 答：道路的宽应为4m 2y)(m),根据题意，得y(42一2y)=240, 【变式21C 整理，得y2-21y十120=0. 3.y=1000-10x ,△=(-21)2-4×120=-39<0， 解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长 【课堂检测 原方程没有实数根..假设不成立 率为a,依题意，得150(1十a)2=216, 1.23(1-x)2=16 答：羊圈的面积不能达到240m. 解得a1=0.2=20%,a2=-2.2(不合 2.(16-x)(8-x)=105 【变式2】解：设运动时间为xs(0≤x≤6)， 题意，舍去)， 3.(1)100 PB=(12-2x)cm,CQ=(6-x)cm, 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%. (2)解：设二月份到四月份盈利的月平 (2)②依题意，得(x一30)[600一10(x 均增长率为x,根据题意，得100(1+ 依题意，得2(12-2x)(6-x)=16, 40)]=10000, x)2=121. 整理，得x2一12x十20=0， 整理，得x2一130x十4000=0， 解得=0.1=10%，x2=-2.1(舍去). 解得=2，x=10(不合题意，舍去). 解得x1=80,x2=50, 答：二月份到四月份盈利的月平均增长 答：当△PQC的面积等于16cm2时，运动 ,尽可能让顾客得到实惠， 率为10%. 时间为2s. .该品牌头盔的实际售价应定为50元