第07讲 开平方法、配方法解一元二次方程-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（北师大版）

第07讲 开平方法、配方法解一元二次方程 【北师大版】 ·模块一 开平方法解一元二次方程 ·模块二 配方法解一元二次方程 ·模块三 课后作业 模块一 开平方法解一元二次方程 开平方法解一元二次方程 一般地，对于形如x2=a(a≥0)得方程，根据平方根得定义可解得x1=, x2=. 【考点1 解形如x2=p（p≥0）的方程】 【例1.1】（2023八年级·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（     ） A． B．， C． D． 【例1.2】（2023八年级·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【例1.3】（2023八年级·贵州遵义·期末）关于x的方程的两个实数根为，，若a，b，c满足和，则方程的根是（    ） A．0 B．1， C．2， D．无法确定 【变式1.1】（2023八年级·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【变式1.2】（2023八年级·湖北黄冈·期末）关于x的一元二次方程有一个根是0，则a值为（    ） A．0 B．1或 C． D．1 【变式1.3】（2023八年级·福建福州·期末）若是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【考点2 解形如（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程】 【例2.1】（2023八年级·河北保定·期中）若，则等于（    ） A．4 B． C． D．或4 【例2.2】（2023八年级·江苏南京·期末）如图，数轴上点表示方程的两个根，它们在数轴上的对应点的位置可以是（    ） A． B． C． D． 【例2.3】（2023八年级·广西崇左·期末）已知关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个解是，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023八年级·江苏苏州·期末）解一元二次方程，四名同学分别得到下列四个答案，你认为正确的一个答案是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2.2】（2023八年级·广西百色·期中）下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2.3】（2023八年级·内蒙古赤峰·期末）根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（    ） A． B． C． D． 模块二 配方法解一元二次方程 配方法解一元二次方程： ①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1； ②移项——把常数项移项到等号的右边； ③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式； ④开方，即降次；⑤解一次方程。 【考点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 【例1.1】（2023八年级·山东烟台·期中）把关于的一元二次方程 配方，得 ，则 ． 【例1.2】（2023八年级·江苏常州·期末）如图，在用配方法解一元二次方程时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是、宽是x、面积是的矩形割补成一个正方形，则m的值是 ． 【例1.3】（2023八年级·江苏盐城·期末）已知关于的方程的左边是一个完全平方式，则的值为 ． 【变式1.1】（2023八年级·四川眉山·期末）用配方法解方程，配方后所得方程是 ． 【变式1.2】（2023八年级·甘肃庆阳·期中）把一元二次方程配方，需在方程两边都加上 ． 【变式1.3】（2023八年级·安徽淮北·期末）一元二次方程，其中较大的一个根为，下列最接近的范围是（    ） A． B． C． D． 【考点2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 【例2.1】（2023八年级·安徽滁州·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023八年级·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2) 【例2.3】（2023八年级·河南信阳·期末）下列配方有错误的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【变式2.1】（2023八年级·广东中山·期中）用配方法解方程： 【变式2.2】（2023·江西景德镇·八年级·期末）小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： (1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【变式2.3】（2023八年级·福建泉州·期中）已知实数满足，则 ． 【考点3 配方法的应用】 【例3.1】（2023八年级·四川眉山·期中）已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 【例3.2】（2023八年级·江苏苏州·期末）已知，则的值是 ． 【例3.3】（2023八年级·内蒙古赤峰·期末）仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方式 以及的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用．比如：已知满足，求的值．我们可以这样处理： 解：∵（拆项）， ∴， ∴（配方）， 又∵， ∴，， ∴ 上面主要是采用了拆项后配成完全平方式的方法，再利用非负数的性 质来解决问题． 请利用拆项配方解题思路，解答下列问题： (1)若，则___________ ， ___________ ； (2)已知满足，求，的值； (3)直接写出的最大值． 【变式3.1】（2023八年级·江苏无锡·期中）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：（1）可以运算，例如：，则 ；（2）方程的两根为 ．（根用表示）． 【变式3.2】（2023八年级·上海松江·期中）已知，则 ． 【变式3.3】（2023八年级·安徽·开学考试）已知与互为倒数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 模块三 课后作业 1．（2023·贵州贵阳·八年级·期末）已知关于一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．或 2．（2023·河南南阳·八年级·期末）若一元二次方程的两个根分别是和，则的值是（   ） A．2 B．3 C． D． 3．（2023八年级·山东滨州·期中）若把方程的左边配成完全平方的形式，则下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023·广东深圳·三模）将方程化成（m、n为常数）的形式，则m、n的值分别为（    ） A． B． C． D． 5．（2023八年级·安徽淮北·期末）用配方法解方程，应把它先变形为（    ） A． B． C． D． 6．（2023八年级·贵州毕节·期末）若关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值是（　　） A．4或 B．0 C．4 D． 7．（2023八年级·安徽·专题练习）方程的一个较小的根为 ． 8．（2023八年级·内蒙古赤峰·期中）若方程能配方成的形式，则直线不经过的象限是 ． 9．（2023八年级·广东广州·期中）已知多项式，若无论取何实数，的值都不是负数，则的取值范围是 ． 10．（2023八年级·广东广州·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的最小值为 ． 11．（2023八年级·广东东莞·期末）解方程：． 12．（2023·江苏盐城·三模）解方程： 13．（2023八年级·陕西西安·期末）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 14．（2023·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题： 解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步） (1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的． (2)请写出此题正确的解答过程． 15．（2023八年级·山东淄博·期中）小李大学毕业后积极自主创业，在网上创办了一个微店，销售一款节能灯，该灯成本是40元/盏．通过调研发现，若按50元/盏销售，一个月可售500盏；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盏． (1)写出月销售量m（盏）与销售单价x（元/盏）之间的函数关系式； (2)若想让节能灯的月销售利润达到8000元，且尽快减少库存，则节能灯销售单价应定为多少元？ (3)在数学问题解决中，借助“配方”的方法可以求某些代数式的最大值，例如： ． ∵， ∴， ∴当时，的最大值为， 即代数式的最大值为，此时． 请利用题中的条件，结合上述代数式的“配方”的方法，求出这种节能灯的销售单价定为多少元时，月销售利润能获得最大值？最大利润是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 开平方法、配方法解一元二次方程 【北师大版】 ·模块一 开平方法解一元二次方程 ·模块二 配方法解一元二次方程 ·模块三 课后作业 模块一 开平方法解一元二次方程 开平方法解一元二次方程 一般地，对于形如x2=a(a≥0)得方程，根据平方根得定义可解得x1=, x2=. 【考点1 解形如x2=p（p≥0）的方程】 【例1.1】（2023八年级·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（     ） A． B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程．利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ，， 故选：B 【例1.2】（2023八年级·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【例1.3】（2023八年级·贵州遵义·期末）关于x的方程的两个实数根为，，若a，b，c满足和，则方程的根是（    ） A．0 B．1， C．2， D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据和得到，进而得到，则原方程为，据此解方程即可得到答案． 【详解】解：∵和， ∴， ∴， ∴， ∴原方程为， ∴， 解得， 故选：B 【变式1.1】（2023八年级·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【答案】D 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，由移项得，再两边同时除以，可得，再根据偶次幂的非负性可得异号，解题的关键是把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． 【详解】解：， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴为异号， 故选：． 【变式1.2】（2023八年级·湖北黄冈·期末）关于x的一元二次方程有一个根是0，则a值为（    ） A．0 B．1或 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，方程的解及解一元二次方程． 根据一元二次方程的定义可得，再把代入方程，解关于a的方程即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有一个根是0， ∴， 解得：． 故选：D 【变式1.3】（2023八年级·福建福州·期末）若是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，把代入方程求出，再解一元二次方程即可求解，掌握一元二次方程根的定义和解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， ∴一元二次方程为， ∴， ∴，， ∴这个方程的另一个根是， 故选：． 【考点2 解形如（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程】 【例2.1】（2023八年级·河北保定·期中）若，则等于（    ） A．4 B． C． D．或4 【答案】D 【分析】用直接开方法求解即可， 本题考查了，直接开方法解一元二次方程，解题的关键是：熟练掌握直接开方法． 【详解】解：∵ ∴ ∴或， ∴或， 故选：． 【例2.2】（2023八年级·江苏南京·期末）如图，数轴上点表示方程的两个根，它们在数轴上的对应点的位置可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，用数轴表示实数，先求出方程的两个根，再根据根的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴它们在数轴上的对应点的位置可以是D； 故选D． 【例2.3】（2023八年级·广西崇左·期末）已知关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个解是，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，先运用得出，同理，得的解为，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴则方程的解是 故选：D 【变式2.1】（2023八年级·江苏苏州·期末）解一元二次方程，四名同学分别得到下列四个答案，你认为正确的一个答案是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用直接开平方法解方程即得答案. 【详解】解：∵， ∴， 解得：，； 故选：C. 【点睛】本题考查了利用直接开平方法解方程，属于基础题，掌握求解的方法是关键. 【变式2.2】（2023八年级·广西百色·期中）下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据解一元二次方程的一般步骤即可求解，熟练掌握运算方法是解题的关键． 【详解】解：，即：， 开方，得：， 则计算步骤最先出错的是甲， 故选A． 【变式2.3】（2023八年级·内蒙古赤峰·期末）根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形中有关数字的变化规律，每个图形中，左边三角形上的数字即为图形的序数，右边三角形上的数字为，下面三角形上的数字，先把代入求出的值，能准确观察到相关规律是解题的关键． 【详解】解：通过观察可得规律：，， ∵， ∴，解得：或（舍去）， 故选：． 模块二 配方法解一元二次方程 配方法解一元二次方程： ①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1； ②移项——把常数项移项到等号的右边； ③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式； ④开方，即降次；⑤解一次方程。 【考点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 【例1.1】（2023八年级·山东烟台·期中）把关于的一元二次方程 配方，得 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数8的一半的平方得，进而得出，即可求解． 【详解】解： 配方，得 ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【例1.2】（2023八年级·江苏常州·期末）如图，在用配方法解一元二次方程时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是、宽是x、面积是的矩形割补成一个正方形，则m的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是解一元二次方程，用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为：3． 【例1.3】（2023八年级·江苏盐城·期末）已知关于的方程的左边是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，根据题意，可得，解方程即可求解，掌握完全平方和（差）公式的形式及变形是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 当时，， ∴，整理得，，符合题意； 当时，， ∴，整理得，，符合题意； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【变式1.1】（2023八年级·四川眉山·期末）用配方法解方程，配方后所得方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先将常数项移到方程右边，再在两边同时加减一次项系数一半的平方，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【变式1.2】（2023八年级·甘肃庆阳·期中）把一元二次方程配方，需在方程两边都加上 ． 【答案】9 【分析】根据配方法的定义，需加一次项系数一半的平方，本题主要考查解一元二次方程的配方法． 【详解】解：一元二次方程配方，需在方程两边都加上， 故答案为：9． 【变式1.3】（2023八年级·安徽淮北·期末）一元二次方程，其中较大的一个根为，下列最接近的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用配方法解一元二次方程求得，再根据，即可求解． 【详解】解：， ∴， 配方得，， ∴， ∵较大的一个根为， ∴， ∵， ∴，即， 故选：A． 【考点2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 【例2.1】（2023八年级·安徽滁州·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A． 【例2.2】（2023八年级·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ， ． 【例2.3】（2023八年级·河南信阳·期末）下列配方有错误的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【答案】D 【分析】根据配方法的一般步骤对各选项进行判断． 【详解】解：A、由可化为，所以A选项的计算正确，不合题意； B、由可化为，所以B选项的计算正确，不合题意； C、先化为，则可化为，所以C选项的计算正确，不合题意； D、先化为，则可化为，所以D选项的计算错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法，熟练掌握配方法是解题关键． 【变式2.1】（2023八年级·广东中山·期中）用配方法解方程： 【答案】，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．直接根据配方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 配方得，即， ∴， ∴，． 【变式2.2】（2023·江西景德镇·八年级·期末）小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： (1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【答案】(1)二 (2)， 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． （1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，二次项系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：上述过程中，从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解：， 移项，得， ， 配方，得，即， ∴， ∴，． 【变式2.3】（2023八年级·福建泉州·期中）已知实数满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．运用整体的思想是解题的关键． 由，整理得，即，然后求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴，整理得， ∴， 解得，， 故答案为：2 【考点3 配方法的应用】 【例3.1】（2023八年级·四川眉山·期中）已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 【答案】B 【分析】判断、的大小关系，把进行整理，判断结果的符号可得、的大小关系．考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大． 【详解】解：， ，， ， ， 故选：B 【例3.2】（2023八年级·江苏苏州·期末）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】把已知条件式相加得到，利用非负数的性质求出a、b、c的值即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：0． 【点睛】 本题主要考查了配方法的应用，正确根据已知条件式推出是解题的关键． 【例3.3】（2023八年级·内蒙古赤峰·期末）仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方式 以及的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用．比如：已知满足，求的值．我们可以这样处理： 解：∵（拆项）， ∴， ∴（配方）， 又∵， ∴，， ∴ 上面主要是采用了拆项后配成完全平方式的方法，再利用非负数的性 质来解决问题． 请利用拆项配方解题思路，解答下列问题： (1)若，则___________ ， ___________ ； (2)已知满足，求，的值； (3)直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值 【分析】本题主要考查了配方法，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． （1）先将条件配方成，根据完全平方式的非负性即可解答； （2）先将条件配方成，根据完全平方式的非负性即可解答； （3）先将代数式配方成完全平方式，即可求出最大值． 【详解】（1）解：∵（拆项）， ∴， ∴（配方）， 又∵， ∴，， ∴． 故答案为：． （2）∵（拆项）， ∴， ∴（配方）， 又∵， ∴，， ∴． （3）解：∵， ∴的最大值为5． 【变式3.1】（2023八年级·江苏无锡·期中）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：（1）可以运算，例如：，则 ；（2）方程的两根为 ．（根用表示）． 【答案】 ， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，实数的运算， （1）利用同底数幂的乘法法则和材料中的方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程—配方法即可解答； 准确熟练地进行计算及掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ∴，， 故答案为：，． 【变式3.2】（2023八年级·上海松江·期中）已知，则 ． 【答案】2 【分析】设，可得，再解方程并结合非负数的性质即可求解． 【详解】解：设， 则， 整理得，， 配方得，， 即， 开平方得，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：2． 【变式3.3】（2023八年级·安徽·开学考试）已知与互为倒数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，配方法的应用，由倒数的定义可得，进而得到，把代入，配方可得，再根据非负数的即可求出的最小值，由倒数的定义得到是解题的关键． 【详解】解：∵与互为倒数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 模块三 课后作业 1．（2023·贵州贵阳·八年级·期末）已知关于一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，运用直接开平方法解方程，即可作答． 【详解】解： ∴或 故选：D 2．（2023·河南南阳·八年级·期末）若一元二次方程的两个根分别是和，则的值是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键．根据题意，易得，，首先利用直接开平方法求得方程的根为；分析可得该方程的两根互为相反数，根据相反数的性质可得，解方程即可求出的值；将的值代入、，即可得到方程的根，由即可求解． 【详解】 解：由题意得，． 两边同时除以得， 直接开平方得． 方程的两个根互为相反数， ， ． 将代入与中，可得的两个根分别是2与． 又， ， ． 故选：A． 3．（2023八年级·山东滨州·期中）若把方程的左边配成完全平方的形式，则下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解； ， 故选：B． 4．（2023·广东深圳·三模）将方程化成（m、n为常数）的形式，则m、n的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目中的方程利用配方法即可求出，本题考查解一元二次方程，配方法的应用，解题的关键是会用配方法解方程． 【详解】 故选：A． 5．（2023八年级·安徽淮北·期末）用配方法解方程，应把它先变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，涉及完全平方差公式、等式性质等知识，由配方法，利用完全平方差公式恒等变形即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 二次项系数化为1得， 移常数项得， 配方得， ，即， 故选：A． 6．（2023八年级·贵州毕节·期末）若关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值是（　　） A．4或 B．0 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义可得，即，再由常数项是0，可得，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项是0， ∴，， ∴， 故选：C． 7．（2023八年级·安徽·专题练习）方程的一个较小的根为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元二次方程通过直接开平方法解得，则易求该方程的两个根，通过比较即可知该方程的较小的根为． 【详解】解：由原方程，得 ， 解得，，． ，即 ，即方程的一个较小的根为． 故答案为：． 8．（2023八年级·内蒙古赤峰·期中）若方程能配方成的形式，则直线不经过的象限是 ． 【答案】第二象限 【分析】本题考查了解一元二次方程和一次函数的图象与系数的关系，先配方，求出、的值，再根据一次函数的图象与系数的关系得出即可． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴直线为， ∵ ∴图象不经过第二象限， 故答案为：第二象限． 9．（2023八年级·广东广州·期中）已知多项式，若无论取何实数，的值都不是负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解． 【详解】解： ∵无论取何实数，的值都不是负数， ∴ ∴， 故答案为：． 10．（2023八年级·广东广州·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将一元二次方程变形，用含的式子表示的值，再将带入方程，表示出的值，最后运用配方法即可求解． 【详解】解：一元二次方程， ∴， ∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的运用，配方法求最值的方法，掌握以上知识是解题的关键． 11．（2023八年级·广东东莞·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，直接用开平方法求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 12．（2023·江苏盐城·三模）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：配方得，即， 开方得， ， ∴，． 13．（2023八年级·陕西西安·期末）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）3，3 （2）1， （3），，最小值是10 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可． 【详解】（1） 当时，多项式取最小值，且最小值为3； 故答案为：3，3 （2） 当时，多项式取最大值，且最大值为； 故答案为：1，； （3） ， 当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为． ，，最小值是10． 14．（2023·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题： 解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步） (1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的． (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)配方；三 (2)， 【分析】（1）根据配方法解答即可． （2）根据配方法的基本步骤规范解答即可． 本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方法解方程是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，这种解方程的方法是配方法，配方时，在第三步时出现错误， 故答案为：配方法，第三步． （2）原方程可变形为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 15．（2023八年级·山东淄博·期中）小李大学毕业后积极自主创业，在网上创办了一个微店，销售一款节能灯，该灯成本是40元/盏．通过调研发现，若按50元/盏销售，一个月可售500盏；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盏． (1)写出月销售量m（盏）与销售单价x（元/盏）之间的函数关系式； (2)若想让节能灯的月销售利润达到8000元，且尽快减少库存，则节能灯销售单价应定为多少元？ (3)在数学问题解决中，借助“配方”的方法可以求某些代数式的最大值，例如： ． ∵， ∴， ∴当时，的最大值为， 即代数式的最大值为，此时． 请利用题中的条件，结合上述代数式的“配方”的方法，求出这种节能灯的销售单价定为多少元时，月销售利润能获得最大值？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)60元 (3)销售单价定为70元时，月销售能获得最大利润9000元 【分析】本题考查一元二次方程和配方法的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据销售单价每涨1元，月销售量就减少10盏，列式即可； （2）根据节能灯的月销售利润达到8000元，列出方程解答即可； （3）写出月销售利润关系式：，仿照题目中的配方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得：， 解得：或（舍）， ∴节能灯销售单价应定为60元． （3）解：月销售利润： ， ∴， ∴ ∴当时，的最大值为9000． ∴销售单价定为70元时，月销售能获得最大利润9000元． 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