第06讲 一元二次方程、因式分解法解一元二次方程-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（北师大版）

第06讲 一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【北师大版】 ·模块一 一元二次方程 ·模块二 因式分解法解一元二次方程 ·模块三 课后作业 模块一 一元二次方程 1. 一元二次方程的定义 等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）得方程，叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。 3. 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程得解，也叫做一元二次方程得根。方程得解得定义就是解方程过程中验根得依据。 【考点1 一元二次方程的概念】 【例1.1】（2023·九年级·浙江绍兴·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023·九年级·福建泉州·期末）写出一个关于的二次方程，这个方程可以是 . 【例1.3】（2023·九年级·湖北武汉·期末）已知方程，当 时，是关于x的一元二次方程． 【变式1.1】（2023·九年级·云南保山·期末）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·九年级·河南信阳·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【变式1.3】（2023·九年级·福建厦门·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则“”可以是（   ） A． B． C． D． 【考点2 一元二次方程的一般形式及项和系数】 【例2.1】（2023·九年级·福建莆田·期末）将一元二次方程化成一般形式为 ． 【例2.2】（2023·九年级·广东广州·期末）填表： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 【例2.3】（2023·九年级·湖南长沙·期末）若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（    ） A．5 B．3 C． D． 【变式2.1】（2023·九年级·湖北宜昌·期末）已知方程的一次项系数是，则其常数项是 【变式2.2】（2023·九年级·重庆开州·期末）已知关于x的一元二次方程，若一次项系数与常数项相等，则a的值为 ． 【变式2.3】（2023·九年级·福建厦门·期末）若将一元二次方程化成一般式为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【考点3 一元二次方程的根的意义】 【例3.1】（2023·九年级·河南周口·期末）若关于x的一元二次方程的一个根为，则 ． 【例3.2】（2023·九年级·黑龙江哈尔滨·期末）表格是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的解是（    ） 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 【例3.3】（2023·九年级·云南保山·期末）（1）判断下列未知数的值是不是方程2x2+x-1=0的根. x1=-1，x2=1，x3=. （2）已知m是方程x2-x-2=0的一个根，求代数式m2-m的值. 【变式3.1】（2023·九年级·广东广州·期末）若是方程的解，则的值为 ． 【变式3.2】（2023·九年级·重庆开州·期末）若关于的一元二次方程的一个解与方程的解相同，则的值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D． 【变式3.3】（2023·九年级·福建厦门·期末）已知方程和有共同的根是，求的值． 模块二 因式分解法解一元二次方程 因式分解法解一元二次方程： ①移项，将所有得项都移到左边，右边化为0； ②把方程得左边分解成两个因式得积，可用得方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式； ③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④解一次方程。 【考点1 用提公因式法进行因式分解解一元二次方程】 【例1.1】（2023·九年级·浙江绍兴·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D． 【例1.2】（2023·九年级·福建泉州·期末）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 步开始出错．（填序号） 解方程： 解：…① …② …③ 【例1.3】（2023·九年级·湖北武汉·期末）解方程：． 【变式1.1】（2023·九年级·云南保山·期末）一元二次方程的较小的根是 ． 【变式1.2】（2023·九年级·河南信阳·期末）小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得，． (1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步； (2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项． 【变式1.3】（2023·九年级·福建厦门·期末）解方程：． 【考点2 用乘法公式进行因式分解解一元二次方程】 【例2.1】（2023·九年级·福建莆田·期末）一元二次方程的解是________________． 【例2.2】（2023·九年级·广东广州·期末）用因式分解法解一元二次方程时，需要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是 . 【例2.3】（2023·九年级·湖南长沙·期末）三角形两边长分别是3和4，第三边长是的一个实数根，则该三角形的面积是 ． 【变式2.1】（2023·九年级·湖北宜昌·期末）（因式分解法） 【变式2.2】（2023·九年级·重庆开州·期末）用因式分解法解方程：． 【变式2.3】（2023·九年级·福建厦门·期末）对于实数，，定义运算“◎”如下：．若，则 ． 【考点3 用十字相乘法进行因式分解解一元二次方程】 【例3.1】（2023·九年级·河南周口·期末）以下是解一元二次方程的一种方法：二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把排列为： 然后按斜线交叉相乘，再相加，得到，若此时满足，那么就可以因式分解为，这种方法叫做“十字相乘法”．那么按照“十字相乘法”可因式分解为（  ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023·九年级·黑龙江哈尔滨·期末）对于实数，，定义运算“”如下：，例如，，若，则的值为 ． 【例3.3】（2023·九年级·云南保山·期末）已知．当_____________时，与相等． 【变式3.1】（2023·九年级·广东广州·期末）解方程：，解为： ． 【变式3.2】（2023·九年级·重庆开州·期末）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．1或3 D．0 【变式3.3】（2023·九年级·福建厦门·期末）如图，数轴上点代表的数字为，点代表的数字为，已知，且点在数轴的负半轴上，则的值为 ． 模块三 课后作业 1．（2023·九年级·广西百色·期中）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·九年级·河北保定·期末）关于x的一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D． 3．（2023·九年级·云南昭通·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B．3，2，4 C． D． 4．（2023·九年级·重庆南川·期末）若关于x的一元二次方程有一个根为，则代数式的值为（   ） A． B．4 C．10 D．12 5．（2023·九年级·四川宜宾·期中）已知关于x的一元二次方程的两根分别为，则方程可化为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·九年级·甘肃陇南·期中）关于x一元二次方程的一个根为1，p=（  ） A．4 B．0或2 C．1 D．-1 7．（2023·九年级·河南洛阳·期中）请写出一个未知数为，常数项为0．且它的一个根为2的一元二次方程 ． 8．（2023·九年级·全国·课后作业）若关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的和为0，则的值是 ． 9．（2023·九年级·河南商丘·期中）若平行四边形的对角线、的长，分别为一元二次方程两根，则平行四边形为 ． 10．（2023·九年级·内蒙古·期末）若关于的方程和的解完全相同，则的值为 ． 11．（2023··广东深圳·九年级期末）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ． 12．（2023·九年级·九年级期末）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 13．（2023·九年级·安徽合肥·期中）解方程： (1)； (2)． 14．（2023·九年级·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程，若方程的一个根是，求另一个根及值． 15．（2023·九年级·广西崇左·期中）把一元二次方程按如下要求计算： (1)化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (2)求这个一元二次方程的解． 16．（2023·九年级·天津·期中）解方程 （1） （2） （3）已知关于的一元二次方程的常数项为，求方程的根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【北师大版】 ·模块一 一元二次方程 ·模块二 因式分解法解一元二次方程 ·模块三 课后作业 模块一 一元二次方程 1. 一元二次方程的定义 等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）得方程，叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。 3. 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程得解，也叫做一元二次方程得根。方程得解得定义就是解方程过程中验根得依据。 【考点1 一元二次方程的概念】 【例1.1】（2023·九年级·浙江绍兴·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，是一元三次方程，故本选项不符合题意； B、此方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、，是二元二次方程，故本选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 【例1.2】（2023·九年级·福建泉州·期末）写出一个关于的二次方程，这个方程可以是 . 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题考查了方程的次数的定义，掌握定义是关键．根据一元二次方程定义写出即可．只含有未知数的一项和非零的常数项的一元方程，一般形式是（a、b 是不为0的常数）． 【详解】解：二次方程可以是 (答案不唯一)． 故答案为： (答案不唯一)． 【例1.3】（2023·九年级·湖北武汉·期末）已知方程，当 时，是关于x的一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程：据此列式代数计算，即可作答． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程． ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1.1】（2023·九年级·云南保山·期末）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，不符合题意； B、，当时，则不是关于x的一元二次方程，不符合题意； C、不是整式方程，则不是关于x的一元二次方程，不符合题意； D、满足一元二次方程的定义，符合题意； 故选：D． 【变式1.2】（2023·九年级·河南信阳·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到关于a的不等式，解之即可. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴的系数不为0，即， ∴， 故选：A. 【变式1.3】（2023·九年级·福建厦门·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则“”可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案： 【详解】A、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、，是一元二次方程，故此选项符合题意；     D、，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 【考点2 一元二次方程的一般形式及项和系数】 【例2.1】（2023·九年级·福建莆田·期末）将一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，首先移项，合并同类项，化为一般式即可． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得，即， 故答案为：． 【例2.2】（2023·九年级·广东广州·期末）填表： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 【答案】见解析 【分析】根据一元二次方程的一般形式：，进行填写即可． 【详解】解： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 1 2 0 0 0 3 9 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握：，其中，分别为二次项系数，一次项系数，常数项，是解题的关键． 【例2.3】（2023·九年级·湖南长沙·期末）若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为，把原方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式，进而求出a的值，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1， ， 解得：， ， 则该方程中的一次项系数为5， 故选A． 【变式2.1】（2023·九年级·湖北宜昌·期末）已知方程的一次项系数是，则其常数项是 【答案】1 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确掌握各项系数确定方法是解题关键．直接利用一元二次方程各项系数确定方法得出答案． 【详解】解：方程的一次项系数是，则其常数项是1， 故答案为：1 【变式2.2】（2023·九年级·重庆开州·期末）已知关于x的一元二次方程，若一次项系数与常数项相等，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此解答即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程，一次项系数与常数项相等， ， 解得：， 故答案为：1． 【变式2.3】（2023·九年级·福建厦门·期末）若将一元二次方程化成一般式为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式得出一次项系数和常数项即可．熟知一元二次方程的一般形式各项的系数是关键． 【详解】解： ∵一元二次方程化成一般式为， 故选：A． 【考点3 一元二次方程的根的意义】 【例3.1】（2023·九年级·河南周口·期末）若关于x的一元二次方程的一个根为，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入原方程即可解出a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴将将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：3． 【例3.2】（2023·九年级·黑龙江哈尔滨·期末）表格是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的解是（    ） 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据方程的解就是代数式的值为2对应的x的值求解即可． 【详解】解：由表可知，代数式的值为2对应的x值为－1和2， ∴方程的解为或， 故答案为：D． 【点睛】本题考查方程的解，理解方程的解，能从表格中找到代数式对应的x值是解答的关键． 【例3.3】（2023·九年级·云南保山·期末）（1）判断下列未知数的值是不是方程2x2+x-1=0的根. x1=-1，x2=1，x3=. （2）已知m是方程x2-x-2=0的一个根，求代数式m2-m的值. 【答案】（1）x1=-1和x3=是方程的根；（2）2. 【分析】（1）利用方程解的定义找到相等关系．即将未知数分别代入方程式看是否成立． （2）一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2-m的值． 【详解】解：（1）当x1=-1时，2x2+x-1=2-1-1=0，所以x1=-11是方程2x2+x-1=0的解； 当x2=1时， 2x2+x-1=2+1-1=2，所以x2=1不是方程2x2+x-1=0的解； 当x3=.时，2x2+x-1=+-1=0，所以x3=.是方程2x2+x-1=0的解. （2）把x=m代入方程x2-x-2=0可得：m2-m-2=0， 即m2-m=2， 故m2-m的值为2． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，解题关键是熟记定义． 【变式3.1】（2023·九年级·广东广州·期末）若是方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及求代数式的值，先把代入得，然后利用整体代入求值即可，正确理解一元二次方程的解，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴原式， 故答案为：． 【变式3.2】（2023·九年级·重庆开州·期末）若关于的一元二次方程的一个解与方程的解相同，则的值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解的概念先解一元一次方程得出，利用一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算． 【详解】解： 解得： 把代入方程得， ， 所以， 所以． 故选：B 【变式3.3】（2023·九年级·福建厦门·期末）已知方程和有共同的根是，求的值． 【答案】 【分析】把共同的根代入方程和中，解二元一次方程组，求出和的值即可． 【详解】解：将代入和，得： ， ①②，得： ， 解得：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程及一元二次方程的解的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值，代入公共根，解方程组求出待定系数的值． 模块二 因式分解法解一元二次方程 因式分解法解一元二次方程： ①移项，将所有得项都移到左边，右边化为0； ②把方程得左边分解成两个因式得积，可用得方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式； ③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④解一次方程。 【考点1 用提公因式法进行因式分解解一元二次方程】 【例1.1】（2023·九年级·浙江绍兴·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键在于提取公因数以及正确计算． 【详解】解： 解得： 故选：B． 【例1.2】（2023·九年级·福建泉州·期末）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 步开始出错．（填序号） 解方程： 解：…① …② …③ 【答案】② 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法求解即可得出答案． 【详解】解：， ，， 故答案为：②． 【例1.3】（2023·九年级·湖北武汉·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】利用因式分解法求解． 【详解】解：， ， ， ，即， 或， 解得，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． 【变式1.1】（2023·九年级·云南保山·期末）一元二次方程的较小的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法—因式分解法，由的形式可得或，即可求解；能根据方程的不同形式选择恰当的方法是解题的关键． 【详解】解：， 或， ，， 较小的根为； 故答案：． 【变式1.2】（2023·九年级·河南信阳·期末）小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得，． (1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步； (2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项． 【答案】(1)1，2 (2)正确的解法见解析，，．注意事项：移项时要注意改变符号，或(除数不能为0) 【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案； （2）利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：小涵的解法中，因为可能为0， 所以不能两边同时除以，即第一次出错错在第1步； 小彤的解法中，第1步移项没错， 第2步提取公因式后有一项忘记变号，即第一次出错错在第2步； 故答案为：1；2； （2）解：正确的解法是：， 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得， 注意事项：在利用因式分解法解一元二次方程时，注意把方程一边的多项式正确因式分解． 【变式1.3】（2023·九年级·福建厦门·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解： ( ∴或， 解得：，． 【考点2 用乘法公式进行因式分解解一元二次方程】 【例2.1】（2023·九年级·福建莆田·期末）一元二次方程的解是________________． 【答案】 【分析】利用因式分解法即可求解． 【详解】 即：， 解为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了采用因式分解法解一元二次方程的知识，掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 【例2.2】（2023·九年级·广东广州·期末）用因式分解法解一元二次方程时，需要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是 . 【答案】 【分析】首先将方程转化形式，然后直接运用平方差公式进行因式分解，即可得解. 【详解】根据题意，得 故答案为. 【点睛】此题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握，即可解题. 【例2.3】（2023·九年级·湖南长沙·期末）三角形两边长分别是3和4，第三边长是的一个实数根，则该三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】先解一元二次方程得到三角形的第三边长，再构建图形，如图，过作于 利用勾股定理求解三角形的高即可得到答案. 【详解】解： 如图，中， 过作于 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握构建直角三角形求解三角形的高是解题的关键. 【变式2.1】（2023·九年级·湖北宜昌·期末）（因式分解法） 【答案】 【分析】将看作一个整体，利用因式分解法，解一元二次方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解题的关键． 【变式2.2】（2023·九年级·重庆开州·期末）用因式分解法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程的知识，采用因式分解法计算即可． 【详解】 移项，得， 因式分解，得， 即， 所以，， 解得，． 【变式2.3】（2023·九年级·福建厦门·期末）对于实数，，定义运算“◎”如下：．若，则 ． 【答案】或3 【分析】利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．即可得到答案． 【详解】根据题意得：， ， ， 或 所以，． 故填：或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【考点3 用十字相乘法进行因式分解解一元二次方程】 【例3.1】（2023·九年级·河南周口·期末）以下是解一元二次方程的一种方法：二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把排列为： 然后按斜线交叉相乘，再相加，得到，若此时满足，那么就可以因式分解为，这种方法叫做“十字相乘法”．那么按照“十字相乘法”可因式分解为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出即可． 【详解】∵ ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键． 【例3.2】（2023·九年级·黑龙江哈尔滨·期末）对于实数，，定义运算“”如下：，例如，，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据新运算列方程并解方程即可． 【详解】由题意可得， 整理得，， 解得，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握定义的新运算列方程，解方程，是解决问题的关键． 【例3.3】（2023·九年级·云南保山·期末）已知．当_____________时，与相等． 【答案】或 【分析】由得出关于x的一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：由得：， 即， ， 或， 解得：，， ∴当x=-5或3时，与相等． 故答案为：-5或3． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． 【变式3.1】（2023·九年级·广东广州·期末）解方程：，解为： ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据因式分解法，解一元二次方程即可． 【详解】解：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 【变式3.2】（2023·九年级·重庆开州·期末）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．1或3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，解一元二次方程；掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解本题的关键． 常数项为零即，求解得出m的值；根据二次项系数不等于0，即可求得m的值． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：， 即m的值为3， 故选：B． 【变式3.3】（2023·九年级·福建厦门·期末）如图，数轴上点代表的数字为，点代表的数字为，已知，且点在数轴的负半轴上，则的值为 ． 【答案】 【分析】先利用数轴上两点之间的距离的求法得到，再把方程化为一般式，接着再用因式分解法把方程转化为或，然后再解两个一次方程． 【详解】解：根据题意得， 整理得， ， 或， 所以，， 将代入中，得出为9， 因点在数轴的负半轴上，故（舍去）； 将，代入中，得出为， 点在数轴的负半轴上，故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的因式分解法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，也考查了数轴． 模块三 课后作业 1．（2023·九年级·广西百色·期中）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解答本题的关键，“方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程．”根据一元二次方程的定义，逐项判断即可． 【详解】A．是一元二次方程，符合题意； B ．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C ．，当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； D． 化简得，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：A． 2．（2023·九年级·河北保定·期末）关于x的一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】C 【分析】根据因式分解法计算即可． 【详解】解： 由此可得：或， 即，． 故选：C 【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键在算出两个关于的一元一次方程的解． 3．（2023·九年级·云南昭通·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B．3，2，4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，把方程化为一般式是解题的关键． 先把方程化为一般式，再根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义即可解答． 【详解】解：把一元二次方程化为一般式为：， ∴二次项系数是3，一次项系数、常数项． 故选：A． 4．（2023·九年级·重庆南川·期末）若关于x的一元二次方程有一个根为，则代数式的值为（   ） A． B．4 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，即可求解． 【详解】解：∵方程有一个根为， ∴， ∴． 故选：A． 5．（2023·九年级·四川宜宾·期中）已知关于x的一元二次方程的两根分别为，则方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可进行解答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为， ∴方程化为． 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 6．（2023·九年级·甘肃陇南·期中）关于x一元二次方程的一个根为1，p=（  ） A．4 B．0或2 C．1 D．-1 【答案】C 【详解】∵将x=1代入原方可得p2﹣2p+1=0，解得p=1． 7．（2023·九年级·河南洛阳·期中）请写出一个未知数为，常数项为0．且它的一个根为2的一元二次方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意写出一个一元二次方程即可． 【详解】∵未知数为，常数项为0．且它的一个根为2， ∴方程可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义和解的含义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和解的含义． 8．（2023·九年级·全国·课后作业）若关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的和为0，则的值是 ． 【答案】1 【分析】二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，-2，-m+2．它们的和是0，即得到解方程求出m即可． 【详解】解：由题意可得，解得． 故答案为1. 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 9．（2023·九年级·河南商丘·期中）若平行四边形的对角线、的长，分别为一元二次方程两根，则平行四边形为 ． 【答案】矩形 【分析】解方程求得AC=BD=2，从而判断平行四边形ABCD为矩形． 【详解】解：平行四边形ABCD为矩形，理由如下： 解方程x2-4x+4=0得x1=x2=2， ∴AC=BD=2， ∵四边形ABCD为平行四边形，且AC=BD， ∴四边形ABCD为矩形． 故答案为：矩形． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，平行四边形的性质，矩形的判定，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． 10．（2023·九年级·内蒙古·期末）若关于的方程和的解完全相同，则的值为 ． 【答案】1 【分析】先分解因式，根据两方程的解相同即可得出答案． 【详解】解：， ， ∵关于x的方程和的解完全相同， ∴a=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确用因式分解法解方程是解此题的关键． 11．（2023··广东深圳·九年级期末）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程解的意义是解本题的关键．把代入一元二次方程中求出a的值，再根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得或， ∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴． ∴a的值为0． 故答案为：0． 12．（2023·九年级·九年级期末）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称． 【详解】（1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是； （2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是； （3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是； （4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号． 13．（2023·九年级·安徽合肥·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解来解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再提公因式，然后令每个因式为0，进行计算，即可作答． （2）运用十字相乘法进行因式分解，然后令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： 方程可化为， 或， 解得． （2）解：， 得， 或， 解得． 14．（2023·九年级·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程，若方程的一个根是，求另一个根及值． 【答案】另一个根是，的值是 【分析】把方程的一个根是代入一元二次方程可求出的值，再把的值代入即可求解另一个根． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴，解得，， ∴一元二次方程为， ∴，解得，， ∴另一个根是，的值是． 【点睛】本题主要考查根据一元二次方程的根求参数，求根，掌握根据方程的根求参数的方法，解一元二次方程的方法是解题的关键． 15．（2023·九年级·广西崇左·期中）把一元二次方程按如下要求计算： (1)化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (2)求这个一元二次方程的解． 【答案】(1)一般形式为：，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为0． (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，因式分解法解一元二次方程． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题． （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴一般形式为：，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为0． （2）由（1）知化为， ∴ ， ∴或， ∴，． 16．（2023·九年级·天津·期中）解方程 （1） （2） （3）已知关于的一元二次方程的常数项为，求方程的根． 【答案】（1）方程无解；（2）；（3） 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可得； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （3）先根据方程的常数项为0和一元二次方程的定义可求出的值，再代入，利用因式分解法解方程即可得． 【详解】解：（1）方程中的， 则此方程根的判别式为， 所以此方程无解； （2）， ， ， 或， 或， 即； （3）关于的一元二次方程的常数项为， ， 解得， 则方程为， ， 或， 或， 即． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$