2.1 简单时间的概率（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

2.1 简单事件的概率 【考点1 事件的分类】 【考点2 可能性大小】 【考点3 几何概率】 【考点4 用列举法求概率】 【考点5用频率估计概率】 【考点6概率的简单应用】 知识点1：事件类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③ 如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 【考点1 事件的分类】 【典例1】下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．抛一枚硬币正面向上 B．打开电视机正在播放广告 C．在一个没有红球的盒子里，摸到红球 D．任意画一个三角形，其内角和为 【变式1-1】下列事件是随机事件的是（   ） A．在标准大气压下，温度低于时冰融化 B．从只装有红球的袋中摸到1个红球 C．367人中至少有2人的生日相同 D．买一张电影票，座位号是奇数号 【变式1-2】下列语句所描述的事件为随机事件的是（    ） A．太阳从东方升起 B．没有水分，种子发芽 C．清明时节雨纷纷 D．两点确定一条直线 【变式1-3】下列事件中，说法正确的是（   ） A．“明天本地不会下雨”是必然事件 B．“从地面往上抛出的排球会下落”是随机事件 C．“抛掷一枚硬币，落地后反面朝上”是不可能事件 D．“汽车行驶到十字路口时恰好遇到红灯”是随机事件 知识点2：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2. 求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 【考点2 可能性大小】 【典例2】某路口红绿灯的时间设置如下：红灯秒，绿灯秒，黄灯秒．当出租车经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大（    ） A．红灯 B．绿灯 C．黄灯 D．不能确定 【变式2-1】下列成语所反映的事件中，发生的可能性最小的是（  ） A．水涨船高 B．守株待兔 C．瓜熟蒂落 D．水中捞月 【变式2-2】同时掷两个骰子，算点数之和．如果小芳选5、6、7、8、9五个数，而小明选2、3、4、10、11、12六个数，掷20次，（　　）赢的可能性大． A．小芳 B．小明 C．机会均等 D．无法判断 【变式2-3】从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．这张牌是“红桃” B．这张牌是“大王” C．这张牌是“A” D．这张牌的点数是8 【考点3 几何概率】 【典例3】一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是 ． 【变式3-1】如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ． 【变式3-2】一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是（　　）    A． B． C． D． 【变式3-3】“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图2是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是 ．    【考点4 用列举法求概率】 【典例4】经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白、红三种除颜色不同外其余都相同的球，其中白球3个，红球4个，且从中任意摸出一个球，是白球的概率为，若在这个不透明的纸盒中第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，则两次摸到的球颜色相同的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】生肖也称属相，是中国传统文化中的一种记年方式，是一种十二年一个循环的纪年系统，每年用一种动物来代表，是由十二地支演变而来的．小明手绘了“十二生肖”中的子鼠、丑牛、寅虎三种生肖卡，准备将其中的两张送给好朋友小亮．小明将它们洗匀后背面朝上放在桌面上（手绘生肖卡背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张生肖卡恰好是子鼠和丑牛的概率是 ． 【变式4-3】从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是 ． 知识点3：频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 【考点5用频率估计概率】 【典例5】数学课上，老师带领学生做“频率的稳定性”试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ）    A．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头” B．一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花 C．掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面 D．不透明的袋子中有4个红球和1个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球 【变式5-1】在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 【变式5-2】如图，是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（   ） A．当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的次数是620 B．当投掷第1000次时，“钉尖向上”的概率是0.620 C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于0.618，故可以估计其概率是0.618 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620 【变式5-2】某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下表： 移植总数（n） 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 由此表可以估计该种幼树移植成活的概率为 （结果精确到）． 知识点4：概率的简单应用 概率与人们生活密切相关，能帮助我们对许多事件作出判断和决策。 【考点6概率的简单应用】 【典例6】我省中小学积极开展综合实践活动，某校准备组织开展四项综合实践活动：“A．我是非遗小传人，B．学做家常餐，C．爱心义卖行动，D．找个岗位去体验”．为了解学生最喜爱哪项综合实践活动，随机抽取部分学生进行问卷调查（每位学生只能选择一项），将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息回答下列问题： (1)本次一共调查了______名学生，在扇形统计图中，m的值是______； (2)补全条形统计图； (3)现有最喜爱A，B，C，D活动项目的学生各一人，学校要从这四人中随机选取两人交流活动体会，请用列表或画树状图的方法求出恰好选取最喜爱C和D项目的两位学生的概率． 【变式6-1】“2023广州黄埔马拉松”比赛当天，某校玩转数学小组针对其中一个项目“半程马拉松”（21.0975公里）进行调查． (1)为估算本次参加“半程马拉松”的人数，调查如下： 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“半程马拉松”人数 7 17 31 58 150 参加“半程马拉松”频率 0.35 0.34 0.31 0.29 0.30 已知共有20000人参与“2023广州黄埔马拉松”比赛，请估算本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为______人； (2)本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了志愿者遴选，其中初中生2名，高中生1名，大学生1名，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取2名初中生志愿者的概率． 【变式6-2】小亮和小丽两位同学玩转转盘游戏，转盘上的数字如图所示，若转盘指针指向交界处则忽略不计，重新转动一次． (1)小亮先转一次转盘，则转到数字是3的倍数的概率为 ； (2)小亮转一次后，小丽再转一次，利用两人转出的数字之差的绝对值判断输赢，规定：若所得数值等于0，1，则小亮获胜，若所得数值等于2，3，4，则小丽获胜．请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平． 【变式6-3】某校道德与法治学科实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统；D．电动汽车；E．光伏产品”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： (1)实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人；最关注话题扇形统计图中的 ，话题D所在扇形的圆心角是 度； (2)将图中的最关注话题条形统计图补充完整； (3)实践小组进行专题讨论时，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统”中抽签（不放回）选一项进行发言．请利用树状图或表格，求出两个小组分别选择A，B话题发言的概率． 1．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．小明站在罚球线上投篮，未投中 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．任意画一个平行四边形，它的对角线互相平分 D．掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13 2．豫剧与京剧、越剧同为中国戏曲三鼎甲，已有上百年历史，可分为“祥符调、西府调、豫东调、沙河调、高调”五个流派．如果王林要选择其中一个流派进行调研，那么选“沙河调”的概率为（    ） A． B． C．1 D． 3．一个不透明的口袋里有1个红色小球，1个黄色小球，1个蓝色小球，这3个球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回口袋，摇匀后再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到黄色小球的概率是（    ） A． B． C． D． 4．如图，转盘中8个扇形的面积都相等，部分扇形涂了灰色和红色，其余部分为白色，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率为（    ） A． B． C． D． 5．某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（    ） A． B． C． D． 6．小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．同时抛掷两枚硬币，落地后两枚硬币正面都朝上 B．一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是3 D．一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球 7．如图，是由智力玩具七巧板的七块板拼成的正方形，其中1，2，3，5，7号板是等腰直角三角形，4号板是正方形，6号板是平行四边形．若随机向正方形上投掷一个米粒，那么米粒刚好停在7号板区域的概率是(    ) A． B． C． D． 8．豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，一张纸片上有一个不规则的图案(图中画图部分)，小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果)，她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 10．如图，转盘中黄色扇形的圆心角为，绿色扇形的圆心角为，现让转盘自由转动一次，则指针落在黄色区域的概率为 ．（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转） 11．一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中有3个红球，1个白球，从布袋中摸出1个球，则摸出红球的概率为 ． 12．在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球共60个，同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在左右，则袋中红球个数可能为 ． 13．如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小奵泡发光．现随机从A，B，C，D中抽取一个字母（每个字母被抽到的可能性相等）并闭合对应开关，则小灯泡发光的概率为 ． 14．学校为了解学生自主学习、合作交流的情况，对某班部分同学进行了一段时间的调查，并将调查结果（A：特别好；B ：好；C ：一般；D ：较差）绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)C类的人数是 ；D类的人数是 ；扇形统计图中，D类所占的圆心角的度数是 ； (2)学校准备从调查的A类（1名女生、2 名男生）和D类（男女生各占一半）中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率． 15．在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 简单时间的概率 【考点1 事件的分类】 【考点2 可能性大小】 【考点3 几何概率】 【考点4 用列举法求概率】 【考点5用频率估计概率】 【考点6概率的简单应用】 知识点1：事件类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③ 如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 【考点1 事件的分类】 【典例1】下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．抛一枚硬币正面向上 B．打开电视机正在播放广告 C．在一个没有红球的盒子里，摸到红球 D．任意画一个三角形，其内角和为 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件和必然事件，解题的关键是掌握一定会发生的是必然事件，有可能发生，也有可能不发生的是随机事件，据此逐个判断即可． 【详解】解：A、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意； B、打开电视，正在播放广告是随机事件，不符合题意； C、在一个没有红球的盒子里，摸到红球是不可能事件，不符合题意； D、任意一个三角形，其内角和为是必然事件，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】下列事件是随机事件的是（   ） A．在标准大气压下，温度低于时冰融化 B．从只装有红球的袋中摸到1个红球 C．367人中至少有2人的生日相同 D．买一张电影票，座位号是奇数号 【答案】D 【分析】此题考查了事件的分类，根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A．在标准大气压下，温度低于时冰融化，是不可能事件，故选项不符合题意； B．从只装有红球的袋中摸到1个红球，是必然事件，故选项不符合题意； C．367人中至少有2人的生日相同，是必然事件，故选项不符合题意； D．买一张电影票，座位号是奇数号，是随机事件，故选项符合题意． 故选：D． 【变式1-2】下列语句所描述的事件为随机事件的是（    ） A．太阳从东方升起 B．没有水分，种子发芽 C．清明时节雨纷纷 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】、太阳从东方升起是必然事件，此选项不符合题意； 、没有水分，种子发芽是不可能事件，此选项不符合题意； 、清明时节雨纷纷是随机事件，此选项符合题意； 、两点确定一条直线是必然事件，此选项不符合题意； 故选：． 【变式1-3】下列事件中，说法正确的是（   ） A．“明天本地不会下雨”是必然事件 B．“从地面往上抛出的排球会下落”是随机事件 C．“抛掷一枚硬币，落地后反面朝上”是不可能事件 D．“汽车行驶到十字路口时恰好遇到红灯”是随机事件 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念； 必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐项判断即可． 【详解】解：A.“明天本地不会下雨”是随机事件，原说法错误； B.“从地面往上抛出的排球会下落”是必然事件，原说法错误； C.“抛掷一枚硬币，落地后反面朝上”是随机事件，原说法错误； D.“汽车行驶到十字路口时恰好遇到红灯”是随机事件，说法正确； 故选：D． 知识点2：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2. 求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 【考点2 可能性大小】 【典例2】某路口红绿灯的时间设置如下：红灯秒，绿灯秒，黄灯秒．当出租车经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大（    ） A．红灯 B．绿灯 C．黄灯 D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了可能性的大小，根据在这几种灯中，每种灯时间的长短，即可得出答案，理解概率的定义是解题的关键． 【详解】解：因为绿灯持续的时间最长，黄灯持续的时间最短，所以人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大，遇到黄灯的可能性最小， 故选：． 【变式2-1】下列成语所反映的事件中，发生的可能性最小的是（  ） A．水涨船高 B．守株待兔 C．瓜熟蒂落 D．水中捞月 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，一般地必然事件的可能性大小为，不可能事件发生的可能性大小为，随机事件发生的可能性大小在至之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 【详解】解：、水涨船高是必然事件，故不符合题意； 、守株待兔是随机事件，故不符合题意； 、瓜熟蒂落是必然事件，故不符合题意； 、水中捞月是不可能事件，故符合题意； 故选：． 【变式2-2】同时掷两个骰子，算点数之和．如果小芳选5、6、7、8、9五个数，而小明选2、3、4、10、11、12六个数，掷20次，（　　）赢的可能性大． A．小芳 B．小明 C．机会均等 D．无法判断 【答案】A 【分析】分别求出5、6、7、8、9五个数和2、3、4、10、11、12六个数的情况有多少种，即可得出结论． 【详解】解： 列表格如下： 骰子1 骰子2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ∴掷出和是5有4种情况，和是6有5种情况，和是7有6种情况，和是8有5种情况，和是9有4种情况，即这五个数的情况有24种， 掷出和是2有1种情况，和是3有2种情况，和是4有3种情况，和是10有3种情况，和是11有2种情况，和是12有1种情况，即这六个数的情况有12种， ∴小芳赢的可能性大， 故选：A． 【点睛】本题考查可能性的大小，熟练掌握可能性的大小的判断方法是解题的关键． 【变式2-3】从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．这张牌是“红桃” B．这张牌是“大王” C．这张牌是“A” D．这张牌的点数是8 【答案】A 【分析】本题考查等可能事件发生的可能性大小，根据抽取结果的数量进行判断即可． 【详解】解：一副扑克牌共54张，共54种等可能结果，抽取“红桃”的结果有13种，抽取“大王”的结果有1种，抽取“A”的结果有4种，抽取这张牌的点数是8有4种，其中抽取“红桃”的结果数最多，故发生的可能性最大； 故选A． 【考点3 几何概率】 【典例3】一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：这个图形的总面积为9，阴影部分的面积为4，因此阴影部分占整体的， 所以小球最终停留在黑砖上的概率是， 故答案为：． 【变式3-1】如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 【变式3-2】一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据概率公式求概率，用黑色区域的面积比大方砖的面积即可得出答案． 【详解】解：设方砖的边长为1，则9块方砖的面积为9， 则黑色区域的面积为：， ∴小球停留在黑色区域的概率是：， 故选：A． 【变式3-3】“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图2是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．根据七巧板对应图形的面积，计算出和平鸽头部（阴影部分）与正方形面积比，结合简单概率公式求解即可得到结论．熟练掌握几何概率的求法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示：    设阴影部分的等腰直角三角形的直角边为，则由七巧板的特征可知，， 在等腰中，， ，，则阴影部分的面积是七巧板面积的 ，故飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是， 故答案为：． 【考点4 用列举法求概率】 【典例4】经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是运用树状图求概率，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键． 运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可． 【详解】解：列树状图如图所示， 共有9种情况，至少一辆车向右转有5种， ∴至少一辆车向右转的概率是， 故选：D． 【变式4-1】一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白、红三种除颜色不同外其余都相同的球，其中白球3个，红球4个，且从中任意摸出一个球，是白球的概率为，若在这个不透明的纸盒中第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，则两次摸到的球颜色相同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，设黑球有个，根据概率公式得出黑球有2个，进而根据列表法求概率，即可求解． 【详解】解：设黑球有个，依题意，， 解得：， ∴黑球有2个． 列表如下： 黑 黑 白 白 白 红 红 红 红 黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，白） （黑，红） （黑，红） （黑，红） （黑，红） 黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，白） （黑，红） （黑，红） （黑，红） （黑，红） 白 （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） 白 （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） 白 （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） 红 （红，黑） （红，黑） （红，白） （红，白） （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （红，黑） （红，黑） （红，白） （红，白） （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （红，黑） （红，黑） （红，白） （红，白） （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （红，黑） （红，黑） （红，白） （红，白） （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 共有72种等可能的结果，其中两次摸到的球颜色相同的结果有20种， ∴两次摸到的球颜色相同的概率为 故选：D． 【变式4-2】生肖也称属相，是中国传统文化中的一种记年方式，是一种十二年一个循环的纪年系统，每年用一种动物来代表，是由十二地支演变而来的．小明手绘了“十二生肖”中的子鼠、丑牛、寅虎三种生肖卡，准备将其中的两张送给好朋友小亮．小明将它们洗匀后背面朝上放在桌面上（手绘生肖卡背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张生肖卡恰好是子鼠和丑牛的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求概率．熟练掌握画树状图或列表法求概率，是解决问题的关键． 画树状图列举出所有等可能情况，看所求的情况占总情况多少，即可． 【详解】画出树状图， 共6种等可能结果，恰好抽到子鼠和丑牛的结果有2种， ∴恰好抽到子鼠和丑牛的概率为，． 故答案为：． 【变式4-3】从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求概率，根据题意画树状图，再得出总的结果和能被4整数的结果，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 一共组成6个数：23，24，32，34，42，43， 能被4整除的有2个：24，32， ∴从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是． 故答案为：． 知识点3：频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 【考点5用频率估计概率】 【典例5】数学课上，老师带领学生做“频率的稳定性”试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ）    A．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头” B．一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花 C．掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面 D．不透明的袋子中有4个红球和1个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据折线图，可得某事件发生的概率约为0.5，逐一进行判断即可． 【详解】解：由折线图可知，某事件发生的概率约为0.5， A、在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头”的概率为，不符合题意； B、一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花是概率为，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面的概率是，符合题意； D、不透明的袋子中有4个红球和1个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球的概率为，不符合题意； 故选C． 【变式5-1】在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 【答案】D 【分析】此题考查了频率估计概率，根据“频率频数总次数”计算求解即可估算概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据某种颜色的球出现的频率如图约为， 摸到红球出现的频率， 摸到黄球出现的频率， 摸到蓝球出现的频率， 摸到绿球出现的频率， ∴该球的颜色最有可能是绿球， 故选：． 【变式5-2】如图，是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（   ） A．当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的次数是620 B．当投掷第1000次时，“钉尖向上”的概率是0.620 C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于0.618，故可以估计其概率是0.618 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答． 根据图形和各个选项的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：当投掷次数是1000时，此次计算机记录“钉尖向上”的频率是0.620，故此次次数约是，A不合题意； 当投掷次数是1000时，此时“钉尖向上”的频率是0.620，但“钉尖向上”的概率不一定是0.620，B不合题意； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．C符合题意； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率可能是0.620，但不一定是0.620，D不符合题意． 故选：C． 【变式5-2】某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下表： 移植总数（n） 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 由此表可以估计该种幼树移植成活的概率为 （结果精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，熟练掌握用频率估计概率的条件和方法是解答的关键． 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴这种幼树移植成活率的概率约为， 故答案为：． 知识点4：概率的简单应用 概率与人们生活密切相关，能帮助我们对许多事件作出判断和决策。 【考点6概率的简单应用】 【典例6】我省中小学积极开展综合实践活动，某校准备组织开展四项综合实践活动：“A．我是非遗小传人，B．学做家常餐，C．爱心义卖行动，D．找个岗位去体验”．为了解学生最喜爱哪项综合实践活动，随机抽取部分学生进行问卷调查（每位学生只能选择一项），将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息回答下列问题： (1)本次一共调查了______名学生，在扇形统计图中，m的值是______； (2)补全条形统计图； (3)现有最喜爱A，B，C，D活动项目的学生各一人，学校要从这四人中随机选取两人交流活动体会，请用列表或画树状图的方法求出恰好选取最喜爱C和D项目的两位学生的概率． 【答案】(1)200，； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了条形图与扇形图的信息关联以及树状图法求概率． （1）用喜欢A项目的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；用减去其它项目所占的百分比，即可求出m的值； （2）用总人数乘以C项目所占的百分比，求出C项目的人数，从而补全统计图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出最喜爱C和D项目的两位学生的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：本次共调查的学生数是：（人）， ； 故答案为：200，； （2）C项目的人数是：（人），补图如下： （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，恰好选取最喜爱C和D项目的两位学生的结果数为2种， 所以恰好选取最喜爱C和D项目的两位学生的概率=． 【变式6-1】“2023广州黄埔马拉松”比赛当天，某校玩转数学小组针对其中一个项目“半程马拉松”（21.0975公里）进行调查． (1)为估算本次参加“半程马拉松”的人数，调查如下： 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“半程马拉松”人数 7 17 31 58 150 参加“半程马拉松”频率 0.35 0.34 0.31 0.29 0.30 已知共有20000人参与“2023广州黄埔马拉松”比赛，请估算本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为______人； (2)本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了志愿者遴选，其中初中生2名，高中生1名，大学生1名，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取2名初中生志愿者的概率． 【答案】(1)6000 (2) 【分析】本题主要考查的是频率，用列表法或树状图法求概率，解题的关键是正确的画出表格或数状图． （1）利用表格中的数据确定出参加“2023广州黄埔马拉松” 比赛的频率，根据频率求频数； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）由表格中的数据可得：本次赛事参加“半程马拉松”人数的频率为， ∴参加“半程马拉松”项目的人数约为：（人）， 故答案为：6000； （2）列表得： 初中生1 初中生2 高中生 大学生 初中生1 初中生2， 初中生1 高中生， 初中生1 大学生， 初中生1 初中生2 初中生1， 初中生2 高中生， 初中生2 大学生， 初中生2 高中生 初中生1， 高中生 初中生2， 高中生 大学生， 高中生 大学生 初中生1， 大学生 初中生2， 大学生 高中生， 大学生 由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中恰好录取2名初中生志愿者的情况有种， 恰好录取2名初中生志愿者的概率． 【变式6-2】小亮和小丽两位同学玩转转盘游戏，转盘上的数字如图所示，若转盘指针指向交界处则忽略不计，重新转动一次． (1)小亮先转一次转盘，则转到数字是3的倍数的概率为 ； (2)小亮转一次后，小丽再转一次，利用两人转出的数字之差的绝对值判断输赢，规定：若所得数值等于0，1，则小亮获胜，若所得数值等于2，3，4，则小丽获胜．请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式，画树状图求概率及概率的应用，解题关键是熟练掌握列举法求概率及利用概率判断游戏公平性． （1）求出转一次转盘，转到数字是3的倍数的结果在全部可能的结果所占的比，即可得出答案； （2）画出树状图，即可得到共有25种等可能的结果，数出两人转出的数字之差的绝对值等于0，1的结果有13种，等于2，3，4的结果有12种，再由概率公式求出小亮获胜的概率和小丽获胜的概率，利用两概率进行比较，即可得出结论． 【详解】（1）解：小亮转一次转盘，共有5种结果，即1，2，3，4，5，而转到数字是3的倍数的结果有1种，即3， ∴小亮先转一次转盘，则转到数字是3的倍数的概率， 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中两人转出的数字之差的绝对值等于0，1的结果有13种，等于2，3，4的结果有12种， ∴小亮获胜的概率，小丽获胜的概率， ∵， ∴小亮获胜的概率小丽获胜的概率， ∴该游戏不公平． 【变式6-3】某校道德与法治学科实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统；D．电动汽车；E．光伏产品”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： (1)实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人；最关注话题扇形统计图中的 ，话题D所在扇形的圆心角是 度； (2)将图中的最关注话题条形统计图补充完整； (3)实践小组进行专题讨论时，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统”中抽签（不放回）选一项进行发言．请利用树状图或表格，求出两个小组分别选择A，B话题发言的概率． 【答案】(1)200，25，36 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率： （1）用B的人数除以其人数占比即可得到答案；求出C的人数，进而求出A的人数，进一步计算即可求解； （2）根据（1）的结论补全统计图即可； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两个小组选择A、B话题发言的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：调查的学生共有：（人）， 选择C的学生有：（人）， ∴选择A的学生有：（人）， ， ， 故答案为：200，25，36； （2）解：补全的条形统计图如图所示： ； （3）解：画树状图如下：    共有6个等可能的结果，甲、乙两个小组选择A、B话题发言的结果有2个， ∴两个小组选择A、B话题发言的概率为． 1．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．小明站在罚球线上投篮，未投中 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．任意画一个平行四边形，它的对角线互相平分 D．掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13 【答案】C 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、小明站在罚球线上投篮，未投中，是随机事件，故本选项不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故本选项不符合题意； C、任意画一个平行四边形，它的对角线互相平分，是必然事件，故本选项符合题意； D、掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，是不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：C 2．豫剧与京剧、越剧同为中国戏曲三鼎甲，已有上百年历史，可分为“祥符调、西府调、豫东调、沙河调、高调”五个流派．如果王林要选择其中一个流派进行调研，那么选“沙河调”的概率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单事件的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．直接利用概率公式求解即可得． 【详解】解：因为王林总共有5种选择，每一种选择的可能性都相等， 所以他选“沙河调”的概率为， 故选：B． 3．一个不透明的口袋里有1个红色小球，1个黄色小球，1个蓝色小球，这3个球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回口袋，摇匀后再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到黄色小球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有1种结果， ∴两次都摸到黄球的概率为， 故选：B． 4．如图，转盘中8个扇形的面积都相等，部分扇形涂了灰色和红色，其余部分为白色，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单概率的计算，根据题意得到圆被等分成8份，其中灰色区域占2份，根据概率公式即可求解，熟知概率公式是解题关键． 【详解】解：∵圆被等分成8份，其中灰色区域占2份， ∴指针落在灰色区域的概率为， 故选：B． 5．某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及甲与乙恰好选择同一项活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C， 画树状图如下， 共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况， 故他们选择同一项活动的概率是， 故选：C． 6．小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．同时抛掷两枚硬币，落地后两枚硬币正面都朝上 B．一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是3 D．一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球 【答案】C 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案． 【详解】解：A、同时抛掷两枚硬币，落地后两枚硬币正面都朝上的概率为，故A选项错误； B、一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故B选项错误； C、抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是3的概率是，故C选项正确； D、一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球的概率为，故D选项错误． 故选C． 7．如图，是由智力玩具七巧板的七块板拼成的正方形，其中1，2，3，5，7号板是等腰直角三角形，4号板是正方形，6号板是平行四边形．若随机向正方形上投掷一个米粒，那么米粒刚好停在7号板区域的概率是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概型概率的求法，勾股定理，正方形的性质；设号板正方形的边长为，则号板直角边长为，号板斜边长为，号板斜边长为，直角边长为，则大正方形边长为，据此知大正方形的面积为，号板的面积为，再根据概率公式求解可得． 【详解】解：设号板正方形的边长为，则号板直角边长为，号板斜边长为， 号板斜边长为，直角边长为，则大正方形边长为， 号板的面积为， 大正方形的面积为， 从这个正方形内任取一点，则刚好停在号板区域的概率是， 故选：C． 8．豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：把3张卡片分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种， ∴两次抽取的卡片图案相同的概率为． 故选∶D． 9．如图所示，一张纸片上有一个不规则的图案(图中画图部分)，小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果)，她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意．首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知， 综上有：， 解得． 故选：A． 10．如图，转盘中黄色扇形的圆心角为，绿色扇形的圆心角为，现让转盘自由转动一次，则指针落在黄色区域的概率为 ．（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转） 【答案】 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率的计算方法是解题的关键，根据题意，将圆形分为等圆心角的三份，即黄色，绿色1，绿色2，结合概率的计算方法即可求解． 【详解】解：∵黄色扇形的圆心角为，绿色扇形的圆心角为， ∴绿色扇形可以看成是两份，每份为， ∴共3种等可能结果，即黄色扇形，绿色扇形1，绿色扇形2， ∴指针落在黄色区域的概率为， 故答案为： ． 11．一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中有3个红球，1个白球，从布袋中摸出1个球，则摸出红球的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．用红球的个数除以球的总个数即为所求的概率． 【详解】解：∵在一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中有3个红球， ∴从中随机摸出一个球，摸到的球是红球的概率为． 故答案为：． 12．在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球共60个，同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在左右，则袋中红球个数可能为 ． 【答案】个 【分析】本题考查了利用频率估计概率，由频数数据总数频率计算即可． 【详解】解：∵摸到红色球的频率稳定在左右， ∴口袋中红色球的频率为， 故红球的个数为（个）． 故答案为：12个． 13．如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小奵泡发光．现随机从A，B，C，D中抽取一个字母（每个字母被抽到的可能性相等）并闭合对应开关，则小灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查用概率公式计算事件发生的概率，熟练掌握概率公式：是解题的关键． 所有可能的结果共有4种可能，而让小灯泡发光的只有抽到D，一种可能，由概率公式即可求解． 【详解】解：小灯泡发光的概率为． 故答案为：． 14．学校为了解学生自主学习、合作交流的情况，对某班部分同学进行了一段时间的调查，并将调查结果（A：特别好；B ：好；C ：一般；D ：较差）绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)C类的人数是 ；D类的人数是 ；扇形统计图中，D类所占的圆心角的度数是 ； (2)学校准备从调查的A类（1名女生、2 名男生）和D类（男女生各占一半）中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)5；2 ； (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图与扇形统计图信息关联． （1）先求出调查的总人数，再根据总人数乘以C类所占的比例即可得出C类的人数；从而即可得出D类的人数，用乘以D类所占的比例即可得出D类所占的圆心角的度数； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得可得： 调查总人数为：（人）， ∴C类的人数是（人）， D类的人数是（人）， D类所占的圆心角的度数是； （2）解：列表得： 女 男 男 男 男女 男男 男男 女 女女 女男 女男 共有种等可能出现的结果，其中所选的两位同学恰好是一男一女的情况有种， ∴所选的两位同学恰好是一男一女的概率． 15．在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率计算公式求解即可； （2）同（1）求出乙获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：画树状图如下：    由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种， ∴甲获胜的概率为； （2）解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种， ∴乙获胜的概率为， ∵， ∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率， ∴这个游戏规则对甲乙双方不公平． 1 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