专题2.1 简单事件的概率（六个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

专题2.1 简单事件的概率（六个考点） 【考点1 事件的分类】 【考点2 可能性大小】 【考点3 几何概率】 【考点4 用列举法/树状图法求概率】 【考点5用频率估计概率】 【考点6概率的简单应用】 【考点1 事件的分类】 1．下列事件中，是必然事件的是（　　） A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．购买一张彩票，中奖 D．任意画一个三角形，其内角和是 2．下列事件是确定事件的是（　　） A．方程有实数根 B．上海明天下雨 C．抛掷一枚硬币正面朝上 D．买一张体育彩票中大奖 3．下列事件是不可能事件的（     ） A．守株待兔 B．旭日东升 C．水中捞月 D．水滴石穿 4．“某册数学课本共114页，某同学随手翻开，恰好翻到第88页”，这个事件是（    ） A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．以上都不正确 5．“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”，端午节吃粽子是我国的传统习俗．小明妈妈在超市购买了红豆粽和蜜枣粽共5个（大小和外包装都相同），其中有3个红豆粽，2个蜜枣粽，从中随机拿出3个粽子，下列事件是不可能事件的是（　　） A．拿出的3个粽子都是红豆粽 B．拿出的3个粽子中有1个是蜜枣粽、2个是红豆粽 C．拿出的3个粽子都是蜜枣粽 D．拿出的3个粽子中有2个是蜜枣粽、1个是红豆粽 【考点2 可能性大小】 6．下列说法中，正确的是（   ） A．必然事件的概率为1 B．随机事件的概率为0.5 C．概率很小的事件不可能发生 D．概率很大的事件一定发生 7．抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷8次都是正面朝上，则抛掷第9次（　　） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．正面朝上与反面朝上的可能性一样大 D．无法确定 8．下列词语所反映的事件中，可能性最小的是（    ） A．瓜熟蒂落 B．守株待兔 C．旭日东升 D．十拿九稳 9．布袋里有2个红球，3个黄球，任意摸出一个球，摸到黄球的可能性是（    ） A． B． C． 10．掷一枚骰子，点数是的因数的可能性大小是 ． 11．袋中装有8个小球，颜色为红、白、黑，每个球除颜色外其它都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一样，则红球和白球共有 个． 12．盒中装有红球、白球共11个，每个球除颜色外都相同，如果摸出任意一个球，摸到红球的可能性较大，则红球至少有 个． 【考点3 几何概率】 13．如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 14．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 15．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的菱形镖盘上，其中点E、F、G、H分别是菱形各边中点，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 16．如图，在正方形中，点在上，连接，，随机地往正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米落在阴影区域的概率为 ． 17．小球在如图所示的地板上自由地滚动，随机地停留在某块方砖上，最终停在白色区域上的概率是 ．    18．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则该小球停留在阴影部分的概率是 ． 19．如图，一块矩形飞镖游戏板，对角线，相交于点，过点作分别交边，于点，．假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中矩形中各三角形的边界或没有投中游戏板，则重投1次），现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率为 ． 【考点4 用列举法/树状图法求概率】 20．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 21．“二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶．八年级计划围绕节气开展主题演讲．其中，小实和小外都打算从“立春”、“立夏”、“立秋”、“立冬”四个节气中选择一个节气进行主题演讲，则恰好他们两人选到同一节气的概率为 ． 22．先后两次掷一枚材质均匀的骰子，第一次掷得的点数记为a，第二次掷得的点数记为b，那么点落在直线上的概率是 ． 23．为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，某校开展了“一人一球”的体育选修课活动．小明和小丽从“篮球”“足球”“排球”三种选修课中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是 ． 24．“中国古典四大名著”是中国文学史中的经典作品，是宝贵的世界文化遗产．小铭同学收集到中国古代四大名著卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀后，从中随机抽取两张，则抽到的两张卡片恰好是“三国演义”和“西游记”的概率是 ． 25．河南，是中华文明的主要发源地，“八大古都”中河南就占了四席，分别是洛阳、开封、安阳、郑州.将这四座城市的名字分别写在4张空白卡片上，然后把它们背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上面的汉字中只有一个“阳”字的概率是 ． 26．“四书五经”中的四书是指：《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》，若从这四部著作中随机抽取两本作为课外兴趣研读，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ． 【考点5用频率估计概率】 27．综合实践课上，同学们做用频率估计概率的试验．如图，一个质地均匀的转盘被平均分成等份，分别标有，，，，，，，，，．转盘的指针每次停止转动后，记录下指针指向的数字（指针指向边界时不记录结果，重新转动一次）．其中有一个小组将记录的试验数据进行整理，绘制的频率随试验次数变化趋势图如图所示，则这个小组记录的试验可能是（   ） A．指针指向的数字能被整除 B．指针指向的数字是偶数 C．指针指向的数字比大 D．指针指向的数字能被整除 28．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球估计有（　　） A．15个 B．20个 C．30个 D．35个 29．小明借助电脑软件做掷骰子实验，利用频率估计概率．根据图中的实验记录情况，小明做的实验可能是 （从下列实验中选取，填写序号）． ①掷骰子，向上一面的点数是6；②掷骰子，向上一面的点数是偶数；③掷骰子，向上一面的点数大于4． 30．年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 （结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 31．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为5的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为 ． 【考点6概率的简单应用】 32．某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图； b．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 79.2 m 85 八 78.3 80.5 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)在此次测试中，某学生的成绩是79分，在他所属的年段排前25名，根据你所学的统计知识，判断该学生在哪个年级． (2)七八年级测试满分的学生各有2名，学校拟在这4名学生中任意抽取2名学生组队参加市级安全知识竞赛，请用画树状图或列表的方法求出刚好抽到七、八年级学生各一名的概率． 33．为弘扬中国地域文化，某校七、八年级开展了“知中国爱中国兴中国”知识竞赛，竞赛后，随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩(百分制)，学生的成绩用x来表示，分四个等级∶，，，，并绘制了如下统计图表． 信息1∶抽样调查的20名八年级学生成绩的频数分布直方图∶ 信息2∶抽样调查的20名八年级学生的成绩在C组中的数据是∶ 80　81　82　82　85　86　86　88　89　89　89 信息3∶七、八年级抽取的学生竞赛成绩相关统计结果 年级 七年级 八年级 平均数 85.85 86.25 中位数 84.5 a 众数 84 89 方差 71.43 54.09 根据以上信息，解答下列问题∶ (1)______． (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对中国地域文化知识掌握较好？请说明理由．（一条理由即可） (3)两个年级成绩在95分以上的6名同学中有男生3名，女生3名，学校准备从中任意抽取2名同学交流活动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 34．某年级组对该年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你爸妈如果给你添一个弟弟（或妹妹），你的态度是什么？”共有如下四个选项（要求仅选择一个选项）： A．非常愿意 B．愿意 C．不愿意 D．无所谓 下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答以下问题： (1)试问本次问卷调查一共调查了多少名学生？并补全条形统计图； (2)若该年级共有300名学生，请你估计全年级可能有多少名学生支持（即态度为“非常愿意”和“愿意”）爸妈给自己添一个弟弟（或妹妹）？ (3)在年级活动课上，老师决定从本次调查回答“非常愿意”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查回答“非常愿意”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到的两名同学中刚好有这位男同学的概率． 35．小明和小军做游戏，他们设计了如图所示的可以自由转动的转盘，转盘被分成了两个扇形，分别标上数字1和2，其中标有数字1的扇形圆心角为120°．两人分别转动转盘一次，并记录下转盘停止时指针指向的扇形的数字（若指针指向分割线处，则重新转动转盘），并将两次所得的数字相加，若结果为偶数，则小明胜；若结果为奇数，则小军胜． (1)小明转出数字2的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法，说明这个游戏是否公平． 36．有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小球，分别标有数字1，2，4，乙袋装有两个小球，分别标有数字2，3，这些小球除数字不同外其余都相同． (1)从甲袋任意摸出一个小球，求“恰好摸到数字为1的小球”的概率； (2)现制定游戏规则如下：游戏者先选定一个袋子摸出一个小球，再从另一个袋子摸出一个小球，若第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字，则该游戏者可获得一份奖品．为了使获奖的可能性更大，游戏者应先选定从哪个袋子摸球？说明你的理由． 37．中雅培粹学校根据《南充市中小学生课后服务实施意见》，积极开展课后延时服务活动，提供了“合唱，舞蹈，科创，书法，美术，课本剧，棋类”等课程供学生自由选择．半学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“A．满意；B．比较满意；C．基本满意；D．不满意”四个等级绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请根据图中信息，解答下列问题：    (1)将条形统计图补充完整； (2)表示等级D的扇形的圆心角是____________度； (3)由于学校条件限制，“课本剧”课程仅剩下一个名额，而学生小华和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌的方法来确定，规则是：“将背面完全相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮．”请用画树状图或列表的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 简单事件的概率（六个考点） 【考点1 事件的分类】 【考点2 可能性大小】 【考点3 几何概率】 【考点4 用列举法/树状图法求概率】 【考点5用频率估计概率】 【考点6概率的简单应用】 【考点1 事件的分类】 1．下列事件中，是必然事件的是（　　） A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．购买一张彩票，中奖 D．任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【分析】本题主要考查了事件的分类，事件分为必然事件、随机事件与不可能事件；一定发生的事件是必然事件；可能发生也可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件；根据三类事件的含义进行判断即可． 【详解】解：A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件； B．射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件； C．购买一张彩票，中奖，是随机事件； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件； 故选：D． 2．下列事件是确定事件的是（　　） A．方程有实数根 B．上海明天下雨 C．抛掷一枚硬币正面朝上 D．买一张体育彩票中大奖 【答案】A 【分析】本题考查随机事件，掌握确定事件与不确定事件的定义是解题的关键． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、方程，解得，有实数根，是确定事件，符合题意； B、上海明天下午是不确定事件，不符合题意； C、抛掷一枚硬币正面朝上是不确定事件，不符合题意； D、买一张体育彩票中大奖不确定事件，不符合题意； 故选：A． 3．下列事件是不可能事件的（     ） A．守株待兔 B．旭日东升 C．水中捞月 D．水滴石穿 【答案】C 【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A.守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合题意； B. 旭日东升是必然事件，故选项不符合题意； C.水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，故选项符合题意； D. 水滴石穿，一定能达到，是必然事件，故选项不符合题意； 故选：C. 4．“某册数学课本共114页，某同学随手翻开，恰好翻到第88页”，这个事件是（    ） A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．以上都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类，理解“在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件；在一定条件下，必然发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下，一定不会发生的事件，叫做不可能事件．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 某册数学课本共114页，某同学随手翻开，恰好翻到第88页是随机事件， 故选：A． 5．“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”，端午节吃粽子是我国的传统习俗．小明妈妈在超市购买了红豆粽和蜜枣粽共5个（大小和外包装都相同），其中有3个红豆粽，2个蜜枣粽，从中随机拿出3个粽子，下列事件是不可能事件的是（　　） A．拿出的3个粽子都是红豆粽 B．拿出的3个粽子中有1个是蜜枣粽、2个是红豆粽 C．拿出的3个粽子都是蜜枣粽 D．拿出的3个粽子中有2个是蜜枣粽、1个是红豆粽 【答案】C 【分析】本题考查随机事件，熟练掌握相关定义是解题的关键． 在一定条件下，一定不会发生的事件即为不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件即为必然事件；在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件即为随机事件；据此进行判断即可． 【详解】解：拿出的3个粽子都是红豆粽是随机事件，则A不符合题意； 拿出的3个粽子中有1个是蜜枣粽、2个是红豆粽是随机事件，则B不符合题意； 拿出的3个粽子都是蜜枣粽是不可能事件，则C符合题意； 拿出的3个粽子中有2个是蜜枣粽、1个是红豆粽是随机事件，则D不符合题意； 故选：C． 【考点2 可能性大小】 6．下列说法中，正确的是（   ） A．必然事件的概率为1 B．随机事件的概率为0.5 C．概率很小的事件不可能发生 D．概率很大的事件一定发生 【答案】A 【分析】本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件的概率，记为；概率是频率(多个)的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率；不可能发生事件的概率． 根据概率的意义和必然发生的事件的概率、不可能发生事件的概率对选项进行判断即可． 【详解】解：A、必然事件发生的概率是1，此选项正确； B、随机事件发生的概率在0与1之间，此选项错误； C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，此选项错误； D、概率很大的事件不是一定发生，而是发生的机会较大，此选项错误； 故选：A． 7．抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷8次都是正面朝上，则抛掷第9次（　　） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．正面朝上与反面朝上的可能性一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了概率，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）．根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），可得答案． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷8次都是正面朝上，则抛掷第9次正面朝上与反面朝上的可能性一样大， 故选：C． 8．下列词语所反映的事件中，可能性最小的是（    ） A．瓜熟蒂落 B．守株待兔 C．旭日东升 D．十拿九稳 【答案】B 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案． 【详解】解：A、瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； B、守株待兔所反映的事件发生的可能性很小，符合题意； C、旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； D、十拿九稳，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间． 9．布袋里有2个红球，3个黄球，任意摸出一个球，摸到黄球的可能性是（    ） A． B． C． 【答案】B 【分析】根据概率定义求解即可． 【详解】因为一共有个球，黄球有3个， ∴摸到黄球的可能性为， 故选B． 【点睛】本题考查了求一个事件发生的可能性-概率，解题关键是掌握概率的求解方法，即概率等于该事件包含的情况数除以总的情况数． 10．掷一枚骰子，点数是的因数的可能性大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查了可能性大小的求法，先找出的因数有1、2、3，然后可求得可能性大小，准确找到4的因数是解题的关键． 【详解】解：骰子6个面的点数分别是1、2、3、4、5、6， 其中是4的因数的有1、2、4三种， ∴点数是4的因数的可能性大小是， 故答案为：． 11．袋中装有8个小球，颜色为红、白、黑，每个球除颜色外其它都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一样，则红球和白球共有 个． 【答案】4 【分析】根据红球和白球所占总体的一半求解即可． 【详解】解：若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一样，则黑球占； 红球和白球共占． 故红球和白球共有个． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了可能性的大小．解决本题的关键是得到红球和红球占球的数目占球的总数的一半． 12．盒中装有红球、白球共11个，每个球除颜色外都相同，如果摸出任意一个球，摸到红球的可能性较大，则红球至少有 个． 【答案】6 【分析】根据摸到红球的可能性较大可知红球比白球多，列不等式即可解答． 【详解】解：∵红球、白球共11个，摸到红球的可能性较大， ∴红球个数>白球个数， 设红球有个，则白球有个， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴红球至少有6个， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了的事件发生可能性的大小及解一元一次不等式，解题的关键是根据题意得出红球个数>白球个数． 【考点3 几何概率】 13．如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何概率，只需要计算出白色区域面积在整个转盘的面积的占比即可得到答案． 【详解】解：∵转盘中四个扇形的面积都相等，其中白色区域有两个扇形， ∴任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是， 故选：C． 14．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率的求法：计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率，得到阴影区域面积是关键． 根据几何概率的求解方法，求得阴影区域的面积与总面积的比值即可求解． 【详解】解：由图可知，总面积为9个小正方形的面积，其中阴影区域的面积为3个小正方形的面积， 则小球停留在阴影区域的概率是， 故选：B． 15．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的菱形镖盘上，其中点E、F、G、H分别是菱形各边中点，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．根据菱形的面积公式先求出的面积，再求出的面积，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：如图， 四边形是菱形， ， 、、、分别是菱形各边中点， ，， ， 飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：B． 16．如图，在正方形中，点在上，连接，，随机地往正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米落在阴影区域的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查几何概率,将图中阴影面积除以正方形面积即可求出米粒落在图中阴影部分的概率． 【详解】解：∵ ∴米落在阴影区域的概率为 故答案为：． 17．小球在如图所示的地板上自由地滚动，随机地停留在某块方砖上，最终停在白色区域上的概率是 ．    【答案】 【分析】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：停留在白砖上的概率=白砖的块数与方砖总块数之比．先求出方砖总块数，确定白色区域的方砖块数，根据概率公式即可得出结论． 【详解】解：方砖共块，白色区域的方砖相当于块， ∴停在白色区域上的概率是． 故答案为：． 18．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则该小球停留在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是几何概率，若将每个方格地砖的面积记为4，则图中地砖的总面积为36，其中阴影部分的面积为7，再根据概率公式求解可得． 【详解】解：若将每个方格地砖的面积记为4，则图中地砖的总面积为36，其中阴影部分的面积为7， 所以该小球停留在黑色区域的概率； 故答案为：． 19．如图，一块矩形飞镖游戏板，对角线，相交于点，过点作分别交边，于点，．假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中矩形中各三角形的边界或没有投中游戏板，则重投1次），现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率的知识．利用阴影部分的面积除以矩形的面积即可求得答案． 【详解】解：矩形关于中心对称， ， ， 飞镖投中阴影区域的概率为， 故答案为：． 【考点4 用列举法/树状图法求概率】 20．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是 ， 故选：B 21．“二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶．八年级计划围绕节气开展主题演讲．其中，小实和小外都打算从“立春”、“立夏”、“立秋”、“立冬”四个节气中选择一个节气进行主题演讲，则恰好他们两人选到同一节气的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，先画出树状图得到所有等可能的结果，找出符合题意的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：分别设“立春”、“立夏”、“立秋”、“立冬”为A、B、C、D， 画树状图如图： 共有16种等可能的结果，其中恰好他们两人选到同一节气的有4种， ∴恰好他们两人选到同一节气的概率为， 故答案为：． 22．先后两次掷一枚材质均匀的骰子，第一次掷得的点数记为a，第二次掷得的点数记为b，那么点落在直线上的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点恰好在直线上的情况，再利用概率公式求得答案． 【详解】解：列表得： 第一次第二次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ∵共有36种等可能的结果，点恰好在直线上的有：，，， ∴点恰好在直线上的概率是：． 故答案为：． 23．为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，某校开展了“一人一球”的体育选修课活动．小明和小丽从“篮球”“足球”“排球”三种选修课中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．画树状图（用A、B、C分别表示“篮球”“足球”“排球”三种选修课）展示所有种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一课程的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“篮球”“足球”“排球”三种选修课） ∵共有种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一课程的结果数为， ∴两人恰好选择同一课程的概率． 故答案为：． 24．“中国古典四大名著”是中国文学史中的经典作品，是宝贵的世界文化遗产．小铭同学收集到中国古代四大名著卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀后，从中随机抽取两张，则抽到的两张卡片恰好是“三国演义”和“西游记”的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得． 【详解】解：“红楼梦”、“三国演义”、“水浒传”、 “西游记”分别用、、、表示， 根据题意画图如下： 由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好是“三国演义”和“西游记”的有2种， 则抽到的两张卡片恰好是“三国演义”和“西游记”的概率是． 故答案为：． 25．河南，是中华文明的主要发源地，“八大古都”中河南就占了四席，分别是洛阳、开封、安阳、郑州.将这四座城市的名字分别写在4张空白卡片上，然后把它们背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上面的汉字中只有一个“阳”字的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次抽到卡片上的汉字中只有一个“阳”字的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：把洛阳、开封、安阳、郑州分别记作，，，，画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两次抽到卡片上的汉字中只有一个“阳”字的结果数为8， 两次抽到卡片上的汉字中只有一个“阳”字的概率为． 故答案为：． 26．“四书五经”中的四书是指：《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》，若从这四部著作中随机抽取两本作为课外兴趣研读，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将《论语》，《孟子》，《大学》，《中庸》分别记为，，，， 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有：，，共2种， 抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率为， 故答案为：． 【考点5用频率估计概率】 27．综合实践课上，同学们做用频率估计概率的试验．如图，一个质地均匀的转盘被平均分成等份，分别标有，，，，，，，，，．转盘的指针每次停止转动后，记录下指针指向的数字（指针指向边界时不记录结果，重新转动一次）．其中有一个小组将记录的试验数据进行整理，绘制的频率随试验次数变化趋势图如图所示，则这个小组记录的试验可能是（   ） A．指针指向的数字能被整除 B．指针指向的数字是偶数 C．指针指向的数字比大 D．指针指向的数字能被整除 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据图可知，试验的概率为，逐一进行判断即可，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题的关键． 【详解】解：由图可知，当转动次数为次时，频率为，故该事件的概率约为． 、转动转盘后，出现能被整除的数有个，概率为，符合题意； 、转动转盘后，数字是偶数的有个，概率为，不符合题意； 、转动转盘后，数字比大的数有个，概率为，不符合题意； 、转动转盘后，数字能被整除的数有个，概率为，不符合题意； 故选：． 28．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球估计有（　　） A．15个 B．20个 C．30个 D．35个 【答案】A 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率得到摸到白球的概率为0.3，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：设袋中有黄球x个，由题意得， 解得， ∴黄球可能有15个． 故选：A． 29．小明借助电脑软件做掷骰子实验，利用频率估计概率．根据图中的实验记录情况，小明做的实验可能是 （从下列实验中选取，填写序号）． ①掷骰子，向上一面的点数是6；②掷骰子，向上一面的点数是偶数；③掷骰子，向上一面的点数大于4． 【答案】③ 【分析】本题考查的是频率和概率的关系．根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率约为0.33，计算三个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】①掷骰子，向上一面的点数是6的概率为，故此选项不符合题意； ②掷骰子，向上一面的点数是偶数的概率为，故此选项不符合题意； ③掷骰子，向上一面的点数大于4的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：③ 30．年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 （结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 【答案】 【分析】本题考查了频率．熟练掌握频率的定义是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，种植杨树的成活率大约为， 故答案为：． 31．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为5的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为 ． 【答案】8.75 【分析】本题考查利用频率估算概率，几何概率．根据频率稳定在0.35左右，得到概率为0.35，进而得到黑色部分的总面积比上正方形的面积为0.35，进行求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右， ∴点落入黑色部分的概率为0.35， ∴黑色部分的总面积； 故答案为：8.75． 【考点6概率的简单应用】 32．某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图； b．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 79.2 m 85 八 78.3 80.5 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)在此次测试中，某学生的成绩是79分，在他所属的年段排前25名，根据你所学的统计知识，判断该学生在哪个年级． (2)七八年级测试满分的学生各有2名，学校拟在这4名学生中任意抽取2名学生组队参加市级安全知识竞赛，请用画树状图或列表的方法求出刚好抽到七、八年级学生各一名的概率． 【答案】(1)七年级 (2) 【分析】本题考查了中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），还考查了列表法与树状图法，画出所有情况再用概率公式是解题的关键． （1）根据某学生的成绩和两个年级的中位数即可得出答案； （2）先画出树状图，再用概率公式解答． 【详解】（1）解： 从七年级成绩频数分布直方图知， ，而， ∴中位数在之间， ∵该学生的成绩是79分，在他所属的年段排前25名， ∴大于中位数， ∵八年级中位数， ∴该学生在七年级； （2）解：七年级的2名学生记作，八年级的2名学生记作， 则可画树状图为： 共有12中等可能结果数，满足条件的有8种， ∴刚好抽到七、八年级学生各一名的概率． 33．为弘扬中国地域文化，某校七、八年级开展了“知中国爱中国兴中国”知识竞赛，竞赛后，随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩(百分制)，学生的成绩用x来表示，分四个等级∶，，，，并绘制了如下统计图表． 信息1∶抽样调查的20名八年级学生成绩的频数分布直方图∶ 信息2∶抽样调查的20名八年级学生的成绩在C组中的数据是∶ 80　81　82　82　85　86　86　88　89　89　89 信息3∶七、八年级抽取的学生竞赛成绩相关统计结果 年级 七年级 八年级 平均数 85.85 86.25 中位数 84.5 a 众数 84 89 方差 71.43 54.09 根据以上信息，解答下列问题∶ (1)______． (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对中国地域文化知识掌握较好？请说明理由．（一条理由即可） (3)两个年级成绩在95分以上的6名同学中有男生3名，女生3名，学校准备从中任意抽取2名同学交流活动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，列表见解析 【分析】本题主要考查调查统计中相关概念，列表法或树状图法求概率的综合． （1）根据中位数的概念，计算方法即可求解； （2）根据平均数，中位数，众数，方差表示的意义进行阐述即可； （3）运用列表法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：八年级有名同学，是第10，11位同学的分数平均数，组、组共有3人，故中位数是落在组， ∴中位数是，即， 故答案为：． （2）解：我认为八年级学生对中国地域文化知识掌握较好．因为八年级学生竞赛成绩的平均数比七年级的高，而且方差比七年级的小．（答案不唯一，只要合理即可） （3）解：将3名男生分别记为男1，男2，男3，3名女生分别记为女1，女2，女3，然后列表如下：      一 二 男 男 男 女 女 女 男 男 男 女 女 女 总共有种等可能的结果，而恰好是一名男生和一名女生的结果数有种，所以，一名男生一名女生的概率为． 34．某年级组对该年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你爸妈如果给你添一个弟弟（或妹妹），你的态度是什么？”共有如下四个选项（要求仅选择一个选项）： A．非常愿意 B．愿意 C．不愿意 D．无所谓 下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答以下问题： (1)试问本次问卷调查一共调查了多少名学生？并补全条形统计图； (2)若该年级共有300名学生，请你估计全年级可能有多少名学生支持（即态度为“非常愿意”和“愿意”）爸妈给自己添一个弟弟（或妹妹）？ (3)在年级活动课上，老师决定从本次调查回答“非常愿意”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查回答“非常愿意”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到的两名同学中刚好有这位男同学的概率． 【答案】(1)40名；条形图见解析 (2)120名 (3) 【分析】（1）用选的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，再用总人数乘以选所占的百分比得到选的人数，然后用总人数分别减去选、、的人数得到选的人数，再补全条形统计图； （2）利用样本估计总体，用300乘以样本中选和选所占的百分比可估计全年级支持的学生数； （3）“非常愿意”的四名同学分别用1、2、3、4表示，其中1表示男同学，画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取到两名同学中刚好有这位男同学的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解： （名， 所以本次问卷调查一共调查了40名学生， 选的人数（人， 选的人数（人 补全条形统计图为： （2）解：（名， 所以估计全年级可能有120名学生支持； （3）解：“非常愿意”的四名同学分别用1、2、3、4表示，其中1表示男同学， 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中选取到两名同学中刚好有这位男同学的结果数为6， 所以选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率． 【点睛】本题考查了样本容量，条形统计图，用样本估计总体，用列表法或树状图法求概率，解题关键是通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率． 35．小明和小军做游戏，他们设计了如图所示的可以自由转动的转盘，转盘被分成了两个扇形，分别标上数字1和2，其中标有数字1的扇形圆心角为120°．两人分别转动转盘一次，并记录下转盘停止时指针指向的扇形的数字（若指针指向分割线处，则重新转动转盘），并将两次所得的数字相加，若结果为偶数，则小明胜；若结果为奇数，则小军胜． (1)小明转出数字2的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法，说明这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)游戏不公平．理由见解析 【分析】（1）根据概率公式，即可求解； （2）根据列表得出所有等可能的情况数，分别计算他们两个获胜的概率，比较其大小，可知游戏是否公平． 【详解】（1）解：∵转盘被分成面积相等的3个扇形，其中数字2占有2个， ∴小明转出数字2的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： 1 2 2 1 2 3 3 2 3 4 4 2 4 4 4 由表可知共9种可能得结果，和是偶数的有6种，和是奇数有3种， ∴小明胜的概率为，小军胜的概率为， ， ∴游戏不公平． 36．有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小球，分别标有数字1，2，4，乙袋装有两个小球，分别标有数字2，3，这些小球除数字不同外其余都相同． (1)从甲袋任意摸出一个小球，求“恰好摸到数字为1的小球”的概率； (2)现制定游戏规则如下：游戏者先选定一个袋子摸出一个小球，再从另一个袋子摸出一个小球，若第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字，则该游戏者可获得一份奖品．为了使获奖的可能性更大，游戏者应先选定从哪个袋子摸球？说明你的理由． 【答案】(1) (2)先选定从甲袋摸球，见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性以及列表法与树状图法．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）根据概率公式求解即可； （2）分两种情况，画树状图得出所有等可能结果，从中找到该游戏者可获得一份奖品的结果数，根据概率公式计算出两种不同顺序的概率即可得出答案． 【详解】（1）（1）从甲袋任意摸出一个小球，标有数字的所有可能结果为1，2，4，共3种等可能的结果， 恰好摸到数字为1的小球的结果只有1种， 所以P（恰好摸到数字为1的小球）； （2）游戏者应先从甲袋摸球．理由如下： （ⅰ）若先选定从甲袋摸球，画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中“第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字”的共有3种结果， 所以P（先选甲袋而获奖）． （ⅱ）若先选定从乙袋摸球，画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中“第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字”的共有2种结果， 所以P（先选乙袋而获奖）． 因为，所以游戏者应先选定从甲袋摸球． 37．中雅培粹学校根据《南充市中小学生课后服务实施意见》，积极开展课后延时服务活动，提供了“合唱，舞蹈，科创，书法，美术，课本剧，棋类”等课程供学生自由选择．半学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“A．满意；B．比较满意；C．基本满意；D．不满意”四个等级绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请根据图中信息，解答下列问题：    (1)将条形统计图补充完整； (2)表示等级D的扇形的圆心角是____________度； (3)由于学校条件限制，“课本剧”课程仅剩下一个名额，而学生小华和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌的方法来确定，规则是：“将背面完全相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮．”请用画树状图或列表的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平． 【答案】(1)见解析 (2)60 (3)不公平，见解析 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键． （1）由A等级人数及其所占百分比求出总人数，总人数减去A、C、D等级人数求出B等级人数，从而补全图形； （2）用乘以等级C所占的百分比即可得出答案； （3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况数，然后根据概率公式求出名额给小华和小亮的概率，最后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）根据题意，得（人）， B类人数为：（人）， 补图如下：    ． （2）根据题意，得， 故答案为：60． （3）根据题意，画树状图如下：    ∴一共有16种等可能结果，其中小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况有6种． 故，． ∵， ∴这个规则对双方不公平． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$