专题 三角形中与高、角平分线有关的角度计算（五大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

八年级上册数学《第1章 三角形的初步认识》 专题 三角形中与高、角平分线有关的角度计算 题型一 角平分线与高线的夹角 1．（2023春•金牛区校级期中）在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC． （1）如图，点D在线段BC上． ①若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠DAE＝　 　； ②若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE＝　 ．（用含α、β的代数式表示） （2）如图2，若点D在边CB的延长线上时，若∠ABC＝α，∠C＝β，写出∠DAE与α、β满足的数量关系式，并说明理由． 【分析】（1）根据∠B＝70°，∠C＝30°，即可得到∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，再根据AE平分∠BAC，可得∠EAC的度数，再根据三角形外角性质，即可得到∠DAE的度数； （2）根据∠DAB+∠D＝∠ABC，可得∠DAB＝∠ABC﹣∠D＝α﹣90°，再根据AE平分∠BAC，即可得到∠BAE的度数，最后根据角的和差关系，即可得到∠DAE与α、β满足的数量关系式． 【解答】解：（1）①∵∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∴∠AED＝∠C+∠EAC＝70°， ∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝20°． ②∵∠B＝α，∠C＝β， ∴∠BAC＝180°﹣α﹣β， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝90°αβ， ∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣（∠C+∠EAC）． 故答案为：①20°，②； （2）∠DAE． 理由：∵∠DAB+∠D＝∠ABC， ∴∠DAB＝∠ABC﹣∠D＝α﹣90°， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∵∠DAE＝∠DAB+∠BAE， ∴． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和是180°． 2．（2023春•龙岗区期末）在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D； （1）如图1，当点F与点A重合，且∠C＝50°，∠B＝30°时，求∠EFD的度数； （2）如果点F在线段AE上（不与点A重合）时，如图2，∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？请说明理由． 【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC＝100°，∠CAD＝40°，由角平分线的性质易得∠EAC的度数，可得∠EFD； （2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE＝90°（∠C+∠B），外角的性质得出∠AEC＝90°（∠B﹣∠C），在△EFD中，由三角形内角和定理可得∠EFD． 【解答】（1）解：∵∠C＝50°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝50°． 在△ACE中∠AEC＝80°， 在Rt△ADE中∠EFD＝90°﹣80°＝10°． （2）∠EFD（∠C﹣∠B） 证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE90°（∠C+∠B） ∵∠AEC为△ABE的外角， ∴∠AEC＝∠B+90°（∠C+∠B）＝90°（∠B﹣∠C） ∵FD⊥BC， ∴∠FDE＝90°． ∴∠EFD＝90°﹣[90°（∠B﹣∠C）] ∴∠EFD（∠C﹣∠B）． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键． 3．（2023秋•合肥期末）（1）如图①，△ABC中，点D，E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数； （2）如图②，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为DA延长线上一点，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠F的度数． 【分析】（1）先根据三角形内角和求得∠BAC的度数，再根据AD平分∠BAC，AE⊥BC，求得∠BAE，∠BAD的度数，最后根据∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD计算即可； （2）先作AH⊥BC于H，再根据平行线的性质求得∠DFE的度数； 【解答】解：（1）∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣65°＝80° ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC＝40°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝55°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°； （2）作AH⊥BC于H，如图②， 由（1）可得∠DAH＝15°， ∵FE⊥BC， ∴AH∥EF， ∴∠DFE＝∠DAH＝15°； 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理、平行线的性质以及角平分线等，解题时可作辅助线，构造平行线，利用平行线的性质进行求解．此外，本题也可以不用作辅助线，根据三角形内角和求出∠ADC后，再根据三角形内角和求∠F即可． 4．（2023•西城区校级开学）△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD，交直线AE于点F． （1）如图1，∠B＝30°，∠ACB＝70°，则∠CFE＝　 °； （2）若（1）中∠B＝α，∠ACB＝β，则∠CFE＝　 　；（用含α、β的式子表示） （3）如图2，点E在线段BC延长线上，（2）中结论还成立吗？请说明理由． 【分析】（1）求∠CFE的度数，求出∠DAE的度数即可，只要求出∠BAE﹣∠BAD的度数，由平分和垂直易得∠BAE和∠BAD的度数即可； （2）由（1）类推得出答案即可； （3）类比以上思路，把问题转换为∠CFE＝90°﹣∠ECF即可解决问题． 【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝40°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝60°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°， ∵CF∥AD，∠B＝α，∠ACB＝β， ∴∠CFE＝∠DAE＝20°； 故答案为：20°． （2）∵∠BAE＝90°﹣∠B，∠BAD∠BAC（180°﹣∠B﹣∠ACB）， ∵CF∥AD， ∴∠CFE＝∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣∠B（180°﹣∠B﹣∠BCA）（∠ACB﹣∠B）βα， 故答案为：βα． （3）（2）中的结论成立．理由： ∵∠B＝α，∠ACB＝β， ∴∠BAC＝180°﹣α﹣β， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC∠BAC＝90°αβ， ∵CF∥AD， ∴∠ACF＝∠DAC＝90°αβ， ∴∠BCF＝β+90°αβ＝90°αβ， ∴∠ECF＝180°﹣∠BCF＝90°αβ， ∵AE⊥BC， ∴∠FEC＝90°， ∴∠CFE＝90°﹣∠ECFβα． 【点评】此题考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，平行线的性质以及垂直的意义等知识，结合图形，灵活选择适当的方法解决问题． 5．（2023秋•万荣县期末）如图1，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝α，∠B＝β（α＞β）． （1）若∠BAC＝70°，∠B＝40°，求∠DCE的度数； （2）若∠BAC＝α，∠B＝β（α＞β），则∠DCE＝　 　（用α、β的代数式表示）； （3）若将△ABC换成钝角三角形，如图2，其他条件不变，试用α、β的代数式表示∠DCE的度数并说明理由； （4）如图3，若CE是△ABC外角∠ACF的平分线，交BA延长线于点E．且α﹣β＝30°，则∠DCE＝　 　．（直接写出结果） 【分析】（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC与∠ABC的度数，则可求出∠BAC的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC的度数，进而求出∠DCE的度数； （2）（3）∠DCE，解法如（1）． （4）作∠ACB的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′∠ACB∠ACF＝90°，进而求出∠DCE的度数． 【解答】解：（1）因为∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（70°+40°）＝70°， 又因为CE是∠ACB的平分线， 所以∠ACE∠ACB． 因为CD是高线， 所以∠ADC＝90°， 所以∠ACD＝90°﹣∠BAC＝20°， 所以∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝35°﹣20°＝15°． （2）．因为∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（α+β）， 又因为CE是∠ACB的平分线， 所以∠ACE∠ACB． 因为CD是高线， 所以∠ADC＝90°， 所以∠ACD＝90°﹣∠BAC＝90°﹣α， 所以∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝90°（α+β）﹣90°+α． 故答案为 （3）∠DCE（α﹣β）． 因为∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（α+β）， 又因为CE是∠ACB的平分线， 所以∠ACE∠ACB． 因为CD是高线， 所以∠ADC＝90°， 所以∠ACD＝∠BAC﹣90°＝α﹣90°， 所以∠DCE＝∠ACE+∠ACD＝90°（α+β）+α﹣90°（α﹣β）； （4）如图，作∠ACB的内角平分线CE′， 则∠DCE′＝15°． 因为CE是∠ACB的外角平分线， 所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′∠ACB∠ACF（∠ACB+∠ACF）＝90°， 所以∠DCE＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°． 即∠DCE的度数为75°， 故答案为75°． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（4）作辅助线是关键． 6．（2023春•裕华区期末）（1）在图1中，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数． （2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D“，试用x、y表示∠DFE＝　 ： （3）在图3中，若把（2）中的“点F在AE上“改为点F是AE延长线上一点”，其余条件不变，试用x、y表示∠DFE＝　 　； （4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x、y表示∠P＝　 　． 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，进而可求出∠BAE的度数，由垂直可得∠BAD＝90°﹣x，进而可求∠EAD的度数； （2）由题意可知∠AEB＝90°xy，再利用已知条件和直角三角形余角的性质即可求出∠DFE的度数． （3）由题意可知∠AEB＝90°xy，再利用已知条件、对顶角的性质和直角三角形余角的性质即可求出∠DFE的度数． （4）由题意可知∠PAF（180°﹣x﹣y），再利用已知条件、对顶角的性质和角平分线的性质即可求出∠P的度数． 【解答】（1）解：∵∠B＝70°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°， ∵∠BAC的平分线交BC于点E， ∴∠BAE∠BAC70°＝35°， 在Rt△BAD中，∠BAD＝90°﹣70°＝20°， ∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝35°﹣20°＝15°， （2）∵∠BAE∠BAC（180°﹣x﹣y）， ∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣x（180°﹣x﹣y）＝90°xy， ∴∠DFE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣90°xy（x﹣y）． 故答案为（x﹣y）． （3）∵∠BAE∠BAC（180°﹣x﹣y）， ∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣x（180°﹣x﹣y）＝90°xy， ∴∠DEF＝∠AEB＝90°xy， ∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝90°﹣90°xy（x﹣y）． 故答案为（x﹣y）． （4）∵∠BAE∠BAC（180°﹣x﹣y）， ∴∠PAF（180°﹣x﹣y）， ∴∠P＝180°﹣45°﹣[180°（180°﹣x﹣y）﹣x]（3x﹣y）． 故答案为（3x﹣y）． 【点评】本题考查角平分线的定义、三角形外角的性质及三角形的内角和定理．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决． 题型二 两条内角平分线的夹角 1．（2023春•深圳期中）如图，在△ABC中，∠A＝100°，△ABC的角平分线BD、CE交于点O，则∠BOC＝　 　． 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义解答． 【解答】解：∵BD平分∠ABC，则∠OBC∠ABC， CE平分∠ACB，则∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）（180°﹣100°）＝40°， ∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣40°＝140°． 故答案为：140°． 【点评】本题考查三角形的内角和，正确记忆内角和的知识是解题关键． 2．（2023春•沭阳县月考）如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 【分析】连接AE，根据三角形的外角性质得到∠DEF+∠A＝140°，根据题意求出∠A＝70°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】解：连接AE， 则∠1＝∠DAE+∠DEA，∠2＝∠FAE+∠FEA， ∵∠1+∠2＝140°， ∴∠DAE+∠DEA+∠FAE+∠FEA＝140°， ∴∠DEF+∠A＝140°， ∵∠DEF＝∠A， ∴∠DEF＝∠A＝70°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠A） ＝180°（180°﹣70°） ＝125°． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 3．（2023秋•陕州区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE相交于点O，∠BOC＝119°． （1）求∠OBC+∠OCB的度数； （2）求∠A的度数． 【分析】（1）依据三角形内角和定理，即可得到∠OBC+∠OCB的度数； （2）依据BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，可得∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝122°，再根据三角形内角和定理可得△ABC中，∠A＝180°﹣122°＝58°． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝119° ∴△BCO中，∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝61°； （2）∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠ABC+∠ACB＝2∠OBC+2∠OCB＝2（∠OBC+∠OCB）＝122°， ∴△ABC中，∠A＝180°﹣122°＝58°． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件． 4．（2023春•诸城市期中）已知任意一个三角形的三个内角的和是180°． （1）如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O． ①若∠A＝70°，求∠BOC的度数； ②若∠A＝α，求∠BOC的度数； （2）如图2，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，∠A＝α，求∠BOC的度数． 【分析】（1）①根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的值；②根据角平分线的定义可得∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证； （2）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据三等分线求出∠OBC+∠OCB，根据三角形的内角和定理得出∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），代入求出即可； 【解答】解：（1）①∵∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠ACO， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）（180°﹣70°）＝55°， ∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣55°＝125°； ②证明：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）， 在△OBC中， ∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣α） ＝90°α； （2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的3等分线， ∴∠OBC+∠OCB（180°﹣α）， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°（180°﹣α）＝120°α． 【点评】本题考查了角平分线定义，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是能用∠A表示出∠OBC+∠OCB的度数，题目比较好，求解过程类似． 5．（2023秋•市南区期末）已知△ABC，D为△ABC所在平面上一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD． （1）若D点是△ABC中BC边上一点，如图1所示，判断∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． （2）若D点是△ABC中AB边上一点，如图2所示，判断∠BDC、∠BPC、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． （3）若D点是△ABC外任一点，如图3所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． （4）若D点是△ABC内一点，如图4所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？（直接写出结论，不需要证明） 【分析】（1）依据BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，可得∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，进而得到∠P＝90°∠A． （2）依据∠DPC是△ACP的外角，∠BDC是△ACD的外角，可得∠ACP＝∠DPC﹣∠A，∠DCP＝∠BDC﹣∠DPC，进而得到∠A+∠BDC＝2∠DPC． （3）依据BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，可得∠DBP＝∠ABP，∠ACP＝∠DCP，依据∠D+∠DBP＝∠P+∠DCP，∠A+∠ACP＝∠P+∠ABP，即可得到∠D+∠A＝2∠P． （4）作射线PD，射线AP，依据∠BDE是△BDP的外角，∠CDE是△CDP的外角，可得∠BDC＝∠PBD+∠BPC+∠DCP，①∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，②再根∠PBD＝∠ABP，∠PCD＝∠ACP，即可得到∠BPC﹣∠BDC＝∠BAC﹣∠BPC，即2∠BPC＝∠BAC+∠BDC． 【解答】解：（1）∠P＝90°∠A． 证明：∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A． （2）∠A+∠BDC＝2∠DPC． ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP＝∠DCP， ∵∠DPC是△ACP的外角，∠BDC是△ACD的外角， ∴∠ACP＝∠DPC﹣∠A， ∠DCP＝∠BDC﹣∠DPC， ∴∠DPC﹣∠A＝∠BDC﹣∠DPC， ∴∠A+∠BDC＝2∠DPC； （3）∠D+∠A＝2∠P． ∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD， ∴∠DBP＝∠ABP，∠ACP＝∠DCP， ∵∠D+∠DBP＝∠P+∠DCP，∠A+∠ACP＝∠P+∠ABP， ∴两式相加，可得：∠D+∠A＝2∠P； （4）2∠BPC＝∠BAC+∠BDC． 解法一：如图4，作射线PD，射线AP， ∵∠BDE是△BDP的外角，∠CDE是△CDP的外角， ∴∠BDC＝∠PBD+∠BPC+∠DCP，① 同理可得，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，② 又∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD， ∴∠PBD＝∠ABP，∠PCD＝∠ACP， ∴由②﹣①，可得 ∠BPC﹣∠BDC＝∠BAC﹣∠BPC， ∴2∠BPC＝∠BAC+∠BDC． 解法二：∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD， ∴∠PBD＝∠ABP，∠PCD＝∠ACP， 四边形BPDC中，∠P∠ABD∠ACD+360°﹣∠D＝360°， ∴∠ABD∠ACD＝∠D﹣∠P， 在四边形ABPC中，∠A∠ABD∠ACD+360°﹣∠P＝360°， ∴∠A+∠D﹣∠P﹣∠P＝0， ∴2∠P＝∠D+∠A． 【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键． 题型三 一内角平分线与一外角平分线的夹角 1．（2023春•平房区期中）如图，E为△ABC边BC延长线上的一点，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，∠D＝30°，则∠A的度数是　 　． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACE和∠DCE，再根据角平分线的定义表示出∠DBC和∠DCE，然后整理得到∠D∠A，代入数据进行计算即可得解． 【解答】解：由三角形外角性质可得，∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠DBC+∠D， ∵BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE， ∴∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE， ∴∠A∠ABC∠ABC+∠D， ∴∠D∠A， ∵∠D＝30°， ∴∠A＝60°． 故答案为：60°． 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并整理得到∠D∠A是解题的关键． 2．（2023春•南山区校级期中）如图，点A1是△ABC的内角∠ABC和∠ACD的平分线的交点，点A2是△A1BC的内角∠A1BC和∠A1CD的角平分线的交点，同样点An+1是△AnBC的内角∠AnBC和∠AnCD的角平分线的交点，若∠A＝α，那么∠A2023＝　 　． 【分析】根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知∠A1；，…，依此类推可知∠An的度数． 【解答】解：∵∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1， ∴， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC， ∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC ； 同理可得，， …， ∴， ∴∠A2023， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义，掌握外角和内角的关系是解答的关键． 3．（2023秋•高陵区期末）如图，BD是△ABC的角平分线，∠A＝50°，点E、F分别在射线BD、BC上． （1）若∠ADE＝70°，求∠ACB的度数； （2）若∠E＝25°，试判断CE是否平分∠ACF，并说明理由． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求出∠ABD＝20°；再根据角平分线的定义求出∠ABC；最后由三角形的内角和定理求出答案即可； （2）根据角平分线的定义得出∠ABD＝∠DBC∠ABC，再根据外角的性质得出∠ACF＝∠A+∠ABC，∠ECF＝∠E+∠DBC，由各个角之间的关系得出答案． 【解答】解：（1）∵∠A＝50°，∠ADE＝70°， ∴∠ABD＝∠ADE﹣∠A＝70°﹣50°＝20°， 又∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABC＝2∠ABD＝40°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC ＝180°﹣50°﹣40° ＝90°； （2）CE平分∠ACF，理由如下： ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBC∠ABC， ∵∠ACF＝∠A+∠ABC，∠ECF＝∠E+∠DBC， 又∵∠A＝50°，∠E＝25°，即∠E∠A， ∴∠ECF∠ACF， 即CE平分∠ACF． 【点评】本题考查角平分线，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是180°，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解决问题的前提． 4．（2022春•东坡区期末）如图，点B、C在∠MAN的两条边上运动，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O． （1）如图1，若∠MAN＝68°，点B、C在运动过程中，∠BOC的大小会改变吗？如果不会，请求出∠BOC的度数；如果会，请说明理由． （2）如图2，若∠MAN＝n，CH是∠BCN的平分线，CH的反向延长线交BO的延长线于点G，求∠G的度数（用含n的式子表示）． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理进行计算即可； （2）根据角角平分线的性质，可得∠ABO＝∠OBC∠ABC，∠NCH＝∠BCH∠BCN，根据三角形的外角可得∠G∠MANn． 【解答】解：（1）如图1，∠BOC的大小不会改变，∠BOC＝124°，理由如下： ∵OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线， ∴∠ACO＝∠OCB∠ACB，∠ABO＝∠OBC∠ABC， 在△BOC中， ∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB ＝180°（∠ABC﹣∠ACB） ＝180°（180°﹣∠MAN） ＝90°∠MAN ＝90°+34° ＝124°； （2）如图2， ∵OB是∠ABC的平分线， ∴∠ABO＝∠OBC∠ABC， ∵CH是∠BCN的平分线， ∴∠NCH＝∠BCH∠BCN， ∵∠BCN＝∠G+∠OBC， ∴∠BCN＝∠G∠ABC， ∵∠BCN＝∠ABC+∠MAN， ∴∠G∠MANn． 【点评】本题考查三角形的内角和，角平分线，理解角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理及推论是解决问题的前提． 5．（2023春•周村区期中）如图，已知∠AOB，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F． （1）如图1，若∠AOB＝90°，当∠OCD＝40°时，直接写出∠F的度数； （2）如图2，若∠AOB＝90°，当点C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F的度数； （3）如图3，设∠AOB的度数为m，当点C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合），你能求出∠F的度数吗？请用含m的代数式表示，写出你的解答过程． 【分析】（1）根据三角形的内角和是180°，可求∠CDO＝40°，所以∠CDF＝20°，又由平角定义，可求∠ACD＝130°，所以∠ECD＝65°，又根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可求∠ECD＝∠F+∠CDF，∠F＝45度； （2）同理可证，∠F＝45度； （3）同理可得∠Fm°． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠OCD＝40°， ∴∠CDO＝50°． ∵CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线， ∴∠ECD＝70°，∠CDF＝25°． ∵∠ECD＝∠F+∠CDF， ∴∠F＝45°； （2）不变化，∠F＝45°． ∵∠AOB＝90°， ∴∠CDO＝90°﹣∠OCD，∠ACD＝180°﹣∠OCD． ∵CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线， ∴∠ECD＝90°∠OCD，∠CDF＝45°∠OCD． ∵∠ECD＝∠F+∠CDF， ∴∠F＝45°； （3）∵∠AOB＝m， ∴∠CDO＝180°﹣m﹣∠OCD，∠ACD＝180°﹣∠OCD． ∵CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线， ∴∠ECD＝90°∠OCD，∠CDF＝90°∠OCD． ∵∠ECD＝∠F+∠CDF， ∴∠Fm°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，邻补角定义，角平分线定义，综合应用这些知识解题是关键． 题型四 两条外角平分线的夹角 1．（2023春•徐汇区校级期末）如图，∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角，BF平分∠DBC交∠ECB的平分线于点F．若∠F＝60°，则∠A＝　 　． 【分析】由角平分线的定义及三角形的内角和定理可得∠CBF+∠BCF＝120°，进而利用平角定义和三角形的内角和定理求解． 【解答】解：∵BF平分∠DBC，CF平分∠ECB， ∴∠ECB＝2∠BCF，∠DBC＝2∠CBF， ∵∠F＝60°， ∴∠CBF+∠BCF＝180°﹣60°＝120°， ∴∠ECB+∠DBC＝2×120°＝240°， ∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣（∠ECB+∠DBC）＝360°﹣240°＝120°， ∴∠A＝180°﹣120°＝60°． 故答案为：60°． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是熟练应用外角和内角的关系． 2．（2022春•贵溪市期末）如图，EG、FG分别是∠MEF和∠NFE的角平分线，交点是G，BP、CP分别是∠MBC和∠NCB的角平分线，交点是P，F、C在AN上，B、E在AM上，若∠G＝69°，那么∠P＝　 　． 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理用∠A表示∠G和∠P，得到∠G和∠P的关系，得到答案． 【解答】解：∵EG、FG分别是∠MEF和∠NFE的平分线， ∴∠GFE∠NFE，∠QEF∠MEF， ∴∠G＝180°∠NFE∠MEF ＝180°（∠NFE+∠MEF） ＝180°（360°﹣∠AFE﹣∠AEF） ＝180°（180°+∠A） ＝90°∠A ＝69°， 同理，∠P＝90°∠A＝69°． 故答案为：69°． 【点评】本题主要考查的是角平分线的定义和三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 3．（2023秋•费县校级月考）如图，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BP、CP分分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线． （1）当∠A＝40°时，分别求∠D和∠P的度数． （2）当∠A的大小变化时，试探究∠D+∠P的度数是否变化．如果不变化，求出∠D+∠P的值；如果变化，请说明理由． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理用∠A表示出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义表示出∠DBC+∠DCB，然后在△BCD中利用三角形的内角和定理可得出∠BDP的度数；根据三角形的内角和定理及其推论以及角平分线的定义即可得出∠BPC的度数； （2）根据（1）中∠D与∠P的式子即可得出结论． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠DBC∠ABC，∠DCB∠ACB， ∴∠DBC+∠DCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）＝90°∠A， 在△BCD中， ∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB） ＝180°﹣（90°∠A） ＝90°∠A ＝90°+20° ＝110°； ∵BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线， ∴∠CBP∠CBE，∠BCP∠BCF， ∴∠CBP+∠BCP ∠CBE∠BCF （∠CBE+∠BCF） （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC） （180°+∠A）， ∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP） ＝180°（180°+∠A） ＝90°∠A ＝90°40° ＝70°． （2）∠D+∠P的值不变． ∵由（1）知∠D＝90°∠A，∠P＝90°∠A， ∴∠D+∠P＝180°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 4．（2023春•潍坊期末）小明在学习三角形的知识时，发现如下数学问题： 已知线段AB，CD交于点E，连结AD，BC． （1）如图①，若∠D＝∠B＝100°，∠DAB的平分线与∠BCE的平分线交于点G，求∠G的度数； （2）如图②，若∠D＝∠B＝90°，AM平分∠DAB，CF平分∠BCN，请判断CF与AM的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得∠DAE＝∠ECB，结合角平分线的定义可求得∠AFG+∠FAG＝80°，进而可求解； （2）由三角形的内角和定理可得∠DAE＝∠ECB，设∠DAE＝∠ECB＝x，结合角平分线的定义可求得∠EGA＝90°x，由平角的定义可得∠FCG＝90°x，即可得∠EGA＝∠FCE，进而可证明结论． 【解答】解：（1）∵∠D＝∠B＝100°，∠AED＝∠CEB，∠D+∠DAE+∠AED＝∠B+∠ECB+∠CEB＝180°， ∴∠DAE＝∠ECB， ∵∠DAB的平分线与∠BCE的平分线交于点G ∴∠DAG＝∠GAF＝∠ECF＝∠FCB， ∵∠B＝100°， ∴∠FCB+∠CFB＝80°， ∵∠CFB＝∠AFG， ∴∠AFG+∠FAG＝80°， ∵∠AFG+∠GAF+∠G＝180° ∴∠G＝100°； （2）CF∥AM． 理由：∵∠D＝∠B＝90°，∠AED＝∠CEB，∠D+∠DAE+∠AED＝∠B+∠ECB+∠CEB＝180°， ∴∠DAE＝∠ECB， 设∠DAE＝∠ECB＝x， ∴∠DAG＝∠EAGx， ∴∠EGA＝90°x， ∵∠BCN＝180°﹣x，CF平分∠BCN， ∴∠FCBx， ∴∠FCE＝∠BCE+∠FCB＝x+90°x＝90°x， ∴∠FCE＝∠EGA， ∴CF∥AM． 【点评】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定，三角形的内角和定理，灵活运用三角形的内角和定理求解角的度数是解题的关键． 5．（2023春•邗江区期中）如图，已知点A、B分别在∠MON的边ON、OM上（不与点O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，直线AD，BC相交于点C． （1）如图1，若∠MON＝90°，试猜想∠ACB＝　 　°； （2）如图2，在（1）的基础上，若∠MON每秒钟变小10°，经过了t秒（0＜t＜9）， ①试用含t的代数式表示∠ACB的度数； ②并求出当t取何值时，∠MON与∠ACB的度数相等； （3）如图3，在（2）的条件下，若BC平分∠ABO，其它条件不改变，请直接写出∠BCD与∠MON的关系． 【分析】（1）利用角平分线的性质、三角形外角和内角的关系可得到∠CAB+∠ABC与∠O的关系，再利用及三角形的内角和定理得结论； （2）①先用含t的代数式表示出t秒后∠MON的度数，再根据（1）中∠ACB与∠MON的度数关系得出结论； ②根据t秒后∠MON与∠ACB的度数相等列出关于t的方程，求解即可； （3）根据外角与内角的关系，先得到∠BAN与∠O+∠ABO、∠DAB与∠C+∠ABC的关系，再通过角平分线的性质得结论． 【解答】解：（1）∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM， ∴∠CABBAN，∠ABC∠ABM． ∵∠BAN＝2∠CAB＝∠O+∠OBA，∠ABM＝2∠ABC＝∠O+∠OAB， ∴∠BAN+∠ABM＝2∠CAB+2∠ABC＝∠O+∠OBA∠+∠O+∠OAB． 即2（∠CAB+∠ABC）＝∠O+∠OBA∠+∠O+∠OAB＝180°+∠O＝180°+90°． ∴∠CAB+∠ABC＝90°∠O＝90°+45°． ∵∠CAB+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝180°﹣90°∠0＝90°∠O＝45°． 故答案为：45； （2）①在（1）的基础上，若∠MON每秒钟变小10°， 经过了t秒后，∠O＝90°﹣10t°． ∴∠ACB＝90°∠O ＝90°（90°﹣10t°） ＝90°﹣45°+5t° ＝（45+5t）°． 即：∠ACB＝（45+5t）°． ②由题意，得 90﹣10t＝45+5t， 解得t＝3， ∴当t＝3时，∠MON 与∠ACB的度数相等； （3）∵AD平分∠BAN，BC平分∠AOB， ∴∠DABBAN，∠ABC∠AOB． ∵∠BAN＝∠O+∠ABO，∠DAB＝∠C+∠ABC， ∴∠C+∠ABC（∠O+∠ABO） ∠O∠ABO ∠O+∠ABC． ∴∠BCD∠MON． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质及三角形的内角和定理的推论，掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”是解决本题的关键． 6．（2023秋•辽阳期末）已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α． （1）当α＝40°时，∠BPC＝ 　°，∠BQC＝　 °； （2）当α＝　 °时，BM∥CN； （3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数； （4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：　 ． 【分析】（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC∠PBC，∠QCB∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB＝180°，依此求解即可； （3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC的度数； （4）分别∠A表示出∠BPC、∠BQC、∠BOC，再相加即可求解． 【解答】解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC， ∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°， ∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线， ∴∠CBP+∠BCP（∠DBC+∠BCE）＝110°， ∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°， ∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线， ∴∠QBC∠PBC，∠QCB∠PCB， ∴∠QBC+∠QCB＝55°， ∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°； （2）∵BM∥CN， ∴∠MBC+∠NCB＝180°， ∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α， ∴（∠DBC+∠BCE）＝180°， 即（180°+α）＝180°， 解得α＝60°； （3）∵α＝120°， ∴∠MBC+∠NCB（∠DBC+∠BCE）（180°+α）＝225°， ∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°； （4）∵α＞60°， ∠BPC＝90°α、 ∠BQC＝135°α、 ∠BOCα﹣45°． ∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°α）+（135°α）+（α﹣45°）＝180°． 故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 题型五 与角平分线有关的角度计算综合题 1．（2023春•遂平县期末）在△ABC中，∠ACB的平分线CD与外角∠EAC的平分线AF所在的直线交于点D． （1）如图1，若∠B＝60°，求∠D的度数； （2）如图2，把△ACD沿AC翻折，点D落在D′处． ①当AD′⊥AD时，求∠BAC的度数； ②试确定∠DAD′与∠BAC的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质进行代换可以得出∠B＝2∠D，已知∠B＝60°，可求∠D的度数； （2）①根据折叠，可得等角，再利用特殊角，和周角的意义可以计算出∠DAC的度数，再利用平角的意义，可求出∠CAF，进而得出∠BAC的度数； ②设∠DAD′为任意角度，通过折叠、外角、角平分线，平角等代换，得出∠DAD′与∠BAC的数量关系，即∠DAD′与∠BAC互补的结论． 【解答】解：（1）如图1， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCB∠ACB， ∵AF是外角∠EAC的平分线， ∴∠CAF＝∠FAE∠CAE， 又∵∠CAF＝∠D+∠ACD， ∠CAE＝∠B+∠ACB， ∴∠D∠B＝30°； （2） 如图2，由折叠得：∠DAC＝∠D′AC， ①当AD′⊥AD时，即：∠DAD′＝90°， ∴∠DAC＝∠D′AC＝135°， ∴∠CAF＝180°﹣135°＝45°＝∠FAE， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°， 答：当AD′⊥AD时，∠BAC＝90°． ②设∠DAD′＝α，则∠DAC＝∠D′AC（360°﹣α）＝180°α， ∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝180°﹣（180°α）α， ∴∠CAE＝2∠CAF＝α， ∴∠BAC＝180°﹣α， 即：∠BAC+∠DAD′＝180°， 答：∠DAD′与∠BAC的数量关系是：∠BAC+∠DAD′＝180°． 【点评】考查角平分线、周角、平角、三角形内角和等知识，适当的等量代换是解决问题的关键，设未知数，用任意角度代换从而得出一般性的结论． 2．（2023春•工业园区期中）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D． （1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由； （2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F． ①求证：BF∥OD； ②若∠F＝35°，求∠BAC的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠OAC+∠OCA（180°﹣∠ABC），∠OBC∠ABC，由三角形的内角和得到∠AOC＝90°+∠OBC，∠ODC＝90°+∠OBD，于是得到结论； （2）①由角平分线的性质得到∠EBF＝90°﹣∠DBO，由三角形的内角和得到∠ODB＝90°﹣∠OBD，于是得到结论；②由角平分线的性质得到∠FBE（∠BAC+∠ACB），∠FCBACB，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∠AOC＝∠ODC， 理由：∵三个内角的平分线交于点O， ∴∠OAC+∠OCA（∠BAC+∠BCA）（180°﹣∠ABC）， ∵∠OBC∠ABC， ∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°∠ABC＝90°+∠OBC， ∵OD⊥OB， ∴∠BOD＝90°， ∴∠ODC＝90°+∠OBD， ∴∠AOC＝∠ODC； （2）①∵BF平分∠ABE， ∴∠EBF∠ABE（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO， ∵∠ODB＝90°﹣∠OBD， ∴∠FBE＝∠ODB， ∴BF∥OD； ②∵BF平分∠ABE， ∴∠FBE∠ABE（∠BAC+∠ACB）， ∵三个内角的平分线交于点O， ∴∠FCB∠ACB， ∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF（∠BAC+∠ACB）∠ACB∠BAC， ∵∠F＝35°， ∴∠BAC＝2∠F＝70°． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 3．（2023春•华龙区校级期中）在△ABC中， （1）如图（1），∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P． ①若∠A＝64°，求∠BPC的度数． ②若∠A＝n°，则∠BPC＝　 　． （2）如图（2），在△ABC中的外角平分线相交于点Q，∠A＝n°，求∠BQC的度数． （3）如图（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．请回答：∠BPC与∠BQC具有怎样的数量关系？并说明理由． 【分析】（1）①运用三角形的内角和定理及角平分线的意义，首先求出∠1+∠2，进而求出∠BPC，即可解决问题；②方法同①； （2）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC和∠FCB，再根据角平分线的性质求出∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）由（1）得，由（2）可得，两式相加即可得到结论． 【解答】（1）解：①∵∠A＝64°， ∴∠ABC+∠ACB＝116°， ∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P， ∴， ∴， ∴∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣58°＝122°； ②∵∠A＝n°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°， ∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵外角∠DBC和∠FCB的平分线相交于点Q， ∴∠QBC+∠QCB， ∴， ∵∠A＝n°， ∴， （3）由（1）得， 由（2）可得， ∴． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识，灵活运用三角形内角和定理、外角的性质是解答本题的关键． 4．（2022•亭湖区校级开学）（1）如图1，小宝画了一个角∠MON＝70°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，△AOB的角平分线AC与BD交于点P．试问：随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化？若不变，请求出∠APB的度数；若变化，求出变化范围． （2）聪明的小宝想出了一个画30°角的方法：如图2，①画两条相交的直线OX、OY，使∠XOY＝60°，②在射线OX、OY上分别再任意取A、B点，③作∠ABY的平分线BD，BD的反向延长线交∠BAO的平分线于点C，则∠C就是30°的角．你认为小宝的方法正确吗？请你说明理由． （3）聪明的小宝自编了一道题：如图3，B、C、M三点共线，BP、CP分别平分∠ABC、∠ACM，若∠A+∠P＝α，∠ACP＝β，请用含α，β的代数式来表示∠ABC．（直接写结果） 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ABO+∠OAB的度数，再由角平分线的定义得出∠PBA+∠PAB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）先根据角平分线的定义可得∠XBY＝2∠XBD，∠OXB＝2∠CXB，再利用外角的性质可得∠XBD＝∠C+∠CXB，∠XBY＝∠XOY+∠OXB，然后整理可得答案； （3）由（2）得∠A＝2∠P，再利用三角形外角的性质整理可得答案． 【解答】解：（1）∠APB的大小不会变化． ∵∠MON＝70°， ∴∠ABO+∠OAB＝180°﹣70°＝110°． ∵点P是两条内角平分线的交点， ∴∠PBA+∠PAB（∠ABO+∠OAB）110°＝55°， ∴∠APB＝180°﹣（∠PBA+∠PAB）＝180°﹣55°＝125°； （2）正确． ∵BD、XC分别平分∠XBY和∠BXO， ∴∠XBY＝2∠XBD，∠OXB＝2∠CXB， 由三角形外角的性质可得， ∠XBD＝∠C+∠CXB，∠XBY＝∠XOY+∠OXB， ∴∠XOY＝2∠C， ∵∠XOY＝60°， ∴∠C60°＝30°； （3）由（2）可得，∠A＝2∠P， ∵∠A+∠P＝α， ∴∠Aα， ∵∠ACP＝β， ∴∠ACM＝2∠ACP＝2β， ∵∠A+∠ABC＝∠ACM， ∴∠ABC＝∠ACM﹣∠A＝2βα． 【点评】本题考查的是三角形的内角和定理及三角形外角的性质，解答此题的关键是熟知以下知识：①三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和；②三角形的内角和是180°． 5．（2022春•江都区校级期中）∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）． （1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，当AO＝BO时，∠AEB＝　 °； （2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D，随着点A，B的运动∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由； （3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （3）①当∠EAF＝3∠E时，②当∠EAF＝3∠F时，③当∠F＝3∠E时，④当∠E＝3∠F时，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论． 【解答】解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线， ∴∠BAE∠OAB，∠ABE∠ABO， ∴∠BAE+∠ABE（∠OAB+∠ABO）＝45°， ∴∠AEB＝135°； 故答案为：135； （2）∠D的度数不随点A、B的移动而发生变化， 设∠BAD＝α， ∵AD平分∠BAO， ∴∠BAO＝2α， ∵∠AOB＝90°， ∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α， ∵BC平分∠ABN， ∴∠ABC＝45°+α， ∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD， ∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°； （3）∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E， ∴∠AOE＝135°， ∴∠E＝180°﹣∠EAO﹣∠AOE ＝45°﹣∠AOE ＝45°∠BAO ＝45°（180°﹣90°﹣∠ABO） ∠ABO， ∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线， ∴∠EAF∠BAO∠GAO180°＝90°， 在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍， 则①当∠EAF＝3∠E时，得∠E＝30°，此时∠ABO＝60°； ②当∠EAF＝3∠F时，得∠E＝60°， 此时∠ABO＝120°＞90°，舍去； ③当∠F＝3∠E时，得∠E90°＝22.5°， 此时∠ABO＝45°； ④当∠E＝3∠F时，得∠E90°＝67.5°， 此时∠ABO＝135°＞90°，舍去． 综上可知，∠ABO的度数为60°或45°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 6．（2023秋•中原区校级期末）阅读下面的材料，并解决问题． （1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数． 如图1，∠O＝　 　；如图2，∠O＝　 　；如图3，∠O＝　 　； （2）如图4，点O是△ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°∠A． （3）如图5，在△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数． 【分析】（1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论； （3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数． 【解答】解：（1）①在图1中： ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB ∴∠OBC+∠OCB （∠ABC+∠ACB） （180°﹣∠BAC） （180°﹣60°） ＝60° ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°； ②在图2中： ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD ∴∠OBC∠ABC，∠OCD∠ACD ∵∠ACD＝∠ABC+∠A ∴∠OCD（∠ABC+∠A） ∵∠OCD＝∠OBC+∠O ∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC ∠ABC∠A∠ABC ∠A ＝30°． ③在图3中： ∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD ∴∠OBC∠EBC，∠OCB∠BCD ∴∠OBC+∠OCB （∠EBC+∠BCD） （∠A+∠ACB+∠BCD） （∠A+180°） （60°+180°） ＝120° ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°． 故答案为：120°，30°，60°． （2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠A） ＝90°∠A． （3）设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β， ∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45° 解得：α＝20°，β＝25° ∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°， ∴∠A＝70°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键． 7．（2023春•南京期末）【初步认识】 （1）如图①，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB． 求证：∠BOC＝90°． 【继续探索】如图，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，设∠AED＝m°，∠C＝n°（m＜n）． （2）如图②，BO、DO分别平分∠ABC、∠BDE． ①若m＝50，n＝70，求∠BOD的度数； ②用含m、n的式子直接表示∠BOD的度数为 　 　． （3）如图③，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，射线CO与∠ADE的平分线所在的直线相交于点H（不与点D重合），直接写出点H在不同位置时，∠DHC与∠BOC之间满足的数量关系（用含m、n的式子表示）． 【分析】（1）利用角平分线的性质以及三角形的内角和定理即可证得结论； （2）①根据（1）可知∠BOD＝90°∠F，然后利用三角形内角和定理即可求得∠BOD的度数； ②按①的步骤求得即可； （3）分两种情况讨论：点H在△ABC内时，∠DHC﹣∠BOC（n°﹣m°）；当点H在△ABC外时，∠DHC+∠BOC＝（180nm）°． 【解答】（1）证明：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（∠ABC∠ACB）， ∵∠A十∠ABC十∠ACB＝I80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BOC＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A； （2）解：根据第（1）问建立模型，可将图②补形成下图： ①由题（1）可知∠BOD＝90°∠F， ∵∠F＝180°﹣∠FEC﹣∠FCE， ∠FEC＝∠AED＝50°，∠FCE＝180°﹣∠ACB＝110°， ∴∠F＝180°﹣50°﹣110°＝20°， ∴∠BOD＝90°∠F＝100°； ②∵∠F＝180°﹣∠FEC﹣∠FCE， ∠FEC＝∠AED＝m，∠FCE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣n°， ∴∠F＝180°﹣m°﹣（180°﹣n°）＝n°﹣m°， ∴∠BOD＝90°∠F＝90°（n°﹣m°）＝（90mn）°； 故答案为：（90mn）°； （3）由题（1）可知∠BOC＝90°∠A， ①如图，点H在△ABC内时，∠DHC﹣∠BOC（n°﹣m°）； 设CH交DE于点F， ∴∠AED＝∠ECF+∠EFC， ∵CO是∠ACB的平分线， ∴∠ECFACB， ∵∠AED＝m°，∠ACB＝n°， ∴∠EFC＝∠AED﹣∠ECF＝m°n°， ∴∠HFD＝∠EFC＝m°n°， ∵DH平分∠ADE， ∴∠HDFADE， ∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°， ∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣∠A﹣m°， ∴∠HDF＝90°∠A， ∵∠HDF+∠DHF+∠HFD＝180°， ∴∠DHF＝180°﹣∠HDF﹣∠HFD＝180°﹣90°∠Am°n°， ∴∠DHC＝∠DHF＝90°∠An°， ∴∠DHC﹣∠BOC＝90°∠An°﹣（90°∠A）＝（n°m°）（n°﹣m°）； ②如图，当点H在△ABC外时，∠DHC+∠BOC＝（180nm）°． 设CH交AB于点F， ∵∠BFC＝∠A+∠ACF，且CO平分∠ACB， ∴∠ACFACB， ∴∠BFC＝∠A， ∴∠HFD＝∠BFC＝∠A， ∵DH平分ADE， ∴∠HDFADE， ∴∠HDF＝90°∠A， ∵∠DHF+∠HDF+∠HFD＝180°， ∴∠DHF＝180°﹣∠HDF﹣∠HFD， ∴∠DHF＝180°﹣90°∠A∠A90°∠A， ∴∠DHC＝∠DHF＝90°∠A， ∵∠BOC＝90°∠A， ∴∠A＝∠BOC﹣90°， ∴∠DHC＝90°﹣∠BOC+90°， ∴∠DHC+∠BOC＝（180nm）°． 综上所述：点H在△ABC内时，∠DHC﹣∠BOC（n°﹣m°）；当点H在△ABC外时，∠DHC+∠BOC＝（180nm）°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，列代数式，利用分类讨论思想解决问题是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！44 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上册数学《第1章 三角形的初步认识》 专题 三角形中与高、角平分线有关的角度计算 题型一 角平分线与高线的夹角 1．（2023春•金牛区校级期中）在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC． （1）如图，点D在线段BC上． ①若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠DAE＝　 　； ②若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE＝　 ．（用含α、β的代数式表示） （2）如图2，若点D在边CB的延长线上时，若∠ABC＝α，∠C＝β，写出∠DAE与α、β满足的数量关系式，并说明理由． 2．（2023春•龙岗区期末）在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D； （1）如图1，当点F与点A重合，且∠C＝50°，∠B＝30°时，求∠EFD的度数； （2）如果点F在线段AE上（不与点A重合）时，如图2，∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？请说明理由． 3．（2023秋•合肥期末）（1）如图①，△ABC中，点D，E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数； （2）如图②，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为DA延长线上一点，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠F的度数． 4．（2023•西城区校级开学）△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD，交直线AE于点F． （1）如图1，∠B＝30°，∠ACB＝70°，则∠CFE＝　 °； （2）若（1）中∠B＝α，∠ACB＝β，则∠CFE＝　 　；（用含α、β的式子表示） （3）如图2，点E在线段BC延长线上，（2）中结论还成立吗？请说明理由． 5．（2023秋•万荣县期末）如图1，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝α，∠B＝β（α＞β）． （1）若∠BAC＝70°，∠B＝40°，求∠DCE的度数； （2）若∠BAC＝α，∠B＝β（α＞β），则∠DCE＝　 　（用α、β的代数式表示）； （3）若将△ABC换成钝角三角形，如图2，其他条件不变，试用α、β的代数式表示∠DCE的度数并说明理由； （4）如图3，若CE是△ABC外角∠ACF的平分线，交BA延长线于点E．且α﹣β＝30°，则∠DCE＝　 　．（直接写出结果） 6．（2023春•裕华区期末）（1）在图1中，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数． （2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D“，试用x、y表示∠DFE＝　 ： （3）在图3中，若把（2）中的“点F在AE上“改为点F是AE延长线上一点”，其余条件不变，试用x、y表示∠DFE＝　 　； （4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x、y表示∠P＝　 　． 题型二 两条内角平分线的夹角 1．（2023春•深圳期中）如图，在△ABC中，∠A＝100°，△ABC的角平分线BD、CE交于点O，则∠BOC＝　 　． 2．（2023春•沭阳县月考）如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 3．（2023秋•陕州区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE相交于点O，∠BOC＝119°． （1）求∠OBC+∠OCB的度数； （2）求∠A的度数． 4．（2023春•诸城市期中）已知任意一个三角形的三个内角的和是180°． （1）如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O． ①若∠A＝70°，求∠BOC的度数； ②若∠A＝α，求∠BOC的度数； （2）如图2，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，∠A＝α，求∠BOC的度数． 5．（2023秋•市南区期末）已知△ABC，D为△ABC所在平面上一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD． （1）若D点是△ABC中BC边上一点，如图1所示，判断∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． （2）若D点是△ABC中AB边上一点，如图2所示，判断∠BDC、∠BPC、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． （3）若D点是△ABC外任一点，如图3所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． （4）若D点是△ABC内一点，如图4所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？（直接写出结论，不需要证明） 题型三 一内角平分线与一外角平分线的夹角 1．（2023春•平房区期中）如图，E为△ABC边BC延长线上的一点，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，∠D＝30°，则∠A的度数是　 　． 2．（2023春•南山区校级期中）如图，点A1是△ABC的内角∠ABC和∠ACD的平分线的交点，点A2是△A1BC的内角∠A1BC和∠A1CD的角平分线的交点，同样点An+1是△AnBC的内角∠AnBC和∠AnCD的角平分线的交点，若∠A＝α，那么∠A2023＝　 　． 3．（2023秋•高陵区期末）如图，BD是△ABC的角平分线，∠A＝50°，点E、F分别在射线BD、BC上． （1）若∠ADE＝70°，求∠ACB的度数； （2）若∠E＝25°，试判断CE是否平分∠ACF，并说明理由． 4．（2022春•东坡区期末）如图，点B、C在∠MAN的两条边上运动，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O． （1）如图1，若∠MAN＝68°，点B、C在运动过程中，∠BOC的大小会改变吗？如果不会，请求出∠BOC的度数；如果会，请说明理由． （2）如图2，若∠MAN＝n，CH是∠BCN的平分线，CH的反向延长线交BO的延长线于点G，求∠G的度数（用含n的式子表示）． 5．（2023春•周村区期中）如图，已知∠AOB，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F． （1）如图1，若∠AOB＝90°，当∠OCD＝40°时，直接写出∠F的度数； （2）如图2，若∠AOB＝90°，当点C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F的度数； （3）如图3，设∠AOB的度数为m，当点C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合），你能求出∠F的度数吗？请用含m的代数式表示，写出你的解答过程． 题型四 两条外角平分线的夹角 1．（2023春•徐汇区校级期末）如图，∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角，BF平分∠DBC交∠ECB的平分线于点F．若∠F＝60°，则∠A＝　 　． 2．（2022春•贵溪市期末）如图，EG、FG分别是∠MEF和∠NFE的角平分线，交点是G，BP、CP分别是∠MBC和∠NCB的角平分线，交点是P，F、C在AN上，B、E在AM上，若∠G＝69°，那么∠P＝　 　． 3．（2023秋•费县校级月考）如图，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BP、CP分分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线． （1）当∠A＝40°时，分别求∠D和∠P的度数． （2）当∠A的大小变化时，试探究∠D+∠P的度数是否变化．如果不变化，求出∠D+∠P的值；如果变化，请说明理由． 4．（2023春•潍坊期末）小明在学习三角形的知识时，发现如下数学问题： 已知线段AB，CD交于点E，连结AD，BC． （1）如图①，若∠D＝∠B＝100°，∠DAB的平分线与∠BCE的平分线交于点G，求∠G的度数； （2）如图②，若∠D＝∠B＝90°，AM平分∠DAB，CF平分∠BCN，请判断CF与AM的位置关系，并说明理由． 5．（2023春•邗江区期中）如图，已知点A、B分别在∠MON的边ON、OM上（不与点O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，直线AD，BC相交于点C． （1）如图1，若∠MON＝90°，试猜想∠ACB＝　 　°； （2）如图2，在（1）的基础上，若∠MON每秒钟变小10°，经过了t秒（0＜t＜9）， ①试用含t的代数式表示∠ACB的度数； ②并求出当t取何值时，∠MON与∠ACB的度数相等； （3）如图3，在（2）的条件下，若BC平分∠ABO，其它条件不改变，请直接写出∠BCD与∠MON的关系． 6．（2023秋•辽阳期末）已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α． （1）当α＝40°时，∠BPC＝ 　°，∠BQC＝　 °； （2）当α＝　 °时，BM∥CN； （3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数； （4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：　 ． 题型五 与角平分线有关的角度计算综合题 1．（2023春•遂平县期末）在△ABC中，∠ACB的平分线CD与外角∠EAC的平分线AF所在的直线交于点D． （1）如图1，若∠B＝60°，求∠D的度数； （2）如图2，把△ACD沿AC翻折，点D落在D′处． ①当AD′⊥AD时，求∠BAC的度数； ②试确定∠DAD′与∠BAC的数量关系，并说明理由． 2．（2023春•工业园区期中）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D． （1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由； （2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F． ①求证：BF∥OD； ②若∠F＝35°，求∠BAC的度数． 3．（2023春•华龙区校级期中）在△ABC中， （1）如图（1），∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P． ①若∠A＝64°，求∠BPC的度数． ②若∠A＝n°，则∠BPC＝　 　． （2）如图（2），在△ABC中的外角平分线相交于点Q，∠A＝n°，求∠BQC的度数． （3）如图（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．请回答：∠BPC与∠BQC具有怎样的数量关系？并说明理由． 4．（2022•亭湖区校级开学）（1）如图1，小宝画了一个角∠MON＝70°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，△AOB的角平分线AC与BD交于点P．试问：随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化？若不变，请求出∠APB的度数；若变化，求出变化范围． （2）聪明的小宝想出了一个画30°角的方法：如图2，①画两条相交的直线OX、OY，使∠XOY＝60°，②在射线OX、OY上分别再任意取A、B点，③作∠ABY的平分线BD，BD的反向延长线交∠BAO的平分线于点C，则∠C就是30°的角．你认为小宝的方法正确吗？请你说明理由． （3）聪明的小宝自编了一道题：如图3，B、C、M三点共线，BP、CP分别平分∠ABC、∠ACM，若∠A+∠P＝α，∠ACP＝β，请用含α，β的代数式来表示∠ABC．（直接写结果） 5．（2022春•江都区校级期中）∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）． （1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，当AO＝BO时，∠AEB＝　 °； （2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D，随着点A，B的运动∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由； （3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数． 6．（2023秋•中原区校级期末）阅读下面的材料，并解决问题． （1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数． 如图1，∠O＝　 　；如图2，∠O＝　 　；如图3，∠O＝　 　； （2）如图4，点O是△ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°∠A． （3）如图5，在△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数． 7．（2023春•南京期末）【初步认识】 （1）如图①，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB． 求证：∠BOC＝90°． 【继续探索】如图，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，设∠AED＝m°，∠C＝n°（m＜n）． （2）如图②，BO、DO分别平分∠ABC、∠BDE． ①若m＝50，n＝70，求∠BOD的度数； ②用含m、n的式子直接表示∠BOD的度数为 　 　． （3）如图③，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，射线CO与∠ADE的平分线所在的直线相交于点H（不与点D重合），直接写出点H在不同位置时，∠DHC与∠BOC之间满足的数量关系（用含m、n的式子表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$