第4课 二次函数的实际应用-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第4课 二次函数的实际应用 ( 目标导航 ) 学习目标 1.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 2.会运用二次函数解决实际问题中的最值问题 ( 知识精讲 ) 知识点01 根据实际问题列二次函数表达式 根据实际问题确定二次函数表达式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题. 知识点02 二次函数的实际应用 在实际生活中存在很多抛物线型问题，还有很多“利润最大”“用量最少”“面积最大”“路程最短”等问题，它们都会用到二次函数的图象和性质来描述问题，解决这类问题的步骤： （1）设出两个变量； （2）写出函数表达式或画出图象； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用二次函数的性质求解； （5）用求得的解来解释实际问题. 　　 ( 能力拓展 )考点01 根据实际问题列二次函数表达式 【典例1】如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为30m，门宽是2m，若设这块场地的宽为xm． （1）求场地的面积y（m2）与x（m）之间的函数关系式； （2）写出自变量x的取值范围． 【即学即练1】某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）当x＝20%时，今年的总产值为多少万元？ 考点02 二次函数的实际应用 【典例2】“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在端午节来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒定价为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为P盒． （1）当x＝60时，P等于 　　； （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ （3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？ 【即学即练2】某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场地面积雪厚达40cm，整个赛道长150m，全天共可容纳约3300人滑雪嬉戏．小明和小华相约去体验滑雪，小明从赛道顶端A处下滑，测得小明离A处的距离s（单位：m）随运动时间x（单位：s）变化的数据，整理得下表． 滑行时间x/s 0 1 2 3 4 滑行距离s/m 0 6 14 24 36 经验证小明离A处的距离s与运动时间x之间是二次函数关系． 小明出发的同时，小华在距赛道终点30m的B处操控一个无人机沿着赛道方向以2m/s的速度飞向小明，无人机离A处的距离y（单位：m）与运动时间x（单位：s）之间是一次函数关系． （1）直接写出s关于x的函数解析式和y关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）小明滑完整个赛道需要耗时多久？ （3）小明出发多久后与无人机相遇？ ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为20m，设长方形靠墙的一边长为x m，面积为y m2，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　　） A．y＝20x B．y＝20﹣2x C． D．y＝x（20﹣2x） 2．长方形的周长为24cm，其中一边长为x cm（其中x＞0），面积为y cm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（　　） A．y＝x2 B．y＝12﹣x2 C．y＝（12﹣x）•x D．y＝2（12﹣x） 3．将商品按单件利润为20元售出时，能卖出100个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（20+x）（100﹣5x） B．y＝（20﹣x）（100﹣5x） C．y＝（20﹣x）（100+5x） D．y＝（20+x）（100+5x） 4．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝﹣x2+10x B．y＝x2﹣10x C．y＝﹣x2+20x D．y＝x2﹣20x 5．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式h＝﹣5t2+15t，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（　　） A．4秒 B．3秒 C．2秒 D．1秒 6．某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是 　　 ． 7．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为　 　． 8．电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在铅售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系y＝﹣2x+320（其中100≤x≤120，且x为整数），电商平台每周销售这款玩具所获的最大利润是 　　元． 9．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式． 10．小郭在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）． （1）直接写出y与x的函数关系式． （2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？ （3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售所获利润最大，并求出此时的最大利润． 题组B 能力提升练 11．如图，在长为30米、宽为20米的矩形花坛中横向修建1条、纵向修建2条宽都为x米的小路（阴影部分），空白处为绿地，面积为y平方米，则绿地面积y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（30﹣2x）（20﹣x） B．y＝（30+x）（20﹣x） C．y＝（2x﹣30）（x﹣20） D．y＝（30﹣2x）（20+2x） 12．如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若OA＝10m，抛物线的顶点P到OA的距离为9m，则抛物线对应的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 13．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝2（1+x）2 B．y＝（2+x）2 C．y＝2+2x2 D．y＝（1+2x）2 14．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6s；②小球运动中的高度可以是30m； ③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 15．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S米2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750米2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 16．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A点出发，沿AB边向B点以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点在分别达到B、C两点后就停止移动，回答下列问题： （1）运动开始后第T秒时，△PBQ的面积等于8cm2． （2）设运动开始后第T秒时，五边形PQCDA的面积为Scm2，写出S与T的函数关系式，并指出自变量T的取值范围； （3）T为何值时S最小？求出S的最小值． 题组C 培优拔尖练 17．李叔叔为了充分利用现有资源，计划用一块矩形空地种植两种蔬菜，如图，矩形ABCD的一面靠墙（墙的长度为12m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏EF把它分成两个矩形，已知栅栏的总长度为27m，若EF＝x m，矩形ABCD的面积为y m2，则y关于x的函数表达式及x的取值范围正确的是（　　） A．y＝﹣3x2+27x（0＜x＜9） B．y＝﹣3x2+27x（5≤x＜9） C．y＝﹣2x2+27x（0＜x＜9） D．y＝﹣x2+27x（5≤x＜9） 18．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB．有下列结论： ①x的取值范围为5≤x≤10； ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2； ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 19．某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，则t的取值范围是（　　） A．0≤t≤600 B．20≤t≤40 C．0≤t≤40 D．0≤t≤20 20．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出 　　秒时，两个小球在空中的高度相同． 21．某超市购进一批成本为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若超市按单价不低于成本价，且不高于55元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？ 22．综合与实践 主题：设计高速公路的隧道 情境素材 素材1 高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高速公路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车靠右行驶． 素材2 据调查，一般的大型货车宽2.4m，车货总高度从地面算起不超过4m．为了保证行驶的安全，货车右侧顶部与隧道的竖直距离不小于0.55m． 素材3 某高速公路准备修建一个单向双车道（两个车道的宽度一样）的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线和矩形构成（如图）．每条车道的宽为x m（其中3.5≤x≤3.75），车道两端（M、N）与隧道两侧的距离均为1m． 问题解决 问题1 确定单向双车道隧道的宽度 估计将要修建的隧道宽度（AA1）的合理范围． 问题2 设计隧道的抛物线部分 已知要修建的隧道矩形部分AA1＝9m，AB＝2.95m．求抛物线的解析式． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课 二次函数的实际应用 ( 目标导航 ) 学习目标 1.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 2.会运用二次函数解决实际问题中的最值问题 ( 知识精讲 ) 知识点01 根据实际问题列二次函数表达式 根据实际问题确定二次函数表达式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题. 知识点02 二次函数的实际应用 在实际生活中存在很多抛物线型问题，还有很多“利润最大”“用量最少”“面积最大”“路程最短”等问题，它们都会用到二次函数的图象和性质来描述问题，解决这类问题的步骤： （1）设出两个变量； （2）写出函数表达式或画出图象； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用二次函数的性质求解； （5）用求得的解来解释实际问题. 　　 ( 能力拓展 )考点01 根据实际问题列二次函数表达式 【典例1】如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为30m，门宽是2m，若设这块场地的宽为xm． （1）求场地的面积y（m2）与x（m）之间的函数关系式； （2）写出自变量x的取值范围． 【思路点拨】（1）由篱笆总长为30m，门宽是2m，以及这块场地的宽为xm，得到这块场地的长为（32﹣2x）m，再利用矩形的面积公式即可列出矩形面积y与x的关系式； （2）由场地的长32﹣2x＞0，求出自变量x的取值范围即可． 【解析】解：（1）由题意得y＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x； （2）∵32﹣2x＞0， ∴x＜16， 又∵门宽是2m， ∴x≥2， ∴2≤x＜16． 【点睛】此题考查了根据实际问题列二次函数关系式，属于与实际生活密切相关的问题相联系的应用题，找出题中的等量关系是解决本题的关键；易错点是根据篱笆长得到这块场地的长． 【即学即练1】某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）当x＝20%时，今年的总产值为多少万元？ 【思路点拨】（1）利用今年的总产值＝前年生产总值×（1+去年比前年的年增长率）×（1+今年比去年的年增长率），即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入x＝20%，求出y值即可得出结论． 【解析】解：（1）依题意得：y＝10（1+x）（1+x）， 即y＝10（1+x）2． （2）当x＝20%时，y＝10×（1+20%）2＝14.4． 答：当x＝20%时，今年的总产值为14.4万元． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式以及代数式求值，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）代入x＝20%，求出y值． 考点02 二次函数的实际应用 【典例2】“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在端午节来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒定价为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为P盒． （1）当x＝60时，P等于 　400　； （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ （3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？ 【思路点拨】（1）日销售量＝原定价下的销售量﹣10×提价后的价格，把相关数值代入可得P的值； （2）日销售利润＝每盒粽子的利润×日销售量，整理后根据自变量的取值范围可得每盒粽子的定价及对应的最大利润； （3）得到日销售额和日销售利润的最大值，可得小强的说法是否正确；根据日销售利润不低于8000元，以及自变量的取值可得每盒的售价，即可判断小红的说法是否正确． 【解析】解：（1）当x＝60时，p＝500﹣10（60﹣50）＝400． 故答案为：400． （2）由题意得：． 解得：50≤x≤65． W＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] ＝﹣10x2+1400x﹣40000 ＝﹣10（x﹣70）2+9000． ∵﹣10＜0， ∴当x＜70时，W随x的增大而增大． ∴当 x＝65时，W取最大值，最大值为8750元． 答：当每盒售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是8750元； （3）设日销售额为y元， ∴y＝x[500﹣10（x﹣50）] ＝﹣10x2+1000x ＝﹣10（x﹣50）2+25000． 当 x＝50时，y取最大值，最大值为25000元； 当 x＝65 时，W取最大值，最大值为8750元． ∴小强正确． 由题意得：﹣10（x﹣70）2+9000≥8000， 解得：60≤x≤80． ∵50≤x≤65， ∴当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65． ∴小红错误． 【点睛】本题考查二次函数的应用．得到日销售量的代数式是解决本题的关键；根据自变量的取值判断二次函数的最值是解决本题的易错点． 【即学即练2】某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场地面积雪厚达40cm，整个赛道长150m，全天共可容纳约3300人滑雪嬉戏．小明和小华相约去体验滑雪，小明从赛道顶端A处下滑，测得小明离A处的距离s（单位：m）随运动时间x（单位：s）变化的数据，整理得下表． 滑行时间x/s 0 1 2 3 4 滑行距离s/m 0 6 14 24 36 经验证小明离A处的距离s与运动时间x之间是二次函数关系． 小明出发的同时，小华在距赛道终点30m的B处操控一个无人机沿着赛道方向以2m/s的速度飞向小明，无人机离A处的距离y（单位：m）与运动时间x（单位：s）之间是一次函数关系． （1）直接写出s关于x的函数解析式和y关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）小明滑完整个赛道需要耗时多久？ （3）小明出发多久后与无人机相遇？ 【思路点拨】（1）设s关于x的函数解析式为s＝ax2+bx+c，用待定系数法可得s＝x2+5x；根据题意得y＝150﹣30﹣2x＝﹣2x+120， （2）在s＝x2+5x中，令s＝150可解得小明滑完整个赛道需要耗时10s； （3）由x2+5x＝﹣2x+120可解得小明出发8s与无人机相遇． 【解析】解：（1）设s关于x的函数解析式为s＝ax2+bx+c， 将（0，0），（1，6），（2，14）代入得： ， 解得， ∴s＝x2+5x； 根据题意得y＝150﹣30﹣2x＝﹣2x+120， ∴s关于x的函数解析式为s＝x2+5x，y关于x 的函数解析式为y＝﹣2x+120； （2）在s＝x2+5x中，令s＝150得： 150＝x2+5x， 解得x＝10或x＝﹣15（舍去）， ∴小明滑完整个赛道需要耗时10s； （3）由x2+5x＝﹣2x+120得：x＝8或x＝﹣15， ∴小明出发8s与无人机相遇． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为20m，设长方形靠墙的一边长为x m，面积为y m2，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　　） A．y＝20x B．y＝20﹣2x C． D．y＝x（20﹣2x） 【思路点拨】利用长方形面积等于长乘宽计算即可． 【解析】解：由题意得：长方形靠墙的一边长为x m，则平行墙的边长为（20﹣2x）m， ∴面积y＝x（20﹣2x）， 故选：D． 【点睛】本题考查根据实际问题列函数关系式，找出数量关系是解答本题的关键． 2．长方形的周长为24cm，其中一边长为x cm（其中x＞0），面积为y cm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（　　） A．y＝x2 B．y＝12﹣x2 C．y＝（12﹣x）•x D．y＝2（12﹣x） 【思路点拨】先得到长方形的另一边长，那么面积＝一边长×另一边长． 【解析】解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0）， ∴长方形的另一边长为12﹣x， ∴y＝（12﹣x）•x． 故选：C． 【点睛】考查列二次函数关系式；得到长方形的另一边长是解决本题的关键点． 3．将商品按单件利润为20元售出时，能卖出100个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（20+x）（100﹣5x） B．y＝（20﹣x）（100﹣5x） C．y＝（20﹣x）（100+5x） D．y＝（20+x）（100+5x） 【思路点拨】根据总利润等于每个利润乘上销售量，依题意：设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，即利润为每个（20+x）元，销售量为（100﹣5x）个，结合获得的利润为y元，可列方程． 【解析】解：根据题意可得：利润为每个（20+x）元，销售量为（100﹣5x）个， 那么y＝（20+x）（100﹣5x）， 故选：A． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”． 4．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝﹣x2+10x B．y＝x2﹣10x C．y＝﹣x2+20x D．y＝x2﹣20x 【思路点拨】先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积＝长×宽，即可得出答案． 【解析】解：由题意得：矩形的周长为20米，一边长为x米， ∴矩形的另一边长为（10﹣x）米， ∴y＝（10﹣x）x ＝﹣x2﹣10x， 故选：A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，掌握“矩形面积＝长×宽”是解决问题的关键． 5．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式h＝﹣5t2+15t，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（　　） A．4秒 B．3秒 C．2秒 D．1秒 【思路点拨】令h＝0，求出t的值即可． 【解析】解：∵h＝﹣5t2+15t， ∴当h＝0时，即：0＝﹣5t2+15t， 解得：t＝0或t＝3， ∴球弹起后又回到地面所经过的时间t是3秒． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质，是解题的关键． 6．某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是 　y＝200（1+x）2　． 【思路点拨】利用玩具厂9月份生产该玩具的数量＝玩具厂7月份生产该玩具的数量×（1+该玩具的月平均增长率）2，即可找出y与x之间的函数表达式． 【解析】解：根据题意得：y＝200（1+x）2． 故答案为：y＝200（1+x）2． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数表达式是解题的关键． 7．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为　y＝﹣（x﹣20）2+16　． 【思路点拨】根据题意，抛物线的顶点坐标是（20，16），并且过（0，0），利用抛物线的顶点坐标式待定系数法求它的表达式则可． 【解析】解：设y＝a（x﹣20）2+16， 因为抛物线过（0，0）， 所以代入得： 400a+16＝0， 解得a＝﹣， 故此抛物线的函数关系式为： y＝﹣（x﹣20）2+16． 故答案为：y＝﹣（x﹣20）2+16． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法以及二次函数的应用，根据已知得出图象上点的坐标是解题关键． 8．电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在铅售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系y＝﹣2x+320（其中100≤x≤120，且x为整数），电商平台每周销售这款玩具所获的最大利润是 　1600　元． 【思路点拨】依据题意，先求出利润关于售价x的函数关系式，再化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可得到利润的最大值． 【解析】解：由题意，利润w＝（x﹣100）（﹣2x+320）＝﹣2（x﹣130）2+1800． ∵﹣2＜0， ∴当x＜130时，y随x的增大而增大． 又∵100≤x≤120， ∴当x＝120时，w取得最大值，此时w＝1600． 答：当每件玩具售价为120元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1600元． 故答案为：1600． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质解题是关键． 9．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式． 【思路点拨】（1）当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，y＝260﹣x，50≤x≤80，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y＝420﹣3x，80＜x＜140， （2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式， 【解析】解：（1）当50＜x≤80时，y＝210﹣（x﹣50），即y＝260﹣x， 当80＜x＜140时，y＝210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y＝420﹣3x． 则y＝； （2）由题意可得， W＝﹣x2+300x﹣10400（50＜x≤80）， W＝﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140）． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解决本题的关键． 10．小郭在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）． （1）直接写出y与x的函数关系式． （2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？ （3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售所获利润最大，并求出此时的最大利润． 【思路点拨】（1）根据“销售单价每提高1元日销量将会减少10件”可写出函数表达式y＝200﹣10（x﹣8），化简即可； （3）利润＝（单价﹣定价）×日销售量，通过这个公式可得出日销售利润的函数表达式，将w＝720代入表达式，即可求出销售单价的值； （3）根据第二问即可写出日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，根据二次函数的性质，即可得出答案． 【解析】解：（1）根据题意得，y＝200﹣10（x﹣8）＝﹣10x+280， 故y与x的函数关系式为y＝﹣10x+280； （2）根据题意得，（x﹣6）（﹣10x+280）＝720， 解得：x1＝10，x2＝24（不合题意舍去）， 答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元； （3）根据题意得， w＝（x﹣6）（﹣10x+280）＝﹣10（x﹣17）2+1210， ∵﹣10＜0， ∴当x＜17时，w随x的增大而增大， ∴当x＝12时，w所获利润最大，为960元， 答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 题组B 能力提升练 11．如图，在长为30米、宽为20米的矩形花坛中横向修建1条、纵向修建2条宽都为x米的小路（阴影部分），空白处为绿地，面积为y平方米，则绿地面积y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（30﹣2x）（20﹣x） B．y＝（30+x）（20﹣x） C．y＝（2x﹣30）（x﹣20） D．y＝（30﹣2x）（20+2x） 【思路点拨】将图中阴影部分进行移动，可得绿地的面积是长为（30﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形的面积，以此即可求解． 【解析】解：将图中的阴影部分按如图所示进行移动， 则空白部分为矩形，长为（30﹣2x）米，宽为（20﹣x）米， ∴绿地面积y与x之间的函数表达式为y＝（30﹣2x）（20﹣x）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数，将图形进行适当的处理是解题关键． 12．如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若OA＝10m，抛物线的顶点P到OA的距离为9m，则抛物线对应的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意得出A（10，0），P（5，9），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，把P（5，9）代入得y＝a（x﹣5）2+9，再把A（10，0）代入求出a的值，即可得出抛物线表达式．解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式． 【解析】解：∵OA＝10m，抛物线的顶点P到OA的距离为9m， ∴A（10，0），P（5，9）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k， 把P（5，9）代入得：y＝a（x﹣5）2+9， 把A（10，0）代入得：0＝a（10﹣5）2+9， 解得：， ∴抛物线表达式为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的表达式，熟练掌握待定系数法求解析式是关键． 13．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝2（1+x）2 B．y＝（2+x）2 C．y＝2+2x2 D．y＝（1+2x）2 【思路点拨】设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有y人患了这种传染病，即可得出y与x的函数关系式． 【解析】解：根据题意可得，y与x的函数关系式为：y＝2+2x+（2+2x）x＝2（1+x）2． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，正确表示出传染人数是解题关键． 14．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6s；②小球运动中的高度可以是30m； ③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】令h＝0，解方程求出t的值，即可判断①；求出h的最大值，即可判断②；分别求出t＝2和t＝5时h的值是，即可判断③． 【解析】解：①令h＝0，则30t﹣5t2＝0， 解得t1＝0，t2＝6， ∴小球从抛出到落地需要6s， 故①正确； ②h＝30t﹣5t2＝﹣5（t2﹣6t）＝﹣5（t﹣3）2+45， ∵﹣5＜0， ∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45， ∴小球运动中的高度可以是30m， 故②正确； ③t＝2时，h＝30×2﹣5×4＝40（m）， t＝5时，h＝30×5﹣5×25＝25（m）， ∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度， 故③错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用．解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果． 15．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S米2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750米2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 【思路点拨】（1）依据题意，2x+y＝80，从而y＝﹣2x+80，再由0＜﹣2x+80≤42，且x＞0，可得x的范围，又S＝AB•BC＝x（﹣2x+80），进而可以得解； （2）依据题意，令S＝﹣2x2+80x＝750，解方程即可判断得解； （3）依据题意，根据（1）S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，从而依据二次函数的性质即可判断得解． 【解析】解：（1）由题意，2x+y＝80， ∴y＝﹣2x+80． 由0＜﹣2x+80≤42，且x＞0， ∴19≤x＜40． 由题意，S＝AB•BC＝x（﹣2x+80）， ∴S＝﹣2x2+80x（19≤x＜40）． （2）由题意，令S＝﹣2x2+80x＝750， ∴x＝15（舍去）或x＝25． 答：当x＝25时，围成的矩形花圃的面积为750米2． （3）由题意，根据（1）S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800， 又∵﹣2＜0，且19≤x＜40， ∴当x＝20时，S取最大值为800． 答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800米2，此时x的值为20． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 16．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A点出发，沿AB边向B点以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点在分别达到B、C两点后就停止移动，回答下列问题： （1）运动开始后第T秒时，△PBQ的面积等于8cm2． （2）设运动开始后第T秒时，五边形PQCDA的面积为Scm2，写出S与T的函数关系式，并指出自变量T的取值范围； （3）T为何值时S最小？求出S的最小值． 【思路点拨】（1）表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于8列式求值即可； （2）根据t秒时，P、Q两点的运动路程，分别表示PB、BQ的长度，可得△BPQ的面积，用S＝S矩形ABCD﹣S△PBQ求面积即可； （3）将（1）中所求函数式配方，可得函数的最小值． 【解析】解：（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm2． 则AP＝x，QB＝2x． ∴PB＝6﹣x． ∴×（6﹣x）2x＝8， 解得x1＝2，x2＝4． 答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2． （2）第T秒钟时，AP＝tcm，故PB＝（6﹣T）cm，BQ＝2Tcm， 故S△PBQ＝•（6﹣T）•2T＝﹣T2+6T， ∵S矩形ABCD＝6×12＝72． ∴S＝72﹣S△PBQ＝T2﹣6T+72（0＜t＜6）； （3）∵S＝T2﹣6T+72＝（T﹣3）2+63， ∴当T＝3秒时，S有最小值63cm2． 【点睛】本题考查了二次函数的最值在解决面积问题中的运用．关键是根据所设字母，表示相关线段的长度，再计算面积，把所得的代数式看作二次函数求最值. 题组C 培优拔尖练 17．李叔叔为了充分利用现有资源，计划用一块矩形空地种植两种蔬菜，如图，矩形ABCD的一面靠墙（墙的长度为12m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏EF把它分成两个矩形，已知栅栏的总长度为27m，若EF＝x m，矩形ABCD的面积为y m2，则y关于x的函数表达式及x的取值范围正确的是（　　） A．y＝﹣3x2+27x（0＜x＜9） B．y＝﹣3x2+27x（5≤x＜9） C．y＝﹣2x2+27x（0＜x＜9） D．y＝﹣x2+27x（5≤x＜9） 【思路点拨】根据各边长度间的关系，可得出BC＝（27﹣3x）m，利用矩形的面积公式，可得出y关于x的函数表达式，结合墙的长度为12m且各边长度为正值，可得出x的取值范围． 【解析】解：∵栅栏的总长度为27m，EF＝x m， ∴BC＝（27﹣3x）m． 根据题意得：y＝EF•BC， ∴y＝x（27﹣3x），即y＝﹣3x2+27x． 又∵墙的长度为12m，且各边长度为正值， ∴， 解得：5≤x＜9， ∴y关于x的函数表达式为y＝﹣3x2+27x（5≤x＜9）． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数表达式是解题的关键． 18．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB．有下列结论： ①x的取值范围为5≤x≤10； ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2； ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】根据墙长为18m，AD≥AB，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断①；根据矩形的面积＝100列出方程，解方程求x的值，可以判断②；利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积，可以判断③． 【解析】解：设这个菜园垂直于墙的一边AB的长为x m．则BC的长为（30﹣2x）米， ∵墙长为18m，AD≥AB， ∴ 解得， ∴x的取值范围为6≤x≤10， 故①错误； 根据题意得：x（30﹣2x）＝100， 解得x1＝5，x2＝10， ∵6≤x≤10， ∴x＝10， ∴AB的长有1个值满足该矩形菜园的面积为100m2， 故②错误； 根据题意得：S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣）2+， ∵﹣2＜0，6≤x≤10， ∴当x＝时，S有最大值，最大值为， 故③正确． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键． 19．某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，则t的取值范围是（　　） A．0≤t≤600 B．20≤t≤40 C．0≤t≤40 D．0≤t≤20 【思路点拨】依据题意，由于飞机着陆，不会倒着跑，从而当S取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围即可． 【解析】解：由题意，＝﹣（t2﹣40t+400）+600＝﹣（t﹣20）2+600． ∴当t＝20时，飞机停了下来． ∴0≤t≤20． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键． 20．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出 　2.5　秒时，两个小球在空中的高度相同． 【思路点拨】根据题意和二次函数的性质，可以得到第二个小球抛出多少秒时，两个小球在空中的高度相同． 【解析】解：∵h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45， ∴该函数的对称轴是直线t＝3， ∵抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球，两个小球在空中的高度相同， ∴第二个小球抛出3﹣0.5＝2.5秒时，两个小球在空中的高度相同， 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 21．某超市购进一批成本为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若超市按单价不低于成本价，且不高于55元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？ 【思路点拨】（1）依据题意，设该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝kx+b，从而将图中数据代入建立方程组，求出k，b即可得解； （2）依据题意，可得20≤x≤55，再结合w＝（x﹣20）（﹣x+100）＝﹣（x﹣60）2+1600，从而当x＜60时，y随x的增大而增大，进而可以判断得解． 【解析】解：（1）由题意，设该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝kx+b， ∴． ∴． ∴所求函数关系式为y＝﹣x+100． （2）由题意得，20≤x≤55． 又∵w＝（x﹣20）（﹣x+100） ＝﹣x2+120x﹣2000 ＝﹣（x﹣60）2+1600， ∴当x＜60时，y随x的增大而增大． ∴当x＝55时，w有最大值为：﹣（55﹣60）2+1600＝1575（元）． ∴销售单价定为55元时，才能使销售该商品每天获得的利润w最大． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用和一次函数的应用，解题时要能熟练掌握并正确求出函数关系式是关键． 22．综合与实践 主题：设计高速公路的隧道 情境素材 素材1 高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高速公路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车靠右行驶． 素材2 据调查，一般的大型货车宽2.4m，车货总高度从地面算起不超过4m．为了保证行驶的安全，货车右侧顶部与隧道的竖直距离不小于0.55m． 素材3 某高速公路准备修建一个单向双车道（两个车道的宽度一样）的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线和矩形构成（如图）．每条车道的宽为x m（其中3.5≤x≤3.75），车道两端（M、N）与隧道两侧的距离均为1m． 问题解决 问题1 确定单向双车道隧道的宽度 估计将要修建的隧道宽度（AA1）的合理范围． 问题2 设计隧道的抛物线部分 已知要修建的隧道矩形部分AA1＝9m，AB＝2.95m．求抛物线的解析式． 【思路点拨】问题一：根据车道的宽度范围，结合AA1＝AM+A1N+MN，即可求解； 问题二：AA1中点O，建立坐标系，作NP⊥AA1，求出点B点P的坐标，代入抛物线表达式，即可求解． 【解析】解：问题1：∵每条车道的宽为x m（其中3.5≤x≤3.75），AM＝A1N＝1m，MN＝2x m，AA1＝AM+A1N+MN，AA1＝2x+2， ∵3.5m≤x≤3.75m， ∴9m≤AA1≤9.5m． 问题2：取AA1中点O，以AA1为x轴，建立坐标系，作NP⊥AA1交抛物线于点P， 设抛物线表达式为y＝ax2+c， ∵AA1＝9m，OA1＝AA1＝9＝4.5m，A1B1＝AB＝2.95m， ∴B1（4.5，2.95）， 由题意得NP＝4+0.55＝4.55m， ∴P（3.5，4.55）， 将B1（4.5，2.95）、P（3.5，4.55）代入y＝ax2+c， 得， 解得：， ∴抛物线表达式为y＝﹣x2+7． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立适当直角坐标系． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$