第3课 二次函数的性质-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第3课 二次函数的性质 ( 目标导航 ) 学习目标 1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念，会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性. ( 知识精讲 ) 知识点01 二次函数的解析式 1.二次函数解析式的表示方法 （1） 一般式：（，，为常数，）； （2） 顶点式：（，，为常数，）； （3） 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2.二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法． 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便． 一般来说，有如下几种情况： （1） 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2） 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 知识点02 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 知识点03 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. ( 能力拓展 ) 考点01 二次函数的解析式 【典例1】根据下列条件，分别求二次函数的表达式 （1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）； （2）已知图象经过点（3，0），（2，﹣3），并以直线x＝0为的对称轴． 【即学即练1】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（1，4）和点B（﹣2，4）． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； （2）求这条抛物线的对称轴． 考点02 二次函数的增减性 【典例2】已知二次函数y＝﹣2x2+4x+3． （1）求开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 【即学即练2】二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（　　） A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1 考点03 二次函数的最值 【典例3】已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）． （1）求b，c的值； （2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差． 【即学即练3】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣2（a＜0）与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及该抛物线的对称轴； （2）当﹣1≤x≤3时，y的最大值是2，求当﹣1≤x≤3时，y的最小值． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝1 C．抛物线的顶点坐标为（1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 2．二次函数y＝﹣（x﹣2）2+7的最大值是（　　） A．7 B．﹣7 C．2 D．﹣2 3．二次函数y＝2x2﹣8x+1的最小值是（　　） A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣9 4．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（　　） A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4 C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4 5．当函数y＝（x﹣1）2﹣2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x＜1 C．x＞1 D．x为任意实数 6．已知二次函数y＝﹣kx2+3kx﹣1﹣k的图象与y轴交于正半轴，且A（1，y1），B（3，y2），C（﹣1，y3）是图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3 7．在二次函数y＝﹣x2+2x+3中，当0＜x＜3时，y的取值范围是（　　） A．0＜y＜3 B．1＜y＜4 C．0＜y≤4 D．﹣4≤y＜0 8．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：　 　． 9．根据下列条件，分别求出相应的二次函数表达式． （1）二次函数图象的顶点为（﹣1，3），图象经过（2，9）； （2）二次函数图象经过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）． 10．已知，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（﹣2，﹣9）和（1，6）． （1）求b，c的值； （2）求该函数图象的顶点坐标，并指出x满足什么条件时，y随x的增大而减小． 11．已知二次函数y＝mx2+（m﹣1）x+m﹣1有最小值为0，求m的值． 题组B 能力提升练 12．已知抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标为A（3，3），则该抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 13．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣7，则函数y的取值范围是（　　） A．y＞0 B．y≥3 C．y≤﹣7 D．y≤2 14．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝t，点A（2，m），B（4，n）在这个二次函数的图象上，若1＜t＜2，则m、n、c的大小关系是（　　） A．m＜c＜n B．m＜n＜c C．c＜m＜n D．m＜n＝c 16．若点（m，n）在二次函数y＝﹣x2+1的图象上，则m+n的最大值是（　　） A．0 B． C． D．2 17．已知二次函数y＝（a﹣1）x2+2ax+3a﹣2的图象的最低点在x轴上，则a＝　　． 18．已知y＝2x﹣1，且，令S＝xy，则函数S的取值范围是 　　． 19．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣1，0），（0，3）． （1）求b，c的值； （2）已知k为正数，当0＜x≤1+k时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n＝7，求k的值． 20．已知二次函数y＝ax2+（3﹣a）x﹣3（a≠0）． （1）若其图象经过点（﹣3，0），求此二次函数的表达式； （2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数图象上两个点，满足x1+x2＝2且x1＜x2，试比较y1和y2的大小关系． 21．已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣8a（a≠0）． （1）若二次函数图象与y轴交于点C（0，4）．求二次函数的表达式． （2）当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣8，求a的值． 22．已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0） （1）该抛物线的对称轴为 　　； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值； （3）设点M（m，y1），N（2，y2）该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围． 题组C 培优拔尖练 23．设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（　　） A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a 24．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数）在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 25．已知二次函数y＝x2+bx+c． （1）当b＝2，c＝﹣5时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当y≥﹣2时，求x的取值范围． （2）当x＜0时，y的最小值为﹣2；当x≥0时，y的最小值为3，求二次函数的表达式． 26．在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣1，m），N（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t． （1）若m＝n，求t的值； （2）若c＜m＜n，求t的取值范围． 27．已知二次函数y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0）的图象过不同的三点A（n，y1），B（1﹣n，y2），C（﹣1，y3）． （1）若二次函数的最大值为4，求a的值． （2）若y1＞y2＞y3，求n的取值范围． 28．在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a＞0）上的三个点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若对于﹣2＜x1＜﹣1，2＜x2＜3，都有y1y2＜0，求证：3a﹣2＝0； （3）若对于2＜x2＜3，m＜x3＜m+1，都有y3＞y2，求m的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课 二次函数的性质 ( 目标导航 ) 学习目标 1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念，会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性. ( 知识精讲 ) 知识点01 二次函数的解析式 1.二次函数解析式的表示方法 （1） 一般式：（，，为常数，）； （2） 顶点式：（，，为常数，）； （3） 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2.二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法． 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便． 一般来说，有如下几种情况： （1） 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2） 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 知识点02 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 知识点03 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. ( 能力拓展 ) 考点01 二次函数的解析式 【典例1】根据下列条件，分别求二次函数的表达式 （1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）； （2）已知图象经过点（3，0），（2，﹣3），并以直线x＝0为的对称轴． 【思路点拨】（1）根据顶点坐标设出抛物线顶点式，把（0，﹣6）代入求出a的值，即可确定出解析式； （2）根据抛物线以直线x＝0为对称轴，设出抛物线解析式，把已知两点坐标代入求出a与c的值，即可求出解析式． 【解析】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣8， 把（0，﹣6）代入得：﹣6＝a﹣8，即a＝2， 则二次函数解析式为y＝2（x+1）2﹣8＝2x2+4x﹣6； （2）根据题意设抛物线解析式为y＝ax2+c， 把（3，0）与（2，﹣3）代入得：， 解得：a＝，c＝﹣， 则抛物线解析式为y＝x2﹣． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【即学即练1】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（1，4）和点B（﹣2，4）． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； （2）求这条抛物线的对称轴． 【思路点拨】（1）把A（1，4）和点B（﹣2，4）代入y＝ax2+bx中解方程组求出a、b即可； （2）按照对称轴公式求解即可． 【解析】解：（1）抛物线y＝ax2+bx经过点A（1，4）和点B（﹣2，4）， ∴， 解得， ∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y＝2x2+2x； （2）y＝2x2+2x的对称轴， 故这条抛物线的对称轴． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及抛物线的对称轴，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 考点02 二次函数的增减性 【典例2】已知二次函数y＝﹣2x2+4x+3． （1）求开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 【思路点拨】（1）根据二次函数的性质进行解答即可； （2）根据对称轴的开口方向朝下，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而增大减小进行解答即可． 【解析】解：（1）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5， ∵﹣2＜0， ∴抛物线的开口向下， 对称轴为：直线x＝1，顶点坐标为：（1，5）； （2）∵抛物线的开口向下， ∴x＞1时，y随x增大而减小，x＜1时，y随x增大而增大． 【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【即学即练2】二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（　　） A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1 【思路点拨】由二次函数的性质可确定出a的范围． 【解析】解：∵y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，对称轴为x＝t， ∴a＜0， ∵当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴t≤1， ∴a＜0，t≤1． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 考点03 二次函数的最值 【典例3】已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）． （1）求b，c的值； （2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差． 【思路点拨】（1）（0，3）是与y轴的交点，可得c＝3，再将（6，3）代入求值，可求得b的值； （2）根据二次函数的解析式y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6；当0≤x≤4时，仅当x＝0时，y取得最大值；仅当x＝3时，y取得最小值；再计算y的最大值与最小值之差． 【解析】解：（1）∵函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）， ∴c＝3，y＝x2+bx+3， 将点（6，3）代入可得：3＝62+6b+3，解得：b＝﹣6， ∴b＝﹣6，c＝3； （2）y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6， 当0≤x≤4时， ①仅当x＝3时，y取得最小值，此时y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6； ②仅当x＝0时，y取得最大值，此时y＝（0﹣3）2﹣6＝3； 3﹣（﹣6）＝9， ∴当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差为9； 【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的特点，并用分类讨论思想分析计算求值是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 【即学即练3】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣2（a＜0）与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及该抛物线的对称轴； （2）当﹣1≤x≤3时，y的最大值是2，求当﹣1≤x≤3时，y的最小值． 【思路点拨】（1）令x＝0，求得函数值即可求得A的坐标，把解析式化成顶点时即可求得对称轴； （2）将二次函数解析式化为顶点式，从而可得a的值，进而求解． 【解析】解：（1）∵点A是抛物线 y＝ax2﹣4ax﹣2 （a＜0）与y轴的交点， ∴将 x＝0 代入 y＝ax2﹣4ax﹣2 得，y＝﹣2， ∴点A的坐标为（0，﹣2）， ∵y＝ax2﹣4ax﹣2＝a（x﹣2）2﹣4a﹣2（a＜0）， ∴抛物线 y＝ax2﹣4ax﹣2（a＜0）的对称轴为直线x＝﹣＝2； （2）抛物线 y＝ax2﹣4ax﹣2 （a＜0）的顶点坐标为（2，﹣4a﹣2）， ∵当﹣1≤x≤3时，y的最大值是2， 又∵抛物线 y＝ax2﹣4ax﹣2 （a＜0）的对称轴为直线x＝2， ∴该抛物线顶点的纵坐标即为y的最大值， ∴﹣4a﹣2＝2， ∴a＝﹣1， ∴抛物线的表达式为 y＝﹣x2+4x﹣2， ∴当﹣1≤x≤3时，有x＝﹣1时，y取得最小值为﹣7． 【点睛】本题考查二次函数的最值，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝1 C．抛物线的顶点坐标为（1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【思路点拨】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【解析】解：抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； 由解析式得，对称轴为直线x＝1，因此B选项正确，不符合题意； 由解析式得，当x＝1时，y取最小值，最小值为2，所以抛物线的顶点坐标为（1，2），因此C选项正确，不符合题意； 因为抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，因此当x＞1时，y随x的增大而增大，因此D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）． 2．二次函数y＝﹣（x﹣2）2+7的最大值是（　　） A．7 B．﹣7 C．2 D．﹣2 【思路点拨】根据二次函数的性质解答即可． 【解析】解：在二次函数的y＝﹣（x﹣2）2+7中，a＝﹣1＜0，顶点坐标（2，7）， 则函数y＝﹣（x﹣2）2+7有最大值7． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，正确记忆相关知识点是解题关键． 3．二次函数y＝2x2﹣8x+1的最小值是（　　） A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣9 【思路点拨】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解． 【解析】解：∵二次函数有最小值， ∴＝﹣7， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最大（小）值公式是解题的关键． 4．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（　　） A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4 C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4 【思路点拨】设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+4，将（0，﹣4）代入上式，即可求解； 【解析】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k， 则抛物线表达式为y＝a（x﹣2）2+4， 将（0，﹣4）代入上式得，﹣4＝a（0﹣2）2+4，解得a＝﹣2， 故抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+4． 故选：C． 【点睛】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：y＝a（x﹣h）2+k或y＝a（x+m）2+k 5．当函数y＝（x﹣1）2﹣2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x＜1 C．x＞1 D．x为任意实数 【思路点拨】利用二次函数的增减性求解即可，并画出了图形，可直接看出． 【解析】解：对称轴是：x＝1，且开口向上，如图所示， ∴当x＜1时，函数值y随着x的增大而减小； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质． 6．已知二次函数y＝﹣kx2+3kx﹣1﹣k的图象与y轴交于正半轴，且A（1，y1），B（3，y2），C（﹣1，y3）是图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3 【思路点拨】先根据二次函数y＝﹣kx2+3kx﹣1﹣k的图象与y轴交于正半轴，得出k＜﹣1，则抛物线开口向上，进而得出对称轴为直线，根据离对称轴越远的点的函数值越大，即可求解． 【解析】解：∵二次函数y＝﹣kx2+3kx﹣1﹣k的图象与y轴交于正半轴， ∴﹣1﹣k＞0， 解得：k＜﹣1，则﹣k＞0， ∴抛物线开口向上， 由y＝﹣kx2+3kx﹣1﹣k可得抛物线的对称轴为直线， ∵A（1，y1），B（3，y2），C（﹣1，y3）是图象上的三个点， ∵， ∴y3＞y2＞y1． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a＞0时，抛物线开口向上，此时函数有最小值；当a＜0时，抛物线开口向下，此时函数有最大值． 7．在二次函数y＝﹣x2+2x+3中，当0＜x＜3时，y的取值范围是（　　） A．0＜y＜3 B．1＜y＜4 C．0＜y≤4 D．﹣4≤y＜0 【思路点拨】由二次函数解析式可求得对称轴及开口方向，再利用二次函数的增减性可分别求得y的最大值和最小值即可求得答案． 【解析】解：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∵﹣1＜0，对称轴为x＝1， ∴当x＝1时，y有最大值，最大值为4， ∵3﹣1＞1﹣0， ∴当x＝3时，y有最小值0， ∴当0＜x＜3时，y的取值范围是0＜y≤4， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 8．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：　y＝x2+2　． 【思路点拨】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c＝2即可． 【解析】解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式可以为y＝x2+2， 故答案为：y＝x2+2（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 9．根据下列条件，分别求出相应的二次函数表达式． （1）二次函数图象的顶点为（﹣1，3），图象经过（2，9）； （2）二次函数图象经过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）． 【思路点拨】（1）根据顶点坐标设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+3，把点（2，9）代入可求出a值，即可得答案； （2）根据交点坐标设二次函数的表达式为y＝a（x+3）（x﹣1），把点（0，﹣3）代入可求出a值，即可得答案． 【解析】解：（1）设函数表达式为y＝a（x+1）2+3，其中a≠0． 由图象经过（2，9），得9＝a（2+1）2+3． 解得． ∴该二次函数表达式为或． （2）设函数表达式为y＝a（x+3）（x﹣1），其中a≠0． 由图象经过（0，﹣3），得﹣3＝﹣3a． 解得a＝1． ∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3． ∴所求二次函数表达式为y＝x2+2x﹣3． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；熟练掌握并灵活运用以上三种解析式是解答此题的关键． 10．已知，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（﹣2，﹣9）和（1，6）． （1）求b，c的值； （2）求该函数图象的顶点坐标，并指出x满足什么条件时，y随x的增大而减小． 【思路点拨】（1）将点（﹣2，﹣9）和（1，6）的坐标代入解析式求出bc值即可； （2）将抛物线解析式配方变成顶点式y＝﹣（x﹣2）2+7，根据二次函数性质可得顶点坐标和x＞2时y随x的增大而减小即可． 【解析】解：（1）将点（﹣2，﹣9）和（1，6）的坐标代入解析式得： ， 解得， ∴b＝4，c＝3， （2）∵b＝4，c＝3， ∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x+3， 化为顶点式为：y＝﹣（x﹣2）2+7， 该抛物线对称轴为直线x＝2，开口方向向下，顶点坐标为（2，7）， 当x＞2时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解题的关键． 11．已知二次函数y＝mx2+（m﹣1）x+m﹣1有最小值为0，求m的值． 【思路点拨】先根据二次函数y＝mx2+（m﹣1）x+m﹣1有最小值，得出二次项系数m＞0，再根据最小值是0列式计算即可得解． 【解析】解：∵y＝mx2+（m﹣1）x+m﹣1有最小值0， ∴＝0，m＞0， 解得：m＝1． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟记顶点坐标公式是解题的关键，同时考查了二次函数的性质． 题组B 能力提升练 12．已知抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标为A（3，3），则该抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意，抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标为A（3，3），得到对称轴经过点A（3，3），列出式子，求出答案． 【解析】解：由题意得： 抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标为A（3，3）， ∴对称轴经过点A（3，3）， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法是解答本题的关键． 13．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣7，则函数y的取值范围是（　　） A．y＞0 B．y≥3 C．y≤﹣7 D．y≤2 【思路点拨】依据题意，由y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，从而可得抛物线开口向下，当x＝3时，取最大值为2，进而由二次函数的性质进行判断可以得解． 【解析】解：由题意，∵y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2， ∴抛物线开口向下，当x＝3时，取最大值为2． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 14．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 【思路点拨】根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题． 【解析】解：由题知， ， 解得， 所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x． 因为a＝﹣1＜0， 所以抛物线的开口向下． 故A选项不符合题意． 因为y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1， 所以当x＞1时，y随x的增大而减小． 故B选项不符合题意． 令y＝0得， ﹣x2+2x＝0， 解得x1＝0，x2＝2， 所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）． 又因为抛物线的顶点坐标为（1，1）， 所以抛物线经过第一、三、四象限． 故C选项不符合题意． 因为二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1． 故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，能用待定系数法求出二次函数解析式及熟知二次函数的性质是解题的关键． 14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝t，点A（2，m），B（4，n）在这个二次函数的图象上，若1＜t＜2，则m、n、c的大小关系是（　　） A．m＜c＜n B．m＜n＜c C．c＜m＜n D．m＜n＝c 【思路点拨】依据题意，由对称轴是直线x＝t，从而当x＝0时的函数值与x＝2t时的函数值相同均为c，又a＞0，故抛物线开口向上，即有当x＞t时，y随x的增大而增大，又1＜t＜2，则2＜2t＜4，进而可以判断得解． 【解析】解：由题意，∵对称轴是直线x＝t， ∴当x＝0时的函数值与x＝2t时的函数值相同均为c． 又∵a＞0， ∴抛物线开口向上． ∴当x＞t时，y随x的增大而增大． 又∵1＜t＜2， ∴2＜2t＜4． ∴m＜c＜n． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 16．若点（m，n）在二次函数y＝﹣x2+1的图象上，则m+n的最大值是（　　） A．0 B． C． D．2 【思路点拨】把点（m，n）代入y＝﹣x2+1中，得到m+n＝﹣m2+m+1，运用配方法求式子的最大值即可． 【解析】解：∵点（m，n）在二次函数y＝﹣x2+1的图象上， ∴n＝﹣m2+1， ∴m+n＝﹣m2+m+1＝﹣（m﹣）2+， ∴当m＝时，m+n有最大值． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉配方法是解题的关键． 17．已知二次函数y＝（a﹣1）x2+2ax+3a﹣2的图象的最低点在x轴上，则a＝　2　． 【思路点拨】根据二次函数的最小值为0列式求解即可得到a的值，即可作答． 【解析】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2+2ax+3a﹣2的图象的最低点在x轴上 ∴且a﹣1＞0， 整理得，2a2﹣5a+2＝0且a＞1， 解得a1＝2，（舍去）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最值公式并列出方程和不等式是解题的关键． 18．已知y＝2x﹣1，且，令S＝xy，则函数S的取值范围是 　﹣≤S≤0　． 【思路点拨】根据题意，可以写出S关于x的函数解析式，再根据x的取值范围和二次函数的性质，即可得到函数S的取值范围． 【解析】解：∵y＝2x﹣1，S＝xy， ∴S＝x（2x﹣1）＝2（x﹣）2﹣， ∴该函数开口向上，当x＝取得最小值﹣， ∵， ∴当x＝取得最小值﹣，当x＝取得最大值0， ∴S的取值范围为﹣≤S≤0， 故答案为：﹣≤S≤0． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 19．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣1，0），（0，3）． （1）求b，c的值； （2）已知k为正数，当0＜x≤1+k时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n＝7，求k的值． 【思路点拨】（1）用待定系数法，将点坐标代入抛物线解析式得到一个一元二次方程，解方程即可求得． （2）求出抛物线的顶点坐标，进而可求出最大值，则可求得m、n的值，再利用函数增减性可得最小值对应的x值，即可求解． 【解析】解：（1）把（﹣1，0）和（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中， 得，， 解得， ∴b＝2，c＝3； （2）由（1）得y＝﹣x2+2x+3，对称轴为直线x＝1， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＝1时，y最大＝m＝4， ∴顶点坐标为（1，4）， ∵k为正数，0＜x≤1+k，m+n＝7， ∴n＝3， ∴当y＝3时，﹣x2+2x+3＝3 解得x1＝0，x2＝2， ∴1+k＝2， 解得k＝1． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值问题；解题的关键是熟练掌握待定系数法和二次函数的性质与最值． 20．已知二次函数y＝ax2+（3﹣a）x﹣3（a≠0）． （1）若其图象经过点（﹣3，0），求此二次函数的表达式； （2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数图象上两个点，满足x1+x2＝2且x1＜x2，试比较y1和y2的大小关系． 【思路点拨】（1）将点（﹣3，0）代入函数解析式即可解决问题． （2）用作差法比较即可． 【解析】解：（1）将（﹣3，0）代入函数解析式得， 9a﹣3（3﹣a）﹣3＝0， 解得a＝1， 所以二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣3． （2）将点P和点Q坐标代入函数解析式得， ， ， 两式相减得， ， y1﹣y2＝a（x1+x2）（x1﹣x2）+（3﹣a）（x1﹣x2）， 又因为x1+x2＝2， 所以y1﹣y2＝（a+3）（x1﹣x2）． 又因为x1＜x2， 所以当a+3＞0，即a＞﹣3时，y1＜y2； 当a+3＝0，即a＝﹣3时，y1＝y2； 当a+3＜0，即a＜﹣3时，y1＞y2． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及待定系数法是解题的关键． 21．已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣8a（a≠0）． （1）若二次函数图象与y轴交于点C（0，4）．求二次函数的表达式． （2）当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣8，求a的值． 【思路点拨】（1）先将点C代入解析式求得a的值，然后得到函数的表达式； （2）分情况讨论对称轴为直线x＝2，然后根据二次函数的性质即可得到在﹣1≤x≤4中，根据最大值最小值进行计算即可． 【解析】解：（1）将点C（0，4）代入y＝a（x﹣2）2﹣8a，得 4a﹣8a＝4， ∴a＝﹣1， ∴函数的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+8． （2）y＝a（x﹣2）2﹣8a的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（1，﹣8a）， 当a＜0时， ∴函数有最大值﹣8a， ∴在﹣1≤x≤4，当x＝﹣1时，函数有最小值， ∴9a﹣8a＝﹣8， 解得a＝﹣8； 当a＞0时， ∴函数有最小值﹣8a， ∴在﹣1≤x≤4，当x＝2时，函数有最小值， ∴﹣8a＝﹣8， 解得a＝1； 综上，a的值为﹣8或1． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键． 22．已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0） （1）该抛物线的对称轴为 　x＝﹣1　； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值； （3）设点M（m，y1），N（2，y2）该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围． 【思路点拨】（1）根据题意可得抛物线的对称轴； （2）抛物线的顶点在x轴上，可得顶点坐标为（﹣1，0），进而可得a的值； （3）根据点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），进而可得m的取值范围． 【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4． ∴对称轴为直线x＝＝﹣1， 故答案为：直线x＝﹣1； （2）y＝ax2+2ax+3a2﹣4 ＝a（x+1）2+3a2﹣a﹣4， ∵抛物线顶点在x轴上， 即当x＝﹣1时，y＝0， ∴3a2﹣a﹣4＝0， 解得． （3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N’（﹣4，y2）． （ⅰ）当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2； （ⅱ）当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2． 【点睛】本题考查的待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等． 题组C 培优拔尖练 23．设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（　　） A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a 【思路点拨】令y＝0，求出二次函数与x轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k的值进行判断即可． 【解析】解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0， ∴x1＝m，x2＝m+k， ∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0）， ∴二次函数的对称轴是：直线， ∵a＞0， ∴y有最小值， 当时，y最小， 即， 当k＝2时，函数y的最小值为； 当k＝4时，函数y的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握求二次函数的顶点坐标是解题的关键． 24．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数）在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 【思路点拨】当h＜1≤x≤3时，二次函数在1≤x≤3上单调递增，进而得出x＝1时，y取得最小值5，进而求出h的值；当1≤x≤3＜h，二次函数在1≤x≤3上单调递减，进而得出x＝3时，y取得最小值5，进而求出h的值． 【解析】解：h的值不可能在1到3之间， 当h＜1≤x≤3时， 当x＝1时，y取得最小值5， （1﹣h）2+1＝5， h＝﹣1或h＝3（不合题意，舍去）， 当1≤x≤3＜h， 当x＝3时，y取得最小值5， （3﹣h）2+1＝5， h＝5或h＝1（不合题意，舍去）， 故选：B． 【点睛】本题主要是函数的单调性以及最值问题，正确理解二次函数的单调性是解题关键． 25．已知二次函数y＝x2+bx+c． （1）当b＝2，c＝﹣5时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当y≥﹣2时，求x的取值范围． （2）当x＜0时，y的最小值为﹣2；当x≥0时，y的最小值为3，求二次函数的表达式． 【思路点拨】（1）①将b＝2，c＝﹣5代入解析式再平方成顶点式即可得到答案；②根据抛物线开口方向解答y≥﹣2时，自变量取值范围即可． （2）根据a＝1＞0确定开口方向，再根据x≥0时，y的最小值为3得到c值，从对称轴x＝﹣代入解析式解出b值即可． 【解析】解：（1）①当b＝2，c＝﹣5时，解析式为y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6， 该函数的顶点坐标为（﹣1，﹣6）； ②抛物线y＝（x+1）2﹣6，开口向上，对称轴为直线x＝﹣1， 当yy≥﹣2时，即（x+1）2﹣6≥﹣2， 解不等式得：x≥1或x≤﹣3， （2）∵二次函数y＝x2+bx+c开口向上，当x≥0时，y的最小值为3， ∴x＝0时，c＝3， ∵当x＜0时，y的最小值为﹣2； ∴x＝﹣时，y最小＝﹣2，代入y＝x2+bx+3得： +b•（﹣）+3＝﹣2， ﹣＝﹣5， ∴b＝2或b＝﹣2， ∵对称轴在y轴左侧，a、b同号，a＞0， ∴b＝2， 故抛物线解析式为：y＝x+3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 26．在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣1，m），N（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t． （1）若m＝n，求t的值； （2）若c＜m＜n，求t的取值范围． 【思路点拨】（1）依据题意，若m＝n，从而对称轴是直线x＝＝1＝t，进而可以得解； （2）把M（﹣1，m），N（3，n）代入解析式y＝ax2+bx+c，根据c＜m＜n得出t的取值范围． 【解析】解：（1）由题意，若m＝n， ∴对称轴是直线x＝＝1＝t． 即t＝1； （2）∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝t， ∴x＝﹣＝t， ∴b＝﹣2at， ∴y＝ax2﹣2atx+c， ∵M（﹣1，m），N（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上， ∴， ①﹣②得，m﹣n＝﹣8a+8at， ∵m＜n， ∴m﹣n＜0， ∴﹣8a+8at＜0， ∵a＞0， ∴t＜1， 由①得，m﹣c＝a+2at， ∵c＜m， ∴m﹣c＞0， ∴a+2at＞0， ∵a＞0， ∴t＞﹣， ∴t的取值范围为﹣＜t＜1． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 27．已知二次函数y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0）的图象过不同的三点A（n，y1），B（1﹣n，y2），C（﹣1，y3）． （1）若二次函数的最大值为4，求a的值． （2）若y1＞y2＞y3，求n的取值范围． 【思路点拨】（1）将解析式y＝a（x2+2x﹣3）＝a[（x+1）2﹣4]，根据条件函数有最大值4，则a＜0，当x＝﹣1时，ymax＝﹣4a＝4，则a＝﹣1； （2）将解析式转化为y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0），先判断a＜0不满足y1＞y2＞y3再分析a＞0时的情况，当a＞0时，顶点（﹣1，y3），即C（﹣1，﹣4a）为顶点， 则y3为最小值，再分析A、B两个点所在不同位置时的情况，最后得到n的取值范围即可． 【解析】解：（1）据题得y＝a（x2+2x﹣3）＝a[（x+1）2﹣4]， ∵函数有最大值4，则a＜0， 当x＝﹣1时，ymax＝﹣4a＝4， ∴a＝﹣1， （2）y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）， ①当a＜0时，顶点（﹣1，﹣4a），则C（﹣1，y3）为顶点， ∴y3为最大值，不满足y1＞y2＞y3， ②当a＞0时，顶点（﹣1，y3），即C（﹣1，﹣4a）为顶点， ∴y3为最小值， 又∵y1＞y2， 当A、B都在对称轴右侧，则， 当A、B都在对称轴左侧，则﹣1＞1﹣n＞n⇒无解， 当A、B在异侧时，A左B右，则， 解得n； 当A在B左侧时，则n＞﹣1，1﹣n＜﹣1⇒无解， 综上所述． 【点睛】本题考查了二次函数最值，分类讨论是解决本题的关键． 28．在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a＞0）上的三个点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若对于﹣2＜x1＜﹣1，2＜x2＜3，都有y1y2＜0，求证：3a﹣2＝0； （3）若对于2＜x2＜3，m＜x3＜m+1，都有y3＞y2，求m的取值范围． 【思路点拨】（1）依据题意，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a＞0）的对称轴为：x＝﹣＝1，进而可以得解； （2）依据题意，设点B（x2，y2）关于对称轴的对称点为B'（x'2，y2），由抛物线的对称轴是直线x＝1，2＜x2＜3，从而可得﹣1＜x'2＜0，又点A，B'在对称轴左侧，a＞0，且﹣2＜x1＜﹣1＜x'2＜0，再根据二次函数的性质，x＜1时，y随x的增大而减小，从而y1＞y2，结合y1y2＞0，可得y1＞0，y2＜0，故当x＝﹣1时，y＝0，再把（﹣1，0）代入函数解析式，故可得解； （3）依据题意，抛物线的对称轴是直线x＝1，2＜x2＜3，从而B（x2，y2）在对称轴右侧．再根据分C在对称轴的左侧和右侧进行分类讨论，结合二次函数的性质即可判断得解． 【解析】（1）解：由题意得，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a＞0）的对称轴为：x＝﹣＝1． （2）证明：设点B（x2，y2）关于对称轴的对称点为B'（x'2，y2）， ∵抛物线的对称轴是直线x＝1，2＜x2＜3， ∴﹣1＜x'2＜0． ∵点A，B'在对称轴左侧，a＞0，且﹣2＜x1＜﹣1＜x'2＜0， 根据二次函数的性质，x＜1时，y随x的增大而减小， ∴y1＞y2． ∵y1y2＞0， ∴y1＞0，y2＜0． ∴当x＝﹣1时，y＝0． 把（﹣1，0）代入函数解析式， ∴3a﹣2＝0． （3）解：∵抛物线的对称轴是直线x＝1，2＜x2＜3， ∴B（x2，y2）在对称轴右侧． ①当点C在对称轴右侧时， ∵m＜x3＜m+1时，y3＞y2， 根据二次函数性质，x＞1时，y随x的增大而增大， ∴m≥3． ②当点C在对称轴左侧时， 设点C关于对称轴的对称点为C'（x'3，y）， ∵m＜x3＜m+l， ∴x'3﹣1＝1﹣m，x'3﹣1＝1﹣（m+1）． ∴﹣m+l＜x'3＜﹣m+2． 根据二次函数性质，x＞1时，y随x的增大而增大， ∴﹣m+1≥3，则m≤﹣2． 综上，m≤﹣2或m≥3． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$