第03讲 三角形的内角（2个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（人教版）

第03讲 三角形的内角 课程标准 学习目标 ①三角形内角和定理 ②直角三角形的性质与判定 1. 阐述并验证三角形的内角和定理。 2. 能够利用三角形的内角和探索直角三角形的性质与判定。 3. 能够利用三角形的内角和进行角度的计算 知识点01 三角形的内角和定理 1. 三角形内角和定理的内容： 三角形的三个内角之和等于 。 即若三角形的角是∠A、∠B、∠C，则∠A＋∠B＋∠C＝ 。 2. 三角形内角和定理的证明： 证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。 如图：过点A作DE平行于BC。 ∵DE∥BC ∴∠B＝ ；∠C＝ 。 ∵∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝ 。 ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝ 。 【即学即练1】 1．在△ABC中，∠A+∠B＝140°，∠C+∠B＝160°，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形 【即学即练2】 2．在△ABC中，如果∠A＝∠B＝∠C，求∠A，∠B，∠C分别等于多少度． 知识点02 直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形的定义： 有一个角是直角的三角形。用表示直角三角形ABC。 2. 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角 。 数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90° ∴∠A＋∠B＝ 。 3. 直角三角形的判定： 有两个角 的三角形是直角三角形。 数学语言：∵∠A＋∠B＝90° ∴△ABC是 三角形。 【即学即练1】 3．在直角三角形中，如果一个锐角为40°，则另一个锐角为 　 　． 【即学即练2】 4．如图，CD是△ABC 的高，∠ACB＝90°．若∠A＝35°，则∠BCD的度数是（　　） A．55° B．35° C．30° D．50° 题型01 利用三角形的内角和进行计算 【典例1】如图是一个缺损的三角形纸片，小鹿测得∠A＝48°，∠B＝68°，则这个三角形缺损的顶角∠C的度数为（　　） A．60° B．64° C．74° D．80° 【变式1】在△ABC中，∠A﹣∠B＝36°，∠C＝2∠B．求∠A、∠B、∠C的度数． 【变式2】已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：5，求∠A、∠B和∠C的度数，它是什么三角形？ 【变式3】如图，在△ABC中，∠B+∠C＝110°，AM平分∠BAC，交BC于点M，MN∥AB，交AC于点N，则∠AMN的大小是（　　） A．30° B．35° C．40° D．55° 【变式4】如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点 则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 【变式5】如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC上，点E在AC上，连接AD，DE，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝m°，则∠CDE等于（　　） A． B． C． D． 题型02 直角三角形的性质与判定 【典例1】Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A＝（　　） A．60° B．30° C．50° D．40° 【变式1】在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A＝（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【变式2】如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BCD＝40°，则∠A的度数为（　　） A．40° B．38° C．50° D．30° 【变式3】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，则∠BFD的度数是（　　） A．30° B．50° C．60° D．70° 【典例1】在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A＝∠B﹣∠C C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝∠C 【变式1】在下列条件中①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝2∠B＝3∠C，中能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠C；⑤∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有 　 　． 题型03 三角形的内角和与直角三角板 【典例1】一块直角三角板放在两平行直线上，如图，∠1+∠2＝　 　度． 【变式1】如图所示，将含角45°的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　） A．85° B．60° C．50° D．95° 【变式2】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【变式3】将一副三角尺如图摆放，点D在AC上，延长EA交CB的延长线于点F，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠C＝30°，∠E＝45°，则∠F的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【变式4】如图，△ABC与△CDE均为直角三角形，AB交CD于点F，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，∠ECB＝α，则∠CFB＝（　　） A．α+90° B．α+45° C．105°﹣α D．180°﹣α 题型04 三角形内角和与角平分线和高线 【典例1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠B＝44°，∠C＝70°，则∠DAE的度数是（　　） A．10° B．12° C．13° D．15° 【变式1】如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD⊥BC，垂足为D，点D在点E的左侧，∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 【变式2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 【变式3】如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高． （1）若∠B＝40°，∠C＝60°，求：①∠DAC的度数；②∠DAE的度数． （2）已知∠C＞∠B，则∠DAE＝　 　（用∠B、∠C表示）． 1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，过点A作EF∥BC，则∠FAC的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．在下列条件中：①∠A＝90°﹣∠B；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝5：3：2；④∠A+∠B＝∠C；⑤∠A＝2∠B＝3∠C；能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，将△ABC沿AB向右平移得△DEF，则∠F的度数为（　　） A．50° B．45° C．40° D．30° 4．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 5．将两块大小相同的含60°角的直角三角板按如图所示放置，Rt△DBE的直角边BE恰好平分Rt△ABC的直角∠ABC，则∠AFB的度数为（　　） A．75° B．95° C．105° D．120° 6．将一副三角板按如图放置，其中∠B＝∠C＝45°，∠D＝60°，∠E＝30°，如果∠CAD＝150°，则∠4＝（　　） A．75° B．80° C．60° D．65° 7．如图，C岛在A岛的北偏东50°方向上，在B岛的北偏西60°方向上，A岛在B岛北偏西80°方向上，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB为（　　） A．80° B．95° C．110° D．140° 8．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（　　） A．59° B．60° C．56° D．22° 9．我们定义：若一个三角形的两个内角α与β，满足2α+β＝90°，则这样的三角形称为“奇妙互余三角形”．已知△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．10° B．20° C．25° D．50° 10．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，则∠D与∠E的数量关系可表示为（　　） A．3∠E﹣2∠D＝180° B．3∠D﹣2∠E＝180° C．3∠E﹣2∠D＝90° D．3∠D﹣2∠E＝90° 11．在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝1：2：1，那么△ABC是 　 　三角形． 12．如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 　 　． 13．如图，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝38°，∠C＝70°，则∠DAE＝　 　． 14．如图，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，若∠A＝50°，则∠P＝　 　． 15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论：①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD④∠DFB＝∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是 　 　． 16．如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线． （1）求∠ADC的度数． （2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数． 17．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F． （1）求∠ABE的度数； （2）若AD平分∠BAC，DG平分∠ADC，试说明DG∥BE． 18．三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种 证明方法． 已知：如图甲，　 　． 求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 证明：如图乙，作BC的延长线CD，在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE＝∠A． 所以，CE∥AB（内错角相等，两直线平行）． 所以，∠B＝∠ECD（ 　 　）． 因为，∠ACB，∠ACE，∠ECD组成一个平角， 所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°（平角的定义）， 所以，∠ACB+∠A+∠B＝180°（ 　 　）． （1）请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整； （2）该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法． 19．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB、CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动． （1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数； （2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系； （3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上请你探索并说明∠AEG与∠CFG间的数量关系． 20．【定义】如果两个角的差为36°，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”． 例如：α＝76°，β＝40°，α﹣β＝36°，则α和β互为“黄金角”，即α是β的“黄金角”，β也是α的“黄金角”． （1）已知∠1和∠2互为“黄金角”，且∠1＞∠2，若∠1和∠2互余，则∠1＝ 　； （2）如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作AB的平行线CM，∠ABC的平分线BD分别交AC、CM于D、E两点． ①若∠A＞∠BEC，且∠A和∠BEC互为“黄金角”，则∠A＝　 　； ②如图2所示，过点C作AB的垂线，垂足为F，BD、CF相交于点N．若∠DCN与∠CDN互为“黄金角”，求∠A的度数； ③如图3所示，∠ACM的平分线CH交BE于点H，当∠A和∠BHC互为“黄金角”时，则∠A＝　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 三角形的内角 课程标准 学习目标 ①三角形内角和定理 ②直角三角形的性质与判定 1. 阐述并验证三角形的内角和定理。 2. 能够利用三角形的内角和探索直角三角形的性质与判定。 3. 能够利用三角形的内角和进行角度的计算 知识点01 三角形的内角和定理 1. 三角形内角和定理的内容： 三角形的三个内角之和等于 180° 。 即若三角形的角是∠A、∠B、∠C，则∠A＋∠B＋∠C＝ 180° 。 2. 三角形内角和定理的证明： 证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。 如图：过点A作DE平行于BC。 ∵DE∥BC ∴∠B＝ ∠DAB ；∠C＝ ∠EAC 。 ∵∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝ 180° 。 ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝ 180° 。 【即学即练1】 1．在△ABC中，∠A+∠B＝140°，∠C+∠B＝160°，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形 【分析】先由题意和三角形的内角和定理求出∠C＝40°，∠A＝20°，∠B＝120°，求解方程确定三角形各角的度数得结论． 【解答】解：∵∠A+∠B＝140°，∠C+∠B＝160°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝40°，∠A＝20°， ∴∠B＝120°． ∴该三角形是钝角三角形． 故选：C． 【即学即练2】 2．在△ABC中，如果∠A＝∠B＝∠C，求∠A，∠B，∠C分别等于多少度． 【分析】由三角形内角和定理和已知条件得出∠A+2∠A+2∠A＝180°，求出∠A＝36°，即可得出∠B＝∠C＝72°． 【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C， ∴∠B＝∠C＝2∠A， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+2∠A+2∠A＝180°， 解得：∠A＝36°， ∴∠B＝∠C＝72°． 知识点02 直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形的定义： 有一个角是直角的三角形。用表示直角三角形ABC。 2. 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角 互余 。 数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90° ∴∠A＋∠B＝ 90° 。 3. 直角三角形的判定： 有两个角 互余 的三角形是直角三角形。 数学语言：∵∠A＋∠B＝90° ∴△ABC是 直角 三角形。 【即学即练1】 3．在直角三角形中，如果一个锐角为40°，则另一个锐角为 　50°　． 【分析】直角三角形的两个锐角互余． 【解答】解：∵在直角三角形中，一个锐角为40°，则另一个锐角为：90°﹣40°＝50°． 故答案为：50°． 【即学即练2】 4．如图，CD是△ABC 的高，∠ACB＝90°．若∠A＝35°，则∠BCD的度数是（　　） A．55° B．35° C．30° D．50° 【分析】先根据直角三角形的性质求出∠B，再根据直角三角形的性质求出∠BCD． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝35°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣35°＝55°， ∵CD是△ABC 的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣55°＝35°， 故选：B． 题型01 利用三角形的内角和进行计算 【典例1】如图是一个缺损的三角形纸片，小鹿测得∠A＝48°，∠B＝68°，则这个三角形缺损的顶角∠C的度数为（　　） A．60° B．64° C．74° D．80° 【分析】根据三角形的内角和定理即可判断． 【解答】解：∵∠A＝48°，∠B＝68°， ∴∠C＝180°﹣48°﹣68°＝64°， 故选：B． 【变式1】在△ABC中，∠A﹣∠B＝36°，∠C＝2∠B．求∠A、∠B、∠C的度数． 【分析】求出∠A＝36°+∠B，根据三角形内角和定理得出2∠B+∠B+∠B+36°＝180°，求出∠B即可． 【解答】解：∵∠A﹣∠B＝36°， ∴∠A＝36°+∠B， ∵∠C＝2∠B，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠B+∠B+∠B+36°＝180°， ∴∠B＝36°， ∴∠A＝∠B+36°＝72°，∠C＝2∠B＝72° 【变式2】已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：5，求∠A、∠B和∠C的度数，它是什么三角形？ 【分析】设∠A＝x，则∠B＝3x，∠C＝5x，再根据三角形内角和定理求出x的度数，进而可得出结论． 【解答】解：∵△ABC中∠A：∠B：∠C＝1：3：5， ∴设∠A＝x，则∠B＝3x，∠C＝5x， ∴∠A+∠B+∠C＝180°，即x+3x+5x＝180°，解得x＝20°， ∴∠A＝20°，∠B＝60°，∠C＝100°， ∴△ABC是钝角三角形． 【变式3】如图，在△ABC中，∠B+∠C＝110°，AM平分∠BAC，交BC于点M，MN∥AB，交AC于点N，则∠AMN的大小是（　　） A．30° B．35° C．40° D．55° 【分析】先根据已知条件和三角形的内角和为180°，求出∠BAC的度数，再根据已知条件和角平分线的定义，求出∠BAM，最后根据MN∥AB，求出∠AMN即可． 【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣110°＝70°， ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAM＝， ∵MN∥AB， ∴∠AMN＝∠BAM＝35°， 故选：B． 【变式4】如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点 则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 【分析】根据三角形内角和定理，可得：∠G+∠F＝∠ABC+∠BAC，∠M+∠N＝∠ABC+∠ACB，∠D+∠E＝∠ACB+∠BAC，再根据三角形的内角和定理，求出∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的值即可． 【解答】解：在△ABC和△CGF中， ∵∠ACB＝∠GCF， ∴∠G+∠F＝∠ABC+∠BAC； 在△ABC和△ANM中， ∵∠BAC＝∠MAN， ∴∠M+∠N＝∠ABC+∠ACB； 在△ABC和△BDE中， ∵∠ABC＝∠DBE， ∴∠D+∠E＝∠ACB+∠BAC， ∴∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N ＝（∠ACB+∠BAC）+（∠ABC+∠BAC）+（∠ABC+∠ACB） ＝2（∠ABC+∠BAC+∠ACB） ＝2×180° ＝360°． 故选：B． 【变式5】如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC上，点E在AC上，连接AD，DE，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝m°，则∠CDE等于（　　） A． B． C． D． 【分析】利用三角形内角和定理，可求出∠ADB及∠BAC的度数，结合∠BAD＝m°，可求出∠CAD的度数，在△ADE中，利用三角形内角和定理，可求出∠ADE的度数，再结合∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，即可求出∠CDE＝m°． 【解答】解：在△ABD中，∠B＝45°，∠BAD＝m°， ∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣45°﹣m°＝135°﹣m°． 在△ABC中，∠B＝∠C＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣m°． 在△ADE中，∠DAE＝90°﹣m°，∠ADE＝∠AED， ∴∠ADE＝[180°﹣（90°﹣m°）]＝45°+m°， ∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣（135°﹣m°）﹣（45°+m°）＝m°． 故选：D． 题型02 直角三角形的性质与判定 【典例1】Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A＝（　　） A．60° B．30° C．50° D．40° 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B＝90°，再代入∠B的度数可得∠A的度数． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠B＝40°， ∴∠A＝50°， 故选：C． 【变式1】在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A＝（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【分析】直接利用三角形内角和定理即可得到结论． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠B＝2∠A， ∴∠A+∠B＝∠A+2∠A＝90°， ∴∠A＝30°， 故选：B． 【变式2】如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BCD＝40°，则∠A的度数为（　　） A．40° B．38° C．50° D．30° 【分析】根据“同角的余角相等”解答． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°． 又∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ACD＝∠BCD+∠ACD． ∴∠A＝∠BCD＝40°． 故选：A． 【变式3】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，则∠BFD的度数是（　　） A．30° B．50° C．60° D．70° 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC＝60°，再根据角平分线定义求出∠CBE＝∠ABC＝30°，进而根据AD⊥BC得△BDF为直角三角形，由此可得∠BFD的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝60°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠ABC＝30°， ∵AD⊥BC， ∴△BDF为直角三角形， ∴∠BFD＝90°﹣∠CBE＝60°． 故选：C． 【典例1】在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A＝∠B﹣∠C C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝∠C 【分析】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断． 【解答】解：A、∵∠A＝90°﹣∠C， ∴∠A+∠C＝90°， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意； B、∵∠A＝∠B﹣∠C， ∴∠A+∠C＝∠B， ∵∠A+∠C+∠B＝180°， ∴2∠B＝180°， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意； C、∵∠A＝2∠B＝3∠C， 设∠A＝x， ∴∠B＝x，∠C＝x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴x+x+x＝180°， 解得x＝（）°＞90°， ∴△ABC不是直角三角形，故选项符合题意； D、∵∠A＝∠B＝∠C， 设∠A＝∠B＝x， ∴∠C＝2x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴x+x+2x＝180°， 解得x＝45°， ∴∠C＝2x＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】在下列条件中①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝2∠B＝3∠C，中能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠B＝∠C＝×180°＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x， ∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°， ∴2x＝72°，故本小题不符合题意； ④设∠A＝6x，∠B＝3x，∠C＝2x，则6x+2x+3x＝180°， 解得x＝（）°，故6x≠90°， ∴△ABC是不直角三角形，故本小题符合题意； 综上所述，是直角三角形的是①②共2个． 故选：B． 【变式2】在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠C；⑤∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有 　②④⑤　． 【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的概念判断即可． 【解答】解：①∠A+∠B+∠C＝180°时，不能判定△ABC为直角三角形； ②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，能判定△ABC为直角三角形； ③设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x， ∴x+2x+2x＝180°， 解得：x＝36°， ∴∠C＝36°，则∠A＝∠B＝72°，△ABC不是直角三角形； ④设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x， ∴x+2x+3x＝180°， 解得：x＝30°， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，能判定△ABC为直角三角形； ⑤∵∠A＝∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，能判定△ABC为直角三角形； 故答案为：②④⑤． 题型03 三角形的内角和与直角三角板 【典例1】一块直角三角板放在两平行直线上，如图，∠1+∠2＝　90　度． 【分析】根据对顶角相等可得∠1＝∠3，∠2＝∠4，再根据直角三角形两锐角互余解答． 【解答】解：如图，∠1＝∠3，∠2＝∠4（对顶角相等）， ∵∠3+∠4＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 故答案为：90． 【变式1】如图所示，将含角45°的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　） A．85° B．60° C．50° D．95° 【分析】根据平角的定义求出∠3，再依据平行线的性质，即可得到∠2． 【解答】解：如图， ∵∠1＝70°， ∴∠3＝180°﹣60°﹣∠1＝50°， ∵∠4＝45°， ∴∠2＝∠3+∠4＝50°+45°＝95°， 故选：D． 【变式2】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【分析】在图中标上∠2，∠3，∠4，利用三角形内角和定理，可求出∠2，∠3的度数，结合邻补角互补，可求出∠4的度数，由直尺的对边平行，利用“两直线平行，同位角相等”，即可求出∠1的度数． 【解答】解：在图中标上∠2，∠3，∠4，如图所示． ∵45°+90°+∠2＝180°，30°+90°+∠3＝180°， ∴∠2＝45°，∠3＝60°， ∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°． ∵直尺的对边平行， ∴∠1＝∠4＝75°． 故选：D． 【变式3】将一副三角尺如图摆放，点D在AC上，延长EA交CB的延长线于点F，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠C＝30°，∠E＝45°，则∠F的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】根据直角三角形互余及平角的定义即可求解． 【解答】解：∵∠C＝30°，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝60°， ∵∠E＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠EAD＝45°， ∵∠FAB+∠BAC+∠EAD＝180°， ∴∠FAB＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∵∠ABF＝90°，∠F+∠FAB＝90°， ∴∠F＝90°﹣75°＝15°． 故选：B． 【变式4】如图，△ABC与△CDE均为直角三角形，AB交CD于点F，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，∠ECB＝α，则∠CFB＝（　　） A．α+90° B．α+45° C．105°﹣α D．180°﹣α 【分析】根据三角形的内角和定理得到∠DCE，进而得到∠CFB，即可解题． 【解答】解：∵∠B＝30°，∠E＝45°，∠ECB＝α，∠ACB＝∠CDE＝90°， ∴∠DCE＝180°﹣∠CDE﹣∠E＝45°， ∴∠CFB＝180°﹣∠B﹣∠DCE﹣∠ECB＝105°﹣α， 故选：C． 题型04 三角形内角和与角平分线和高线 【典例1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠B＝44°，∠C＝70°，则∠DAE的度数是（　　） A．10° B．12° C．13° D．15° 【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，结合AE平分∠BAC，可求出∠CAE，由AD⊥BC，可得出∠ADC＝90°，利用三角形内角和定理，可求出∠CAD的度数，再结合∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD，即可求出∠DAE的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝44°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣44°﹣70°＝66°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAC＝×66°＝33°． ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝33°﹣20°＝13°． 故选：C． 【变式1】如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD⊥BC，垂足为D，点D在点E的左侧，∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 【分析】由∠B＝60°，∠C＝40°，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．由角平分线的定义，得∠EAC＝40°．根据三角形外角的性质，得∠FED＝80°．由FD⊥BC，根据三角形内角和定理，故可求得∠DFE． 【解答】解：（1）∵∠B＝60°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°． 又∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠EAC＝＝40°． ∴∠AED＝∠C+∠EAC＝40°+40°＝80°． ∵AD⊥BC， ∴∠ADE＝90°． ∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣80°＝10°． 故选：A． 【变式2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 【分析】由AE平分∠BAC，可得∠1＝∠EAD+∠2，由∠1＝40°，∠2＝20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD中再利用两锐角互余可求得答案． 【解答】解：∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠EAD+∠2， ∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝40°﹣25°＝15°， Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°﹣15°＝35°． 故选：B． 【变式3】如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高． （1）若∠B＝40°，∠C＝60°，求：①∠DAC的度数；②∠DAE的度数． （2）已知∠C＞∠B，则∠DAE＝　　（用∠B、∠C表示）． 【分析】（1）①由高可得∠ADC＝90°，利用三角形的内角和即可求∠DAC的度数； ②由三角形的内角和可求得∠BAC的度数，再由角平分线可求得∠CAE的度数，从而可求∠DAE的度数； （2）结合（2）进行求解即可． 【解答】解：（1）①∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝30°； ②∵∠B＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°， ∵AE是角平分线， ∴∠CAE＝∠BAC＝40°， 由①得∠DAC＝30°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC＝10°； （2）∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝90°﹣∠C； ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，AE是角平分线， ∴∠CAE＝∠BAC＝90°﹣， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC ＝90°﹣﹣（90°﹣∠C）； ＝90°﹣﹣90°+∠C； ＝． 故答案为：． 1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，过点A作EF∥BC，则∠FAC的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】先根据三角形内角和定理和已知角的度数求出∠C，再根据平行线的性质求出∠FAC的度数即可． 【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠BAC＝90°，∠B＝60°， ∴∠C＝30°， ∵EF∥BC， ∴∠FAC＝∠C＝30°， 故选：A． 2．在下列条件中：①∠A＝90°﹣∠B；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝5：3：2；④∠A+∠B＝∠C；⑤∠A＝2∠B＝3∠C；能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用三角形的内角和定理进行推导即可． 【解答】解：①∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°，故可确定△ABC为直角三角形； ②∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C+2∠C+∠C＝180°， 解得：∠C＝36°， 则∠A＝∠B＝2∠C＝72°，故不能确定△ABC为直角三角形； ③∠A：∠B：∠C＝5：3：2， 设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴5x+3x+2x＝180°， ∴x＝18°， ∴∠A＝18°×5＝90°，故可确定直角三角形； ④∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°，故可确定直角三角形； ⑤∵∠A＝2∠B＝3∠C， ∴∠B＝∠A，∠C＝∠A， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+＝180°， 解得：∠A＝（98）°， 故不能确定△ABC为直角三角形． 则能确定△ABC为直角三角形的条件有3个， 故选：C． 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，将△ABC沿AB向右平移得△DEF，则∠F的度数为（　　） A．50° B．45° C．40° D．30° 【分析】先根据直角三角形的性质得出∠ABC的度数，再由平移的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝50°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°， ∵将△ABC沿AB向右平移得△DEF， ∴∠F＝∠ABC＝40°． 故选：C． 4．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【分析】如图，作CK∥a利用平行线的性质可得∠ACB＝∠1+∠2＝40°，再利用直角三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：如图，作CK∥a． ∵a∥b，CK∥a， ∴CK∥b， ∴∠1＝∠3＝15°，∠4＝∠2＝25°， ∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°， ∵∠CAB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°， 故选：C． 5．将两块大小相同的含60°角的直角三角板按如图所示放置，Rt△DBE的直角边BE恰好平分Rt△ABC的直角∠ABC，则∠AFB的度数为（　　） A．75° B．95° C．105° D．120° 【分析】利用角平分线的定义，可求出∠ABF的度数，再在△ABF中，利用三角形内角和定理，即可求出∠AFB的度数． 【解答】解：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠ABC＝×90°＝45°． 在△ABF中，∠A＝60°，∠ABF＝45°， ∴∠AFB＝180°﹣∠A﹣∠ABF＝180°﹣60°﹣45°＝75°． 故选：A． 6．将一副三角板按如图放置，其中∠B＝∠C＝45°，∠D＝60°，∠E＝30°，如果∠CAD＝150°，则∠4＝（　　） A．75° B．80° C．60° D．65° 【分析】先计算∠3＝∠CAD﹣∠CAB＝60°，根据对顶角相等得∠EFB＝∠AFD，根据三角形内角和得∠4+∠B＝∠3+∠D，即可得解． 【解答】解：如图，根据题意，∠CAB＝90°， ∵∠CAD＝150°，∠B＝∠C＝45°，∠D＝60°， ∴∠3＝∠CAD﹣∠CAB＝150°﹣90°＝60°， ∵∠EFB＝∠AFD， ∴∠4+∠B＝180°﹣∠EFB＝180°﹣∠AFD＝∠3+∠D， ∴∠4+45°＝60°+60°， ∴∠4＝75°． 故选：A． 7．如图，C岛在A岛的北偏东50°方向上，在B岛的北偏西60°方向上，A岛在B岛北偏西80°方向上，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB为（　　） A．80° B．95° C．110° D．140° 【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此得到∠CAD＝50°，∠CBE＝60°，∠ABE＝80°，求出∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE＝20°，由平行线的性质得到∠DAB＝100°，求出∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝50°，由三角形内角和定理即可求出∠ACB的度数． 【解答】解：∵C岛在A岛的北偏东50°方向上， ∴∠CAD＝50°， ∵C岛在B岛的北偏西60°方向上， ∴∠CBE＝60°， ∵A岛在B岛北偏西80°方向上， ∴∠ABE＝80°， ∴∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE＝20°， ∵AD∥BE， ∴∠DAB+∠ABE＝180°， ∴∠DAB＝100°， ∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝50°， ∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣20°＝110°． 故选：C． 8．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（　　） A．59° B．60° C．56° D．22° 【分析】根据高线的定义可得∠AEC＝90°，然后根据∠C＝70°，∠ABC＝48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解． 【解答】解：∵BE为△ABC的高， ∴∠AEB＝90° ∵∠C＝70°，∠ABC＝48°， ∴∠CAB＝62°， ∵AF是角平分线， ∴∠1＝∠CAB＝31°， 在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°． ∴∠3＝∠EFA＝59°， 故选：A． 9．我们定义：若一个三角形的两个内角α与β，满足2α+β＝90°，则这样的三角形称为“奇妙互余三角形”．已知△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．10° B．20° C．25° D．50° 【分析】通过2α+β＝90°和三角形内角和定理求出∠B的度数． 【解答】∵△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝50°， ∴∠A+2∠B＝90°， ∴， 故选：B． 10．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，则∠D与∠E的数量关系可表示为（　　） A．3∠E﹣2∠D＝180° B．3∠D﹣2∠E＝180° C．3∠E﹣2∠D＝90° D．3∠D﹣2∠E＝90° 【分析】根据角平分线的性质可得，∠DBC＝，∠DCB＝，由∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，可得∠DBC＝，，由三角形内角和定理可得∠D+∠DBC+∠DCB＝180°，由三角形外角的性质可得∠E+∠EBC+∠ECB＝180°，从而可求得∠D与∠E的数量关系． 【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点D， ∴∠DBC＝，∠DCB＝ ∵∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB， ∴∠DBC＝，， ∵∠D+∠DBC+∠DCB＝180°， ∴∠D+， ∵∠E+∠EBC+∠ECB＝180°， ∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠E， ∴∠D+， 整理得3∠E﹣2∠D＝180°， 故选：A． 11．在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝1：2：1，那么△ABC是 　等腰直角　三角形． 【分析】根据三角形内角和、三个内角比计算出每个内角度数即可判断． 【解答】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴x+2x+x＝180°， ∴x＝45°， ∴∠A＝45°，∠B＝90°，∠C＝45°， 所以△ABC是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 12．如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 　100°　． 【分析】由CD是边AB上的高，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，可求得∠CAB、∠CBA的度数，因为AE是∠CAB的平分线，可得∠EAB的度数，根据三角形内角和定理，可得∠AEB的度数． 【解答】解：∵CD是边AB上的高， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∵∠BCD＝30°，∠ACB＝80°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝50°，∠CBD＝90°﹣∠BCD＝60°， ∴∠CAB＝90°﹣∠ACD＝40°， ∵AE是∠CAB的平分线， ∴∠EAB＝∠CAB＝20°， ∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠EBA＝100°， 故答案为：100°． 13．如图，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝38°，∠C＝70°，则∠DAE＝　16°　． 【分析】由三角形内角和定理求得∠BAC，则根据角平分线的定义易求∠EAC，根据三角形外角定理，即可求得∠AED，在直角△AED中，利用直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠EAD，即可作答． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝70°， 则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°． ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠EAC＝∠BAC＝36°， ∴∠AED＝∠B+∠BAE＝38°+36°＝74°， ∵AD是△ABC的高线， ∴△AED为直角三角形， ∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣74°＝16°， 故答案为：16°． 14．如图，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，若∠A＝50°，则∠P＝　115°　． 【分析】由角平分线的定义可得，，再利用三角形的内角和定理可求解． 【解答】解：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD， ∴，， ∴∠DPC＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD ＝ ＝ ＝ ＝115°． 故答案为：115°． 15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论：①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD④∠DFB＝∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是 　①③④⑤　． 【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断结论①；只需要证明∠ADC+∠ACD＝90°，∠GCD+∠BCD＝90°，即可判断结论③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出∠BFC＝135°，即可判断结论④⑤；根据现有条件无法推出结论②． 【解答】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠DCA，∠ACD＝∠BCD， ∵EG∥BC， ∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCA，故结论①正确； ∵∠A＝90°，CG⊥EG，EG∥BC， ∴∠ADC+∠ACD＝90°，CG⊥BC，即∠BCG＝90°， ∴∠GCD+∠BCD＝90°， 又∵∠BCD＝∠ACD， ∴∠ADC＝∠GDC，故结论③正确； ∵∠A＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝90°， ∵BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB， ∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝135°， ∴∠DFB＝180°﹣∠BFC＝45°， ∴∠DFB＝∠A，故结论④正确； ∵∠BFC＝135°， ∴∠DFE＝∠BFC＝135°，故结论⑤正确； 根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故结论②错误． 故答案为：①③④⑤． 16．如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线． （1）求∠ADC的度数． （2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数． 【分析】（1）依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC的度数，再根据角平分线的定义，即可得出∠EAF的度数，进而得到∠ADC的度数； （2）依据BE⊥AD，即可得到∠AEF＝90°，由（1）可得∠EAF＝40°，即可得出∠AFE的度数． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝65°，∠C＝35°， ∴∠BAC＝80°， 又∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAF＝∠BAC＝40°， ∴△ACD中，∠ADC＝180°﹣40°﹣35°＝105°； （2）∵BE⊥AD， ∴∠AEF＝90°， 由（1）可得∠EAF＝40°， ∴∠AFE＝180°﹣40°﹣90°＝50°． 17．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F． （1）求∠ABE的度数； （2）若AD平分∠BAC，DG平分∠ADC，试说明DG∥BE． 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，再由垂直的定义及作角性质可得答案； （2）由角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠GDC＝∠EBC．再根据平行线的判定方法可得结论． 【解答】解：（1）∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣40°＝80°． ∵AC⊥BE， ∴∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAC＝90°﹣80°＝10°． （2）∵AD平分∠BAC， ∴， ∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝60°+40°＝100°． ∵DG平分∠ADC， ∴． ∵∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝60°﹣10°＝50°， ∴∠EBC＝∠GDC． ∴DG∥BE． 18．三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种 证明方法． 已知：如图甲，　△ABC　． 求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 证明：如图乙，作BC的延长线CD，在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE＝∠A． 所以，CE∥AB（内错角相等，两直线平行）． 所以，∠B＝∠ECD（ 　两直线平行，同位角相等　）． 因为，∠ACB，∠ACE，∠ECD组成一个平角， 所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°（平角的定义）， 所以，∠ACB+∠A+∠B＝180°（ 　等量代换　）． （1）请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整； （2）该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法． 【分析】（1）在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE＝∠A．根据平行线的判定与性质及平角定义求解即可； （2）过点A作AD∥BC，根据平行线的性质∠DAC＝∠C，∠BAD+∠B＝180°，由此证明即可． 【解答】解：（1）已知：如图甲，△ABC． 求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 证明：如图乙，作BC的延长线CD，在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE＝∠A． 所以，CE∥AB（内错角相等，两直线平行）． 所以，∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等）． 因为，∠ACB，∠ACE，∠ECD组成一个平角， 所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°（平角的定义）， 所以，∠ACB+∠A+∠B＝180°（等量代换）． 故答案为：△ABC；两直线平行，同位角相等；等量代换； （2）如图丙，过点A作AD∥BC， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠C（两直线平行，内错角相等）． ∠BAD+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 即∠BAC+∠DAC+∠B＝180°． ∴∠BAC+∠B+∠C＝180°． 19．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB、CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动． （1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数； （2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系； （3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上请你探索并说明∠AEG与∠CFG间的数量关系． 【分析】（1）根据平行线的性质可知∠1＝∠EGD，依据∠2+∠FGE+∠EGD＝180°，可求出∠1的度数； （2）过点F作FP∥AB，得到FP∥AB∥CD，通过平行线的性质把∠AEF和∠FGC转化到∠EFG上即可； （3）依据AB∥CD，可知∠AEF+∠CFE＝180°，再代入∠AEF＝∠AEG﹣30°，∠CFE＝∠CFG﹣90°，即可求出∠AEG+∠CFG＝300°． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠1＝∠EGD， ∵∠2+∠FGE+∠EGD＝180°，∠2＝2∠1， ∴2∠1+60°+∠1＝180°， 解得∠1＝40°； （2）∠AEF+∠FGC＝90°，理由如下： 如图，过点F作FP∥AB， ∵CD∥AB， ∴FP∥AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFP，∠FGC＝∠GFP， ∴∠AEF+∠FGC＝∠EFP+∠GFP＝∠EFG， ∵∠EFG＝90°， ∴∠AEF+∠FGC＝90°； （3）∠AEG+∠CFG＝300°．理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∴∠AEG﹣∠FEG+∠CFG﹣∠EFG＝180°， ∵∠FEG＝30°，∠EFG＝90°， ∴∠AEG﹣30°+∠CFG﹣90°＝180°， ∴∠AEG+∠CFG＝300°． 20．【定义】如果两个角的差为36°，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”． 例如：α＝76°，β＝40°，α﹣β＝36°，则α和β互为“黄金角”，即α是β的“黄金角”，β也是α的“黄金角”． （1）已知∠1和∠2互为“黄金角”，且∠1＞∠2，若∠1和∠2互余，则∠1＝　63°　； （2）如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作AB的平行线CM，∠ABC的平分线BD分别交AC、CM于D、E两点． ①若∠A＞∠BEC，且∠A和∠BEC互为“黄金角”，则∠A＝　54°　； ②如图2所示，过点C作AB的垂线，垂足为F，BD、CF相交于点N．若∠DCN与∠CDN互为“黄金角”，求∠A的度数； ③如图3所示，∠ACM的平分线CH交BE于点H，当∠A和∠BHC互为“黄金角”时，则∠A＝　9°或81°　． 【分析】（1）根据“黄金角”的定义，互余的意义进行计算即可； （2）①根据角平分线的定义，“黄金角”的定义以及平行线的性质进行计算即可； ②设未知数，根据“黄金角”的定义，角平分线的定义以及平行线的性质进行计算即可； ③根据角平分线的定义，“黄金角”的定义，以及角平分线的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）∵∠1和∠2互为“黄金角”，且∠1＞∠2， ∴∠1﹣∠2＝36°， ∵∠1和∠2互余，即∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝＝63°， 故答案为：63°； （2）①∵∠A＞∠BEC，且∠A和∠BEC互为“黄金角”， ∴∠A﹣∠BEC＝36°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC， ∵CM∥AB， ∴∠BEC＝∠ABE＝∠ABC， 在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， 即∠A+2∠BEC＝90°， ∴∠A+2（∠A﹣36°）＝90°， 即∠A＝54°， 故答案为：54°； ②设∠DCN＝x， ∵∠DCN与∠CDN互为“黄金角”， ∴∠CDN＝x+36°或∠CDN＝x﹣36°， 当∠CDN＝x+36°时， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBN＝90°﹣∠CDN ＝90°﹣（x+36°） ＝54°﹣x， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠CBD＝108°﹣2x， ∵CF⊥AB， ∴∠A＝90°﹣∠DCN＝90°﹣x， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴108°﹣2x+90°﹣x＝90°， 解得x＝36°， ∴∠A＝90°﹣36°＝54°， 当∠CDN＝x﹣36°时， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠CDN ＝90°﹣（x﹣36°） ＝126°﹣x， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠CBN＝252°﹣2x， ∵CF⊥AB， ∴∠A＝90°﹣∠DCN＝90°﹣x， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴252°﹣2x+90°﹣x＝90°， 解得x＝84°， ∴∠A＝90°﹣84°＝6°， 综上所述，∠A＝54°或∠A＝6°； ③∵CM∥AB， ∴∠A＝∠ACM， ∵CH平分∠ACM， ∴∠ACM＝∠A＝2∠HCM， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴， 设∠A＝y，则∠DCH＝∠ECH＝x，∠ABE＝∠CBE＝（90°﹣x）＝45°﹣x， ∵∠A和∠BHC互为“黄金角”， ∴∠BHC＝x+36°或∠BHC＝x﹣36°， 当∠BHC＝x+36°时， ∵∠BHC+∠BCH+∠CBE＝180°， ∴x+36°+（90°+x）+（45°﹣x）＝180°， 解得x＝9°， 当∠BHC＝x﹣36°时， ∵∠BHC+∠BCH+∠CBE＝180°， ∴x﹣36°+（90°+x）+（45°﹣x）＝180°， 解得x＝81°， 综上所述∠A＝9°或∠A＝81°． 故答案为：9°或81°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$