专题01 与三角形高线、角平分线有关的四种模型-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

专题01 与三角形高线、角平分线有关的四种模型 类型一：三角形同一个角的平分线与高线形成的夹角 类型二：三角形的两条内角平分线形成的夹角 类型三：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角 类型四：三角形的两条外角平分线形成的夹角 类型一：三角形同一个角的平分线与高线形成的夹角 1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠B＝44°，∠C＝70°，则∠DAE的度数是（　　） A．10° B．12° C．13° D．15° 2．如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD⊥BC，垂足为D，点D在点E的左侧，∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．若∠C﹣∠B＝n°，则∠DAE＝　 　．（用含有n的代数式表示） 4．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝32°，∠2＝21°，则∠B＝　 　°． 5．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．若∠BAC＝60°，∠C＝70°，则∠EAD的大小为（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，已知∠B＝38°，∠CAD＝20°，则∠EAD＝　 　°． 7．如图，AD是△ABC角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC＝60°，∠C＝70°，则∠EOD的度数为（　　） A．20° B．30° C．10° D．15° 8．在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°． （1）求∠DAC，∠AOB． （2）直接写出∠AOB与∠C的关系． 9．（1）已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数； （2）在图2中，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D改为F是AE上一点，FD⊥BC于D”，求∠DFE的度数； （3）在图3中，∠B＝x，∠C＝y，且x＞y，若把（2）中的“点F在AE上”改为“点F是AE延长线上一点”，其余条件不变，试用x、y表示∠DFE的度数为 　 　． 类型二：三角形的两条内角平分线形成的夹角 10．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，则∠BPC的度数是（　　） A．115° B．100° C．105° D．125° 11．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC＝130°，则∠A的度数为（　　） A．80° B．70° C．60° D．45° 12．如图，P是△ABC内一点，连接BP，CP，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则∠BPC的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 13．如图，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，若∠A＝50°，则∠P＝　 　． 14．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A＝70°，则∠F＝（　　） A．125° B．130° C．135° D．140° 15．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC等于（　　） A．140° B．130° C．131° D．无法确定 16．点O是△ABC内一点，OA、OC分别平分∠BAC、∠BCA，∠B＝64°，则∠O＝（　　） A．116° B．122° C．136° D．152° 17．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，则∠D与∠E的数量关系可表示为（　　） A．3∠E﹣2∠D＝180° B．3∠D﹣2∠E＝180° C．3∠E﹣2∠D＝90° D．3∠D﹣2∠E＝90° 类型三：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角 18．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若∠BPC＝25°，则∠ACB的度数为（　　） A．25° B．50° C．65° D．70° 19．如图，∠ACE是△ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，且BD，CD相交于点D．若∠A＝80°，则∠D等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．55° 20．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 21．如图，BE是△ABC中∠ABC的平分线，CE是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABC＝40°，∠ACD＝100°，则∠A+∠E＝（　　） A．40° B．90° C．100° D．140° 22．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C．若已知∠BAO＝45°，则∠C＝（　　） A．45° B．60° C．75° D．80° 23．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP的度数为（　　） A．40° B．50° C．55° D．60° 24．如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝　 　． 25．如图，∠ADC＝130°，∠BCD＝140°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　 　． 26．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，则以下结论： ①∠E＝∠A； ②∠BOC＝3∠E； ③∠BOC＝90°+∠A； ④∠BOC＝90°+∠E． 正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 类型四：三角形的两条外角平分线形成的夹角 27．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、AD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF、外角∠EAC．其中不正确的结论有（　　） A．∠ACB＝2∠ADB B． C． D． 28．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD是△ABC内角∠ABC的平分线，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，CD是△ABC外角∠ACF的平分线，以下结论不正确的是（　　） A．AD∥BC B．∠ACB＝2∠ADB C．∠ADC＝90°﹣∠ABD D．BD平分∠ADC 29．如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，∠G＝48°，则∠D＝　 　°． 30．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠ABD的平分线BF所在直线与射线AE相交于点G．若∠ABC＝2∠C，且∠G＝25°，则∠DFB的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．50° 31．如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②；③DH∥AB；④；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 32．如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③④2∠ADB+∠CDB＝90°；⑤∠ADC+∠ABD＝135°．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 33．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E，下列结论：①；②；③；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 34．已知在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是△ABC的角平分线． （1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠EAD的度数； （2）如图2，PE平分∠AEC交AC于点F，交△ACB外角∠ACM平分线于点P，过F作FG∥PC交BC于G，请猜想∠EFG与∠BAC的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连结PA，过点P作PG⊥BM于点G，若∠EAD＝∠CAD，且，过点P作PH⊥AB交BA的延长线于点H，求∠EPH的度数． 35．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　 　度，∠P＝　 　度． （2）∠A与∠P的数量关系为　 　，并说明理由． 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　 　． 36．如图，△ABC的内角∠ABC的角平分线，与外角∠CAM，∠ACF的角平分线相交于点D，∠ACB的角平分线交BD与点E，AB∥CD． （1）求证∠BEC＝90°+∠CBD； （2）∠ADB+∠ABC是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）写出所有与∠ADB互余的角 　 　． 37．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠A＝60°，则∠BPC的度数是 　； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数． 38．如图，A，B分别是∠MON两边OM，ON上的动点（均不与点O重合）． （1）如图1，当∠MON＝58°时，△AOB的外角∠NBA，∠MAB的平分线交于点C，则∠ACB＝　 　°； （2）如图2，当∠MON＝n°时，∠OAB，∠OBA的平分线交于点D，则∠ADB＝　 °（用含n的式子表示）； （3）如图3，当∠MON＝α（α为定值，0°＜α＜90°）时，BE是∠NBA的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线交于点F．随着点A，B的运动，∠F的大小会改变吗？如果不会，求出∠F的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 与三角形高线、角平分线有关的四种模型 类型一：三角形同一个角的平分线与高线形成的夹角 类型二：三角形的两条内角平分线形成的夹角 类型三：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角 类型四：三角形的两条外角平分线形成的夹角 类型一：三角形同一个角的平分线与高线形成的夹角 1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠B＝44°，∠C＝70°，则∠DAE的度数是（　　） A．10° B．12° C．13° D．15° 【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，结合AE平分∠BAC，可求出∠CAE，由AD⊥BC，可得出∠ADC＝90°，利用三角形内角和定理，可求出∠CAD的度数，再结合∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD，即可求出∠DAE的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝44°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣44°﹣70°＝66°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAC＝×66°＝33°． ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝33°﹣20°＝13°． 故选：C． 2．如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD⊥BC，垂足为D，点D在点E的左侧，∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 【分析】由∠B＝60°，∠C＝40°，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．由角平分线的定义，得∠EAC＝40°．根据三角形外角的性质，得∠FED＝80°．由FD⊥BC，根据三角形内角和定理，故可求得∠DFE． 【解答】解：（1）∵∠B＝60°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°． 又∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠EAC＝＝40°． ∴∠AED＝∠C+∠EAC＝40°+40°＝80°． ∵AD⊥BC， ∴∠ADE＝90°． ∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣80°＝10°． 故选：A． 3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．若∠C﹣∠B＝n°，则∠DAE＝　°　．（用含有n的代数式表示） 【分析】设∠B＝x，则∠C＝n°+x，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，可用含x的代数式表示出∠CAE的度数，在Rt△ADC，用含x的代数式表示出∠CAD的度数，再结合∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE可求出∠DAE的度数． 【解答】解∵∠C﹣∠B＝n°，设∠B＝x，则∠C＝n°+x， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣x﹣n°﹣x＝180°﹣n°﹣2x． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝， 在Rt△ADC，∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣（n°+x）＝90°﹣n°﹣x， ∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝（90°﹣x）﹣（90°﹣n°﹣x）＝°． 故答案为：°． 4．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝32°，∠2＝21°，则∠B＝　47　°． 【分析】先算出∠CAE＝∠1＝32°，∠BAC＝64°，通过角的运算，得出∠BAD＝64°﹣21°＝43°，结合三角形的内角和180度进行列式计算，即可作答． 【解答】解：∵AE平分∠BAC，∠1＝32°， ∴∠CAE＝∠1＝32°，∠BAC＝64°， ∵∠2＝21°， ∴∠BAD＝64°﹣21°＝43°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， 则∠B＝180°﹣90°﹣43°＝47°， 故答案为：47． 5．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．若∠BAC＝60°，∠C＝70°，则∠EAD的大小为（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 【分析】先利用三角形的内角和定理及推论求出∠B、∠BAD，再利用角平分线的性质求出∠BAE，最后利用角的和差关系得结论． 【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠C＝70°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C ＝180°﹣60°﹣70° ＝50°． ∵AD是高，AE是角平分线． ∴∠ADC＝90°，∠BAE＝BAC＝30°． ∵∠ADC＝∠B+∠BAD， ∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝90°﹣50°＝40°． ∵∠BAD＝∠BAE+∠EAD， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝40°﹣30°＝10°． 故选：B． 6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，已知∠B＝38°，∠CAD＝20°，则∠EAD＝　36　°． 【分析】根据高的定义即可得到∠D＝90°，根据三角形内角和定理可得∠BAD＝52°，即可得到∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝32°，由AE平分∠BAC得到∠EAC＝16°，由∠EAD＝∠EAC+∠CAD即可得到结论． 【解答】解：∵AD是BC边上的高， ∴∠D＝90°， ∵∠B＝38°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠D＝180°﹣38°﹣90°＝52°， ∵∠CAD＝20°， ∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝52°﹣20°＝32°， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∴∠EAD＝∠EAC+∠CAD＝16°+20°＝36°． 故答案为：36． 7．如图，AD是△ABC角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC＝60°，∠C＝70°，则∠EOD的度数为（　　） A．20° B．30° C．10° D．15° 【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠C＝70°， ∴∠B＝180°﹣60°﹣70°＝50°． 又∵AD是∠BAC的角平分线， ∴， ∴∠ADE＝30°+50°＝80°， 又∵OE⊥BC， ∴∠EOD＝90°﹣80°＝10°． 故选：C． 8．在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°． （1）求∠DAC，∠AOB． （2）直接写出∠AOB与∠C的关系． 【分析】（1）根据AD是高得∠ADC＝90°，再根据直角三角形的两个锐角互余可得∠DAC的度数；根据角平分线定义得∠OAB＝1/2∠BAC，∠OBA＝∠ABC，则∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC），再由三角形内角和定理得∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°，则∠OAB+∠OBA＝55°，然后再由三角形内角和定理可得出∠AOB的度数； （2）由（1）可知∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC），∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，进而得∠OAB+∠OBA＝90°﹣∠C，然后再由三角形内角和定理可得出∠AOB与∠C之间的关系． 【解答】解：（1）在△ABC中，AD是高， ∴∠ADC＝90°， 又∵∠C＝70°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20°， ∵AE，BF是角的平分线， ∴∠OAB＝∠BAC，∠OBA＝∠ABC， ∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）， ∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣70°＝110°， ∴∠OAB+∠OBA＝×110°＝55°， ∵∠AOB+∠OAB+∠OBA＝180°， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣55°＝125°； （2）∠AOB与∠C的关系是：∠AOB＝90°+∠C，理由如下： 由（1）可知：∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC），∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C， ∴∠OAB+∠OBA＝（180°﹣∠C）＝90°﹣∠C， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣（90°﹣∠C）＝90°+∠C． 9．（1）已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数； （2）在图2中，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D改为F是AE上一点，FD⊥BC于D”，求∠DFE的度数； （3）在图3中，∠B＝x，∠C＝y，且x＞y，若把（2）中的“点F在AE上”改为“点F是AE延长线上一点”，其余条件不变，试用x、y表示∠DFE的度数为 　（x﹣y）　． 【分析】（1）根据三角形的内角和得∠BAC的度数，再利用角平分线的定义得∠BAE＝∠BAC＝×70°＝35°，从而得出答案； （2）根据三角形内角和定理、角平分线定义用含∠B、∠C代数式表示∠BAC和∠AEB，根据三角形内角和定理求出∠DFE＝（∠B﹣∠C）＝15°； （3）同理（2），用含x、y代数式表示∠BAC和∠AEB即可． 【解答】解：（1）∵∠B＝70°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC＝×70°＝35°， 在Rt△BAD中，∠BAD＝90°﹣70°＝20°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝35°﹣20°＝15°； （2）∵∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）， ∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣∠B+∠C， ∴∠DEF＝∠AEB＝90°﹣∠B+∠C， ∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝90°﹣90°+∠B﹣∠C＝（∠B﹣∠C）， ∵∠B＝70°，∠C＝40°， ∴∠DFE＝×（70°﹣40°）＝15°； （3）∵∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣x﹣y）， ∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣x﹣（180°﹣x﹣y）＝90°﹣x+y， ∴∠DEF＝∠AEB＝90°﹣x+y， ∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝90°﹣90°+x﹣y＝（x﹣y）， 故答案为：（x﹣y）． 类型二：三角形的两条内角平分线形成的夹角 10．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，则∠BPC的度数是（　　） A．115° B．100° C．105° D．125° 【分析】先根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB＝180﹣∠A＝130°，再根据角平分线定义得∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，进而得∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，然后再根据三角形内角和定理可得出∠BPC的度数． 【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180﹣∠A＝130°， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点P， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°， ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴∠BPC＝180﹣（∠PBC+∠PCB）＝180﹣65°＝115°． 故选：A． 11．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC＝130°，则∠A的度数为（　　） A．80° B．70° C．60° D．45° 【分析】先根据∠BFC＝130°求出∠BCF+∠FBC的度数，再由BF平分∠ABC，CF平分∠ACB可得出∠ACB+∠ABC的度数，进而可得出结论． 【解答】解：∵∠BFC＝130°， ∴∠BCF+∠FBC＝180°﹣∠BFC＝180°﹣130°＝50°， ∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠ACB+∠ABC＝2（∠BCF+∠FBC）＝2×50°＝100°， ∴∠A＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣100°＝80°． 故选：A． 12．如图，P是△ABC内一点，连接BP，CP，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则∠BPC的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【分析】在△ABC中先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据已知∠1＝∠2，∠3＝∠4得出∠2+∠4＝40°，在△BPC中根据三角形内角和定理求出∠BPC的度数即可． 【解答】解：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∵∠A＝100°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣100°＝80°， 即∠1+∠2+∠3+∠4＝80°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴2∠2+2∠4＝80°， ∴∠2+∠4＝40°， 在△BPC中，∠BPC+∠2+∠4＝180°， ∴∠BPC＝140°， 故选：D． 13．如图，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，若∠A＝50°，则∠P＝　115°　． 【分析】由角平分线的定义可得，，再利用三角形的内角和定理可求解． 【解答】解：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD， ∴，， ∴∠DPC＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD ＝ ＝ ＝ ＝115°． 故答案为：115°． 14．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A＝70°，则∠F＝（　　） A．125° B．130° C．135° D．140° 【分析】先根据三角形的内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义得出，，进而求出∠FBC+∠FCB的度数，最后再根据三角形内角和定理即可求得答案． 【解答】解：∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°， ∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴，， ∴， ∴∠F＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣55°＝125°． 故选：A． 15．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC等于（　　） A．140° B．130° C．131° D．无法确定 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝100°，根据角平分线的定义求出∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB求出∠OBC+∠OCB＝50°，根据三角形的内角和定理求出即可． 【解答】解：∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°， ∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝50°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝130°， 故选：B． 16．点O是△ABC内一点，OA、OC分别平分∠BAC、∠BCA，∠B＝64°，则∠O＝（　　） A．116° B．122° C．136° D．152° 【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC+∠BCA的度数，结合角平分线的定义，可得出∠OAC+∠OCA的度数，再在△OAC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠O的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝64°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝180°﹣64°＝116°． ∵OA、OC分别平分∠BAC、∠BCA， ∴∠OAC＝∠BAC，∠OCA＝∠BCA， ∴∠OAC+∠OCA＝∠BAC+∠BCA＝（∠BAC+∠BCA）＝×116°＝58°． 在△OAC中，∠OAC+∠OCA＝58°， ∴∠O＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°﹣58°＝122°． 故选：B． 17．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，则∠D与∠E的数量关系可表示为（　　） A．3∠E﹣2∠D＝180° B．3∠D﹣2∠E＝180° C．3∠E﹣2∠D＝90° D．3∠D﹣2∠E＝90° 【分析】根据角平分线的性质可得，∠DBC＝，∠DCB＝，由∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，可得∠DBC＝，，由三角形内角和定理可得∠D+∠DBC+∠DCB＝180°，由三角形外角的性质可得∠E+∠EBC+∠ECB＝180°，从而可求得∠D与∠E的数量关系． 【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点D， ∴∠DBC＝，∠DCB＝ ∵∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB， ∴∠DBC＝，， ∵∠D+∠DBC+∠DCB＝180°， ∴∠D+， ∵∠E+∠EBC+∠ECB＝180°， ∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠E， ∴∠D+， 整理得3∠E﹣2∠D＝180°， 故选：A． 类型三：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角 18．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若∠BPC＝25°，则∠ACB的度数为（　　） A．25° B．50° C．65° D．70° 【分析】由角平分线的定义可得∠PBC＝∠ABC，∠ACP＝∠DCP＝∠ACD，从而可求得∠DCP＝90°﹣∠ACB，再利用三角形的外角性质得∠DCP＝∠PBC+∠P，从而可求解． 【解答】解：如图， ∵∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P， ∴∠PBC＝∠ABC，∠ACP＝∠DCP＝∠ACD， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠PBC＝∠ACB，∠DCP＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB， ∵∠DCP是△BCP的外角，∠BPC＝25°， ∴∠BPC+∠PBC＝∠DCP， 25°+∠ACB＝90°﹣∠ACB， 解得：∠ACB＝65°． 故选：C． 19．如图，∠ACE是△ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，且BD，CD相交于点D．若∠A＝80°，则∠D等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．55° 【分析】根据角平分线的定义，由BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，得∠A B C＝2∠D B C，∠A C E＝2∠D C E．根据三角形外角的性质，得D B C）＝2∠D，从而推断除． 【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE， ∴∠A B C＝2∠D B C，∠A C E＝2∠D C E． ∴D B C）＝2∠D． ∵∠A＝80°， ∴． 故选：B． 20．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数． 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠ABC＝2∠ABP，∠ACM＝2∠ACP， 又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2×20°＝40°，∠ACM＝2×50°＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°， 故选：D． 21．如图，BE是△ABC中∠ABC的平分线，CE是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABC＝40°，∠ACD＝100°，则∠A+∠E＝（　　） A．40° B．90° C．100° D．140° 【分析】由BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，利用角平分线的定义，可求出∠CBE，∠DCE的度数，由∠ACD是△ABC的外角，∠DCE是△BCE的外角，利用三角形的外角性质，可求出∠A，∠E的度数，再将其代入∠A+∠E中，即可求出结论． 【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠CBE＝∠ABC＝×40°＝20°，∠DCE＝∠ACD＝×100°＝50°． ∵∠ACD是△ABC的外角，∠DCE是△BCE的外角， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝100°﹣40°＝60°，∠E＝∠DCE﹣∠CBE＝50°﹣20°＝30°， ∴∠A+∠E＝60°+30°＝90°． 故选：B． 22．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C．若已知∠BAO＝45°，则∠C＝（　　） A．45° B．60° C．75° D．80° 【分析】先运用三角形外角的性质求出∠ABN的度数，再运用角平分线求出∠ABE的度数，再运用角平分线求出∠BAC，用三角形外角性质即可求出∠C的度数． 【解答】解：∵∠BAO＝45°，∠MON＝90°， ∴∠ABN＝∠BAO+∠MON＝90°+45°＝135°， ∵BE平分∠NBA， ∴∠ABE＝×135°＝67.5°， 又∵AC平分∠BAO的平分线， ∴∠BAC＝22.5°， ∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝67.5°﹣22.5°＝45°． 故选：A． 23．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP的度数为（　　） A．40° B．50° C．55° D．60° 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案 【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD＝x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN， ∴PF＝PM， ∵∠BPC＝40°， ∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°， ∴∠CAF＝100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， ， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）， ∴∠FAP＝∠PAC＝50°． 故选：B． 24．如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝　40°　． 【分析】过P点分别作PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AD，分别交AC的延长线于E，交BC于点F，交AD于点G，由角平分线的性质及判定可得CP平分∠BCE，进而可求解∠ACB的度数，根据三角形外角的性质可推知∠ACB＝2∠APB，进而可求解． 【解答】解：过P点分别作PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AD，分别交AC的延长线于E，交BC于点F，交AD于点G， ∵AP平分∠BAC， ∴PE＝PG，∠BAC＝2∠BAP， ∵BP平分∠CBD， ∴PF＝PG，∠CBD＝2∠DBP， ∴PE＝PF， ∴CP平分∠BCE， ∴∠BCP＝∠PCE， ∵∠ACP＝130°， ∴∠PCE＝180°﹣∠ACP＝50°， ∴∠BCP＝50°， ∴∠ACB＝∠ACP﹣∠BCP＝130°﹣50°＝80°， ∵∠DBC＝∠BAC+∠ACB，∠DBP＝∠BAP+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB， ∴∠APB＝40°． 故答案为40°． 25．如图，∠ADC＝130°，∠BCD＝140°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　45°　． 【分析】先根据角平分线的性质得出∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB，再由四边形内角和定理得出∠DAB+∠ABC的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【解答】解：∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB， ∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB． ∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°， ∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB＝360°﹣130°﹣140°＝90°． 又∵∠AFB+∠FAB＝∠FBE， ∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB ＝∠CBE﹣∠DAB ＝（∠CBE﹣∠DAB） ＝（180°﹣∠ABC﹣∠DAB） ＝×（180°﹣90°） ＝45°． 故答案为：45°． 26．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，则以下结论： ①∠E＝∠A； ②∠BOC＝3∠E； ③∠BOC＝90°+∠A； ④∠BOC＝90°+∠E． 正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【分析】根据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠A＝2∠E，∠BOC＝90°+∠A，∠BOC＝90°+∠E． 【解答】解：∵CE为外角∠ACD的角平分线，BO平分∠ABC， ∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC， 又∵∠DCE是△BCE的外角， ∴∠E＝∠DCE﹣∠DBE ＝（∠ACD﹣∠ABC） ＝∠A，故①正确； ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） ＝180﹣（180°﹣∠A） ＝90°+∠A，故②、③错误． ∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD， ∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD， ∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝90°， ∵∠BOC是△COE的外角， ∴∠BOC＝∠OCE+∠E＝90°+∠E，故④正确． 综上所述，①④正确． 故选：C． 类型四：三角形的两条外角平分线形成的夹角 27．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、AD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF、外角∠EAC．其中不正确的结论有（　　） A．∠ACB＝2∠ADB B． C． D． 【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【解答】解：∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠EAD， ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC， ∴∠ACB＝2∠ADB， 故A不符合题意； ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACF＝2∠DCF， ∵∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC+∠BDC， ∴2∠DBC+2∠BDC＝∠BAC+∠DBC， ∴∠BAC＝2∠BDC， ∴∠BDC＝∠BAC， 故B不符合题意；C符合题意； 在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD＝∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°， ∴∠ADC+∠ABD＝90°， 即∠ADC+∠ABC＝90°， 故D不符合题意； 故选：C． 28．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD是△ABC内角∠ABC的平分线，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，CD是△ABC外角∠ACF的平分线，以下结论不正确的是（　　） A．AD∥BC B．∠ACB＝2∠ADB C．∠ADC＝90°﹣∠ABD D．BD平分∠ADC 【分析】A、由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD＝∠DAC，由三角形外角得∠EAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，得出∠EAD＝∠ABC，利用同位角相等两直线平行得出结论正确． B、由AD∥BC，得出∠ADB＝∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC，∠ABC＝2∠ADB，得出结论∠ACB＝2∠ADB， C、在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，得出结论∠ADC＝90°﹣∠ABD； D、用排除法可得结论． 【解答】解：A、∵AD平分△ABC的外角∠EAC， ∴∠EAD＝∠DAC， ∵∠EAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC， 故A正确． B、由（1）可知AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABC＝2∠ADB， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ADB， 故B正确． C、在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD＝∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB ∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°， ∴∠ADC+∠ABD＝90° ∴∠ADC＝90°﹣∠ABD， 故C正确； 不妨设，D选项正确，可以推出AB＝AD＝AC，推出∠ACB＝∠ACD＝∠DCF＝60°，显然不可能，故D错误． 故选：D． 29．如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，∠G＝48°，则∠D＝　132　°． 【分析】连接DG，根据角平分线定义得∠DBC＝∠ABC，∠GBC＝∠EBC，则∠DBC+∠GBC＝（∠ABC+∠EBC）＝90°，即∠DBG＝90°，同理∠DCG＝90°，再由三角形内角和定理得∠BDG+∠BGD＝90°，∠CDG+∠CGD＝90°，即∠BDC+∠BGC＝180°，然后根据∠BGC＝48°可是∠BDC的度数． 【解答】解：连接DG，如下图所示： ∵BD平分∠ABC，BG平分∠EBC， ∴∠DBC＝1/2∠ABC，∠GBC＝1/2∠EBC， ∴∠DBC+∠GBC＝1/2（∠ABC+∠EBC）， ∵∠ABC+∠EBC＝180°， ∴∠DBC+∠GBC＝1/2×180°＝90°， 即∠DBG＝90°， 同理：∠DCG＝90°， ∴∠BDG+∠BGD＝90°，∠CDG+∠CGD＝90°， ∴∠BDG+∠BGD+∠CDG+∠CGD＝180°， 即∠BDC+∠BGC＝180°， ∵∠BGC＝48°， ∴∠BDC＝180°﹣∠BGC＝180°﹣48°＝132°． 故答案为：132． 30．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠ABD的平分线BF所在直线与射线AE相交于点G．若∠ABC＝2∠C，且∠G＝25°，则∠DFB的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．50° 【分析】设∠CAE＝α，根据角平分线的定义得∠BAE＝∠CAE＝α，∠BAC＝2∠CAE＝2α，由三角形的外角定理得∠ABD＝∠BAC+∠C＝2α+∠C，则∠ABF＝∠DBF＝∠ABD＝α+∠C，同时∠ABF＝∠BAE+∠G＝α+25°，由此得∠C＝50°，则∠ABC＝2∠C＝100°，进而得∠ABD＝180°﹣∠ABC＝80°，∠DBF＝∠ABD＝40°，然后再根据AD⊥BC可得∠DFB的度数． 【解答】解：设∠CAE＝α， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE＝α，∠BAC＝2∠CAE＝2α， ∵∠ABD是△ABC的外角， ∴∠ABD＝∠BAC+∠C＝2α+∠C， ∵BF平分∠ABD， ∴∠ABF＝∠DBF＝∠ABD＝α+∠C， ∵∠ABF是△ABG的外角，∠G＝25°， ∴∠ABF＝∠BAE+∠G＝α+25°， ∴α+∠C＝α+25°， ∴∠C＝50°， ∴∠ABC＝2∠C＝100°， ∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝80°， ∴∠DBF＝∠ABD＝40°， ∵AD⊥BC于点D， ∴∠DFB＝90°﹣∠DBF＝90°﹣40°＝50°． 故选：D． 31．如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②；③DH∥AB；④；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】①根据BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线，可得∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，再由邻补角的性质，可得①正确；②根据BD和CD是△ABC两个外角的平分线，可得，可得②正确；③根据∠A＝∠ABC，可得∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，可得∠BCD＝∠ABC，可得③正确；④根据，可得④正确；⑤根据∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，可得，再由∠A＝∠ABC，可得，可得⑤正确，即可求解． 【解答】解：①∵BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线， ∴∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD， ∵∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠CBH+∠CBD＝90°，即∠DBH＝90°， ∴DB⊥BH，故①正确； ②∵BD和CD是△ABC两个外角的平分线， ∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB ＝ ＝ ＝ ＝ ＝，故②正确； ③∵∠A＝∠ABC， ∴∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC， ∵CD是∠BCF的平分线， ∴， ∴DH∥AB，故③正确； ④∵， ∴，故④正确； ⑤∵∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE， ∴， ∵∠A＝∠ABC， ∴， ∵， ∴∠CBD＝∠D，故⑤正确． 综上所述，正确的有5个． 故选：D． 32．如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③④2∠ADB+∠CDB＝90°；⑤∠ADC+∠ABD＝135°．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据相关判定定理和性质，逐项判断，即可得到答案． 【解答】解：①∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠EAD， ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠EAC＝2∠ABC， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC，故①正确， ②∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB，故②正确； ③∵∠DCF+∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠DCF， ∴2∠DCF+∠ACB＝180°， ∵∠BDC+∠DBC＝∠DCF， ∴2∠BDC+2∠DBC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+2∠BDC+∠ACB＝180°， ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝2∠BDC， ∴，故③正确； ④∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵CD平分∠ACF， ∴∠ACF＝2∠DCF， ∵∠ADB+∠CDB＝∠DCF，2∠DCF+∠ACB＝180°， ∴2∠DCF+∠ABC＝2∠DCF+2∠ABD＝180°， ∴∠DCF+∠ABD＝90°， ∴∠ADB+∠CDB+∠ADB＝90°， ∴， ∴2∠ADB+∠CDB＝90°，故④正确； ⑤由④得，∠DCF+∠ABD＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCF， ∴∠ADC+∠ABD＝90°，故⑤不正确． 故选：C． 33．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E，下列结论：①；②；③；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】由角平分线的定义可得∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A，再由三角形的内角和定理可求解∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A，即可判定①；由角平分线的定义可得∠DCF＝∠ACF，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得∠MBC+∠NCB＝180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得∠E+∠DCF＝90°+∠DBC，结合∠ABD＝∠DBC可判定④． 【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O， ∴∠ABD＝∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACO＝∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A， 故①正确，符合题意； ∵CD平分∠ACF， ∴∠DCF＝∠ACF， ∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D， ∴2∠OBC+2∠D＝∠ABC+∠A， ∴∠D＝∠A， 故②正确，符合题意； 如图， ∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°， ∴∠MBC+∠NCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A， ∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN， ∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE， ∴∠EBC+∠ECB＝90°+∠A， ∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝90°﹣∠A， ∴∠A＝180°﹣2∠E， 故③错误，不符合题意； ∵∠DCF＝∠DBC+∠D， ∴∠E+∠DCF＝90°﹣∠A+∠DBC+∠A＝90°+∠DBC， ∵∠ABD＝∠DBC， ∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD， 故④正确，符合题意； 综上正确的有：①②④． 故选：C． 34．已知在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是△ABC的角平分线． （1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠EAD的度数； （2）如图2，PE平分∠AEC交AC于点F，交△ACB外角∠ACM平分线于点P，过F作FG∥PC交BC于G，请猜想∠EFG与∠BAC的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连结PA，过点P作PG⊥BM于点G，若∠EAD＝∠CAD，且，过点P作PH⊥AB交BA的延长线于点H，求∠EPH的度数． 【分析】（1）先求解∠BAC＝80°，∠BAC＝40°，∠AEC＝80°，再结合三角形的高可得答案； （2）先证明∠P＝∠PCM﹣∠PEM＝（∠ACM﹣∠AEM）＝∠CAE结合 ，可得 ，结合FG∥PC，从而可得结论； （3）设∠EAD＝∠CAD＝2α，可得∠BAE＝∠CAE＝4α，∠BAC＝8α，∠BAD＝6α，∠B＝90°﹣6a，结合（2）可得，，求解∠CPG＝90°﹣∠PCG＝45°﹣α，结合∠B+∠CPE＝∠CPG，再建立方程进一步求解即可． 【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE＝40°， ∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝80°， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADE＝90°， ∴∠EAD＝10°； （2）．理由如下： ∵PE，PC分别平分∠AEC和△ACB的外角∠ACM， ∴，， ∴， ∵，， ∵FG∥PC， ∴∠P＝∠EFG， ∴； （3）设∠EAD＝∠CAD＝2α， ∴∠BAE＝∠CAE＝4α， ∴∠BAC＝8α， ∠BAD＝6α， ∴由（2）可得，， ∵PC平分∠ACM， ∴， ∴∠CPG＝90°﹣∠PCG＝45°﹣α， ∵， ∴， ∴α＝10°， ∴∠B＝30°，， ∴∠BEP＝180°﹣∠PEM＝145°， ∵PH⊥AB， ∴∠BHP＝90°， 在四边形EBPH中，∠EPH＝360°﹣∠BEP﹣∠B﹣∠BHP＝95°． 35．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　50　度，∠P＝　115　度． （2）∠A与∠P的数量关系为　∠P﹣∠A＝90°　，并说明理由． 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　∠Q＝90°﹣∠A　． 【分析】【探究】（1）由三角形内角和定理进行计算即可； （2）由角平分线定义得∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； 【应用】由角平分线定义可得∠CBQ＝90°﹣∠ABC，∠BCQ＝90°﹣∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【解答】【探究】 解：（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°， ∴∠A＝1880°﹣80°﹣50°＝50°， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB， ∴∠BCP+∠CBP＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°， ∴∠P＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：50，115； （2）∠P﹣∠A＝90°．理由如下： ∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∠P+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴∠P+（∠ABC+∠ACB）＝180°， ∴∠P+（180°﹣∠A）＝180°， ∴∠P﹣∠A＝90°； 故答案为：∠P﹣∠A＝90°； 【应用】 解：∠Q＝90°﹣∠A．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q， ∴∠CBQ＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC， ∠BCQ＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB， ∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）＝180°﹣（90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）， 又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A； 故答案为：∠Q＝90°﹣∠A． 36．如图，△ABC的内角∠ABC的角平分线，与外角∠CAM，∠ACF的角平分线相交于点D，∠ACB的角平分线交BD与点E，AB∥CD． （1）求证∠BEC＝90°+∠CBD； （2）∠ADB+∠ABC是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）写出所有与∠ADB互余的角 　∠ABC，∠DCF，∠ACD，∠BAC　． 【分析】（1）先证∠ECD＝90°，再由∠BEC＝∠ECD+∠BDC＝90°+∠BDC，然后根据AB∥CD，BD平分∠ABC得∠BDC＝∠ABD＝∠CBD，据此即可得出结论； （2）设∠ABD＝∠CBD＝α，则∠ABC＝2α，根据AB∥CD，CD平分∠ACF得∠ABC＝∠DCF＝∠ACD＝∠BAC＝2α，再根据邻补角的定义及AD平分∠CAM得∠MAD＝1/2∠MAC＝90°﹣α，进而根据三角形外角定理得∠ADB＝∠MAD﹣∠ABD＝90°﹣2α，由此可求出∠ADB+∠ABC的值； （3）由（2）可知：∠ABC＝∠DCF＝∠ACD＝∠BAC，∠ADB+∠ABC＝90°，由此可得出与∠ADB互余的角． 【解答】（1）证明：∵∠ACB+∠ACF＝180°，CE平分∠ACB，CD平分∠ACF， ∴∠ACE＝∠ACB，ACD＝∠ACF， ∴∠ACE+ACD＝（∠ACB+∠ACF）＝×180°＝90°， 即∠ECD＝90°， ∴∠BEC＝∠ECD+∠BDC＝90°+∠BDC， ∵AB∥CD，BD平分∠ABC， ∴∠BDC＝∠ABD＝∠CBD， ∴∠BEC＝90°+∠CBD； （2）解：∠ADB+∠ABC为定值，∠ADB+∠ABC＝90°，理由如下： 设∠ABD＝∠CBD＝α，则∠ABC＝2α， ∵AB∥CD，CD平分∠ACF， ∴∠ABC＝∠DCF＝∠ACD＝∠BAC＝2α， ∴∠MAC＝180°﹣∠BAC＝180°﹣2α， ∵AD平分∠CAM， ∴∠MAD＝∠MAC＝90°﹣α， ∵∠MAD＝∠ABD+∠ADB， ∴∠ADB＝∠MAD﹣∠ABD＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴∠ADB+∠ABC＝90°﹣2α+2α＝90°， 故∠ADB+∠ABC为定值； （3）由（2）可知：∠ABC＝∠DCF＝∠ACD＝∠BAC，∠ADB+∠ABC＝90°， ∴与∠ADB互余的角有∠ABC，∠DCF，∠ACD，∠BAC． 故答案为：∠ABC，∠DCF，∠ACD，∠BAC． 37．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠A＝60°，则∠BPC的度数是 　120°　； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数． 【分析】（1）根据角平分线定义及三角形内角和定理得∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），则∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°+∠A，再根据∠A＝60°可得∠BPC的度数； （2）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得∠MBC+∠NCB＝180°+∠A，再由角平分线定义得∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝90°+∠A，由此得∠Q，∠A之间的数量关系； （3）先求出∠EBQ＝90°，根据∠Q＝90°﹣∠A得∠E＝∠A，然后分四种情况讨论如下：①当∠EBQ＝3∠E时，则∠E＝30°，此时∠A＝2∠E＝60°，②当∠EBQ＝3∠Q时，则∠E＝60°，此时∠A＝2∠E＝120°，③当∠Q＝3∠E时，则∠E＝22.5°，此时∠A＝2∠E＝45°，④当∠E＝3∠Q时，则∠E＝67.5°此时∠A＝2∠E＝135°，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P， ∴PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A， ∵∠A＝60°， ∴∠BPC＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°， 故答案为：120°． （2）∠Q，∠A之间的数量关系是：∠Q＝90°﹣∠A，理由如下： ∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°， ∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A， ∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点 ∴∠QBC＝∠MBC，∠QCB＝∠NCB ∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A， ∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A， 故∠Q，∠A之间的数量关系是：∠Q＝90°﹣∠A； （3）∵PB平分∠ABC，BQ平分∠MBC，∠ABC+∠MBC＝180°， ∵∠PBC＝∠ABC，∠QBC＝∠MBC， ∴∠PBC+∠QBC＝（∠ABC+∠MBC）＝×180°＝90°， 即∠EBQ＝90°， ∴∠E+∠Q＝90°， 由（2）可知：∠Q＝90°﹣∠A， ∴∠E+90°﹣∠A＝90°， ∴∠E＝∠A， 如果在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况： ①当∠EBQ＝3∠E时，则3∠E＝90°， ∴∠E＝30°， 此时∠A＝2∠E＝60°， ②当∠EBQ＝3∠Q时，则3∠Q＝90°， ∴∠Q＝30°，则∠E＝60°， 此时∠A＝2∠E＝120°， ③当∠Q＝3∠E时，则∠E+3∠E＝90°， ∴∠E＝22.5°， 此时∠A＝2∠E＝45°， ④当∠E＝3∠Q时，则3∠Q+∠Q＝90°， ∴∠Q＝22.5°， ∴∠E＝67.5° 此时∠A＝2∠E＝135°， 综上所述，∠A的度数是60° 或120° 或45° 或135°． 38．如图，A，B分别是∠MON两边OM，ON上的动点（均不与点O重合）． （1）如图1，当∠MON＝58°时，△AOB的外角∠NBA，∠MAB的平分线交于点C，则∠ACB＝　61　°； （2）如图2，当∠MON＝n°时，∠OAB，∠OBA的平分线交于点D，则∠ADB＝　（90+n）　°（用含n的式子表示）； （3）如图3，当∠MON＝α（α为定值，0°＜α＜90°）时，BE是∠NBA的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线交于点F．随着点A，B的运动，∠F的大小会改变吗？如果不会，求出∠F的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠NBA+∠MAB＝180°+58°，根据角平分线的定义计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到∠OBA+∠OAB＝（180﹣n）°，根据角平分线的定义计算即可； （3）根据三角形的外角性质得到∠NBA﹣∠BAO＝∠MON＝α，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可． 【解答】解：（1）∵∠MON＝58°， ∴∠OBA+∠OAB＝122°． ∴∠NBA+∠MAB＝238°． ∵BD、AD分别为∠NBA、∠MAB的平分线， ∴∠DBA＝NBA，∠DAB＝∠MAB． ∴∠DBA+∠DAB＝×（∠NBA+∠MAB）＝90°+58°． ∴∠ADB＝180°﹣（90°+58°）＝90°﹣58°＝61°． 故答案为：61． （2）∵∠MON＝n°， ∴∠OBA+∠OAB＝180°﹣n°． ∵BC、AC分别为∠OBA、∠OAB的平分线， ∴∠ABC＝∠OBA，∠BAC＝∠OAB， ∴∠ABC+∠BAC＝×（∠OBA+∠OAB）＝（180°﹣n°）． ∴∠ACB＝180°﹣（180°﹣n°）＝90°+n°． 故答案为：（90+n）． （3）∠F的大小不变，∠F＝α． 理由如下：∵∠NBA﹣∠BAO＝∠MON＝α， 又BE是∠ABN的平分线，AF是∠OAB的平分线， ∴∠EBA＝∠NBA，∠BAF＝∠BAO， ∴∠F＝∠EBA﹣∠BAF＝（∠NBA﹣∠BAO）＝α． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$