第2课 二次函数的图象-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第2课 二次函数的图象 ( 目标导航 ) 学习目标 1.会用描点法画二次函数函数图象，学会观察、归纳、概括函数图象的特征； 2.了解y=ax2 ,y=a(x+m)2,y=a(x+m)2+h三类二次函数图象之间的关系. 3.经历将二次函数图象平移的过程;理解函数图象平移的意义.会从图象的平移的角度认识y=a(x +m)2+h型二次函数的图象特征. 4.会根据二次函数的一般形式y=ax2+bx+c ,确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，能运用配方法将y=ax2+bx+c变形成y=a(x--m)2+k的形式. ( 知识精讲 ) 知识点01 二次函数函数的图象 1.二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点.当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 2. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，0） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 3. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，k） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 4. 二次函数（）的图象是一条抛物线，它的 对称轴是直线，顶点坐标是 ，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点. 知识点02 二次函数的图象与几何变换 1.二次函数的平移 （1） 平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2） 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成“左加右减自变量，上加下减常数项”． 2.二次函数图象的对称 （1）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （2）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是； 关于顶点对称后，得到的解析式是． 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 知识点03 二次函数的图象与系数的关系 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，； （2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号； （3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交 ( 能力拓展 )考点01 二次函数函数的图象 【典例1】已知函数是y关于x的二次函数． （1）若该函数图象开口向上，求a的值； （2）在（1）的条件下，写出该函数图象的对称轴与顶点坐标． 【即学即练1】在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣ax+b与二次函数y＝ax2﹣b的大致图象可能是（　　） A．B． C． D． 考点02 二次函数图象与几何变换 【典例2】抛物线y＝﹣2x2+1通过变换可以得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，以下变换过程正确的是（　　） A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 【即学即练2】已知P（﹣5，m）和Q（3，m）是二次函数y＝2x2+bx+1图象上的两点． （1）求b的值； （2）将二次函数y＝2x2+bx+1的图象进行一次平移，使图象经过原点．（写出一种即可） 考点03 二次函数的图象与系数的关系 【典例3】抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的有 　　． ①abc＞0；②a+b+c＝2；③b＞2a；④b＞1． 【即学即练3】若抛物线y＝x2+2（1﹣m）x+m2﹣5的顶点在第四象限，则m的值可以为（　　） A．﹣ B．3 C． D．2 ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+1的顶点坐标是（　　） A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1） 2．二次函数y＝x2+2x的对称轴是（　　） A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2 3．抛物线y＝（x﹣1）2﹣4与y轴的交点的坐标为（　　） A．（0，﹣4） B．（0，﹣3） C．（3，0） D．（﹣1，0） 4．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，那么下列等式成立的是（　　） A．b＝2a B．b＝﹣2a C．b＝4a D．b＝﹣4a 5．下列各点在函数y＝x2﹣x的图象上的是（　　） A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（1，0） 6．将抛物线y＝（x﹣2）2+1先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（　　） A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣4）2+2 D．y＝x2+2 7．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则直线y＝abx+c不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．如图，若一次函数y＝ax+b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　） A．B． C． D． 9．下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）的图象可能是（　　） A．B． C． D． 10．二次函数y＝2（x﹣2）2+6的顶点坐标为 　　． 11．二次函数y＝﹣x2+6x+5的对称轴是直线x＝　　． 12．已知抛物线y＝（a﹣2）x2﹣x开口向上，那么a的取值范围是 　　． 13．平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是 　 　． 14．写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点． 15．分别在同一平面直角坐标系中，描画出下列各组二次函数的图象，并写出对称轴和顶点． （1）y＝+3，y＝； （2）y＝﹣，y＝﹣； （3）y＝，y＝． 题组B 能力提升练 16．二次函数y＝ax2+2ax+b与一次函数y＝ax+b（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A．abc＞0 B．4a﹣2b+c＞0 C．2a﹣b＝0 D．4ac﹣b2＞0 18．若抛物线y＝x2﹣2x+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是 　　． 19．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是　 　． 20．函数y＝﹣3x2+的图象关于x轴对称的图象的解析式为　 　． 21．已知抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+2m﹣3． （1）当m＝0时，请判断并说明点（3，10）是否在该抛物线上； （2）当m＝3时，求该抛物线的对称轴及顶点坐标． 题组C 培优拔尖练 22．抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1的顶点一定不在第（　　）象限． A．﹣ B．二 C．三 D．四 23．已知二次函数y＝2023x2+2024x+2025的图象上有A（x1，2024），B（x2，2024）两点，则当x＝x1+x2时，二次函数y的值是（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 24．点A（﹣2，m），B（5，n）都在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，若m＜n，则下列可能成立的是（　　） A．当a＜0时，b﹣a＝0 B．当a＜0时，2a+b＝0 C．当a＞0时，3a+b＝0 D．当a＞0时，a+b＝0 25．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点在x轴，则c的值为 　　． 26．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝2x2+1的图象不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移一个单位，则在新坐标系中，该抛物线的解析式为 　 　． 27．已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴相交于点A，y与x的部分对应值如表所示，写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点A的坐标． x ﹣1 0 1 2 3 y 0 ■ 4 3 0 28．如图，抛物线y1＝﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2．回答下列问题： （1）抛物线y2的解析式是　 　，顶点坐标为　 　； （2）阴影部分的面积　 　； （3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的解析式为　 　，开口方向　 　，顶点坐标为　 　． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课 二次函数的图象 ( 目标导航 ) 学习目标 1.会用描点法画二次函数函数图象，学会观察、归纳、概括函数图象的特征； 2.了解y=ax2 ,y=a(x+m)2,y=a(x+m)2+h三类二次函数图象之间的关系. 3.经历将二次函数图象平移的过程;理解函数图象平移的意义.会从图象的平移的角度认识y=a(x +m)2+h型二次函数的图象特征. 4.会根据二次函数的一般形式y=ax2+bx+c ,确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，能运用配方法将y=ax2+bx+c变形成y=a(x--m)2+k的形式. ( 知识精讲 ) 知识点01 二次函数函数的图象 1.二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点.当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 2. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，0） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 3. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，k） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 4. 二次函数（）的图象是一条抛物线，它的 对称轴是直线，顶点坐标是 ，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点. 知识点02 二次函数的图象与几何变换 1.二次函数的平移 （1） 平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2） 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成“左加右减自变量，上加下减常数项”． 2.二次函数图象的对称 （1）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （2）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是； 关于顶点对称后，得到的解析式是． 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 知识点03 二次函数的图象与系数的关系 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，； （2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号； （3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交 ( 能力拓展 )考点01 二次函数函数的图象 【典例1】已知函数是y关于x的二次函数． （1）若该函数图象开口向上，求a的值； （2）在（1）的条件下，写出该函数图象的对称轴与顶点坐标． 【思路点拨】（1）根据二次函数的定义即可进行解答； （2）根据（1）得出该函数的表达式，根据函数对称轴为直线即可求出对称轴，则可得出函数的顶点坐标． 【解析】解：（1）∵该函数为二次函数，且开口向上， ∴，解得， 所以a＝4； （2）由（1）可得：该函数为：y＝2x2﹣4x﹣3， ∴该函数对称轴为直线， 把x＝1代入y＝2x2﹣4x﹣3得：y＝2﹣4﹣3＝﹣5， ∴顶点（1，﹣5）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的最高次项次数为2，当a＞0时，开口向上，否则，开口向下． 【即学即练1】在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣ax+b与二次函数y＝ax2﹣b的大致图象可能是（　　） A．B． C． D． 【思路点拨】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数y＝﹣ax+b中a、b的正负情况与二次函数y＝ax2﹣b中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解析】解：选项A中一次函数y＝﹣ax+b的a＜0，b＞0，二次函数y＝ax2﹣b的a＜0，b＜0，故选项A错误，不符合题意； 选项B中一次函数y＝﹣ax+b的a＞0，b＞0，二次函数y＝ax2﹣b的a＜0，b＜0，故选项B错误，不符合题意； 选项C中一次函数y＝﹣ax+b的a＞0，b＜0，二次函数y＝ax2﹣b的a＞0，b＞0，故选项C错误，不符合题意； 选项D中一次函数y＝﹣ax+b的a＞0，b＞0，二次函数y＝ax2﹣b的a＞0，b＞0，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答． 考点02 二次函数图象与几何变换 【典例2】抛物线y＝﹣2x2+1通过变换可以得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，以下变换过程正确的是（　　） A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 【思路点拨】先通过抛物线解析式得到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 【解析】解：∵y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），y＝﹣2（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3）， ∴将抛物线y＝﹣2x2+1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标． 【即学即练2】已知P（﹣5，m）和Q（3，m）是二次函数y＝2x2+bx+1图象上的两点． （1）求b的值； （2）将二次函数y＝2x2+bx+1的图象进行一次平移，使图象经过原点．（写出一种即可） 【思路点拨】（1）利用P（﹣3，m）和Q（1，m）是二次函数y＝2x2+bx+1图象上的两点，得出图象的对称轴，进而得出b的值； （2）可以把抛物线与y轴的交点移到原点． 【解析】解：（1）∵P（﹣5，m）和Q（3，m）是二次函数y＝2x2+bx+1图象上的两点， ∴此抛物线对称轴是直线x＝﹣1． ∵二次函数的关系式为y＝2x2+bx+1， ∴有﹣＝﹣1． ∴b＝4． （2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝2x2+4x+1，向下平移1个单位长度． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及图象与x轴交点个数确定方法，利用二次函数的对称性得出对称轴是解题关键． 考点03 二次函数的图象与系数的关系 【典例3】抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的有 　②④　． ①abc＞0；②a+b+c＝2；③b＞2a；④b＞1． 【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解析】解：①∵抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上， ∴c＜0， ∵对称轴为x＝﹣＜0， ∴a、b同号，即b＞0， ∴abc＜0， 故①错误，不符合题意； ②当x＝1时，函数值为2， ∴a+b+c＝2； 故②正确，符合题意； ③∵对称轴直线x＝﹣＞﹣1，a＞0， ∴2a＞b， 故③错误，不符合题意； ④当x＝﹣1时，函数值＜0， 即a﹣b+c＜0，（1） 又∵a+b+c＝2， 将a+c＝2﹣b代入（1）， 2﹣2b＜0， ∴b＞1 故④正确，符合题意； 综上所述，其中正确的结论是②④； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形性质，会代入一些特殊值进行计算（如：x＝±1，x＝±2时，函数的值）． 【即学即练3】若抛物线y＝x2+2（1﹣m）x+m2﹣5的顶点在第四象限，则m的值可以为（　　） A．﹣ B．3 C． D．2 【思路点拨】由抛物线顶点在第四象限，抛物线开口向上，可得抛物线与x轴有两个交点且抛物线对称轴在y轴右侧，进而求解． 【解析】解：∵抛物线y＝x2+2（1﹣m）x+m2﹣5的顶点在第四象限，且抛物线开口向上， ∴抛物线与x轴有2个交点，且抛物线对称轴在y轴右侧， ∴， ∴1＜m＜3， ∴m的值可以为2． 故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+1的顶点坐标是（　　） A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1） 【思路点拨】根据抛物线顶点式与图象的位置关系解答即可． 【解析】解：抛物线y＝﹣（x﹣3）2+1的顶点坐标是（3，1）， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数性质，熟练掌握抛物线顶点式的特征是关键． 2．二次函数y＝x2+2x的对称轴是（　　） A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2 【思路点拨】配方成顶点式即可得． 【解析】解：∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练将二次函数的一般式配方成顶点式，并掌握二次函数的性质． 3．抛物线y＝（x﹣1）2﹣4与y轴的交点的坐标为（　　） A．（0，﹣4） B．（0，﹣3） C．（3，0） D．（﹣1，0） 【思路点拨】取x＝0，求出y的值，即可得出答案． 【解析】解：设x＝0，则y＝（﹣1）2﹣4＝﹣3， ∴抛物线y＝（x﹣1）2﹣4与y轴的交点坐标为（0，﹣3）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，解答本题的关键是要牢记图象与y轴的交点的求法． 4．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，那么下列等式成立的是（　　） A．b＝2a B．b＝﹣2a C．b＝4a D．b＝﹣4a 【思路点拨】根据题意对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，继而得到答案； 【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2， ∴b＝4a， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键． 5．下列各点在函数y＝x2﹣x的图象上的是（　　） A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（1，0） 【思路点拨】把所给点的坐标代入函数解析式判断即可． 【解析】解：∵y＝x2﹣x ∴当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）＝2≠0，所以点（﹣1，0）不在函数图象上，故A选项不符合题意； 当x＝0时，y＝0≠±1，所以点（0，1）、（0，﹣1）都不在函数图象上，故B、C选项不符合题意； 当x＝1时，y＝0，所以点（1，0）在函数图象上，故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 6．将抛物线y＝（x﹣2）2+1先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（　　） A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣4）2+2 D．y＝x2+2 【思路点拨】直接根据函数图象平移的法则解答即可． 【解析】解：将抛物线y＝（x﹣2）2+1先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是y＝（x﹣2+2）2+1+1，即y＝x2+2． 故选：D． 【点睛】本题考查了二函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 7．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则直线y＝abx+c不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【思路点拨】由开口向下，可得a＜0，由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，又由对称轴在y轴右侧，即可得a，b异号，然后利用一次函数的性质判断即可． 【解析】解：∵开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴a，b异号， 即ab＜0， ∴直线y＝abx+c过第一、二、四象限，不过第三象限， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数系数与图象的关系，一次函数的性质，注意二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线确定的． 8．如图，若一次函数y＝ax+b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【思路点拨】直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【解析】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过二、三、四象限， ∴a＜0，b＜0， ∴二次函数y＝ax2+bx的图象可能是：开口方向向下，对称轴在y轴左侧， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象，正确确定a，b的符号是解题关键． 9．下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【思路点拨】根据二次函数的开口方向和与y轴的交点位置分别判定a的符号，以及对称轴是y轴，看是否一致即可得到答案． 【解析】解：函数y＝ax2﹣a（a≠0）的对称轴为y轴， A、抛物线开口向上，则a＞0，与y轴交于正半轴，则﹣a＞0，即a＜0，二者不一致，不符合题意； B、抛物线开口向上，则a＞0，与y轴交于负半轴，则﹣a＜0，即a＞0，但是对称轴不是y轴，不符合题意； C、抛物线开口向下，则a＜0，与y轴交于负半轴，则﹣a＜0，即a＞0，二者不一致，不符合题意； D、抛物线开口向下，则a＜0，与y轴交于正半轴，则﹣a＞0，即a＜0，二者一致，且对称轴是y轴，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，熟练掌握该知识点是关键． 10．二次函数y＝2（x﹣2）2+6的顶点坐标为 　（2，6）　． 【思路点拨】根据二次函数的顶点式的特点求解即可． 【解析】解：二次函数y＝2（x﹣2）2+6的顶点坐标为（2，6）． 故答案为：（2，6）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）． 11．二次函数y＝﹣x2+6x+5的对称轴是直线x＝　3　． 【思路点拨】将二次函数配方成顶点式后，即可确定其对称轴． 【解析】解：y＝﹣x2+6x+5＝﹣（x﹣3）2+14 ∴对称轴为：x＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是正确地将二次函数配方成顶点式． 12．已知抛物线y＝（a﹣2）x2﹣x开口向上，那么a的取值范围是 　a＞2　． 【思路点拨】利用二次函数y＝ax2+bx+c的性质：a＞0时，抛物线开口向上，列出不等式解答即可． 【解析】解：∵抛物线y＝（a﹣2）x2﹣x开口向上， ∴a﹣2＞0， ∴a＞2． ∴a的取值范围是：a＞2． 故答案为：a＞2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是 　y＝﹣（x﹣1）2+2　． 【思路点拨】根据抛物线平移的规律即可求解． 【解析】解：将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+2， 故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+2． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式是解题的关键． 14．写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点． 【思路点拨】把抛物线解析式化为顶点式可求得答案． 【解析】解：∵a＝＞0， ∴抛物线的开口方向向上， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣4）2﹣5， ∴抛物线的对称轴为直线x＝4，顶点为（4，﹣5）． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）． 15．分别在同一平面直角坐标系中，描画出下列各组二次函数的图象，并写出对称轴和顶点． （1）y＝+3，y＝； （2）y＝﹣，y＝﹣； （3）y＝，y＝． 【思路点拨】（1）利用描点法可画出这两个函数的图象，分别根据图象可得对称轴及顶点坐标． （2）利用描点法可画出这两个函数的图象，分别根据图象可得对称轴及顶点坐标． （3）利用描点法可画出这两个函数的图象，分别根据图象可得对称轴及顶点坐标． 【解析】解：（1）两个函数的图象如图所示： 由图象可知它们的对称轴为y轴，函数y＝x2+3顶点坐标为（0，3），函数y＝x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2）； （2）两个函数的图象如图所示： 由图象可知函数y＝﹣（x+2）2的对称轴x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，0），函数y＝﹣（x﹣1）2的对称轴x＝1，顶点坐标为（1，0）； （3）两个函数的图象如图所示： 由图象可知函数y＝（x+2）2﹣2的对称轴x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2），函数y＝（x﹣1）2+2的对称轴x＝2，顶点坐标为（1，2）． 【点睛】本题考查了函数图象的画法及二次函数的图象的性质，掌握基本的描点法作函数图象是解题的关键． 题组B 能力提升练 16．二次函数y＝ax2+2ax+b与一次函数y＝ax+b（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次函数和一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【解析】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+b， ∴对称轴为直线，故B，D不符合题意； ∵当x＝0时，y＝ax2+2ax+b＝b，y＝ax+b＝b， ∴二次函数与一次函数交于y轴上的点（0，b），故C不符合题意，A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象综合判断．熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质，是解题的关键． 17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A．abc＞0 B．4a﹣2b+c＞0 C．2a﹣b＝0 D．4ac﹣b2＞0 【思路点拨】据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A、C进行判断；由图可得：当x＝﹣2时，y＞0，可对B进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对D进行判断． 【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线， ∴b＝2a＜0， ∴2a﹣b＝0， 故C正确； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0， 故A正确； 由图可得：当x＝﹣2时，y＞0 ∴4a﹣2b+c＞0， 故B正确． ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0， 故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 18．若抛物线y＝x2﹣2x+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是 　2　． 【思路点拨】依据题意，根据抛物线的对称轴公式，列出关于a的方程即可解答． 【解析】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+ax+2的对称轴是y轴， ∴﹣＝0． ∴a＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣，记住二次函数的对称轴公式是解题的关键． 19．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是　y＝﹣（x﹣1）2﹣2　． 【思路点拨】先利用配方法得到抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标为（﹣1，2），再写出点（﹣1，2）关于原点的对称点为（1，﹣2），由于旋转180°，抛物线开口相反，于是得到抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2﹣2． 【解析】解：y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标为（﹣1，2），点（﹣1，2）关于原点的对称点为（1，﹣2）， 所以抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2﹣2． 故答案为：y＝﹣（x﹣1）2﹣2． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 20．函数y＝﹣3x2+的图象关于x轴对称的图象的解析式为　y＝3x2﹣　． 【思路点拨】直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案． 【解析】解：根据题意﹣y＝﹣3x2+，所以y＝3x2﹣．故所求图象的解析式为y＝3x2﹣． 【点睛】考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式． 21．已知抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+2m﹣3． （1）当m＝0时，请判断并说明点（3，10）是否在该抛物线上； （2）当m＝3时，求该抛物线的对称轴及顶点坐标． 【思路点拨】（1）将m＝0，x＝3代入抛物线的解析式中，求得y值，若和点的纵坐标相等，就说点在抛物线上，否则不在； （2）将抛物线的解析式化为顶点式，利用二次函数的性质求解即可． 【解析】解：（1）不在， 当m＝0时，y＝x2+x﹣3， 当x＝3时，y＝9+3﹣3＝9≠10， ∴点（3，10）不在该抛物线上； （2）当m＝3时，y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，理解二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 题组C 培优拔尖练 22．抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1的顶点一定不在第（　　）象限． A．﹣ B．二 C．三 D．四 【思路点拨】依据题意，由y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1＝（x﹣m）2+2m﹣1，可得顶点为（m，2m﹣1），故顶点在函数y＝2x﹣1图象上，再结合一次函数的图象与性质，进而可以判断得解． 【解析】解：由题意，∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1＝（x﹣m）2+2m﹣1， ∴顶点为（m，2m﹣1）． 令x＝m，则y＝2x﹣1， ∴顶点在函数y＝2x﹣1图象上． ∵2＞0，﹣1＜0， ∴函数y＝2x﹣1过第一、三、四象限，不过第二象限． ∴顶点一定不在第二象限． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能利用顶点式进行判断是关键． 23．已知二次函数y＝2023x2+2024x+2025的图象上有A（x1，2024），B（x2，2024）两点，则当x＝x1+x2时，二次函数y的值是（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【思路点拨】根据题意得出，代入函数的解析式即可求得二次函数的值．先求出前几个点的坐标，找到规律第n个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【解析】解：∵二次函数y＝2023x2+2024x+2025的图象上有两点A（x1，2024）和B（x2，2024）， ∴x1、x2是方程2023x2+2024x+2025＝2024的两个根， ∴， ∴当x＝x1+x2时， 二次函数y＝2023x2+2024x+2025 ＝ ＝ ＝2025． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征．正确找到规律是解题关键． 24．点A（﹣2，m），B（5，n）都在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，若m＜n，则下列可能成立的是（　　） A．当a＜0时，b﹣a＝0 B．当a＜0时，2a+b＝0 C．当a＞0时，3a+b＝0 D．当a＞0时，a+b＝0 【思路点拨】先把点A、B的坐标分别代入解析式得到m＝4a﹣2b+c，n＝25a+5b+c，则利用m＜n得到4a﹣2b+c＜25a+5b+c，则3a+b＞0，然后依次对各选项进行判断． 【解析】解：把A（﹣2，m），B（5，n）代入y＝ax2+bx+c中得m＝4a﹣2b+c，n＝25a+5b+c， ∵m＜n， ∴4a﹣2b+c＜25a+5b+c， 即3a+b＞0，所以C选项不符合题意； 当a＜0时，b﹣a＞0，2a+b＞0，所以A、B选项不符合题意； 当a＞0时，a+b＞﹣2a，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式． 25．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点在x轴，则c的值为 　9　． 【思路点拨】先写出抛物线的顶点坐标，再根据已知条件列出关于c的方程式即可求得答案． 【解析】解：∵y＝x2﹣6x+c， ∴y＝（x﹣3）2+c﹣9， ∵抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点在x轴， ∴c﹣9＝0， ∴c＝9． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，写出二次函数的顶点坐标是解题的关键． 26．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝2x2+1的图象不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移一个单位，则在新坐标系中，该抛物线的解析式为 　y＝2（x+1）2　． 【思路点拨】先确定出原抛物线的顶点坐标，再根据平移确定出新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标，然后根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，根据顶点坐标写出解析式即可． 【解析】解：抛物线y＝2x2+1的顶点坐标为（0，1）， ∵x轴、y轴分别向上、向右平移一个单位， ∴新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为（﹣1，0）， ∴新坐标系下抛物线的解析式是y＝2（x+1）2． 故答案为：y＝2（x+1）2． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化解答抛物线的变化，准确找出新坐标系中顶点的坐标是解题的关键． 27．已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴相交于点A，y与x的部分对应值如表所示，写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点A的坐标． x ﹣1 0 1 2 3 y 0 ■ 4 3 0 【思路点拨】根据表格中的数据可得抛物线经过（1，0），（3，0）即可求出抛物线的对称轴，进而得出顶点坐标，分析该抛物线的增减性，即可判断开口方向． 【解析】解：由表可知：抛物线经过（1，0），（3，0）， ∴该抛物线的对称轴为直线：x＝， ∵当x＝1时，y＝4， ∴该抛物线顶点坐标为（1，4）， ∵当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下， ∵该抛物线对称轴为直线x＝1，且经过（2，3）， ∴当x＝0时，y＝3，即A（0，3）， 综上：抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标（1，4），点A坐标为（0，3）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握熟练掌握二次函数的增减性，对称性等知识点． 28．如图，抛物线y1＝﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2．回答下列问题： （1）抛物线y2的解析式是　y2＝﹣（x﹣1）2+2　，顶点坐标为　（1，2）　； （2）阴影部分的面积　2　； （3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的解析式为　y3＝（x+1）2﹣2　，开口方向　向上　，顶点坐标为　（﹣1，﹣2）　． 【思路点拨】（1）根据抛物线的移动规律左加右减可直接得出抛物线y2的解析式，再根据y2的解析式求出顶点坐标即可； （2）根据阴影部分的面积等于底×高，列式计算即可； （3）先求出二次函数旋转后的开口方向和顶点坐标，从而得出抛物线y3的解析式． 【解析】解：（1）∵抛物线y1＝﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2， ∴抛物线y2的解析式是y2＝﹣（x﹣1）2+2，顶点坐标为（1，2）． 故答案为：y2＝﹣（x﹣1）2+2，（1，2）； （2）阴影部分的面积是：1×2＝2． 故答案为：2； （3）∵将抛物线y2绕原点O旋转180°后，得到抛物线y3的顶点坐标为：（﹣1，﹣2）， ∴抛物线y3的解析式为y3＝（x+1）2﹣2，开口方向向上． 故答案为：y3＝（x+1）2﹣2，向上，（﹣1，﹣2）． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与几何变化，用到的知识点是二次函数的图象和性质、顶点坐标，关键是掌握二次函数的移动规律和几何变换． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$