第8讲 二次函数综合题-【中考宝典】2024年中考数学课件(深圳专用版)

第四章　三角形 logo 第8讲 二次函数综合题 目 录 01 命题分析 02 考点知识梳理 03 深圳中考你在行 01 命题分析 深圳近五年真题分析 命题点 2019 2020 2021 2022 2023 与面积有关的问题 题22，9分         与相似三角形有关的问题           与特殊四边形有关的问题           第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 02 考点知识梳理 ☞核心笔记 二次函数综合题中常考的题型如下： (一)基础题型 1．求二次函数解析式——常用待定系数法． 2．求特殊点的坐标： (1)与x轴的交点，令y＝0，求出x； (2)与y轴的交点，令x＝0，求出y； (3)两图象的交点联立组成方程组，常用代入法解方程，例如： 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (二)提高题型 3．二次函数中三角形、四边形面积问题，利用面积求点的坐标． 面积求法：①公式法，②割补法． 注意：底和高通常选择“横的或竖的”的线，这样容易通过点的坐标来表示长度． 4．存在性问题 (1)找点构成等腰三角形、直角三角形、平行四边形等问题； (2)找点构成三角形全等、相似问题． ☞特别提醒：注意这类题往往要分类讨论 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 5.函数与最值问题 (1)如二次函数最值问题； (2)最短路径问题(线段和最小问题、线段差最大问题)． 6.函数与动点问题，如利用动点坐标表示线段的长度，图形重叠部分面积问题. 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 ☞【跟踪训练】 类型1　与线段、周长有关的问题 1．(2023•宁夏)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标是(－1，0)，抛物线的对称轴是直线x＝1. 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (1)直接写出点B的坐标； 解：∵点A(－1，0)关于对称轴的对称点为点B，对称轴为直线x＝1，∴点B为(3，0)； 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (2)在对称轴上找一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标和PA＋PC的最小值； 解：当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)，连接BC，如答图1， ∵点A关于对称轴的对称点为点B，∴PA＋PC＝PB＋PC≥BC， ∴当P，B，C三点共线时，PA＋PC的值最小，为BC的长， 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q.依题意补全图形，当MQ＋CQ的值最大时，求点M的坐标． 解：过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q，如答图2所示， ∵A(－1，0)，B(3，0)， 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，∵C(0，3)，∴3＝－3a，∴a＝－1， ∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3， 设M(m，－m2＋2m＋3)，则N(m，0)，由(2)知，直线BC：y＝－x＋3，∴Q(m，－m＋3)， ∴MQ＝－m2＋2m＋3＋m－3＝－m2＋3m， 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 ∵C(0，3)，B(3，0)，∴OC＝OB＝3，BN＝3－m，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠NQB＝∠OBC＝45°， 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 类型2　与面积有关的问题 2．(2023•黑龙江)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式； 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (2)拋物线上是否存在一点P，使得S△PBC＝ S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：存在，点P的坐标为(－2，3)或(3，－12)． 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 类型3　与角度有关的问题 3．(2023•常德)如图，二次函数的图象与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D.O为坐标原点，tan∠ACO＝ . 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (1)求二次函数的解析式； 解：二次函数的解析式为y＝－(x＋1)(x－5)＝－x2＋4x＋5； 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (2)求四边形ACDB的面积； 解：∵y＝－(x＋1)(x－5)＝－(x－2)2＋9，∴顶点的坐标为(2，9)． 过点D作DN⊥AB于点N，作DM⊥OC于点M，如答图1， 四边形ACDB的面积＝S△AOC＋S矩形OMDN－S△CDM＋S△DNB ＝ ×1×5＋2×9－ ×2×(9－5)＋ ×(5－2)×9＝30； 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标． 解：如答图2，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠ACO＝∠PBC时， 连接PB，过点C作CE⊥BC交BP于点E，过点E作EF⊥OC于点F， ∵OC＝OB＝5，则△OCB为等腰直角三角形，∠OCB＝45°．由勾股定理得CB＝5 ， 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 类型4　与特殊三角形有关的问题 4．(2023•凉山)如图，已知抛物线与x轴交于A(1，0)和B(－5，0)两点，与y轴交于点C.直线y＝－3x＋3过抛物线的顶点P. (1)求抛物线的解析式； 解：∵抛物线与x轴交于A(1，0)和B(－5，0)两点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝ ＝－2， 在y＝－3x＋3中，当x＝－2时，y＝9， ∴抛物线顶点P的坐标为(－2，9)， 设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)2＋9， ∴a(1＋2)2＋9＝0，∴a＝－1， ∴抛物线的解析式为y＝－(x＋2)2＋9＝－x2－4x＋5； 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (2)若直线x＝m(－5<m<0)与抛物线交于点E，与直线BC交于点F. ①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值； 解：∵抛物线的解析式为y＝－x2－4x＋5，点C是抛物线与y轴的交点， ∴C(0，5)， 设直线BC的解析式为y＝kx＋b1， 将B，C两点的坐标代入y＝kx＋b1，得 则 ∴直线BC的解析式为y＝x＋5， 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 ∵直线x＝m(－5<m<0)与抛物线交于点E，与直线BC交于点F，如答图， ∴E(m，－m2－4m＋5)，F(m，m＋5)， 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 ②当△EFC是等腰三角形时，直接写出点E的坐标． 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 类型5　与特殊四边形有关的问题 5．(2023•辽宁)如图，抛物线y＝－ x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B(4，0)，与y轴交于点C(0，4)，点E在抛物线上． 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (1)求抛物线的解析式； 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (2)点E为该抛物线在第一象限内一点，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长； 解：∵点B(4，0)和C(0，4)，设直线BC的解析式为y＝kx＋4，则0＝4k＋4，解得k＝－1， 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标． 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 类型6　与相似三角形有关的问题 6．(2023•随州)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(2，0)和C(0，2)，连接BC，点P(m，n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N. (1)直接写出抛物线和直线BC的解析式； 解：抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2)，即y＝－x2＋x＋2. 直线BC的解析式为y＝－x＋2. 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值； 解：∵点M在直线BC上，且P(m，n)， ∴点M的坐标为(m，－m＋2)． ∴OC＝2，CM2＝(m－0)2＋(－m＋2－2)2＝2m2，OM2＝m2＋(－m＋2)2＝2m2－4m＋4. 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 当△OCM为等腰三角形时， ①若CM＝OM，则CM2＝OM2，即2m2＝2m2－4m＋4，解得m＝1； ②若CM＝OC，则CM2＝OC2，即2m2＝4，解得m＝ 或m＝－ (舍去)； ③若OM＝OC，则OM2＝OC2，即2m2－4m＋4＝4，解得m＝0(舍去)或 m＝2. 综上，m＝1或m＝或m ＝2. 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 类型7　其他问题 7．(2023•宿迁)规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． ② 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (2)若函数y1＝ax2－5x＋2(a≠0)与y2＝－ 互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标． ①求实数a的值； 解：∵函数y1＝ax2－5x＋2(a≠0)与y2＝－ 互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标， ∴y1＝a－3，y2＝－1，则a－3＝－1，解得a＝2； ②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是_________、_________； 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (3)若函数y1＝ (m为常数)与y2＝－ 互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1<x2<x3，求(x2＋x3－2x1)2的取值 范围． 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 由答图可知，两个函数图象的交点只能在第二象限，从而x<0，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1<x2<x3， ＝m2＋8， 由m2－8>0得到m2＋8>16，即(x2＋x3－2x1)2>16. 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 03 深圳中考你在行 1．(2023•深圳模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)，B(4，0)，交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式(用一般式表示)； 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)，B(4，0)， 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (2)点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝ S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由； 解：由题意可知C(0，2)，A(－1，0)，B(4，0)，∴AB＝5，OC＝2， 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 ①当y＝3时，由－ x2＋ x＋2＝3，解得x＝1或x＝2，此时D点坐标为(1，3)或(2，3)； ②当y＝－3时，由－ x2＋ x＋2＝－3，解得x＝－2(舍去)或x＝5，此时D点坐标为(5，－3)； 综上可知存在满足条件的点D，其坐标为(1，3)或(2，3)或(5，－3)； 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长． ∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，如答图，设直线AC与直线BE交于点F，过点F作FM⊥x轴于点M， 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 由题意可知∠FBC＝45°，∴∠CFB＝45°， 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 2.(2020•深圳)如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴的交点A(－3，0)和B(1，0)，与y轴交于点C，顶点为D. (1)求该抛物线的解析式； ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3; 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (2)连接AD，DC，CB，将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O′B′C′，点O，B，C的对应点分别为点O′，B′，C′，设平移时间为t秒，当点O′与点A重合时停止移动．记△O′B′C′与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式； 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 ③ ≤t≤3时，如答图2，C′O′与AD交于点Q，B′C′与AD交于点P，过点P作PH⊥C′O′于H，∵AO＝3，O′O＝t， ∴AO′＝3－t，O′Q＝6－2t，∴C′Q＝2t－3，∵QH＝2PH，C′H＝3PH， 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 (3)如图2，过该抛物线上任意一点M(m，n)向直线l：y＝ 作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME－MF＝ ？若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由． 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 ☞请完成精练本第31－32页习题 第 ‹#› 页 第8讲　二次函数综合题 返回目录 本节内容到此结束！ logo ∵B(3，0)，∴BC＝＝3， 设直线BC的解析式为y＝kx＋n，则解得 ∴y＝－x＋3，∵点P在抛物线的对称轴上，∴P(1，2)； ∴点P(1，2)，PA＋PC的最小值为3； ∴BQ＝BN＝(3－m)，∴CQ＝BC－BQ＝3－3＋m＝m， ∴MQ＋CQ＝－m2＋3m＋•m＝－m2＋5m＝－＋， ∴当m＝时，MQ＋CQ有最大值，此时M. 解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(－3，0)和点B(1，0)两点，所以 解得所以抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. ∴过B，E两点的直线的解析式为y＝－x＋， ∵∠ACO＝∠PBC，∴tan∠ACO＝tan∠PBC，即＝＝， ∴CE＝，由CE⊥BC，得∠BCE＝90°， ∴∠ECF＝180°－∠BCE－∠OCB＝180°－90°－45°＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形，∴FC＝FE＝1.∴点E的坐标为(1，6)． 令解得或 ∴直线BE与抛物线的两个交点为B(5，0)，P，即所求点P的坐标为 ∴EF＝－m2－4m＋5－(m＋5)＝－m2－5m＝－(m＋)2＋， ∵－1<0， ∴当m＝－时，EF有最大值，最大值为； 解：点E的坐标为(－3，8)或(－4，5)或(－5，6－2)． 解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B(4，0)和C(0，4)， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4； 依题意得2＝11，解得x＝5(舍去)或x＝3，∴EH＝4； ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4，设E，且0<x<4，则F(x，－x＋4)， ∴GH＝EF＝－x2＋x＋4－(－x＋4)＝－x2＋2x， ∵抛物线的对称轴为直线－＝1， ∴H，∴GF＝EH＝x－(2－x)＝2x－2， 解：点N的坐标为(4，4)或或 或. 解：P(，)，Q(0，－1)或P(1＋，－1－)，Q(0，1)或P(1＋，－3－)，Q(0，－2)或P，Q. (1)下列三个函数①y＝x＋1；②y＝－；③y＝－x2＋1，其中与二次函数y＝2x2－4x－3互为“兄弟函数”的是____(填写序号)； ＋ － 解：在平面直角坐标系中作出y1＝(m为常数)与y2＝－的图象，如答图所示： 联立即＝－， ①当x－m≥0时，x－m＝－，即x2－mx＋2＝0，当Δ＝m2－8>0时，x＝； ②当x－m<0时，－(x－m)＝－，即x2－mx－2＝0，则Δ＝m2＋8>0，x＝； ∴x1＝，x2＝，x3＝， ∴(x2＋x3－2x1)2＝(＋－2×)2 ＝(m－m＋)2 ＝()2 ∴解得∴抛物线解析式为y＝－x2＋x＋2； ∴S△ABC＝AB•OC＝×5×2＝5，∵S△ABC＝S△ABD，∴S△ABD＝×5＝，设D(x，y)， ∴AB•|y|＝×5•|y|＝，解得|y|＝3， 解：∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，∴AC＝＝，BC＝＝2，∴AC2＋BC2＝AB2， ∴CF＝BC＝＝2， ∴＝，即＝，解得OM＝2，＝，即＝，解得FM＝6， ∴F(2，6)，且B(4，0)，∴直线BE解析式为y＝－3x＋12，联立直线BE和抛物线解析式可得解得或 ∴E(5，－3)，∴BE＝＝. 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋3过点A(－3，0)，B(1，0)，∴解得， 解：①0＜t＜1时，如答图1，若B′C′与y轴交于点F，∵OO′＝t，OB′＝1－t，∴OF＝3OB′＝3－3t，∴S＝(C′O′＋OF)OO′＝(3＋3－3t)t＝－t2＋3t, ②1≤t＜ 时，S＝； ∴PH＝ C′Q＝(2t－3)， ∴S＝－(2t－3)×(2t－3)，∴S＝－t2＋t＋， 综合以上可得S＝ 解：令F(－1，t)，则MF＝，ME＝－n，∵ME－MF＝，∴MF＝ME－， ∴(m＋1)2＋(n－t)2＝(－n)2，∴m2＋2m＋1＋t2－2nt＝－n＋.∵n＝－m2－2m＋3，∴m2＋2m－3＝－n， ∴3－n＋1＋t2－2nt＝－n＋，∴t2－2nt＋n－＝0.当t＝时，上式对于任意n恒成立，∴存在F(－1，)． $$