第14讲 相似三角形的8大经典模型【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第14讲 相似三角形的8大经典模型 【热考题型】 【解题技巧】 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似. 【题型一】A字型 已知 图示 结论（性质） 若DE∥BC ①∆ADE~∆ABC ② 若∠1=∠2或∠3=∠4或 ①∆ADE~∆ABC ②AC2=AB•AD 若∠1=∠2 ①∆ADE~∆ABC ②AC2=AB•AD [补充]该模型也被称为子母模型，即子母模型可以看作一组公共边的反A模型 1．（20-21九年级·浙江杭州·期中）如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为 ． 【答案】5 【分析】由∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，根据相似三角形的判定得到△DAE∽△CAB，根据相似的性质得S△DAE：S△CAB=，然后把三角形面积代入计算即可． 【详解】解：∵∠ADE=∠C， 而∠DAE=∠CAB， ∴△DAE∽△CAB， ∴S△DAE：S△CAB=， ∵△ADE的面积为9，四边形BDEC的面积为16， ∴△ABC的面积=9+16=25， ∴， ∴AC=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 2．（21-22九年级上·上海金山·期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证． 【详解】解：（1）∵DEBC， ∴， ∵， ∴， ∴DFBE； （2）∵AF＝2，EF＝4， ∴由（1）可知，，AE=6， ∵AB＝6， ∴， ∴， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△AEB． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 3．（20-21九年级上·江苏扬州·假期作业）如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF∥BC，于是可得△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，再根据相似三角形的性质即可推出结论． 【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中， ∵，， ∴△AEF∽△ABC； （2）∵△AEF∽△ABC， ∴∠AEF=∠ABC， ∴EF∥BC， ∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC， ∴,， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 4．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，，若正方形的顶点在上，顶点、都在上，射线交边于点，则长为 ．    【答案】 【分析】证明，，由相似三角形的性质得出 ， ，设， 可得，， 从而可得出答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ， ∴，， ∴，， ∴， ， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明与是解题的关键． 5．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图所示，延长到，使，连接， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键． 【题型二】8字型 已知 图示 结论（性质） 若AB∥CD ①∆AOB~∆COD ② 若∠1=∠2或∠3=∠4或 ①∆AOB~∆COD 1．（2021·山东聊城·一模）如图，在平行四边形中，点是上的点，，直线交于点，交的延长线于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可以假设，则，，证明，，再利用平行线分线段成比例即可解决问题． 【详解】由，可以假设，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题． 2．（21-22九年级上·河南开封·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先利用平行四边形的性质得，AD=BC，由可判断△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得，然后根据三角形面积公式得，则． 【详解】∵平行四边形ABCD ∴，AD=BC ∵E为边AD的中点 ∴BC=2AE ∵ ∴∠EAC=∠BCA 又∵∠EFA=∠BFC ∴△AEF∽△CBF 如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G， 则， ∴， ∵△AEF的面积为2 ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题． 3．（20-21九年级上·海南海口·期末）如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（    ） A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 【答案】A 【分析】根据平行四边形对边互相平行可得，然后求出和相似，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1：4，设，，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后表示出的面积，再根据平行四边形的性质可得，然后相比计算即可得解． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ，AB=CD ∵E为CD的中点， ∴DE：CD=1：2 ∵AB//DE ∽， ：：：4，EF:AF=1:2 设，则， ：：2， ：：：2， ， ， 是平行四边形ABCD的对角线， ， ， ：：：5． 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定以及相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键，不容易考虑到的是等高的三角形的面积的比等于底边的比的应用． 4．（20-21八年级下·湖南常德·期中）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则 ． 【答案】2 【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可． 【详解】解：延长CF、BA交于M， ∵E是CD的中点，F是AE的中点， ∴EF＝AF，CE＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∴CE＝AB，∠ECF＝∠M， 在△CEF和△MAF中 ， ∴△CEF≌△MAF（AAS）， ∴CE＝AM， ∵CE＝AB， ∴BM＝3CE， ∵DC∥AB， ∴△CEG∽△MBG， ∴ ， ∵BE＝8， ∴ ， 解得：GE＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 5．（22-23九年级上·北京房山·期中）如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 【答案】1.5 【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，，即可求出CD的长． 【详解】解：∵AD与BC交于O点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例列式． 6．（21-22九年级上·山东德州·期末）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2） 请回答：∠ADB＝       °，AB＝        （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长 【答案】（1）75，3；（2）CD＝ 【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD即可求解； （2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理即可求出DC的长． 【详解】解：（1）如图2中，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D， ∵BD∥AC， ∴∠ADB＝∠OAC＝75°． ∵∠BOD＝∠COA， ∴△BOD∽△COA， ∴＝2，． 又∵AO＝， ∴OD＝2AO＝2， ∴AD＝AO+OD＝3． ∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°， ∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB， ∴AB＝AD＝3； 故答案为：75，3． （2）如图3中，过点B作BE∥AD交AC于点E． ∵AC⊥AD，BE∥AD， ∴∠DAC＝∠BEA＝90°． ∵∠AOD＝∠EOB， ∴△AOD∽△EOB， ∴＝2． ∵BO：OD＝1：3， ∵AO＝， ∴EO＝2， ∴AE＝3． ∵∠ABC＝∠ACB＝75°， ∴∠BAC＝30°，AB＝AC， ∴AB＝2BE． 在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4BE2）2+BE2＝（2BE）2， 解得：BE＝3， ∴AB＝AC＝6，AD＝ 在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即62+（）2＝CD2， 解得：CD＝（负根已经舍弃）． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，掌握平行线的性质、相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键． 【题型三】射影定理 已知 图示 结论（性质） 若∠ABC=∠ADB=90° ①∆ABC~∆ADB~∆BDC ②AB2=AC•AD,BD2=AD•CD BC2=AC•CD （口诀：公共边的平方=共线边的乘积） ③AB•BC=BD•AC（面积法） 1．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝ ． 【答案】 【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴, ∵ ∴BC＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键． 2．（21-22九年级上·江苏南京·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出 （2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键． 3．（2021·湖北武汉·一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证出，证明∽，得出，即可得出结论； （2）设，则（），同（1）得，则，在中，，过作于，易证，求出，再由平行线分线段成比例定理即可得出答案； （3）过点作于，设，则（），，证明∽，得出，，求出，证明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∴∽， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，则（）， ∵，， 同（1）得：， ∴， 在中，， 过作于，如图2所示： 则， 在中，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点作于，如图3所示： ∵， ∴设，则（）， ∴， ∵，， ∴， ∴ 又∵， ∴∽， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形相似是解题的关键。 4．（2020九年级上·全国·专题练习）已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E． （1）求证：△BAE∽△ACE； （2）AF⊥BD，垂足为点F，且BE•CE＝9，求EF•DE的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE•EF＝9． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质可得∠C＝∠DAC，由余角的性质可得∠EAB＝∠DAC，进而可得∠EAB＝∠C，进一步即可证得结论； （2）由（1）可得，进而可得AE2＝BE•CE＝9，易证△EAF∽△EDA，从而得，进一步即可求出结果． 【详解】解：（1）∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠C＝∠DAC， ∵AE⊥AD， ∴∠EAD＝90°＝∠BAC， ∴∠EAB＝∠DAC， ∴∠EAB＝∠C， ∵∠E＝∠E， ∴△BAE∽△ACE； （2）∵△BAE∽△ACE， ∴， ∴AE2＝BE•CE＝9， ∵∠AFE＝∠DAE＝90°，∠E＝∠E， ∴△EAF∽△EDA， ∴， ∴DE•EF＝AE2＝9． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 5．（21-22九年级上·上海金山·阶段练习）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可； （2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， AD是△ABC的中线， ， ，即：， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键． 【题型四】一线三等角模型 已知 图示 结论（性质） 若∠B=∠D=∠ACE=90° ①∆ABC~∆CDE ② 或BC•CD=AB•DE(可看作底*底=腰*腰) ③当点C为BD中点时， ∆ABC~∆CDE~∆ACE 若∠B=∠D=∠ACE=α ①∆ABC~∆CDE ② ③当点C为BD中点时， ∆ABC~∆CDE~∆ACE 1．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，结合外角定理可得，即可证明； 【详解】证明：∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴ 18．（2020九年级·全国·专题练习）（1）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，求证：； （2）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，，，，求的值； （3）如图，中，点在边上，且，，，点在边上，连接，，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）要证，可证，根据可得，即可证得； （2）根据，，可得到，从而求出相应的线段长度，得到的值； （3）根据，可得到，可求出的长，再根据已知条件证得即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)解：如解图，与交于点， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如解图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接， ∵，，， ∴，∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形得性质和判定，根据相似三角形对应边成比例求出相关的线段长度，最后一问以EC为腰作等腰三角形为解题关键． 2．（21-22九年级·广东佛山·期末）如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段之间数量关系：，理由见解析． 【分析】此题主要考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，本题符合“一线三等角”模型． （1）先根据同角的余角相等可得，利用两角相等证明三角形相似即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据，列比例式可得结论； （3）先根据，证明，可得，证明，则，同理可得：，相加可得结论． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， ， ， ． （2）解：中， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． （3）解：线段之间数量关系：， 理由是：如图，过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 【答案】（1），（2）；（3）， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据一线三垂直模型容易证明，进而由相似三角形性质即可求解； （2）过点作垂足为H，根据（1）可知，根据相似三角形性质结合已知求出，，，，再由四边形的面积=矩形的面积即可求解； （3）延长到点P使，连接，过点C作，利用等腰三角形三线合一和解三角形求出，再证明，得即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为， （2）如图，过点作垂足为H， 同理（1）得：， ∴， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即：， ∴，解得：， ∴，，， ∵四边形的面积=矩形的面积， ∴四边形的面积=． （3）延长到点P使，连接，过点C作， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵且， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，（不合题意舍去） ∴ 【点睛】本题涉及了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、矩形的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理解三角形等知识点，解题关键是根据一线三等角模型构造和证明三角形相似． 4．（21-22九年级上·山东济南·期中）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 【题型五】线束模型 已知 图示 结论（性质） 若DE∥BC ① （左图） ②（右图） 若AB∥CD ①（左图） ②（右图） 1．（2022上·浙江宁波·九年级校考期中）【基础巩固】 (1)如图1， 在中， 分别为上的点， 交 于点， 求证： ． 【尝试应用】 (2)如图2， 已知为的边上的两点， 且满足， 一条平行于的直线分别交和于点和， 求 的值． 【拓展提高】 (3)如图3， 点是正方形的边上的一个动点， ， 延长至点， 使 ， 连接， 求的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）根据相似三角形的判定证明，，得到，，整理可得，即； （2）如图，过点M作交于点P，交于点Q，交于点F，由（1）中结论可得，，证明，，根据相似三角形的性质可得，，整理可得； （3）如图，延长交于点H，证明，，根据相似三角形的性质和可得，由此可得：点H为定点，点G在线段上运动，当时，有最小值，利用等积法求得时的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （2）如图，过点M作交于点P，交于点Q，交于点F， ∵， 由（1）中结论可得，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴． （3）如图，延长交于点H， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由此可得：点H为定点，点G在线段上运动， 当时，有最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 2．（2022·浙江宁波·统考中考真题） (1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． (3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问； （2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值； （3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：由（1）得， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （3）解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N． 在中，． ∵， ∴由（1）得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴．在中，． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键． 3．（2023·全国·九年级专题练习）在中，已知D是边的中点，G是的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当和不平行，且点E、F分别在线段上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． (3)如图3，当点E在的延长线上或点F在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析 (3)不成立，理由见解析 【分析】（1）根据三角形重心定理和平行线分线段成比例解答即可； （2）过点A作交的延长线于点N，的延长线相交于点M，得出，，得出比例式解答即可； （3）分两种情况：当F点与C点重合时，E为中点，；点F在的延长线上时，，得出，则，同理：当点E在的延长线上时，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵G是重心， ∴， 又∵， ∴，， 则； （2）解：（1）中结论成立，理由如下： 如图2，过点A作交的延长线于点N，的延长线相交于点M， 则，， ∴，， ∴， 又∵， 而D是的中点，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故结论成立； （3）解：（1）中结论不成立，理由如下： 当F点与C点重合时，E为中点，， 点F在的延长线上时，， ∴，则， 同理：当点E在AB的延长线上时，， ∴结论不成立． 【点睛】此题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心定理、平行线分线段成比例定理等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的重心定理和平行线分线段成比例定理，证明三角形相似是解题的关键． 【题型六】三角形内接矩形模型 已知 图示 结论（性质） 若四边形DEFG为矩形，AN⊥BC ①∆ABC~∆ADG ② ③若四边形DEFG为正方形 即= 若假设DG=x 则= 若已知BC、AN长，即可求出x的值 1．（21-22九年级上·全国·课后作业）一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）． 【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析． 【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求． 【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵DE∥AC ∴ ∴，解得 设正方形的边长为x米，如图乙 ∵DE∥AB ∴ ∴，解得 ∵ ∴乙木匠的加工方法符合要求． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键． 2．（20-21九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在中，，正方形的顶点分别在的边上，在边上，则正方形的边长等于 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出BC长，再根据相似，设出BE，DE，FC长，列方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形DEFG是正方形， ∴∠DEB=∠A=90°， ∠B=∠B， ∴△ABC∽△EBD， ∴， 即， 同理，， 设BE为3x，则DE为4x，FC为， 解得，， DE=4×=， 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题关键是根据相似三角形建立正方形边长与其他线段的关系，根据斜边长设未知数列方程． 3（2022九年级下·甘肃白银·专题练习）如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上． （1）求△ABC中AB边上的高h； （2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树． 【答案】（1）4.8；（2）2.4；（3）这棵大树在最大水池的边上，方案见解析． 【分析】（1）由三角形ABC的面积可求出AB边上的高； （2）由相似三角形对应高的比等于相似比，可用含x的代数式表示GF，得到水池的面积y关于x的二次函数，由二次函数的性质，可求面积最大时x的值； （3）根据相似形可算出BE小于1.85，大树在最大水池的边上，为了避开大树，可以取三角形ABC三边中点和点C为顶点构成一个矩形，这个矩形面积也达到最大． 【详解】解：如图，（1）过点C作CI⊥AB，交GF于H，在△ABC中用勾股定理得：AB=10， ∵S△ABC=AC•BC=AB•CI， ∴×6×8=×10×CI， ∴CI=4.8； ∴△ABC中AB边上的高h=4.8； （2）∵水池是矩形， ∴GF∥AB， ∴△CGF∽△CAB， ∵CH，CI分别是△CGF和△CAB对应边上的高， ∴，即， ∴GF=10-， ∵10-＞0， ∴0＜x＜， 设水池的面积为y，则 y=x（10-）=-x2+10x， 当x==2.4时，水池的面积最大； （3）∵FE⊥AB，CI⊥AB， ∴FE∥CI， ∴△BFE∽△BCI， ∴FE：CI=BE：BI， 又∵FE=2.4，CI=4.8， 在Rt△BCI中用勾股定理可得BI=3.6， ∴BE===1.8， ∵BE=1.8＜1.85， ∴这棵大树在最大水池的边上． 为了保护这棵大树，设计方案如图： 【点睛】根据题意寻找关系式，准确列出二次函数，由函数的性质，计算出面积最大时GD的值． 4．（20-21九年级·全国·课后作业）如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 【答案】 【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，设高AM交GF于H点， ∵四边形DEFG为正方形， ∴GF∥DE，即：GF∥BC， ∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC， ∴， 设正方形的边长为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键． 5．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 【题型七】三平行模型 已知 图示 结论（性质） 若AB∥EF∥CD ① ② 1．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为 ． 【答案】 【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长． 【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC, ∴AC∥MN∥DB， ∴， ∴ 即, 又∵， ∴， 解得, 故填：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系． 2．（21-22九年级上·安徽安庆·期中）图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由，可证△CGH∽△CAB，由性质得出，由，可证△BGH∽△BDC，由性质得出，将两个式子相加，即可求出GH的长． 【详解】解：∵， ∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC， ∴△CGH∽△CAB， ∴， ∵， ∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB， △BGH∽△BDC， ∴， ∴， ∵AB=2，CD=3， ∴， 解得：GH=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（2022下·黑龙江大庆·八年级统考期中）如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作交DE的延长线于点A，过点D作交BE的延长线于点C． (1)求证：； (2)请找出，，之间的关系，并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由平行线分线段成比例可得，．即可得出，即证明； （2）分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K．由（1）同理可得，变形为，即． 【详解】（1）证明：∵AB∥EF ∴． ∵CD∥EF ∴， ∴， ∴； （2）关系式为：， 证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K． 由（1）同理可得： ∴ 即． 又∵，， ∴． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例．正确的作出辅助线是解题关键． 4（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案． 【详解】解：、，， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴， 点是的中点， ， ， ， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，求出． 【题型八】手拉手模型（旋转模型） 已知 图示 结论（性质） 若∆ADE以点A为旋转中心旋转一定角度，且∆ADE~∆ABC ∆ABD~∆ACE 1．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值； （2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值； （3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度； 【详解】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即： 故答案为： （2）∵，，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点． 2．（22-23九年级上·河南周口·期末）在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，. (1)观察猜想 如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________． (2)类比探究 如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． 【答案】(1)1，； (2)，，理由见解析 【分析】(1)首先根据等边三角形的判定与性质及旋转的性质，即可证得，如图①中，设直线与直线交于点I，再利用全等三角形的性质及角的关系，即可求得结果； (2)首先根据等腰直角三角形的性质，可证得 ，可证得，即可证得，如图②中，设直线交于G，交于点H，再利用相似三角形的性质及角的关系，即可求得结果． 【详解】（1）解：，，，， 与都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ，， ； 设与的延长线交于点I，如图①， ， ∴直线与直线相交所成的较小角的度数为； （2）解：，直线与直线相交所成的较小角的度数为， 理由如下： ，， ，， 同理可得：，， ， . ， 即， ， ，， 设交于点G，交于点H，如图②， ， ， ∴直线与直线相交所成的较小角的度数为． 【点睛】本题考查的是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 相似三角形的8大经典模型 【热考题型】 【解题技巧】 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似. 【题型一】A字型 已知 图示 结论（性质） 若DE∥BC ①∆ADE~∆ABC ② 若∠1=∠2或∠3=∠4或 ①∆ADE~∆ABC ②AC2=AB•AD 若∠1=∠2 ①∆ADE~∆ABC ②AC2=AB•AD [补充]该模型也被称为子母模型，即子母模型可以看作一组公共边的反A模型 1．（20-21九年级·浙江杭州·期中）如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为 ． 2．（21-22九年级上·上海金山·期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 3．（20-21九年级上·江苏扬州·假期作业）如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 4．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，，若正方形的顶点在上，顶点、都在上，射线交边于点，则长为 ．    5．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 【题型二】8字型 已知 图示 结论（性质） 若AB∥CD ①∆AOB~∆COD ② 若∠1=∠2或∠3=∠4或 ①∆AOB~∆COD 1．（2021·山东聊城·一模）如图，在平行四边形中，点是上的点，，直线交于点，交的延长线于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（21-22九年级上·河南开封·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 3．（20-21九年级上·海南海口·期末）如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（    ） A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 4．（20-21八年级下·湖南常德·期中）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则 ． 5．（22-23九年级上·北京房山·期中）如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 6．（21-22九年级上·山东德州·期末）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2） 请回答：∠ADB＝       °，AB＝        （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长 【题型三】射影定理 已知 图示 结论（性质） 若∠ABC=∠ADB=90° ①∆ABC~∆ADB~∆BDC ②AB2=AC•AD,BD2=AD•CD BC2=AC•CD （口诀：公共边的平方=共线边的乘积） ③AB•BC=BD•AC（面积法） 1．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝ ． 2．（21-22九年级上·江苏南京·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 3．（2021·湖北武汉·一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 4．（2020九年级上·全国·专题练习）已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E． （1）求证：△BAE∽△ACE； （2）AF⊥BD，垂足为点F，且BE•CE＝9，求EF•DE的值． 5．（21-22九年级上·上海金山·阶段练习）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 【题型四】一线三等角模型 已知 图示 结论（性质） 若∠B=∠D=∠ACE=90° ①∆ABC~∆CDE ② 或BC•CD=AB•DE(可看作底*底=腰*腰) ③当点C为BD中点时， ∆ABC~∆CDE~∆ACE 若∠B=∠D=∠ACE=α ①∆ABC~∆CDE ② ③当点C为BD中点时， ∆ABC~∆CDE~∆ACE 1．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    18．（2020九年级·全国·专题练习）（1）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，求证：； （2）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，，，，求的值； （3）如图，中，点在边上，且，，，点在边上，连接，，，求的值． 2．（21-22九年级·广东佛山·期末）如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 4．（21-22九年级上·山东济南·期中）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【题型五】线束模型 已知 图示 结论（性质） 若DE∥BC ① （左图） ②（右图） 若AB∥CD ①（左图） ②（右图） 1．（2022上·浙江宁波·九年级校考期中）【基础巩固】 (1)如图1， 在中， 分别为上的点， 交 于点， 求证： ． 【尝试应用】 (2)如图2， 已知为的边上的两点， 且满足， 一条平行于的直线分别交和于点和， 求 的值． 【拓展提高】 (3)如图3， 点是正方形的边上的一个动点， ， 延长至点， 使 ， 连接， 求的最小值． 2．（2022·浙江宁波·统考中考真题） (1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． (3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 3．（2023·全国·九年级专题练习）在中，已知D是边的中点，G是的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当和不平行，且点E、F分别在线段上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． (3)如图3，当点E在的延长线上或点F在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【题型六】三角形内接矩形模型 已知 图示 结论（性质） 若四边形DEFG为矩形，AN⊥BC ①∆ABC~∆ADG ② ③若四边形DEFG为正方形 即= 若假设DG=x 则= 若已知BC、AN长，即可求出x的值 1．（21-22九年级上·全国·课后作业）一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）． 2．（20-21九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在中，，正方形的顶点分别在的边上，在边上，则正方形的边长等于 ． 3（2022九年级下·甘肃白银·专题练习）如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上． （1）求△ABC中AB边上的高h； （2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树． 4．（20-21九年级·全国·课后作业）如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 5．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【题型七】三平行模型 已知 图示 结论（性质） 若AB∥EF∥CD ① ② 1．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为 ． 2．（21-22九年级上·安徽安庆·期中）图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长． 3．（2022下·黑龙江大庆·八年级统考期中）如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作交DE的延长线于点A，过点D作交BE的延长线于点C． (1)求证：； (2)请找出，，之间的关系，并给出证明． 4（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 【题型八】手拉手模型（旋转模型） 已知 图示 结论（性质） 若∆ADE以点A为旋转中心旋转一定角度，且∆ADE~∆ABC ∆ABD~∆ACE 1．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 2．（22-23九年级上·河南周口·期末）在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，. (1)观察猜想 如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________． (2)类比探究 如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$