第2部分 第2章 第3讲 一元二次方程-【中考宝典】2024年中考数学课件(广东专用版)

第二部分　知识梳理 第二章　方程(组) 与不等式(组) 第3讲　一元二次方程 目 录 01 命题分析 02 考点知识梳理 03 例题精讲 04 核心考点讲练 05 广东中考你在行 06 创新考法 01 命题分析 广东近五年真题分析 命题点 2019 2020 2021 2022 2023 一元二次方程及其解法   题22(2)，4分   题14，3分   一元二次方程根与系数的关系 题9，3分         第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 广东近五年真题分析 新课标 要求 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程 2.掌握等式的基本性质 3.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程 4.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等 5.了解一元二次方程的根与系数的关系 6.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 02 考点知识梳理 一元二次方程及其解法 ☞核心笔记 1．一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数，a≠0)． 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 3．常用解法 (1)直接开平方法：形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)； (2)配方法：形如(x＋n)2＝p； (3)公式法：形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)， 求根公式是x＝ (b2－4ac≥0)； (4)因式分解法：容易变形为形如(x－a)(x－b)＝0 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 ☞【跟踪训练】 1．(2023·武进区校级模拟)在下列方程中，属于一元二次方程的是(　　) A．x2－ ＝x B．x2＋y2＝4 C． －1＝0 D．x(1－2x2)＝5x2 2．(2023·东莞市校级一模)一元二次方程5x2－2x＋2＝0的一次项系数是(　　) A．5 B．－2 C．2 D．0 A B 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 3．(2023·儋州模拟)用配方法解方程x2＋8x＋7＝0，则配方正确的是(　　) A．(x＋4)2＝9 B．(x－4)2＝9 C．(x－8)2＝16 D．(x＋8)2＝57 4．(2023·新华区校级模拟)方程x2－5x＝0的解是(　　) A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝5 C．x1＝0，x2＝－5 D．x1＝0，x2＝5 A D 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 一元二次方程根的判别式 ☞核心笔记 一元二次方程根的判别式：Δ＝b2－4ac. 1．当Δ>0⇔原方程有两个不相等的实数根；2.当Δ＝0⇔原方程有两个相等的实数根；3.当Δ<0⇔原方程没有实数根． ☞特别提醒：Δ≥0⇔方程有实数根 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 ☞【跟踪训练】 5．(2023·长春模拟)方程x2－3x－1＝0的根的情况是(　　) A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 6．(2023·西山区二模)关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　) A．k＞－1 B．k≥－1 C．k≤1 D．k＜1 D A 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 一元二次方程根与系数的关系 ☞核心笔记 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根分别为x1和x2，则：x1＋x2＝－ ，x1x2＝ . 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 ☞【跟踪训练】 7．已知x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两根，则x1＋x2＋2x1x2的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 8．已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为－3和2，则 的值为(　　) A．－6 B．－ C． D．6 D A 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 一元二次方程的实际应用 ☞核心笔记 1．列一元二次方程解应用题的“六字诀”——审、设、列、解、验、答． 2．主要题型： (1)变化率问题 设a为原来的量，n为增长次数，b为增长后的量．当x为平均增长率时，则a(1＋x)n＝b；当x为平均下降率时，则a(1－x)n＝b. (2)利润问题 单件利润＝售价－成本；总利润＝单件利润×销售量． 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 (3)循环问题 ①n(n>1)个人握手，单循环赛总次数： ；②n(n>1)个人互送礼物总份数：n(n－1)． (4)面积问题 S矩形＝长×宽；S△＝ ×底×高 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 ☞【跟踪训练】 9．(2023·博乐市校级二模)日前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2020年底有5G用户2万户，计划到2022年底全市5G用户数达到9.68万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则可列方程为(　　) A．2(1＋2x)＝9.68 B．2(1＋x)＝9.68 C．2(1＋x2)＝9.68 D．2(1＋x)2＝9.68 D 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 10．(2023·鸡西二模)一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有(　　) A．9人 B．10人 C．12人 D．15人 B 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 03 例题精讲 一元二次方程的根 例1.(2023·浦江县模拟)一元二次方程x2－4x＋3＝0的解是(　　) A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝－3，x2＝1 C．x1＝3，x2＝－1 D．x1＝－3，x2＝－1 变1.(2023·莲池区二模)已知一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝－4；则这个方程为(　　) A．(x－3)(x＋4)＝0 B．(x＋3)(x－4)＝0 C．(x＋3)(x＋4)＝0 D．(x－3)(x－4)＝0 A A 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 一元二次方程根的判别式 常考题型：1.利用根的判别式判断一元二次方程根的情况；2.利用根的判别式求字母的值或取值范围． 例2.(2023·广东模拟)关于一元二次方程x2＋2x＋1＝0根的情况，下列说法中正确的是(　　) A．有两个不相等的实数根　 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根　　　 D．无法确定 B 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 变2.(2023·宜阳县三模)若关于x的方程2x2＋4x＋c＝0没有实数根，则c的值可能为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 一元二次方程及其解法 答题规范 作答区域 示范题：(2023·齐齐哈尔)解方程：x2－3x＋2＝0. 解： 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 答题模板与评分标准 解：∵x2－3x＋2＝0， ∴(x－1)(x－2)＝0， 2分 ∴x－1＝0或x－2＝0， 4分 ∴x1＝1，x2＝2. 5分   满分：5分　　　　实得： 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 例3.(1)当m的值为多少时，关于x的方程(m－1)x2＋2x－6＝0是一元一次方程； 解：1； (2)解一元二次方程x2＋2x－6＝0. 解：x2＋2x－6＝0， x2＋2x＝6， x2＋2x＋1＝7， (x＋1)2＝7， 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 变3.(2023·新华区校级模拟)下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：2x2＋4x－8＝0. 二次系数化为1，得x2＋2x－4＝0， 第一步 移项，得x2＋2x＝4， 第二步 配方，得x2＋2x＋4＝4＋4，即(x＋2)2＝8， 第三步 由此，可得x＋2＝±2 ， 第四步 所以，x1＝－2＋2 ，x2＝－2－2 . 第五步 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 (1)小明同学解题过程中，从第____步开始出现错误； (2)请给出正确的解题过程． 解：2x2＋4x－8＝0，∴x2＋2x－4＝0，∴x2＋2x＝4， ∴x2＋2x＋1＝4＋1，∴即(x＋1)2＝5，∴x＋1＝± 所以x1＝－1＋ ，x2＝－1－ . 三 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 04 核心考点讲练 (一)基础过关 【建议用时：5分钟 　 正确率：　/8 】 一元二次方程及其解法 1．(2023·河东区校级模拟)若关于x的方程(a－1)x2＋ax－1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是(　　) A．a≠1 B．a＝1 C．a≥1 D．a≠0 2．(2023·长沙县三模)若x＝1是一元二次方程2x2－4x＋k＝0的根，则k的值为___. A 2 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 一元二次方程根的判别式 3．(2023·吉林)一元二次方程x2－5x＋2＝0根的判别式的值是(　　) A．33 B．23 C．17 D． 4．(2023·商丘四模)已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0有两个不相等的实数根，则在下列选项中，b的值可以是(　　) A．b＝－1 B．b＝－2 C．b＝－3 D．b＝0 C C 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 一元二次方程根与系数的关系 5．(2023·泰州)关于x的一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根之和为_____. －2 C 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 一元二次方程的应用 7．(2023·郯城县一模)某网店在“双11”促销活动中对一件原价500元的商品进行了“折上折”优惠活动(即两次打折数相同)，优惠后实际仅售320元，设该店打x折，则可列方程(　　) B 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 8．(2023·黑龙江模拟)某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价(　　) A．12元 B．10元 C．11元 D．9元 B 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 (二)能力提升 【建议用时：5分钟 　 正确率：　/6 】 1．(2023·大同校联考模拟)将方程2x2－12x＋1＝0配方成(x－m)2＝n的形式，下列配方结果正确的是(　　) A．(x＋3)2＝17 B．(x＋3)2＝ C．(x－3)2＝17 D．(x－3)2＝ D 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 2．(2023·西山区校级模拟)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＋2＝0有实数根，则一次函数y＝x＋m的图象一定不经过(　　) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 3．(2023·林州市模拟)已知等腰△ABC的边是方程x2－7x＋10＝0的根，则△ABC的周长为(　　) A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15 C D 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 4．(2023·岳阳)已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＋2＝0有两个不相等的实数根，且x1＋x2＋x1x2＝2，则实数m＝___. 5．(2023·郴州)随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； 解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 由题意可得1.6(1＋x)2＝2.5， 解得x1＝25%，x2＝－ (不合题意舍去)． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%. 3 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 解：设5月份后10天日均接待游客人数是a万人， 由题意可得2.125＋10a≤2.5(1＋25%)，解得a≤0.1. 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 6．(2023·东营)如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)． 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？ 解：设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x)m． 根据题意，得x(72－2x)＝640， 化简，得x2－36x＋320＝0，解得x1＝16，x2＝20， 当x＝16时，72－2x＝72－32＝40； 当x＝20时，72－2x＝72－40＝32. 答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈； 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 (2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 答：不能， 理由：由题意，得x(72－2x)＝650， 化简，得x2－36x＋325＝0， Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到650 m2. 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 05 广东中考你在行 1．(2022·广东)若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，则a＝___. (1)求a，b的值； 1 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 (2)若一个三角形的一条边的长为2 ，另外两条边的长是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解，试判断该三角形的形状，并说明理由． 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 3．(2019·广东)已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是(　　) A．x1≠x2 B．x －2x1＝0 C．x1＋x2＝2 D．x1·x2＝2 D 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 06 创新考法 【教材拓展】我们知道，一元二次方程x2＝－1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－1，如果我们规定一个新数“i”使它满足i2＝－1(即x2＝－1有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：i1＝i，i2＝－1，i3＝i2·i＝－i，i4＝(i2)2＝1，…那么i2 023＝___. i 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 ☞总结反思： ☞请完成精练本第10－11页习题 第 ‹#› 页 第3讲　一元二次方程 返回目录 本节内容到此结束！ logo x＋1＝±， 所以x1＝－1＋，x2＝－1－. 6．(2023·菏泽)一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根为x1，x2，则＋的值为(　　) A． B．－3 C．3 D．－ A．500(1－2x)＝320 B．500＝320 C．500＝320 D．500(1－x)2＝320 2．(2020·广东)已知关于x，y的方程组与的解相同． 解：由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是方程组的解， 解得，代入原方程组得a＝－4，b＝12； 解：当a＝－4，b＝12时，关于x的方程x2＋ax＋b＝0就变为x2－4x＋12＝0， 解得x1＝x2＝2， 又∵(2)2＋(2)2＝(2)2， ∴以2、2、2为边的三角形是等腰直角三角形． $$