2023-2024学年人教版数学八年级上册暑假专题训练专题十五 等边三角形

人教版数学八年级上暑假自学课专题训练 专题十五 等边三角形 一、专题导航 2、 知识点梳理 知识点1 等边三角形的定义及性质 1. 等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。 2. 等边三角形的性质 （1） 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º （2） 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴。任意一角的平分线所在直线都是它的对称轴。 典例剖析1 例1-1．如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC=（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 例1-2．如图，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE．若CD=2，CE=6，则BC=（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 例1-3．如图，AB=4，AC=2，以BC为边向上构造等边三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的最小值是（　　） A. B. 4-2 C. 4- D. 4-4 知识点2 等边三角形的判定 （1） 三个角都相等的三角形是等边三角形. （2） 有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。 说明：①等边三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 典例剖析2 例2-1．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④ 例2-2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F． （1）求证：BE垂直平分CD； （2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形． 例2-3．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点，若，BC＝8，连接EM，DM，求△EDM的面积． 知识点3 等边三角形的性质和判定综合 （1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。 （2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[ 典例剖析3 例3-1．如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是_______．(填序号) 例3-2．已知：四边形中，，，，对角线相交于点O，且平分，过点A作，垂足为H．判断线段之间的数量关系：___________；并证明你的结论． 例3-3．已知：如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M． （1）求证：∠FEA＝∠FBA． （2）求∠EFC的度数． （3）猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论． 3、 变式训练 变式1 等边三角形的定义及性质 1．如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是（　　） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 2．如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________． 3．如图，点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点从点向点运动，点从点向点运动，它们同时出发，且速度都为，运动的时间为秒，连接，交于点，则在，运动的过程中， （1）求证：； （2）的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （3）当为何值时，是直角三角形？ 变式2 等边三角形的判定 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，D是AB上的一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F． （1）求证：BE垂直平分CD； （2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形． 2．如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE=DF．求证：△ABC是等边三角形． 3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E在BC上，且AE=BE． （1）求∠CAE的度数； （2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形． 变式3 等边三角形的性质与判定综合 1．【探究发现】（1）如图1，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，则、、之间满足的数量关系是_______________． 【类比应用】（2）如图2，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，试探究、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）在中，，，点为的中点，、分别为直线、上两点，若满足，，请直接写出的长． 2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点D在边BC的延长线上，线段AC，CD的垂直平分线交于点E，连接AE，CE，DE，AD． （1）若∠BAC=60°，求证：△ADE是等边三角形； （2）求∠AED与∠ACB之间的数量关系． 3．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，△ABC的三个顶点均在坐标轴上，若∠BAO＝30°，AB＝4，点C的坐标为（2，0）． （1）如图1，求证：△ABC是等边三角形． （2）如图2，点D是x轴上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，在点D运动过程中，求线段CE的最小值． （3）如图3，若将△ABO沿直线AC平移，记平移后的△ABO为△，在平移过程中，是否存在这样的点，使得△为等腰三角形？若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 4．课本再现：（1）如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C． ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴∠A=∠ADE=∠AED， ∴△ADE是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C，∠A=60°． ∵DE∥BC， ∴∠B=∠ADE，∠C=①_____， ∴②_____=③_____， ∴AD=AE．（④_____） ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A=60°，∴△ADE是等边三角形． （2）如图2，等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D，延长BD至点E，使得AE=AD，求证：△ADE是等边三角形． 5．已知∠AOB=120°，点P为射线OA上一动点（不与点O重合），点C为∠AOB内部一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，且点Q恰好落在射线OB上，不与点O重合． （1）依据题意补全图1； （2）用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系，并证明； （3）连接OC，写出一个OC的值，使得对于任意点P，总有OP+OQ=4，并证明． 4、 能力提升 提升1 等边三角形的定义及性质 1．在等边△ABC中，点D是直线BC上的一个点（不与点B、C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD＝CE； （2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，若∠BAE＝α，求∠DEC的度数；（用含α的代数式表示） （3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，若BD⊥DE，且S△ABC＝4，求△ACF的面积． 2．如图，已知等边 的边长为，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点 M的速度，点 N的速度为．当点 N 第一次到达 B 点时，M、N 同时停止运动． （1）当点 N 第一次到达 B 点时，点M的位置在      ；当 M、N运动        秒时，点N追上点M； （2）当点 M、N 在 边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时 M、N 运动的时间． （3）当为直角三角形时，运动时间t的值是                3．如图所示，D是等边三角形ABC外一点，DB＝DC，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上． （1）求证：AD是BC的垂直平分线． （2）若ED平分∠BEF，求证：FD平分∠EFC． （3）在（2）的条件下，求∠EDF的度数． 提升2 等边三角形的判定 1 .已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点． （1）求证：△BED是等腰三角形： （2）当∠BCD=_____°时，△BED是等边三角形． 2．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论． 3 .综合与实践 【问题情境】如图，图，在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． 【问题解决】如图，若点在边上，在上截取，连接． （1）请判断的形状，并说明理由． （2）若，，求的长． 【类比探究】如图，若点在边的延长线上，请直接写出线段，与之间存在的数量关系． 提升3 等边三角形的性质与判定综合 1．在等边△ABC中， （1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数； （2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM． ①依题意将图2补全； ②求证：PA=PM． 2．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点． （1）求证：AD=BE； （2）求∠DOE的度数； （3）求证：△MNC是等边三角形． 3．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 4．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点， （1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学八年级上暑假自学课专题训练 专题十五 等边三角形（解析版） 一、专题导航 2、 知识点梳理 知识点1 等边三角形的定义及性质 1. 等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。 2. 等边三角形的性质 （1） 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º （2） 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴。任意一角的平分线所在直线都是它的对称轴。 典例剖析1 例1-1．如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC=（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】C 【解析】根据等边三角形的性质可得∠ABC=60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD=30°，再根据作图可知BD=ED，进一步可得∠DEC的度数． 解：在等边△ABC中，∠ABC=60°， ∵BD是AC边上的高， ∴BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠ABC=30°， ∵BD=ED， ∴∠DEC=∠CBD=30°， 故选：C． 例1-2．如图，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE．若CD=2，CE=6，则BC=（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】在CB上取一点G使得CG=CD，即可判定△CDG是等边三角形，可得CD=DG=CG，易证∠BDG=∠EDC，即可证明△BDG≌△EDC，可得BG=CE，即可解题． 解：在CB上取一点G使得CG=CD， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°， ∴△CDG是等边三角形， ∴CD=DG=CG， ∵∠BDG+∠EDG=60°，∠EDC+∠EDG=60°， ∴∠BDG=∠EDC， 在△BDG和△EDC中， ， ∴△BDG≌△EDC（SAS）， ∴BG=CE， ∴BC=BG+CG=CE+CD=8， 故选：B． 例1-3．如图，AB=4，AC=2，以BC为边向上构造等边三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的最小值是（　　） A. B. 4-2 C. 4- D. 4-4 【答案】D 【解析】以AB为边构造等边三角形A′AB，连接A′P，取AB的中点M，连接DM，证明△ABC≌△A′BD，可得AC=A′D=2，从而可得DM是△ABP的中位线，所以PB=2DM，当DM最小时，PB有最小值，根据△AA′B是等边三角形，M是AB中点，可得当点A′，D，M在同一条直线上时，DM有最小值，然后根据勾股定理即可求出结论． 解：如图，以AB为边构造等边三角形A′AB，连接A′P，取AB的中点M，连接DM， 在等边三角形A′AB和等边三角形BCD中， AB=A′B，BC=BD，∠ABA′=∠CBD=60°， ∴∠ABC=60°-∠ABD，∠A′BD=60°-∠ABD， ∴∠ABC=∠A′BD， 在△ABC和△A′BD中， ， ∴△ABC≌△A′BD（SAS）， ∴AC=A′D=2， ∵AD=PD，AM=BM， ∴DM是△ABP的中位线， ∴PB=2DM， ∴当DM最小时，PB有最小值， ∵△AA′B是等边三角形，M是AB中点， ∴当点A′，D，M在同一条直线上时，DM有最小值， 此时，A′A=4，AM=2，A′M⊥AB， ∴A′M===2， ∴DM=A′M-A′D=2-2， ∴PB的最小值是4-4． 故选：D． 知识点2 等边三角形的判定 （1） 三个角都相等的三角形是等边三角形. （2） 有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。 说明：①等边三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 典例剖析2 例2-1．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】直接根据等边三角形的判定方法进行判断． 解：①有两个角等于60°的三角形是等边三角形； ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③三个角都相等的三角形是等边三角形； ④三边都相等的三角形是等边三角形； 故选：D． 例2-2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F． （1）求证：BE垂直平分CD； （2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】（1）先证Rt△EBC≌Rt△EBD，得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证； （2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知CD=DB，再根据DB=BC，即可证明结论． 【小问1详解】 解：证明：∵∠ACB=90，且DE⊥AB， ∴∠EDB=∠ACB=90°， 在Rt△EBC和Rt△EBD中， ， ∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL）， ∴∠CBE=∠DBE， ∵BD=BC， ∴△BDC是等腰三角形， ∴BF⊥CD，CF=DF， ∴BE垂直平分CD． 【小问2详解】 ∵D是AB的中点，∠ACB=90°， ∴DC=DB， 又∵BD=BC， ∴DC=DB=BC， ∴△CBD是等边三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形与等边三角形，熟练掌握直角三角形的性质与等边三角形的判定是解决本题的关键． 例2-3．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点，若，BC＝8，连接EM，DM，求△EDM的面积． 【答案】△EDM的面积为 【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=ME=，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据等腰三角形两底角相等求出∠BME+∠CMD，然后求出∠DME=60°，可得证出△EDM是等边三角形，进而即可求解． 解：连接ME，MD，如图， ∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M是BC中点， ∴MD=ME==BM=CM， ∴点N是DE的中点， ， ∵MD=ME=BM=CM， ∴∠BME+∠CMD=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=360°-2（∠ABC+∠ACB）， ∵∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°， ∴∠BME+∠CMD=360°-2×120°=120°， ∴∠DME=60°， ∴△MED是等边三角形． 在中，EM=ED=4，EN=ND=， ． △EDM的面积为． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，证明△MED是等边三角形是解题的关键． 知识点3 等边三角形的性质和判定综合 （1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。 （2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[ 典例剖析3 例3-1．如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是_______．(填序号) 【答案】①②③ 【解析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据题意得：∠EPM=∠FPN，再根据角平分线的性质定理可得PE=PF，从而得到Rt△POE≌Rt△POF，进而得到OE=OF，可得到△PEM≌△PFN，从而得到∠PEM=∠PFN，EM=NF，PM=PN，可得S△PEM=S△PFN，OM+ON= 2OE，从而得到①②③正确，再由M，N的位置变化，可得MN的长度是变化的，再证得△PMN是等边三角形，可得故④错误，即可求解． 解：如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ∵∠PEO=∠PFO=90°， ∴∠EPF+∠AOB=180°， ∵∠MPN+∠AOB=180°， ∴∠EPF=∠MPN， ∴∠EPM=∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE=PF， 在Rt△POE和Rt△POF中， ∵OP=OP，PE=PF， ∴Rt△POE≌Rt△POF（HL）， ∴OE=OF， 在△PEM和△PFN中， ∵∠MPE=∠NPF， PE=PF，∠PEM=∠PFN， ∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴∠PEM=∠PFN，EM=NF，PM=PN，故①正确； ∴S△PEM=S△PFN， ∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故③正确； ∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确； ∵M，N的位置变化， ∴MN的长度是变化的， ∵PM=PN，∠MPN=60°， ∴△PMN是等边三角形， ∴△PMN的周长是变化的，故④错误， ∴说法正确的有①②③． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等边三角形判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等边三角形判定和性质等知识是解题的关键． 例3-2．已知：四边形中，，，，对角线相交于点O，且平分，过点A作，垂足为H．判断线段之间的数量关系：___________；并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【解析】先证明是等边三角形，再证明，最后根据三角形内角和定理证明，在上截取，先证明，得出，再证明，得出，即可解决问题． ， 证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在上截取， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 例3-3．已知：如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M． （1）求证：∠FEA＝∠FBA． （2）求∠EFC的度数． （3）猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2）60° （3）FE+FA=2FD，证明见解析 【解析】（1）由等边三角形的性质及线段的垂直平分线的性质证明； （2）利用角之间的相等关系进行等量代换，再根据等边三角形的性质可得出答案； （3）在CF上取 N使得FN=FE，利用（2）的结论，证明△EFN是等边三角形，得到∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，再证明△EFA≌△ENC（SAS），得到FA=NC，FE+FA=FN+NC=FC，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半得到FC=2FD，结论得证． 【小问1详解】 解：∵AD为边BC的垂直平分线， ∴AB=AC， ∵△ACE为等边三角形， ∴AC=AE， ∴AB=AE， ∴∠FEA=∠FBA； 【小问2详解】 解：∵AD为边BC的垂直平分线 ∴AB=AC，FB=FC， ∴∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB， ∴∠FBC－∠ABC=∠FCB－∠ACB，即∠ABE=∠ACF， ∵∠ABE=∠AEF， ∴∠AEF=∠ACF， ∵∠FME=∠CMA， ∴∠EFC=∠CAE， ∵等边三角形ACE中，∠CAE=60°， ∴∠EFC=60°． 【小问3详解】 解：FE+FA＝2FD， 证明：CF上取 N使得FN=FE， 由（2）得∠EFM=∠CAM=60°， ∵FN=FE， ∴△EFN是等边三角形， ∴∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF， ∵△ACE为等边三角形， ∴∠AEC=60°，EA=EC， ∴∠FEN=∠AEC， ∴∠FEN－∠MEN=∠AEC－∠MEN，即∠AEF=∠CEN， 在△EFA和∠ENC中， EF＝EN，∠AEF＝∠CEN，EA＝EC， ∴△EFA≌△ENC（SAS）， ∴FA=NC， ∴FE+FA=FN+NC=FC， ∵∠EFC=∠FBC+∠FCB=60°，∠FBC=∠FCB， ∴∠FCB=×60°=30°， ∵AD⊥BC， ∴∠FDC=90°， ∴FC=2FD， ∴FE+FA=2FD． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用及线段的垂直平分线的性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 3、 变式训练 变式1 等边三角形的定义及性质 1．如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是（　　） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】根据旋转的性质可得：△PBC≌△P′BA，故∠PBC=∠P′BA，即可求解． 解：∠PBP′=∠P′BA+∠PBA， =∠PBC+∠PBA， =∠ABC， =60°． 故选：B． 2．如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________． 【答案】 【解析】连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长． 解：连接DE， ∵D、E分别是AB、BC的中点， ∴DE∥AC，DE=AC． ∵ΔABC是等边三角形，且BC=4， ∴∠DEB=60°，DE=2． ∵EF⊥AC，∠C=60°，EC=2， ∴∠FEC=30°，EF=． ∴∠DEG=180°-60°-30°=90°． ∵G是EF的中点， ∴EG=． 在RtΔDEG中，DG=． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键． 3．如图，点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点从点向点运动，点从点向点运动，它们同时出发，且速度都为，运动的时间为秒，连接，交于点，则在，运动的过程中， （1）求证：； （2）的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （3）当为何值时，是直角三角形？ 【答案】（1）见解析 （2）不变， （3）或 【解析】（1）根据等边三角形的性质得出，，根据点，的运动速度相等，得出，即可证明； （2）由（1）得，根据三角形的外角的性质，即可求解． （3）分，两种情况讨论，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵点、的速度相同， ∴， 在和中 ∴； 【小问2详解】 解：的大小不发生变化， ∵， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 ∵运动时间为秒，则， ∴， 当时， ∵，则 ∴， ∴，解得， 当时， ∵， ∴，则 ∴，解得， ∴当为或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 变式2 等边三角形的判定 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，D是AB上的一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F． （1）求证：BE垂直平分CD； （2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形． 【解析】（1）先证Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），即可得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证； （2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知CD=DB，又根据DB=BC，即可证明结论． 证明：（1）∵∠ACB=90，且DE⊥AB， ∴∠EDB=∠ACB=90°， 在Rt△EBC和Rt△EBD中， ， ∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL）， ∴∠CBE=∠DBE， ∵BD=BC， ∴△BDC是等腰三角形， ∴BF⊥CD，CF=DF， ∴BE垂直平分CD． （2）∵D是AB的中点，∠ACB=90°， ∴DC=DB， 又∵BD=BC， ∴DC=DB=BC， ∴△CBD是等边三角形． 2．如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE=DF．求证：△ABC是等边三角形． 【解析】证明Rt△ADE≌Rt△BDF得到∠A=∠B，则CA=CB，然后根据等边三角形的判定方法得到结论． 证明：∵D为AB的中点， ∴AD=BD． ∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠AED=∠BFD=90°． 在Rt△ADE和Rt△BDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL）， ∴∠A=∠B， ∴CA=CB， ∵AB=AC， ∴AB=BC=AC ∴△ABC是等边三角形． 3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E在BC上，且AE=BE． （1）求∠CAE的度数； （2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形． 【解析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和是180°，可以求得∠CAE的度数； （2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定，可以得到结论成立． 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∵AE=BE， ∴∠B=∠EAB， ∴∠EAB=30°， ∵∠BAC=120°， ∴∠CAE=∠BAC-∠EAB=120°-30°=90°， 即∠CAE=90°； （2）方法一：证明：由（1）知，∠CAE=90°， ∵∠C=30°， ∴∠AEC=60°， ∴∠DEA=60°， ∵点D为线段EC的中点， ∴AD=DE， ∴∠DEA=∠DAE， 又∵∠DEA=60°， ∴∠DEA=∠DAE=60°， ∴∠ADE=60°， ∴∠DEA=∠DAE=∠ADE， ∴△ADE是等边三角形． 方法二：证明：由（1）知，∠CAE=90°， ∵∠C=30°， ∴∠AEC=60°，AE=CE， ∴∠DEA=60°， ∵点D为EC的中点， ∴AD=CE=DE， ∴AD=DE=AE， ∴△ADE是等边三角形． 变式3 等边三角形的性质与判定综合 1．【探究发现】（1）如图1，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，则、、之间满足的数量关系是_______________． 【类比应用】（2）如图2，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，试探究、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）在中，，，点为的中点，、分别为直线、上两点，若满足，，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）的长为或 【解析】（1）证明，可得，从而证明； （2）取中点G，连接，利用证明，得到，可得； （3）分两种情况：当点E在线段上时或当点E在延长线上时，取的中点H，连接，同（2）证明，得到，从而求解． 解：（1）如图1，∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）．理由是： 取中点G，连接，如图2 ∵点G是斜边中点， ∴， ∵，，点D为的中点， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点E在线段上时，如图3，取的中点H，连接， 当，，时， ，此时F在的延长线上， 同（2）可得：， ∴， ∵，， ∴， 当点E在延长线上时，如图4， 同理可得：； 综上：的长为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是适当添加辅助线，构造全等三角形，从而得到线段之间的关系． 2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点D在边BC的延长线上，线段AC，CD的垂直平分线交于点E，连接AE，CE，DE，AD． （1）若∠BAC=60°，求证：△ADE是等边三角形； （2）求∠AED与∠ACB之间的数量关系． 【解析】（1）根据线段AC，CD的垂直平分线交于点E，得到AE=DE=AD，根据等腰三角形的性质，四边形内角和定理确定∠AED=360°-∠EAC-∠ACD-∠EDC=60°得证． （2）根据等腰三角形的性质，四边形内角和定理，邻补角计算即可． 解：（1）∵线段AC，CD的垂直平分线交于点E， ∴AE=DE=CE，∠EAC=∠ECA，∠EDC=∠ECD， ∴∠AED=360°-∠EAC-∠ACD-∠EDC=360°-∠ACE-∠ACD-∠ECD=360°-2∠ACD， ∵∠BAC=60°，∠B=90°， ∴∠ACD=∠B+∠BAC=90°+60°=150°， ∴∠AED=360°-300°=60°， ∴△ADE是等边三角形； （2）∠AED与∠ACB之间的数量关系为∠AED=2∠ACB．理由如下： ∵线段AC，CD的垂直平分线交于点E， ∴AE=DE=CE，∠EAC=∠ECA，∠EDC=∠ECD， ∴∠AED=360°-∠EAC-∠ACD-∠EDC=360°-∠ACE-∠ACD-∠ECD=360°-2∠ACD， ∵∠ACD=180°-∠ACB， ∴∠AED=360°-2（180°-∠ACB）=2∠ACB， ∴∠AED=2∠ACB． 3．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，△ABC的三个顶点均在坐标轴上，若∠BAO＝30°，AB＝4，点C的坐标为（2，0）． （1）如图1，求证：△ABC是等边三角形． （2）如图2，点D是x轴上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，在点D运动过程中，求线段CE的最小值． （3）如图3，若将△ABO沿直线AC平移，记平移后的△ABO为△，在平移过程中，是否存在这样的点，使得△为等腰三角形？若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）点A'的坐标是（-1，3）或（2-，3）或（1，）或（2+3，-3）． 【解析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质得BO=2，∠ABC=60°，可得直线AO垂直平分BC，则AB=AC，即可得出结论； （2）过点E作x轴垂线EH，过点A作y轴垂线，两条垂线相交于点F，因为线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，所以易证得△ADO≌△AEF（AAS）．可得AO=AF=2，则点E的运动轨迹是直线FE，当点E与H重合时，CE的值最小，求出CH即可； （3）分四种情况画出图形，根据等腰三角形性质以及含30°角的直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：在Rt△ABO中，∠BAO=30°，AB=4 ∴BO=2，∠ABC=60°， ∵点C的坐标为（2，0）， ∴CO=2， ∴BO=CO， ∴直线AO垂直平分BC， ∴AB=AC， 又∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形； 【小问2详解】 解：如图2，过点E作x轴垂线EH，过点A作y轴垂线，两条垂线相交于点F， ∴∠AOD=∠AFE=90°，∠DAE=90°，∠OAF=90°， ∴∠OAD=∠FAE， ∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE， ∴AE=AD， ∴△ADO≌△AEF（AAS）． ∴AO=AF． 在Rt△ABO中，∠BAO=30°，AB=4， ∴AO＝， ∴AF＝． ∴点E的运动轨迹是直线FE， ∴当点E与H重合时，CE的值最小，CE的最小值=CH=−2； 【小问3详解】 解：存在， ∵△ABO沿直线AC平移，记平移后的△ABO为△A'B'O'， ∴，，， ∴=OA=， ①如图， = =，过点O′作H⊥C于H，延长交x轴于D， ∴A′H=CH=C， ∵， ∴∠=∠OAC=30°， ∴H=3， ∴C=6， ∴CD=3，D=， ∴OD=CD=OC=3-2=1， ∴点A'的坐标是（-1，）； ②=C，如图，交x轴于D， ∵AC=AB=4， ∴C==， ∵OA， ∴∠C=∠OAC=30°， ∴CD=，A′D=3， ∴OD=OC-CD=2-， ∴点A'的坐标是（2-，3）； ③C= C，如图，交x轴于D， ∵OA，OA⊥BC， ∴⊥BC， ∴D=D==， ∵∠C=∠OAC=30°， ∴CD=1， ∴OD=OC-CD=2-1=1， ∴点A'的坐标是（1，）； ④C=，如图，过点作D⊥y轴于D， ∴C= =2， ∴A=4+2， ∵∠OAC=30°， ∴D=2+，AD=2+3， ∴OD=AD-OA=2+3-2=3， ∴点的坐标是（2+3，-3）； 综上，存在，点的坐标是（-1，3）或（2-，3）或（1，）或（2+3，-3）． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转、平移的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 4．课本再现：（1）如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C． ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴∠A=∠ADE=∠AED， ∴△ADE是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C，∠A=60°． ∵DE∥BC， ∴∠B=∠ADE，∠C=①_____， ∴②_____=③_____， ∴AD=AE．（④_____） ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A=60°，∴△ADE是等边三角形． （2）如图2，等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D，延长BD至点E，使得AE=AD，求证：△ADE是等边三角形． 【答案】(1)∠AED;(2)∠ADE;(3)∠AED;(4)等角对等边; 【解析】（1）由等边三角形的性质可得出答案； （2）由等边三角形的判定可得出答案． 解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C，∠A=60°． ∵DE∥BC， ∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED， ∴∠ADE=∠AED， ∴AD=AE（等角对等边）， ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A=60°， ∴△ADE是等边三角形． 故答案为：①∠AED；②∠ADE；③∠AED；④等角对等边； （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠ABC=60°， ∵BE和AD分别为∠ABC和∠BAC的平分线， ∴，． ∵∠ADE为△ABD的外角， ∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°， ∵AE=AD， ∴△ADE是等边三角形． 5．已知∠AOB=120°，点P为射线OA上一动点（不与点O重合），点C为∠AOB内部一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，且点Q恰好落在射线OB上，不与点O重合． （1）依据题意补全图1； （2）用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系，并证明； （3）连接OC，写出一个OC的值，使得对于任意点P，总有OP+OQ=4，并证明． 【解析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据四边形内角和为360°可得答案； （3）连接OC，在射线OA上取点D，使得DP=OQ，连接CD，首先证明△COQ≌△CDP，然后△COD为等边三角形，进而可得答案． 解：（1）补图如图1： （2）∠CQO+∠CPO=180°， 理由如下：∵四边形内角和360°， 且∠AOB=120°，∠PCQ=60°， ∴∠CQO+∠CPO=∠1+∠2=180°． （3）OC=4时，对于任意点P，总有OP+OQ=4． 证明：连接OC，在射线OA上取点D，使得DP=OQ，连接CD． ∴OP+OQ=OP+DP=OD． ∵∠1+∠2=180°， ∵∠2+∠3=180°， ∴∠1=∠3． ∵CP=CQ， 在△CQO和△CPD中 ， ∴△COQ≌△CDP（SAS）． ∴∠4=∠6，OC=CD． ∵∠4+∠5=60°， ∴∠5+∠6=60°． 即∠OCD=60°． ∴△COD是等边三角形． ∴OC=OD=OP+OQ=4． 4、 能力提升 提升1 等边三角形的定义及性质 1．在等边△ABC中，点D是直线BC上的一个点（不与点B、C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD＝CE； （2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，若∠BAE＝α，求∠DEC的度数；（用含α的代数式表示） （3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，若BD⊥DE，且S△ABC＝4，求△ACF的面积． 【答案】（1）见解析；（2）∠DEC =60°＋α；（3）2 【解析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），可得结论． （2）证明∠ECD＝60°，∠CDE＝∠CAE＝60°−α，可得结论． （3）证明BC＝CD，AF＝DF，可得结论． （1）证明：如图1中， ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：如图2中，设AE交CD于O． ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABD＝180°−∠ABC＝120°， ∴∠ACE＝120°， ∴∠DCE＝∠ACE−∠ACB＝60°， ∵∠AOC＝∠DOE，∠ACO＝∠DEO＝60°， ∴∠EDC＝∠CAO＝60°−α， ∴∠DEC＝180°−∠EDC−∠ECD＝180°−（60°−α）−60°＝60°＋α； （3）解：如图3中， ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴∠ACB＝∠B＝∠ADE＝60°，AC＝BC， ∵ED⊥BD， ∴∠EDB＝90°， ∴∠ADB＝90°−60°＝30°， ∴∠BAD＝180°−∠B−∠ADB＝90°， ∵∠ACB＝∠CAD＋∠CDA＝60°， ∴∠CDA＝∠CAD＝30°， ∴CA＝CD， ∴CB＝CD， ∴S△ACD＝S△ABC＝4， ∵EA＝ED，CA＝CD， ∴CE垂直平分线段AD， ∴AF＝DF， ∴S△ACF＝S△ACD＝2． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，已知等边 的边长为，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点 M的速度，点 N的速度为．当点 N 第一次到达 B 点时，M、N 同时停止运动． （1）当点 N 第一次到达 B 点时，点M的位置在      ；当 M、N运动        秒时，点N追上点M； （2）当点 M、N 在 边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时 M、N 运动的时间． （3）当为直角三角形时，运动时间t的值是                【答案】（1）线段的中点，6 （2）存在，当M、N运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形 （3），，，9 【解析】（1）先求解N第一次到达B的时间，可得M的位置，再点M、N运动x秒后，M、N两点重合，可得，再解方程即可； （2）先证明，可得，再建立方程，即可得到答案； （3）当点N在上运动时，如图3，若，如图4，当，再利用含的直角三角形的性质列方程即可，当点N在上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形：当点N在上运动时，如图5，当点N位于中点处时，由为等边三角形知，如图6，当点M位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形，再列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当点 N 第一次到达 B 点时，， 此时运动了， ∴点M的位置在线段BC的中点， 设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，， 解得：， 即当M、N运动6秒时，点N追上点M． 【小问2详解】 当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图2，假设是等腰三角形， ∴， ∴． ∴， ∵是等边三角形， ∴，AB=AC， 在和中， ∵，， ∴ ∴， ∴， 解得，符合题意． 所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形． 【小问3详解】 当点N在上运动时，如图3， 若， ∵，， ∴， ∵， ∴，即，解得． 如图4，当， 同理可得：由得，解得； 当点N在上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形： 当点N在上运动时， 如图5，当点N位于中点处时，由为等边三角形知， 即是直角三角形， 则，解得． 如图6，当点M位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形， 则； 综上，当，，，9时，可得到直角三角形． 【点睛】本题考查的是动态几何问题，等边三角形的性质，等腰三角形的定义，含的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 3．如图所示，D是等边三角形ABC外一点，DB＝DC，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上． （1）求证：AD是BC的垂直平分线． （2）若ED平分∠BEF，求证：FD平分∠EFC． （3）在（2）的条件下，求∠EDF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠EDF＝60°． 【解析】（1）求出AB=AC，BD=DC，根据线段垂直平分线性质求出即可； （2）过D作DM⊥EF，连接AD，求出AD平分∠BAC，求出∠ABC=∠ACB=60°，求出BD=DM，BD=DC，推出DM=DC即可； （3）求出DB=DM，DM=DC，∠EBD=∠EMD=90°，证出△EBD≌△EMD，推出∠BDE=∠EDM，同理∠CDF=∠FDM，进而得出2∠EDF=∠BDC=120°． （1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC， ∴A在BC的垂直平分线上， ∵BD＝DC， ∴D在BC的垂直平分线上， ∴AD是BC的垂直平分线 （2）过D作DM⊥EF，连接AD， ∵AD是BC的垂直平分线， ∴AD平分∠BAC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD＝DC，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠ABD＝∠ACD＝90°， ∴DB⊥AB，DC⊥AC， ∵DM⊥EF，ED平分∠BEF，AD平分∠BAC， ∴BD＝DM，BD＝DC， ∴DM＝DC， ∴FD平分∠EFC； （3）如图， ∵DE平分∠BEF，DB⊥AB，DM⊥EF，DF平分∠CFE， ∴DB＝DM，DM＝DC，∠EBD＝∠EMD＝90°， 在△EBD和△EMD中 ， ∴△EBD≌△EMD， ∴∠BDE＝∠EDM， 同理∠CDF＝∠FDM， ∴2∠EDF＝∠BDC＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴∠EDF＝60°． 【点睛】此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法. 提升2 等边三角形的判定 1 .已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点． （1）求证：△BED是等腰三角形： （2）当∠BCD=_____°时，△BED是等边三角形． 【答案】150 【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=AC，DE=AC，从而得到BE=DE． （2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出∠DEB=∠DAB，即可得出∠DAB=30°，然后根据四边形内角和即可求得答案． 证明：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC边的中点， ∴BE=AC，DE=AC， ∴BE=DE， ∴△BED是等腰三角形； （2）∵AE=ED， ∴∠DAE=∠EDA， ∵AE=BE， ∴∠EAB=∠EBA， ∵∠DAE+∠EDA=∠DEC， ∠EAB+∠EBA=∠BEC， ∴∠DAB=∠DEB， ∵△BED是等边三角形， ∴∠DEB=60°， ∴∠BAD=30°， ∴∠BCD=360°-90°-90°-30°=150°． 故答案为：150． 2．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【解析】先证△ABP≌△ACQ得AP=AQ，再证∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形． 解：△APQ为等边三角形． 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC． 在△ABP与△ACQ中， ∵， ∴△ABP≌△ACQ（SAS）． ∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ． ∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°， ∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°， ∴△APQ是等边三角形． 3 .综合与实践 【问题情境】如图，图，在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． 【问题解决】如图，若点在边上，在上截取，连接． （1）请判断的形状，并说明理由． （2）若，，求的长． 【类比探究】如图，若点在边的延长线上，请直接写出线段，与之间存在的数量关系． 【答案】问题解决：（1）是等边三角形，理由见解析；（2）；类比探究：线段，与之间的等量关系是． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定是解答本题的关键． 问题解决： （1）利用等边三角形的性质，得到是等边三角形． （2）由于是等边三角形，得到，从而，所以，进而，得到答案． 类比探究： 过点作，交的延长线于点，由平行线的性质得到，得出为等边三角形，则，证明，得出，进而得到． 【详解】问题解决： 解：（1）是等边三角形理由是： 是等边三角形 又 是等边三角形． （2）是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ． 类比探究： 线段，与之间的等量关系是理由是： 是等边三角形， ， 过点作，交的延长线于点，如图， ， ，， ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 提升3 等边三角形的性质与判定综合 1．在等边△ABC中， （1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数； （2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM． ①依题意将图2补全； ②求证：PA=PM． 【解析】（1）根据三角形的外角性质得到∠APC，由等腰三角形的性质即可得到结论； （2）①根据题意补全图形即可； ②过点A作AH⊥BC于点H，根据等边三角形的判定和性质解答即可． 解：（1）∵△ABC为等边三角形 ∴∠B=60° ∴∠APC=∠BAP+∠B=80° ∵AP=AQ ∴∠AQB=∠APC=80°， （2）①补全图形如图所示， ②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图． 由△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∵AP=AQ， ∴∠APQ=∠AQP， ∴∠APQ-∠B=∠AQP-∠C， 即∠PAB=∠QAC， ∵点Q，M关于直线AC对称， ∴∠QAC=∠MAC，AQ=AM ∴∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=60°， ∵AP=AM， ∴△APM为等边三角形 ∴PA=PM． 2．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点． （1）求证：AD=BE； （2）求∠DOE的度数； （3）求证：△MNC是等边三角形． 【解析】（1）根据等边三角形性质得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，求出∠ACD=∠BCE，证△ACD≌△BCE即可； （2）根据全等求出∠ADC=∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可； （3）求出AM=BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM=CN，求出∠NCM=60°即可． 解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中 ， ∴△ACD≌△BCE， ∴AD=BE． （2）解：∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC=∠BEC， ∵等边三角形DCE， ∴∠CED=∠CDE=60°， ∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED， =∠ADC+60°+∠BED， =∠CED+60°， =60°+60°， =120°， ∴∠DOE=180°-（∠ADE+∠BED）=60°， 答：∠DOE的度数是60°． （3）证明：∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC 又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点， ∴AM=AD，BN=BE， ∴AM=BN， 在△ACM和△BCN中 ， ∴△ACM≌△BCN， ∴CM=CN， ∠ACM=∠BCN， 又∠ACB=60°， ∴∠ACM+∠MCB=60°， ∴∠BCN+∠MCB=60°， ∴∠MCN=60°， ∴△MNC是等边三角形． 3．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【解析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证； （2）根据全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状； （3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC=DC， ∵∠OCD=60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC=60°， ∵△BOC≌△ADC，α=150°， ∴∠ADC=∠BOC=α=150°， ∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD=∠ODC=60°． ∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α， ∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α， ∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°， ∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°． ①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°， ∴α=125°． ②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°， ∴α=140°． ③当∠ADO=∠OAD时， α-60°=50°， ∴α=110°． 综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 4．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点， （1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论． 【解析】（1）由SAS易证△ADF≌△BED≌△CFE，所以DF=DE=EF，即△DEF是等边三角形； （2）先证明∠1+∠2=120°，∠2+∠3=120°．可得∠1=∠3．同理∠3=∠4．则△ADF≌△BED≌△CFE，故能证明AD=BE=CF． 解：（1）△DEF是等边三角形． 证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA， 又∵AD=BE=CF， ∴DB=EC=FA，（2分） ∴△ADF≌△BED≌△CFE，（3分） ∴DF=DE=EF，即△DEF是等边三角形；（4分） （2）AD=BE=CF成立． 证明如下： 如图，∵△DEF是等边三角形， ∴DE=EF=FD，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°， ∴∠1+∠2=120°， 又∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴∠2+∠3=120°， ∴∠1=∠3，（6分） 同理∠3=∠4， ∴△ADF≌△BED≌△CFE，（7分） ∴AD=BE=CF．（8分） 学科网（北京）股份有限公司 $$