2.2全称量词与存在量词知识梳理+例题讲解讲义-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

授课主题 全称量词与存在量词 年 级 高一 知 识 梳 理 知识点一、全称量词与全称量词命题 1、全称量词 （1）全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词. （2）常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“”表示，读作“对任意”. 2、全称量词命题 （1）全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. （2）一般形式：“对中任意一个，有成立”， （3）记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）. 注：有些全称量词命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称量词命题. 知识点二、存在量词与存在量词命题 1、存在量词 （1）定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词. （2）常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“ ”表示，读作“存在 ”. 2、存在量词命题 （1）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. （2）一般形式：“存在中一个元素，有成立”， （3）记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）. 注：（1）一个存在量词命题中也可以包含多个变量， （2）有些存在量词命题也可能省略了存在量词. （3）同一个全称量词命题或存在量词命题，可以有不同的表述 知识点三、 含有量词的命题的否定 1、对含有一个量词的全称量词命题的否定 （1）全称量词命题：，；（2）的否定：，； （3）全称量词命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意”的否定为“，”. 2、对含有一个量词的存在量词命题的否定  （1）存在量词命题：，；（2）的否定：，； （3）从一般形式来看，存在量词命题“，”，它的否定并不是简单地对结论部分进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“，”的否定为“，”. 注：(1)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题； (2)命题的否定与命题的否命题是不同的.  （3）正面词：等于、 大于、小于、是、都是、至少一个、至多一个、小于等于 否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、一个也没有、至少两个、大于等于. 知识点四、全称量词命题和存在量词命题的真假判断 ①要判定全称量词命题“，”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明成立；要判定全称量词命题“，”是假命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得不成立，即举一反例即可. ②要判定存在量词命题“，”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得成立即可；要判定存在量词命题“，”是假命题，必须证明在集合M中，使 成立得元素不存在. 知识点五、求解含有量词的命题中参数范围 1.对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． 2.对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 例题讲解 知识点一、全称量词与存在量词 例1、下列语句不是存在量词命题的是(    ) A．至少有一个x，使成立 B．有的无理数的平方不是有理数 C．存在，是偶数 D．梯形有两边平行 例2、下列命题中，不是全称量词命题的是( ) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．存在奇数不是素数 例3、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. （1）xR，x2+1≥1； （2）所有素数都是奇数； （3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数. 例4、指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号表示. （1）对任意正实数； （2）对某个大于10的正整数n，. 练习： 1．下列命题中，含有存在量词的是(    ) A．存在一个平行四边形是矩形 B．所有正方形都是平行四边形 C．一切三角形的内角和都等于 D．任意两个等边三角形都相似 2．已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列命题中是存在量词命题的是(    ) A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 4．下列命题中全称量词命题的个数为(　　) ①平行四边形的对角线互相平分　②梯形有两边平行　 ③存在一个菱形，它的四条边不相等 A．0　　　　 B．1　　　　C．2　　　　 D．3 5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题： （1）任何一个实数除以1仍等于这个数；（2）等边三角形的三边相等；（3）存在实数，使。 6．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. （1）xR，x2+1≥1； （2）所有素数都是奇数； （3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数. 知识点二、全称量词命题与存在量词命题的真假 例1、下列命题中是真命题的为(    ) A．，使 B．，使 C．， D．， 例2、已知命题；命题，则下列说法正确的是(    ) A．为存在量词命题且为假命题，为全称量词命题且为假命题 B．为全称量词命题且为假命题，为存在量词命题且为假命题 C．为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题 D．为全称量词命题且为真命题，为存在量词命题且为真命题 例3、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假. （1）对数函数都是单调函数； （2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除； （3），是无理数； （4），. 例4、判断下列命题的真假： （1）； （2）. 练习： 1．关于命题“，”，下列判断正确的是(    ) A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题 C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题 2．下列四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是(    ) A．锐角三角形的内角都是锐角 B．至少有一个实数x，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使 3．命题：，，命题：，，则(    ) A．真真 B．假假 C．假真 D．真假 4．下列全称命题中真命题的个数为（ ） ①末位是0的整数，可以被2整除； ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ③正四面体中相邻两侧面的夹角相等. A．1 B．2 C．3 D．0 5．判断下列命题的真假. （1）p：xR，； （2）p：xN，. 6．试判断下列命题的真假 （1）； （2）； （3）； （4）；（5）； 7．在下列存在量词命题中假命题的个数是（ ） ①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形. A．0 B．1 C．2 D．3 知识点三、命题的否定 例1、命题“”的否定是(   ) A． B． C． D． 例2、命题，则是(    ) A． B． C． D． 例3、 写出下列命题的否定并判断真假 （1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p：每一个非负数的平方都是正数； （3）p：存在一个三角形，它的内角和大于；（4）p：有的四边形没有外接圆； （5）p：某些梯形的对角线互相平分. 例4、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假. （1）三角形的内角和为180°；（2）每个二次函数的图象都开口向下；（3）存在一个四边形不是平行四边形； （4）； （5）. 练习： 1．若命题：，，则命题的否定为(    ) A．， B．， C．， D．， 2．命题“”的否定是(    ) A． B． C． D． 3．已知命题的否定为“，”，则下列说法中正确的是(    ) A．命题为“，”且为真命题 B．命题为“，”且为假命题 C．命题为“，”且为假命题 D．命题为“，”且为真命题 4．命题“ 且的否定形式是（ ） A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 5. 命题“，使得”的否定形式是（ ） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 6．写出下列命题的否定，并判断真假. （1）； （2）所有的正方形都是矩形； （3）； （4）至少有一个实数x0，使得. 7． “a和b都不是偶数”的否定形式是（ ） （A） a和b至少有一个是偶数 （B） a和b至多有一个是偶数 （C） a是偶数，b不是偶数 （D）a和b都是偶数 知识点四、根据命题真假求参数 例1、已知命题p：为真命题，则实数a的值不能是(    ) A．1 B．2 C．3 D． 例2、已知命题：，，若是真命题，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 例3、已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 例4、已知p：x≠2或y≠3；q：x+y≠5，判断 p是q的什么条件. 练习： 1．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是(    ) A． B． C． D． 2．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是(    ) A．或 B． C．或 D． 3．命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 _____． 4．命题“”为假命题的一个必要不充分条件是(    ) A． B． C． D． 举一反三 1．关于命题p:“”，下列判断正确的是(    ) A． B．该命题是存在量词命题，且为真命题 C． D．该命题是全称量词命题，且为假命题 2．设命题，，则为(    ) A．， B．， C．， D．，或 3．已知命题，总有，则为(    ) A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 4．下列结论中正确的个数是(    ) ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“，”是全称量词命题； ③命题“，”是真命题； ④命题“有一个偶数是素数”是真命题. A．0 B．1 C．2 D．3 5．命题为假命题的一个充分不必要条件是(    ) A． B． C． D． 6．已知命题p：∃x0＞0，，若p为假命题，则a的取值范围是(　　) A．(﹣∞，1) B．(﹣∞，1] C．(1，+∞) D．[1，+∞) 7．若“”为真命题，则实数a的最小值为(    ) A． B． C．6 D．7 8．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 9．命题，使得成立.若是假命题，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 10．已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 11．已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为(    ) A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3 C．1<a<3 D．0≤a≤2 12．命题，一元二次方程有实根，则对命题的真假判断和正确的为(    ) A．真命题，，一元二次方程无实根 B．假命题，，一元二次方程无实根 C．真命题，，一元二次方程有实根 D．假命题，，一元二次方程有实根 13．下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是(    ) A．菱形的四条边都相等 B．，使为偶数 C． D．是无理数 14．下列命题的否定是真命题的是(    ) A． B．菱形都是平行四边形 C．，一元二次方程没有实数根 D．平面四边形，其内角和等于360° 15． (多选)命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是(    ) A． B． C． D． 16．(多选)命题，．命题q：任意两个等边三角形都相似．关于这两个命题，下列判断正确的是( ) A．p是真命题 B．， C．q是真命题 D．：存在两个等边三角形，它们不相似 17． (多选)已知命题，，若p为真命题，则实数a的值可以是(    ) A． B．0 C． D． 18． (多选)下列命题的否定为假命题的是(    ) A．对任意的， B．所有的正方形都是矩形 C．存在 D．至少有一个实数x，使 19． (多选)下列四个命题的否定为真命题的是(　　) A．p:所有四边形的内角和都是 B．q:, C．是无理数，是无理数 D．s:对所有实数a，都有 20． (多选)下列说法中正确的有(      ) A．命题“，”是存在量词命题 B．命题“”是全称量词命题 C．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题 D．命题“不论取何实数，方程必有实数根”是真命题 21． (多选)下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有(    ) A．中国所有的江河都流入太平洋 B．有的四边形既是矩形，又是菱形 C．存在，有 D．有的数比它的倒数小 22．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______. 23．若命题：“，”是假命题，则实数的取值集合为______. 24．若命题“”为假命题，则实数的取值范围为______． 25．命题“，”为假命题，则实数的取值范围为___________. 26．命题p：，.在①，；②存在集合，集合，使得，这2个条件中任选一个作为命题，并求解下列问题. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题都是真命题，求实数的取值范围. 27．已知全集，集合，集合． (1)若，求实数的范围； (2)若，，使得，求实数的范围． 28．已知集合，，且. (1)若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求m的取值范围． 29．已知命题，为假命题． (1)求实数a的取值集合A； (2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值集合． 30．已知命题p：“，使不等式成立”是假命题． (1)求实数m的取值集合A； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 课 后 作 业 1．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是(　　) A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0 B．菱形的两条对角线相等 C．∃x， D．对数函数在定义域上是单调函数 2．若命题p：任意x∈R,2x2－1＞0，则该命题的否定是(　　) A．任意x∈R,2x2－1＜0 B．任意x∈R,2x2－1≤0 C．存在x∈R,2x2－1≤0 D．存在x∈R,2x2－1＞0 3．设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（ ） A．，有x∈P B．，有 C．，使得x0∈P D．，使得 4．命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是(    ) A． B． C． D． 5．(多选)下列命题中正确的是(    ) A．已知集合满足命题“”为真命题，则 B．已知集合满足命题“”为真命题，则 C．已知集合满足命题“”为真命题，则 D．已知集合满足命题“”为假命题，则 6． (多选)命题“”是真命题的一个充分不必要条件是(    ) A． B． C． D． 7．判断命题的真假，并写出命题的否定． (1)存在一个三角形，它的内角和大于180°. (2)所有圆都有内接四边形． 8．写出下列命题的否定： (1)若2x>4，则x>2； (2)若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根； (3)可以被5整除的整数，末位是0； (4)被8整除的数能被4整除； (5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等． 9．已知命题，，命题，. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 10．已知命题“满足，使”， (1)命题“”，若命题中至少一个为真，求实数的范围. (2)命题，若是的充分不必要条件，求实数的范围. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 全称量词与存在量词 年 级 高一 知 识 梳 理 知识点一、全称量词与全称命题 1、全称量词 （1）全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词. （2）常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“”表示，读作“对任意”. 2、全称量词命题 （1）全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. （2）一般形式：“对中任意一个，有成立”， （3）记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）. 注：有些全称量词命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称量词命题. 知识点二、存在量词与存在量词命题 1、存在量词 （1）定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词. （2）常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“ ”表示，读作“存在 ”. 2、存在量词命题 （1）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. （2）一般形式：“存在中一个元素，有成立”， （3）记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）. 注：（1）一个存在量词命题中也可以包含多个变量， （2）有些存在量词命题也可能省略了存在量词. （3）同一个全称量词命题或存在量词命题，可以有不同的表述 知识点三、 含有量词的命题的否定 1、对含有一个量词的全称量词命题的否定 （1）全称量词命题：，；（2）的否定：，； （3）全称量词命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意”的否定为“，”. 2、对含有一个量词的存在量词命题的否定  （1）存在量词命题：，；（2）的否定：，； （3）从一般形式来看，存在量词命题“，”，它的否定并不是简单地对结论部分进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“，”的否定为“，”. 注：(1)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题； (2)命题的否定与命题的否命题是不同的.  （3）正面词：等于、 大于、小于、是、都是、至少一个、至多一个、小于等于 否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、一个也没有、至少两个、大于等于. 知识点四、全称量词命题和存在量词命题的真假判断 ①要判定全称量词命题“，”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明成立；要判定全称量词命题“，”是假命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得不成立，即举一反例即可. ②要判定存在量词命题“，”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得成立即可；要判定存在量词命题“，”是假命题，必须证明在集合M中，使 成立得元素不存在. 知识点五、求解含有量词的命题中参数范围 1.对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． 2.对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 例题讲解 知识点一、全称量词与存在量词 例1、下列语句不是存在量词命题的是(    ) A．至少有一个x，使成立 B．有的无理数的平方不是有理数 C．存在，是偶数 D．梯形有两边平行 【解析】对于A，至少有一个x，使成立，有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题； 对于B，有的无理数的平方不是有理数，有存在量词“有的”，是存在量词命题； 对于C，存在，是偶数，有存在量词“存在”，是存在量词命题； 对于D，梯形有两边平行，为梯形几何性质，省略了全称量词“所有”，是全称量词命题．故选：D. 例2、下列命题中，不是全称量词命题的是( ) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．存在奇数不是素数 【解析】对A选项，任何是全称量词，故A错误；对B选项，省略了量词所有，是全称量词，故B错误； 对C选项，省略了量词所有，是全称量词，故C错误；对D选项，存在是存在量词，故D正确；故选：D. 例3、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. （1）xR，x2+1≥1； （2）所有素数都是奇数； （3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数. 【解析】（1）有全称量词“任意”，是全称量词命题；（2）有全称量词“所有”，是全称量词命题； （3）有存在量词“存在”，是存在量词命题；（4）有存在量词“有些”；是存在量词命题。 例4、指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号表示. （1）对任意正实数； （2）对某个大于10的正整数n，. 【解析】（1）命题（1）中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合.命题（1）可以写成“”. （2）命题（2）中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合.命题（2）可写成“. 练习： 1．下列命题中，含有存在量词的是(    ) A．存在一个平行四边形是矩形 B．所有正方形都是平行四边形 C．一切三角形的内角和都等于 D．任意两个等边三角形都相似 【解析】A选项，存在一个平行四边形是矩形含有存在量词；BCD选项，含有全称量词，不含存在量词. 故选：A. 2．已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】①任何实数的平方都是非负数，含全称量词“任何”，不符； ②有些三角形的三个内角都是锐角，含存在量词“有些”，符合； ③每一个实数都有相反数，含全称量词“每一个”，不符； ④所有数与0相乘，都等于0，含全称量词“所有”，不符；故选：A 3．下列命题中是存在量词命题的是(    ) A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 【解析】根据全称量词和存在量词的定义可知， A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题； B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题； C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题； D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.故选：D 4．下列命题中全称量词命题的个数为(　　) ①平行四边形的对角线互相平分　②梯形有两边平行　 ③存在一个菱形，它的四条边不相等 A．0　　　　 B．1　　　　C．2　　　　 D．3 【解析】①②是全称量词命题，③是存在量词命题． 5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题： （1）任何一个实数除以1仍等于这个数；（2）等边三角形的三边相等；（3）存在实数，使。 【答案】（1）全称量词命题，（2）全称量词命题，（3）存在量词命题 6．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. （1）xR，x2+1≥1； （2）所有素数都是奇数； （3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数. 【答案】（1）有全称量词“任意”，是全称量词命题； （2）有全称量词“所有”，是全称量词命题； （3）有存在量词“存在”，是存在量词命题 （4）有存在量词“有些”；是存在量词命题。 知识点二、全称量词命题与存在量词命题的真假 例1、下列命题中是真命题的为(    ) A．，使 B．，使 C．， D．， 【解析】对于A，由，可得，所以不存在，使成立，故错误； 对于B，由，可得，所以不存在，使，故错误； 对于C，当时，，故错误；对于D，因为当时，，故正确.故选D. 例2、已知命题；命题，则下列说法正确的是(    ) A．为存在量词命题且为假命题，为全称量词命题且为假命题 B．为全称量词命题且为假命题，为存在量词命题且为假命题 C．为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题 D．为全称量词命题且为真命题，为存在量词命题且为真命题 【解析】对于命题，是存在量词命题，取，则，故为真命题； 对于命题，是全称量词命题，当时，，故为假命题； 所以为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题.故选：C． 例3、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假. （1）对数函数都是单调函数； （2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除； （3），是无理数； （4），. 【解析】（1）全称量词命题，真命题. （2）存在量词命题，真命题. （3）全称量词命题，假命题，例如，但是有理数. （4）存在量词命题，真命题. 例4、判断下列命题的真假： （1）； （2）. 【解析】（1）由于，当时，不成立，故(1)为假命题； （2）由于，当时能使，所以（2）为真命题. 练习： 1．关于命题“，”，下列判断正确的是(    ) A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题 C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题 【解析】该命题是存在量词命题，当时，，所以该命题为真命题.故选:B. 2．下列四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是(    ) A．锐角三角形的内角都是锐角 B．至少有一个实数x，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使 【解析】“都是”，“必是”是全称量词，故AC错误，“至少”，“存在”是存在量词，故B，D是存在量词命题， 存在，使得，不存在负数使得，故D是假命题，B是真命题．故选：B 3．命题：，，命题：，，则(    ) A．真真 B．假假 C．假真 D．真假 【解析】对于命题：令，则开口向上，对称轴为，且， 则，所以，，即命题为真命题； 对于命题：因为，故方程无解，即命题为假命题；故选D. 4．下列全称量词命题中真命题的个数为（ ） ①末位是0的整数，可以被2整除； ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ③正四面体中相邻两侧面的夹角相等. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 5．判断下列命题的真假. （1）p：xR，； （2）p：xN，. 【答案】（1）命题为真； （2）命题为假； 6．试判断下列命题的真假 （1）； （2）； （3）； （4）；（5）； 【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）假命题 7．在下列特称命题中假命题的个数是（ ） ①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 知识点三、命题的否定 例1、命题“”的否定是(   ) A． B． C． D． 【解析】命题“”的否定是“”.故选：C 例2、命题，则是(    ) A． B． C． D． 【解析】若命题，则是.故选：D 例3、 写出下列命题的否定并判断真假 （1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p：每一个非负数的平方都是正数； （3）p：存在一个三角形，它的内角和大于；（4）p：有的四边形没有外接圆； （5）p：某些梯形的对角线互相平分. 【解析】（1）存在未位数字是0或5的整数但它不能被5整除，假命题； （2）存在一个非负数的平方它不是正数，真命题； （3）任何一个三角形它的内角和都不大于180°，真命题； （4）所有的四边形都有外接圆，假命题； （5）任一梯形的对角线都不互相平分，真命题 例4、判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假. （1）三角形的内角和为180°；（2）每个二次函数的图象都开口向下；（3）存在一个四边形不是平行四边形； （4）； （5）. 【解析】（1）是全称量词命题且为真命题.命题的否定：三角形的内角和不全为180°， 即存在一个三角形，它的内角和不等于180°，为假命题. （2）是全称量词命题且为假命题.命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题. （3）是存在量词命题且为真命题.命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题. （4）是全称量词命题且为真命题.由于都有，故，为真命题； ：，为假命题 （5）是存在量词命题且为假命题.因为不存在一个实数，使成立，为假命题； ：，为真命题. 练习： 1．若命题：，，则命题的否定为(    ) A．， B．， C．， D．， 【解析】根据全称量词的否定规则，先改写量词，再否定结论，可得原命题的否定为“，”.故选:D 2．命题“”的否定是(    ) A． B． C． D． 【解析】由全称量词命题的否定知原命题的否定为．故选：C． 3．已知命题的否定为“，”，则下列说法中正确的是(    ) A．命题为“，”且为真命题 B．命题为“，”且为假命题 C．命题为“，”且为假命题 D．命题为“，”且为真命题 【解析】命题的否定为存在量词命题，：，， 当时，，为假命题，ABD错误，C正确.故选：C. 4．命题“ 且的否定形式是（ ） A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 【解析】根据全称命题的否定是存在量词命题，可知选D. 5. 命题“，使得”的否定形式是（ ） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D． 6．写出下列命题的否定，并判断真假. （1）； （2）所有的正方形都是矩形； （3）； （4）至少有一个实数x0，使得. 【答案】（1）：（假命题）；（2）：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）； （3）：（真命题）； （4）：（真命题）. 7． “a和b都不是偶数”的否定形式是（ ） （A） a和b至少有一个是偶数 （B） a和b至多有一个是偶数 （C） a是偶数，b不是偶数 （D）a和b都是偶数 .【答案】A 知识点四、根据命题真假求参数 例1、已知命题p：为真命题，则实数a的值不能是(    ) A．1 B．2 C．3 D． 【解析】因为命题p：为真命题，所以解得， 结合选项可得实数a的值不能是，故选:D. 例2、已知命题：，，若是真命题，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】若命题为真命题，则，，即. 又是真命题，即命题为假命题，即.故选：D. 例3、已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【解析】命题，是假命题，，恒成立是真命题；当时，恒成立，当时，需，，解得， 当时，，不可能满足恒成立，综上可得a的取值范围为.故选. 例4、已知p：x≠2或y≠3；q：x+y≠5，判断 p是q的什么条件. 【答案】；；；q ∴p是q的必要不充分条件. 练习： 1．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是(    ) A． B． C． D． 【解析】命题“”为真命题，则≤1,只有是的真子集,故选项B符合题意 2．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是(    ) A．或 B． C．或 D． 【解析】因为“，”为假命题，所以“，”为真命题， 所以方程无实数根，，解得.故选：B 3．命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 _____． 【解析】命题“，使”是假命题， 则命题，恒成立为真命题，所以当时，，不恒成立， 当时，需满足可得，解得，故的范围为．故答案为：． 4．命题“”为假命题的一个必要不充分条件是(    ) A． B． C． D． 【解析】命题“，”为假命题， 即命题“，”为真命题， 则，解得， 对于A：是命题“”为假命题的充要条件，即选项A错误； 对于B：是的真子集，所以是“”为假命题的一个充分不必要条件，故选项B错误； 对于C：是的真子集，所以是 “”为假命题的一个必要不充分条件，故选项C正确； 对于D：与无包含关系，所以是“”为假命题的一个既不充分也不必要条件，故选项D错误. 故选：C. 举一反三 1．关于命题p:“”，下列判断正确的是(    ) A． B．该命题是存在量词命题，且为真命题 C． D．该命题是全称量词命题，且为假命题 【解析】，解得， 所以命题“”为存在命题，且为假命题，故B，D错误； 命题“”的否命题为：.故C正确.故选：C 2．设命题，，则为(    ) A．， B．， C．， D．，或 【解析】根据命题的否定得任意变存在，结论相反，故为，或，故选：D. 3．已知命题，总有，则为(    ) A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 【解析】根据全称量词命题的否定为特称命题可知，则为，使得.故选：B． 4．下列结论中正确的个数是(    ) ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“，”是全称量词命题； ③命题“，”是真命题； ④命题“有一个偶数是素数”是真命题. A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，不是存在量词命题，所以该命题是假命题； ②命题“，”是全称量词命题，所以该命题是真命题； ③命题，，如，所以该命题是真命题； ④命题“有一个偶数是素数”是真命题，如2，所以该命题是真命题.故选：D 5．命题为假命题的一个充分不必要条件是(    ) A． B． C． D． 【解析】命题为假命题，即命题为真命题，首先，时，恒成立，符合题意；其次时，且，即，综上可知，. 故选项A中，是的充分必要条件； 选项B中推不出，且推不出，即是的既不充分也不必要条件； 选项C中可推出，且推不出，即是的一个充分不必要条件； 选项D中推不出，且可推出，即是的一个必要不充分条件.故选：C. 6．已知命题p：∃x0＞0，，若p为假命题，则a的取值范围是(　　) A．(﹣∞，1) B．(﹣∞，1] C．(1，+∞) D．[1，+∞) 【解析】∵p为假命题，∴为真命题，即：∀x＞0，，即， ∴，解得．∴a的取值范围是[1，+∞)．故A，B，C错误.故选：D． 7．若“”为真命题，则实数a的最小值为(    ) A． B． C．6 D．7 【解析】当时，，所以. 因为命题“”为真命题，所以，实数a的最小值为.故选：B 8．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】】命题“，使”是假命题，命题“，使”是真命题，则判别式，解得.故选：C. 9．命题，使得成立.若是假命题，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为是假命题，所以为真命题，即，使得成立. 当时，显然符合题意；当时，则有，且，解得.故选：A. 10．已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【解析】因为命题“，”为真命题， 所以命题“，”为真命题，所以时，， 因为，所以当时，，所以.故选：A 11．已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为(    ) A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3 C．1<a<3 D．0≤a≤2 【解析】由题意:命题是假命题,其否定: 为真命题, 即，解得，故选：B 12．命题，一元二次方程有实根，则对命题的真假判断和正确的为(    ) A．真命题，，一元二次方程无实根 B．假命题，，一元二次方程无实根 C．真命题，，一元二次方程有实根 D．假命题，，一元二次方程有实根 【解析】在一元二次方程中恒成立，故对任意，方程都有实根， 故命题为真命题，，一元二次方程无实根.故选：A 13．下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是(    ) A．菱形的四条边都相等 B．，使为偶数 C． D．是无理数 【解析】对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题. 对于B，，使为偶数，是存在量词命题. 对于C，，是全称量词命题，当时，，故是假命题. 对于D，是无理数，是真命题，但不是全称量词命题，故选：A. 14．下列命题的否定是真命题的是(    ) A． B．菱形都是平行四边形 C．，一元二次方程没有实数根 D．平面四边形，其内角和等于360° 【解析】对于A，，，其否定为：，， 由时，，则原命题为真命题，其否定为假命题，故A不正确； 对于B，每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形， 原命题为真命题，其否定为假命题，故B不正确； 对于C，，一元二次方程没有实根， 其否定为：，一元二次方程有实根， 由，可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故C正确； 对于D，平面四边形，其内角和等于360°为真命题，命题的否定为假命题，故D不正确；故选：C. 15． (多选)命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是(    ) A． B． C． D． 【解析】由题得.因为是的充要条件，是的必要非充分条件，是的必要非充分条件，是的非充分非必要条件.故选：BC 16．(多选)命题，．命题q：任意两个等边三角形都相似．关于这两个命题，下列判断正确的是( ) A．p是真命题 B．， C．q是真命题 D．：存在两个等边三角形，它们不相似 【解析】对于方程，, 所以，无解，故p是假命题，故A错误； ，，故B正确； 任意两个等边三角形都相似，故q是真命题，故C正确； ：存在两个等边三角形，它们不相似，故D正确.故选:BCD. 17． (多选)已知命题，，若p为真命题，则实数a的值可以是(    ) A． B．0 C． D． 【解析】因为，为真命题，所以方程有实根.当时，符合题意； 当时，由方程有实根，可得，所以. 综上，实数的值可以是，和.故选:ABC. 18． (多选)下列命题的否定为假命题的是(    ) A．对任意的， B．所有的正方形都是矩形 C．存在 D．至少有一个实数x，使 【解析】A中命题的否定：存在，由于，故该命题是假命题． B中命题的否定：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题． C中命题的否定：对任意的，由于，该命题是真命题． D中命题的否定：对任意的，因为时，，故该命题是假命题．故选：ABD 19． (多选)下列四个命题的否定为真命题的是(　　) A．p:所有四边形的内角和都是 B．q:, C．是无理数，是无理数 D．s:对所有实数a，都有 【解析】A选项，所有四边形的内角和都是，故为真命题，则为否命题，A错误； B选项，，，由于，故为真命题，B正确； C选项，当时，也是无理数，故为真命题，则为假命题，C错误； D选项，当时，，故为假命题，故为真命题，D正确.故选：BD 20． (多选)下列说法中正确的有(      ) A．命题“，”是存在量词命题 B．命题“”是全称量词命题 C．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题 D．命题“不论取何实数，方程必有实数根”是真命题 【解析】对A，命题中含“”，故命题是存在量词命题，A正确； 对B，命题中含“”，故命题是全称量词命题，B正确； 对C，命题中含“所有的”，故命题是全称量词命题，C错误； 对D，当时，无实数根，D错误；故选：AB 21． (多选)下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有(    ) A．中国所有的江河都流入太平洋 B．有的四边形既是矩形，又是菱形 C．存在，有 D．有的数比它的倒数小 【解析】对选项A：中国所有的江河都流入太平洋是全称量词命题，排除； 对选项B：有的四边形既是矩形，又是菱形是存在量词命题且为真命题，比如正方形，正确； 对选项C：存在，有是存在量词命题且为假命题，又恒成立，排除； 对选项D：有的数比它的倒数小是存在量词命题且为真命题，比如，正确；故选：BD 22．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______. 【解析】命题“，”为假命题，则其否定“，”为真命题. 当时，集合，符合.当时，因为，所以由，，得对于任意恒成立，又，所以.综上，实数a的取值范围为.故答案为：. 23．若命题：“，”是假命题，则实数的取值集合为______. 【解析】由题知，命题：“，”是假命题所以，是真命题， 当时，恒成立，满足题意，当时，由题意知， 解得，综上可得，故答案为： 24．若命题“”为假命题，则实数的取值范围为______． 【解析】题“”为假命题，等价于“方程无实根”， 则，解得，即实数的取值范围为．故答案为：． 25．命题“，”为假命题，则实数的取值范围为___________. 【解析】由题意可知，命题“，”为真命题.当时，由可得，不合乎题意； 当时，由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：. 26．命题p：，.在①，；②存在集合，集合，使得，这2个条件中任选一个作为命题，并求解下列问题. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题都是真命题，求实数的取值范围. 【解析】】(1)根据题意，，恒成立，即恒成立，只需，故. (2)选择①：，，若，显然满足题意；若，，解得， 故命题为真时，，根据(1)中所求，若命题和命题都是真命题，则； 选择②：存在集合，集合，使得， 当，即时，，显然满足题意；当，即时，只需或，解得. 故命题为真时，.根据(1)中所求，若命题和命题都是真命题，则. 27．已知全集，集合，集合． (1)若，求实数的范围； (2)若，，使得，求实数的范围． 【解析】(1)若，则，当时，则，， 当时，则，则不存在，综上，，，实数的范围为． (2)，，使得，，且，则，， 实数的范围为． 28．已知集合，，且. (1)若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求m的取值范围． 【解析】1)命题p：“，”是真命题，故，所以，解得， 故m的取值范围是. (2)由于命题q为真命题，则，因为，所以，所以, 当时，一定有，要想满足，则要满足，解得， 故时，，故m的取值范围为. 29．已知命题，为假命题． (1)求实数a的取值集合A； (2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值集合． 【解析】(1)命题，为假命题，则命题，为真命题， 显然，否则方程有实根，因此，解得，， 实数a的取值集合. (2)由非空集合知，，解得，， 因“”是“”的必要不充分条件，则，因此，解得， 所以实数m的取值集合是. 30．已知命题p：“，使不等式成立”是假命题． (1)求实数m的取值集合A； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】(1)命题p：“，使不等式成立”是假命题， 则“，使不等式恒成立”是真命题，故，解得， 故，即. (2)由于命题：，整理得：，由小问1得：， 由于是的充分不必要条件，所以，解得，故实数的取值范围为. 课 后 作 业 1．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是(　　) A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0 B．菱形的两条对角线相等 C．∃x， D．对数函数在定义域上是单调函数 【解析】　A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0；故是假命题．B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是存在量词命题，故选D. 2．若命题p：任意x∈R,2x2－1＞0，则该命题的否定是(　　) A．任意x∈R,2x2－1＜0 B．任意x∈R,2x2－1≤0 C．存在x∈R,2x2－1≤0 D．存在x∈R,2x2－1＞0 【解析】　全称量词命题的否定为存在量词命题．命题p的否定为存在一个实数x,2x2－1≤0，故选C. 3．设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（ ） A．，有x∈P B．，有 C．，使得x0∈P D．，使得 【解析】∵P∩Q=P，∴ ； 故选B． 4．命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是(    ) A． B． C． D． 【解析】命题为假命题，即命题为真命题，首先，时，恒成立，符合题意；其次时，且，即，综上可知，. 故选项A中，是的充分必要条件； 选项B中推不出，且推不出，即是的既不充分也不必要条件； 选项C中可推出，且推不出，即是的一个充分不必要条件； 选项D中推不出，且可推出，即是的一个必要不充分条件.故选：C. 5．(多选)下列命题中正确的是(    ) A．已知集合满足命题“”为真命题，则 B．已知集合满足命题“”为真命题，则 C．已知集合满足命题“”为真命题，则 D．已知集合满足命题“”为假命题，则 【解析】A， “”为真命题，,则，A正确. B，“”为真命题，或，所以不一定有包含关系，B错误. C，“”为真命题，，如符合，所以C错误. D，“”为假命题，“”为真命题，，，则，D正确. 故选：AD 6． (多选)命题“”是真命题的一个充分不必要条件是(    ) A． B． C． D． 【解析】命题“”是真命题, 则，当时，取得最大值0，即，即， 结合四个选项，有是集合的真子集， 故命题“”是真命题的一个充分不必要条件可以是或，故选：. 7．判断命题的真假，并写出命题的否定． (1)存在一个三角形，它的内角和大于180°. (2)所有圆都有内接四边形． 【答案】　(1)假命题；所有的三角形，它的内角和都不大于180°. (2)真命题；存在一个圆，没有内接四边形 8．写出下列命题的否定： (1)若2x>4，则x>2； (2)若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根； (3)可以被5整除的整数，末位是0； (4)被8整除的数能被4整除； (5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等． 【解析】(1)的否定：存在实数x0，虽然满足2x0>4，但x0≤2. (2)的否定：存在一个实数m≥0使x2＋x－m＝0无实根． (3)的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0. (4)的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除． (5)存在一个四边形，虽然它是正方形，则它的四条边中至少有两条不相等． 9．已知命题，，命题，. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【解析】(1)若命题p为真命题，则对恒成立， 即，因此，解得.因此，实数m的取值范围是. (2)若命题q为真命题，则方程有两不等实根， 所以，则，解得或. 因此，实数m的取值范围是或. (3)若命题p，q至少有一个为真命题，即p或q为真命题， 则结合(1)(2)得或， 因此，实数m的取值范围是 10．已知命题“满足，使”， (1)命题“”，若命题中至少一个为真，求实数的范围. (2)命题，若是的充分不必要条件，求实数的范围. 【解析】(1)命题“满足，使”，为真命题时， ，令，则，所以， 所以命题为假时，则或， 命题“”，为真命题时，，解得或， 所以命题为假时，则，又因为命题都为假命题时，，即， 所以命题中至少一个为真时，实数的范围是或； (2)由(1)可知：命题为真命题时，，记因为是的充分不必要条件， 所以，当即，也即时，满足条件；当时，，解得； 综上可知：实数的范围是 21 学科网（北京）股份有限公司 $$