2.1 必要条件与充分条件 讲义-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

授课主题 必要条件与充分条件 年 级 高一 知 识 梳 理 知识点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念 （1）符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：. （2）充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件. ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件. 注：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到. ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达. 知识点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断 （1）从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. （2）从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的 真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 注：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件. 知识点三、充要条件的证明 一般地，证明“p成立的充要条件为q”； (1)要分清哪个是条件，哪个是结论 (1)充分性：由“条件⇒结论”是证明充分性，把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p； (2)必要性：由“结论⇒条件”是证明必要性，把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q. 例题讲解 知识点一、充分条件与必要条件 例1、已知，则“”的一个必要条件是(    ) A． B． C． D． 例2、(多选题)使成立的充分条件是(　　) A． B． C． D． 练习： 1． (多选)下列条件中，使“”成立的充分条件的是(    ) A． B． C． D． 2． (多选)下列命题是真命题的是(　　) A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件 B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件 3． (多选)下列选项中，满足p是q的充分条件的是(    ) A． B． C． D． 4．下列命题中所有真命题的序号是__________ ①“”是“”的充分条件； ②“”是“”的必要条件； ③“”是“”的必要条件． 知识点二、充要条件的判断 例1、“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2、“”是“”的(    ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 例3、王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”.其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”(人在阵地在，人不在阵地在不在不知道)，由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的什么条件？(    ) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 例4、指出下列各题中，是的什么条件？ (1) : ， : ； (2) : ，: 抛物线过原点 (3) : 一个四边形是矩形，: 四边形的邻边相等 例5、已知p：0<x<3，q：|x-1|<2，则p是q的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 练习： 1．指出下列各题中，是的什么条件？ （1）：，：和是对顶角. （2），； 2．判断下列各题中是的什么条件. （1）:且, : （2）:, : . 3．已知p：“”，q：“”，则p是q的(　　) A．充要条件 B．既不充分也不必要 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 4．设，则“”是“”的(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不允分也不必要条件 3．唐代著名诗人杜牧在《赤壁》一诗中写有“东风不与周郎便，铜雀春深锁二乔”，即杜牧认为，如果没有东风，那么东吴的二乔将会被曹操关进铜雀台，即赤壁之战东吴将输给曹操．那么在杜牧认为，“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的(    ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 知识点三、充要条件的选择 例、使或}成立的一个充分不必要条件是(　　) A．或 B．或 C．或 D． 例2、“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是(    ) A． B． C． D． 练习： 1． (多选)“”的必要不充分条件可以是(    ) A． B． C． D． 2．关于x的方程有实根的一个充分条件是(    ) A． B． C． D． 3．设，则条件“”的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 4． (多选)设全集为，在下列条件中，是的充要条件的有(    ) A． B． C． D． 知识点四、已知充要条件求参数 例1、已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是(  ) A．或 B．或 C． D． 例2、(多选)已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m值可以是(    ) A． B． C．- D．0 例3、已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 例4、已知若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围. 练习： 1．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2． (多选)若是的充分不必要条件，则实数的值可以是(    ) A． B． C． D． 3．已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围 ． 4．已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？ (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 5．已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 知识点五、充要条件的证明 例1、求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是. 例2、设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. 练习： 1．中，角，，所对的边分别为，，，求证：的充要条件是． 2．设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 3．已知 ，求证：是的充要条件. 4．已知a, b, c都是实数，证明ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件. 知识点六、综合运用 例1、已知或． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数a的取值范围． 练习： 1．设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 2．已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题(2)中，若问题(2)中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的________条件，判断实数是否存在？ 3．设集合，，命题p：，命题q：． (1)若p是q的充要条件，求正实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围． 举一反三 1． 的一个必要条件是(   ) A． B． C． D． 2．设a，，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3． b＝c＝0是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若为实数，则“”是“”的(    ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5． “”是“”的(    ) A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5． “”是“”的(    )条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 6．不等式“”成立，是不等式“”成立的(    ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的(      ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设：“”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．命题是命题的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 10． (多选)有以下四种说法，其中说法正确的是(    ) A．“是实数”是“是有理数”的必要不充分条件 B．“”是“”的充要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 11． (多选)下列说法正确的是(    ) A．是的必要不充分条件 B．(U是全集)是的充分不必要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 12． (多选)对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是(　　) A．是的充要条件 B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C．是的充要条件 D．是的必要条件 13．已知是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 14．已知各个命题 ，，，，若 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件， 是 的充分必要条件，试问 是 的____条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”)． 15．已知集合，． (1)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围． 16．已知：关于的方程有实数根，：． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．已知 . (1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由; (2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由. 18．设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 19．已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 20．已知，求证：成立的充要条件是. 21．已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 22．集合或，或. (1)设，，且是的充分而不必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 23．已知，. (I)是否存在m，使得p是q的充要条件？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由： (II)从下面三个条件中任选一个，求m的取值范围. ①p是q的必要条件  ②q是p的充分条件   ③是的充分条件 课 后 作 业 1．已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是(    ) A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 2．已知有A、B、C、D四个命题，其中A为B的必要条件，B为C的充分条件，C为D的必要条件，D为A的必要条件.若增加条件使得A、B、C、D中的任意一个命题均为A、B、C、D四个命题的必要条件，则这个条件可以为(    ). A．B为C的必要条件 B．B为A的必要条件 C．C为D的充分条件 D．B为D的必要条件 3．方程与有一个公共实数根的充要条件是(    )． A． B． C． D． 4． (多选)下列命题中叙述不正确的是(    ) A．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“”的一个充分不必要条件可以是“” D．若集合，则“”是“”的充分而不必要条件 5．(多选)在下列所示电路图中，下列说法正确的是(    ) A．如图所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件 B．如图所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件 C．如图所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件 D．如图所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件 6．(多选)下列说法正确的是(    ) A．若a，，则“”是“不全为0”的充要条件 B．“”是“”的既不充分也不必要条件 C．是的既不充分也不必要条件 D．“”是“”的充要条件 7．已知非空集合，集合，命题.命题. (1)当实数为何值时，是的充要条件； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 8．求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 9．求证：方程有且只有一个负数根的充要条件为或. 10．设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 必要条件与充分条件 年 级 高一 知 识 梳 理 知识点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念 （1）符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：. （2）充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件. ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件. 注：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到. ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达. 知识点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断 （1）从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. （2）从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的 真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 注：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件. 要点三、充要条件的证明 一般地，证明“p成立的充要条件为q”； (1)要分清哪个是条件，哪个是结论 (1)充分性：由“条件⇒结论”是证明充分性，把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p； (2)必要性：由“结论⇒条件”是证明必要性，把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q. 例题讲解 知识点一、充分条件与必要条件 例1、已知，则“”的一个必要条件是(    ) A． B． C． D． 【解析】由于可得，故“”是“”的必要条件， 由不能得到，，，比如，故选：D 例2、(多选题)使成立的充分条件是(　　) A． B． C． D． 【解析】和 不可推出．所以使成立的充分条件是或 ，故选：AB 练习： 1． (多选)下列条件中，使“”成立的充分条件的是(    ) A． B． C． D． 【解析】假设使“”成立的充分条件的是，则，即求能推得成立的条件， 对于A，令，则，故A错误； 对于B，令，则，故B错误； 对于C，因为，即，故，故C正确； 对于D，因为，即，故，故D正确；故选：CD. 2． (多选)下列命题是真命题的是(　　) A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件 B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件 【解析】∵x＞3⇒x＞2，“x＞2”是“x＞3”的必要条件，∴A是真命题； ∵x＝2⇒x2＝4，x2＝4不能推出x＝2，“x＝2”不是“x2＝4”的必要条件，∴B是假命题； ∵A∩B＝B⇒A∪B＝A，“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件，反之也成立，故也是充分条件，∴C是真命题； ∵ac＞bc，c<0时，a<b，q是不能推出p，∴p不是q的必要条件，D是假命题．故选：AC. 3． (多选)下列选项中，满足p是q的充分条件的是(    ) A． B． C． D． 【解析】对于A，由可推出，所以是的充分条件，A正确， 对于B，由可推出，所以是的充分条件，B正确， 对于C，由可推出，所以是的充分条件，C正确， 对于D，当，时，，但是，所以不是的充分条件，D错误，故选：ABC. 4．下列命题中所有真命题的序号是__________ ①“”是“”的充分条件； ②“”是“”的必要条件； ③“”是“”的必要条件． 【解析】对于①，若，，则不满足，故①是假命题； 对于②，若，则，从而，故②是真命题； 对于③，若，则，即，故③是真命题．故答案为：②③ 知识点二、充要条件的判断 例1、“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】解得或，则可推出或，可推出， 故“”是“”的必要不充分条件，故选：B. 例2、“”是“”的(    ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【解析】由可得，解得或，故是或的真子集，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A 例3、王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”.其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”(人在阵地在，人不在阵地在不在不知道)，由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的什么条件？(    ) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【解析】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在， 因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山， 所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分条件，结合选项，可得A正确；故选:A. 例4、指出下列各题中，是的什么条件？ (1) : ， : ； (2) : ，: 抛物线过原点 (3) : 一个四边形是矩形，: 四边形的邻边相等 【解析】 (1)∵: 或, : ∴且,∴是的必要不充分条件； (2)∵且,∴是的充要条件； (3)∵且，∴是的既不充分条件也不必要条件. 例5、已知p：0<x<3，q：|x-1|<2，则p是q的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【解析】q：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q：-1<x<3.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　X　　 O　　 3　 -1　 1　 2　 P　　 Q　　 如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)， 从图中看PQ， pq，但qp，所以选择（A） 练习： 1．指出下列各题中，是的什么条件？ （1）：，：和是对顶角. （2），； 【答案】（1）∵且，∴是的必要不充分条件，是的充分不必要条件. （2）∵∴，但， ∴是的充分不必要条件，是的必要不充分条件. 2．判断下列各题中是的什么条件. （1）:且, : （2）:, : . 【答案】（1）是的充分不必要条件. ∵且时，成立；反之，当时，只要求、同号即可.∴必要性不成立. （2）是的既不充分也不必要条件 ∵在的条件下才有成立.∴充分性不成立，同理必要性也不成立. 3．已知p：“”，q：“”，则p是q的(　　) A．充要条件 B．既不充分也不必要 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【解析】解可得，或.显然，若成立，推不出成立；若成立，则成立. 所以，p是q的必要不充分条件.故选：D. 4．设，则“”是“”的(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不允分也不必要条件 【解析】由“”解得，由“”解得，故“”是“”的必要不充分条件. 3．唐代著名诗人杜牧在《赤壁》一诗中写有“东风不与周郎便，铜雀春深锁二乔”，即杜牧认为，如果没有东风，那么东吴的二乔将会被曹操关进铜雀台，即赤壁之战东吴将输给曹操．那么在杜牧认为，“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的(    ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】杜牧认为没有东风，则赤壁之战东吴将输给曹操，则说明东风是打败曹操的必要条件．但有了东风，若没有其他的地利人和，也未必能打败曹操，故东风不是充要条件，故选：C． 知识点三、充要条件的选择 例、使或}成立的一个充分不必要条件是(　　) A．或 B．或 C．或 D． 【解析】对于A，因为或或，故错误； 对于B，因为或或，故正确； 对于C，因为或或，故错误； 对于D，因为不是或的真子集，故错误.故选：B. 例2、“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是(    ) A． B． C． D． 【解析】关于的不等式的解集为R，则， 解得，所以“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充一个分条件“”.故选B. 练习： 1． (多选)“”的必要不充分条件可以是(    ) A． B． C． D． 【解析】由，可得构成集合，结合选项可得集合，，都真包含，所以，，都是的必要不充分条件.故选:ABC. 2．关于x的方程有实根的一个充分条件是(    ) A． B． C． D． 【解析】由，要使方程有实根，则， 故是方程有实根的一个充分条件，故选：B 3．设，则条件“”的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 4． (多选)设全集为，在下列条件中，是的充要条件的有(    ) A． B． C． D． 【解析】对于A，若，则；反过来，若，则，故互为充要条件，故正确； 对于B，如下Venn图， 若，则，若，则，故正确； 选项C中，若，则；反过来，若，则，故互为充要条件，故正确； 选项D中，若，则，故；反过来，若，则，故，故互为充要条件，故正确.故选：ABCD. 知识点四、已知充要条件求参数 例1、已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是(  ) A．或 B．或 C． D． 【解析】由题意得，所以，且等号不能同时成立，解得.故选：D. 例2、(多选)已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是(    ) A． B． C．- D．0 【解析】设，,因为p是q的必要条件，所以， 当时，由无解可得，符合题意； 当时，或，当时，由解得， 当时，由解得.综上，的取值为0，，.故选：BCD 例3、已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】，即或，又是的充分不必要条件，所以，即的取值范围是.故选:A. 例4、已知若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围. 【解析】由解得，又由解得 p是q的充分不必要条件，所以或解得 练习： 1．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】若不等式的一个充分条件为，则，所以，解得.则实数的取值范围是.故选：D. 2． (多选)若是的充分不必要条件，则实数的值可以是(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意可知是的充分不必要条件， 则，故，故a的值可取，故选：BCD. 3．已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围 ． 【解析】因为p是q的必要不充分条件，所以是的真子集， 故有或解得.又，所以实数m的取值范围为． 4．已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？ (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 【解析】(1)当横线部分内容为“充要条件”时，则，则且，方程组无解. ∴不存在满足条件的. (2)若选①，则是的真子集，则且(两等号不同时取)，且，解得， ∴问题中的存在，且的取值集合. 选②，则是的真子集， 当时，，即，满足是的真子集； 当时，，即，由是的真子集，得且(两等号不同时取)，解得； 综上所述：.所以问题中的存在，且的取值集合. 5．已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}， ∵p是q的充分不必要条件，∴，即AB， 可知或方程x2＋ax＋1＝0的两根要在区间[1,2]内 ∴Δ＝a2－4<0或，得－2≤a≤2. 知识点五、充要条件的证明 例1、求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是. 【解析】证明：(1)充分性：由得.即满足方程. 是方程的一个根 (2)必要性：是方程的一个根， 将代入方程得. 故是一元二次方程的一个根的充要条件 是 例2、设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. 【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y| 如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0， 当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|. 当x＜0，y＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|. 总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|. （2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，∴xy≥0. 综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. 练习： 1．中，角，，所对的边分别为，，，求证：的充要条件是． 【解析】(1)先证充分性：若，则，∴成立 (2)再证必要性：若成立，∵，∴，又因为中，，∴，∴，∴． 综上可知，的充要条件是． 2．设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【解析】充分性：，， 代入方程得，即． 关于的方程有一个根为； 必要性：方程有一个根为，满足方程， ，即． 故关于的方程有一个根是的充要条件为． 3．已知 ，求证：是的充要条件. 【解析】设，， 先证充分性： ∵， ∴，即， ∵，，∴，即； 再证必要性： ∵，∴， ∴； 综上：是的充要条件. 4．已知a, b, c都是实数，证明ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件. 【答案】（1）充分性:若ac<0，则Δ=b2-4ac>0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为x1, x2, ∵ac<0, ∴x1·x2=<0，即x1,x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根. （2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x1,x2,且x1>0, x2<0，则x1·x2=<0，∴ac<0 综上可得ac<0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件. 知识点六、综合运用 例1、已知或． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】(1)或，， ，解得：，的取值范围是； (2)因为是的必要条件，所以， 或，的取值范围是或. 练习： 1．设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【解析】(1)集合，即； (2)由已知，， 若是的充要条件，则，，. 2．已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题(2)中，若问题(2)中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的________条件，判断实数是否存在？ 【解析】(1)若，则， 则，解得，所以实数的取值范围是． (2)若选择条件，即是的充分条件，则， 所以，解得，所以实数的取值范围是； 若选择条件，即是的必要条件，则，所以，解得． 又，所以，所以实数的取值范围是； 若选择条件，即是的充要条件，则，所以，方程组无解， 所以不存在满足条件的实数． 3．设集合，，命题p：，命题q：． (1)若p是q的充要条件，求正实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围． 【解析】(1)由，得，解得，所以， 由p是q的充要条件，得，即，解得，所以实数a的取值范围是； (2)由p是q的必要不充分条件，得， 又，则，所以，解得，综上实数a的取值范围是． 举一反三 1． 的一个必要条件是(   ) A． B． C． D． 【解析】因为，所以，所以是的一个必要条件， 若 不能得到，，故选：A 2．设a，，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】因为“”的充要条件为“或”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A． 3． b＝c＝0是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若为实数，则“”是“”的(    ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【解析】由已知，为实数，条件为，结论为， 充分性，若，则成立，所以满足充分性； 必要性，若时，当，时，满足；当，时，不满足；当，时，，所以不满足必要性；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 5． “”是“”的(    ) A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由，可得，故“”是“”的既不充分也不必要条件故选：D 5． “”是“”的(    )条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【解析】若，则为假命题，所以“”是“”的不充分条件； 若，则为真命题，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件；故选：B 6．不等式“”成立，是不等式“”成立的(    ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由，但，所以由“”不能推出“”； 又，但，所以由“”不能推出“”， 即不等式“”成立，是不等式“”成立的既不充分也不必要条件.故选：D 7．明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的(      ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件.故选：B. 8．设：“”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由得. 成立时，不一定成立，所以“”是“”的非充分条件； 成立时，不一定成立，所以“”是“”的非必要条件. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D 9．命题是命题的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【解析】若则或者，所以得不到，即充分性不成立. 当时则所以必要性不成立.故选：C 10． (多选)有以下四种说法，其中说法正确的是(    ) A．“是实数”是“是有理数”的必要不充分条件 B．“”是“”的充要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 【解析】当是实数时，可能为有理数，可能为无理数，而当为有理数时，一定为实数，所以“是实数”是“是有理数”的必要不充分条件，A正确； 当时，成立，而当时，有可能，所以“”是“”的充分不必要条件，B错误； 当时，成立，而当时，或，所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 当时，成立，而当时，有可能，所以“”是“”的充分不必要条件，D错误； 故选：AC 11． (多选)下列说法正确的是(    ) A．是的必要不充分条件 B．(U是全集)是的充分不必要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 【解析】对于A，若，则可能且，不能推出， 若，则必有，故是的必要不充分条件，故A正确； 对于B，若,则，故(U是全集)是的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，若，取,则，若，取，则， 故是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，因为，所以是的充要条件，故D正确.故选:AD. 12． (多选)对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是(　　) A．是的充要条件 B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C．是的充要条件 D．是的必要条件 【解析】∵若则，但当c＝0时，“”⇒“”为假命题，故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题； ∵“是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“是无理数”也为真命题，故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题； ∵“”不一定得到“”，“”也不一定得到“”，故“”是“”的既不充分又不必要条件，故C为假命题； ∵，故“”是“”的必要不充分条件，故D为真命题．故选：BD. 13．(2023·广东深圳)已知是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【解析】由题意得：，故，解得：, 故实数的取值范围是.故答案为： 14．已知各个命题 ，，，，若 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件， 是 的充分必要条件，试问 是 的____条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”)． 【解析】由已知得，， BA，， CB，，所以，， DA 所以， 是 A 的必要不充分条件.故答案为：必要不充分. 15．已知集合，． (1)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围． 【解析】(1) 由题可知，所以，解得，所以实数m的取值范围为. (2)由题可知，当时，，即，此时满足题意； 当时，，解得，综上所述，实数m的取值范围为． 16．已知：关于的方程有实数根，：． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根， 因此，解得，所以实数的取值范围是. (2)由(1)知，命题是真命题，即，因为命题是命题的必要不充分条件， 则，因此，解得，所以实数的取值范围是. 17．已知 . (1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由; (2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由. 【解析】(1)要使是的充要条件，则即，此方程组无解. 所以不存在实数，使是的充要条件. (2)要使是的必要条件，则， 当时，，解得当时，，解得 要使，则有，解得，所以综上可得，当时，是的必要条件. 18．设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【解析】(1)由条件， 是的充要条件，得，即，解得， 所以实数的取值范围是. (2)由是的充分不必要条件，得真包含于，所以，或，解得， 综上实数的取值范围是. 19．已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 【解析】先证明充分性： 若，则成立． 所以“”是“”成立的充分条件； 再证明必要性： 若，则， 即，，， ，，即成立． 所以“”是“”成立的必要条件. 综上：成立的充要条件是． 20．已知，求证：成立的充要条件是. 【解析】证明：(1)充分性(条件→结论) 因为，而， 所以成立； (2)必要性(结论→条件) 因为，而， 又，所以且，从而，且. 所以，所以成立. 综上：成立的充要条件是. 21．已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 【解析】(1)因为是的必要条件，所以，又，， 所以，解得，即实数的取值范围是； (2)若是的必要条件，则⇒，所以， 又或，或，所以，解得， 故实数的取值范围； (3)若是的充要条件，则，所以，方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． 22．集合或，或. (1)设，，且是的充分而不必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)因集合或，或，且，， 则中的取值构成的集合为，中的取值构成的集合为， 又是的充分而不必要条件，于是得，则有，解得：， 所以实数的取值范围为. (2)根据充要条件的定义知，“”是“”的充要条件当且仅当， 而集合A中可以取到端点值-2，3，集合B中不能取到端点值2a，-a，于是得无论取何值，都有， 所以不存在实数，使得“”是“”的充要条件. 23．已知，. (I)是否存在m，使得p是q的充要条件？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由： (II)从下面三个条件中任选一个，求m的取值范围. ①p是q的必要条件  ②q是p的充分条件   ③是的充分条件 【解析】(I)由，解得：， 若p是q的充要条件，则，即，此时方程组无解，即不存在，使p是q的充要条件； (II)设命题对应的集合为，命题对应的集合为， 若选①，p是q的必要条件，则，当时，，即成立； 当时，且，解得：，综上所述：； 若选择②，q是p的充分条件，则，当时，，即成立； 当时，且，解得：，综上所述：； 若选择③，是的充分条件，即q是p的充分条件，则， 当时，，即成立； 当时，且，解得：，综上所述：. 课 后 作 业 1．已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是(    ) A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】B 【解析】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出， 因为是的的充分条件，所以， 因为是的必要条件，所以， 因为是的必要条件，所以， 因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确， 因为，，，所以， 推不出，故是的充分不必要条件，②正确； 因为，，所以，是的充分条件，命题③错误； 因为，，所以，又， 所以是的充要条件，命题④错误；故选：B. 2．已知有A、B、C、D四个命题，其中A为B的必要条件，B为C的充分条件，C为D的必要条件，D为A的必要条件.若增加条件使得A、B、C、D中的任意一个命题均为A、B、C、D四个命题的必要条件，则这个条件可以为(    ). A．B为C的必要条件 B．B为A的必要条件 C．C为D的充分条件 D．B为D的必要条件 【解析】因为A为B的必要条件，B为C的充分条件，C为D的必要条件，D为A的必要条件， 所以，即， 对于A，若B为C的必要条件，即，则， 所以A、B、C、D互为充要条件，则A、B、C、D中的任意一个命题均为A、B、C、D四个命题的必要条件，故A正确； 对于B，若B为A的必要条件，即，则，易得不是的必要条件，故B错误； 对于C，若C为D的充分条件，即，则，易得不是的必要条件，故C错误； 对于D，若B为D的必要条件，即，则且，易得不是的必要条件，故D错误.故选：A 3．方程与有一个公共实数根的充要条件是(    )． A． B． C． D． 【解析】方程有实根，故，解得或. 方程有实根，故，解得.综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以，所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为；方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是.故选：D 4． (多选)下列命题中叙述不正确的是(    ) A．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“”的一个充分不必要条件可以是“” D．若集合，则“”是“”的充分而不必要条件 【解析】由关于的方程有实数根可得， 由可得关于的方程有实数根， 所以“关于的方程有实数根”的充要条件是“”，A正确； 由三角形为正三角形可得该三角形为等腰三角形， 所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分条件，B错误； 由不能推出，所以“”不是“”的充分条件，C 错误； 当时，若，则，若，则，所以“”是“”的充要条件， 所以若集合，则“”可能是“”的充要条件，D错误；故选：BCD. 5．(多选)在下列所示电路图中，下列说法正确的是(    ) A．如图所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件 B．如图所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件 C．如图所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件 D．如图所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件 【解析】对于选项A，由图①可得，开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项A正确. 对于选项B，由图②可得，开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项B正确. 对于选项C，由图③可得，开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项C正确. 对于选项D，由图④可得，开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项D错误.故选：ABC. 6．(多选)下列说法正确的是(    ) A．若a，，则“”是“不全为0”的充要条件 B．“”是“”的既不充分也不必要条件 C．是的既不充分也不必要条件 D．“”是“”的充要条件 【解析】A．a，，则“，则必有不全为0，则充分性成立；若不全为0，则同样有，则必要性成立，故A正确； B．不能推出，比如，但是；不能推出，比如，， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B正确； C．因为，取，，故满足，但是此时，不成立，所以，充分性不成立；若成立，可取，则可以有，所以，必要性不成立；故C正确； D．不能推出，比如， 满足，但是不满足，所以必要性不满足，故D错误；故选：ABC. 7．已知非空集合，集合，命题.命题. (1)当实数为何值时，是的充要条件； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】1)因为集合解得. 集合解得.是的充要条件,故, 即与是方程的两个根，所以. (2)是的充分不必要条件，故集合是集合的真子集.由(1)知 当时，即或，，故或解得. 当时，即，，故或解得. 当时，即或，满足集合是集合的真子集，故或.综上所述：的取值范围为 8．求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 【解析】先证明充分性：若，设方程的两个实根为，， 则，，， 故方程有两个同号且不相等的实根； 再证明必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 令， 当时，其图象是开口方向朝上，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的正根，则函数，有两个正零点，则，解得； 当时，其图象是开口方向朝下，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根则必有两个不等的负根， 则函数，有两个负零点，则，无解； 故关于的方程有两个同号且不相等的实根，则的取值范围是； 方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 9．求证：方程有且只有一个负数根的充要条件为或. 【解析】证明：必要性：若方程有且只有一个负数根， 当时，方程为，解得，合乎题意； 若时，，设方程的两根分别为、，则， 此时方程有且只有一个负数根； 当时，则，可得，设方程的两根分别为、，则， 则、均为负数，由题意可知，可得. 所以，“方程有且只有一个负数根”“或”； 充分性：当时，原方程变为，解得，原方程只有一个负根； 当时，方程为，解得，原方程只有一个负根； 当时，对于原方程，，此时方程有两根，设为、， 则，此时方程有且只有一个负数根. 所以，“方程有且只有一个负数根”“或”. 综上所述，方程有且只有一个负数根的充要条件为或. 10．设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是 【解析】充分性：因为，所以方程可化为， 所以，所以， 所以该方程有两个根， 同理，另一方程可化为， 所以，所以， 所以该方程有两个根，可以发现，所以这两个方程有公共根； 必要性：设是两方程的公共根，所以，由①②得：， 若，①式得到即与三角形的边长矛盾，所以，所以， 代入①式得，整理得，所以； 综上所述，方程与有公共根的充要条件是. 24 学科网（北京）股份有限公司 $$