第18讲 正多边形和圆（3个知识点+4个考点）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第18讲 正多边形和圆（3个知识点+4个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.初步认识正多边形与圆的关系。 2.理解正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，会进行正多边形的有关计算。 3.掌握等分圆周画圆内接正多边形的方法。 知识点1.正多边形及有关概念（重点） 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点归纳： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点归纳：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点2.正多边形的有关计算（重点） 　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点归纳：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点3.正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点归纳：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 考点1.求正多边形的中心角 【例1】已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度． 【变式1-1】如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（　　） A．72° B．60° C．48° D．36° 【变式1-2】（2024•河北三模）如图，正五边形内接于，连接，，则　　 A． B． C． D． 【变式1-3】（2024•威县校级三模）如图，，分别是的内接正五边形的边，上的点，，则　　 A． B． C． D． 【变式1-4】（2024•聊城模拟）如图，在中，点为上的点，．若，且是的内接正边形的一边，则的值为　　 A．8 B．9 C．10 D．12 考点2.正多边形的有关计算 【例2】已知正六边形ABCDEF的半径是R，求正六边形的边长a和面积S. 【变式2-1】（2023秋•东阳市期末）如图，在正六边形中，，点在边上，且．若经过点的直线将正六边形面积平分，则直线被正六边形所截的线段长是 　 　． 【变式2-2】如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为　　． 【变式2-3】如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE． （1）求证：AE＝DE； （2）若CE＝1，求四边形AECD的面积． 考点3.圆的内接正多边形的探究题 【例3】 如图所示，图①，②，③，…，，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON. (1)求图①中∠MON的度数； (2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；　　(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案) 【变式3-1】（2023•山西模拟）如图，正方形内接于，连接，点是的中点，过点作的切线与的延长线相交于点． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）求的度数． 【变式3-2】（2022秋•尧都区期末）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下： （1）如图1，等边三角形中，在、边上分别取点、，使，连接、，发现，且，试说明：． （2）如图2，正方形中，在、边上分别取点、，使，连接、，那么　　度，并说明理由． （3）如图3，正五边形中，在、边上分别取点、，使，连接、，那么　　，且　　度．（正边形内角和，正多边形各内角相等） 【变式3-3】．（2023秋•张店区校级月考）如图，正六边形中，点在边上，，与六边形外角的平分线交于点． （1）当点不与点、重合时，求证：． （2）当点在正六边形一边上运动（点不与点重合）时，猜想与的数量关系，并对猜想的结果加以证明． 考点4.作圆的内接正多边形 【例4】如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 【变式4-1】如图，点是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）画出的内接正． （2）在上画出、两点，使得．（画一种即可） 【变式4-2】（2022秋•江门期末）如图，在等边三角形中． （1）请用尺规作图画出三角形的外接圆（保留作图痕迹）； （2）若，求的半径． 【变式4-3】（2023秋•兴国县期末）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法 如图2． 1．作直径． 2．以为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． （1）求的度数． （2）是正三角形吗？请说明理由． （3）从点开始，以长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 一．选择题（共8小题） 1．（2024•南关区一模）如图，在正六边形中，的面积为4，则的面积为　　 A．16． B．12 C．8 D．6 2．（2024春•海淀区校级期末）如果一个正多边形的每一个内角是，那么这个正多边形的边数为　　 A．16 B．12 C．8 D．6 3．（2024•安庆二模）将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点，分别对应直尺上的刻度12和4，则与之间的距离为　　 A．8 B． C． D．4 4．（2024•蜀山区二模）苯（分子式为的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现阳苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图，图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2024•榕江县校级二模）如图，正六边形的边，与相切于点，，连接，，则的度数是　　 A． B． C． D． 6．（2024春•阳新县校级月考）在正五边形中，连接对角线、、，其中、相交于点，连接，交于点，则下列说法不正确的是　　 A． B． C． D． 7．（2024•河北二模）如图，正五边形中，，连接，点在线段上，连接，，将五边形分成面积为，，，，的五部分，则下列式子不能确定大小的是　　 A． B． C． D． 8．（2024•石家庄模拟）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接、、，则的度数是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 9．（2024•头屯河区二模）正多边形的一个中心角为36度，那么这个正多边形的一个内角等于　 　度． 10．（2024•仓山区校级模拟）正多边形的一个内角等于，则该正多边形的边数为 　　． 11．（2024•榆阳区校级模拟）如图，点是正八边形的中心，连接、，则　　． 12．（2023秋•钢城区期末）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距，则这个正六边形的面积是 　　． 13．（2024•越秀区校级模拟）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 　　；（2）周长的最小值是 　　． 14．（2024•雨花台区模拟）如图，点是正六边形和正五边形的中心，连接，相交于点，则的度数为 　　． 三．解答题（共3小题） 15．（2023秋•同心县期末）如图，四边形内接于，，求的度数． 16．（2023秋•林芝市期末）如图，已知正六边形的边长为．求边心距的长． 17．（2024•义乌市模拟）在直角坐标系中，正方形的两边、分别在轴、轴上，点的坐标为、． （1）将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，边交于．求点的坐标； （2）如图，与正方形四边都相切，直线切于点，分别交轴、轴、线段于点、、．求证：平分． （3）若、，为延长线上一动点，过、、三点作，交于．当运动时（不包括点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 正多边形和圆（3个知识点+4个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.初步认识正多边形与圆的关系。 2.理解正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，会进行正多边形的有关计算。 3.掌握等分圆周画圆内接正多边形的方法。 知识点1.正多边形及有关概念（重点） 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点归纳： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点归纳：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点2.正多边形的有关计算（重点） 　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点归纳：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点3.正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点归纳：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 考点1.求正多边形的中心角 【例1】已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度． 解析：每个内角为108°，则每个外角为72°，根据多边形的外角和等于360°，∴正多边形的边数为5，则其中心为360°÷5＝72°. 【变式1-1】如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（　　） A．72° B．60° C．48° D．36° 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可． 【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为72°， 故选：A． 【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键． 【变式1-2】（2024•河北三模）如图，正五边形内接于，连接，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据多边形的内角和可以求得的度数，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数． 【解答】解：五边形是正五边形， ，， ， 故选：． 【点评】此题重点考查正多边形与圆、正五边形的性质、正多边形的中心角、等腰三角形的性质等知识，根据正多边形的中心角的定义求得是解题的关键． 【变式1-3】（2024•威县校级三模）如图，，分别是的内接正五边形的边，上的点，，则　　 A． B． C． D． 【分析】连接、、，证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可． 【解答】解：连接、、， 五边形是的内接正五边形， ， ，， ， 在和中，， ，， ， ，， ， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式1-4】（2024•聊城模拟）如图，在中，点为上的点，．若，且是的内接正边形的一边，则的值为　　 A．8 B．9 C．10 D．12 【分析】根据圆周角定理，圆内接四边形的性质求出，再根据正多边形中心角的计算方法进行计算即可． 【解答】解：如图，连接，在优弧上任取异于，的一点，连接，， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ． ， ， 是的内接正边形的一边， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，掌握正多边形中心角的计算方法，圆周角定理是正确解答的关键． 考点2.正多边形的有关计算 【例2】已知正六边形ABCDEF的半径是R，求正六边形的边长a和面积S. 解：作半径OA、OB，过O作OH⊥AB，则∠AOH＝＝30°，∴AH＝R，∴a＝2AH＝R.由勾股定理可得：r2＝R2－(R)2，∴r＝R，∴S＝·a·r×6＝·R·R·6＝R2. 方法总结：熟练掌握多边形的相关概念，以及等边三角形与圆的关系及有关计算． 【变式2-1】（2023秋•东阳市期末）如图，在正六边形中，，点在边上，且．若经过点的直线将正六边形面积平分，则直线被正六边形所截的线段长是 　 　． 【分析】经过正六边形中心的直线可以将正六边形的面积二等分，画出图形，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：连接、交于点，连接并延长，交于点，作于， 将正六边形的面积二等分， 在正六边形中，，， ，， ， ， ， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查了正多边形的性质，解题根据明确正多边形是中心对称图形，利用勾股定理求出线段长． 【变式2-2】如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为　　． 【思路点拨】根据题意可以求得∠BAE的度数，由正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，可以求得B、E两点间的距离． 【答案】8． 【解析】解：连接BE、AE，如右图所示， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BAF=∠AFE=120°，FA=FE， ∴∠FAE=∠FEA=30°， ∴∠BAE=90°， ∴BE是正六边形ABCDEF的外接圆的直径， ∵正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆， ∴BE=8， 即则B、E两点间的距离为8， 故答案为：8． 【点评】本题考查正多边形和圆，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式2-3】如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE． （1）求证：AE＝DE； （2）若CE＝1，求四边形AECD的面积． 【分析】（1）欲证明AE＝DE，只要证明． （2）连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．证明△ADE≌△CDF（AAS），推出AE＝CF，推出S△ADE＝S△CDF，推出S四边形AECD＝S△DEF，再利用等腰三角形的性质构建方程求出DE，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴，即， ∴AE＝DE． （2）解：连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC， ∵∠EDF＝90°， ∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°， ∴DE＝DF， ∵∠AED∠AOD＝45°， ∴∠AED＝∠F＝45°， ∵∠ADC＝∠EDF＝90°， ∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴S△ADE＝S△CDF， ∴S四边形AECD＝S△DEF， ∵EFDE＝EC+DE，EC＝1， ∴1+DEDE， ∴DE1， ∴S四边形AECD＝S△DEFDE2． 【点评】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 考点3.圆的内接正多边形的探究题 【例3】 如图所示，图①，②，③，…，，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON. (1)求图①中∠MON的度数； (2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；　　(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案) 解：图①中，连接OB，OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.又∠OCN＝30°，∠BOC＝120°，而BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°； (2)90°　72°； (3)∠MON＝. 【变式3-1】（2023•山西模拟）如图，正方形内接于，连接，点是的中点，过点作的切线与的延长线相交于点． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）求的度数． 【分析】（1）如图，连接，根据正方形的性质得到，根据切线的性质得到，，根据平行线的性质即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到，，求得．根据平行线的自己看得到结论． 【解答】解：（1）， 理由：连接， 四边形是正方形， ， ， 与相切于点， ， ， ； （2）四边形是正方形， ，， ． 点是的中点， ， ， ， ． 【点评】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式3-2】（2022秋•尧都区期末）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下： （1）如图1，等边三角形中，在、边上分别取点、，使，连接、，发现，且，试说明：． （2）如图2，正方形中，在、边上分别取点、，使，连接、，那么　　度，并说明理由． （3）如图3，正五边形中，在、边上分别取点、，使，连接、，那么　　，且　　度．（正边形内角和，正多边形各内角相等） 【分析】（1）利用是正三角形，可得，，又因，所以，，所以； （2）同（1）利用三角形全等，可知在正方形中，，； （3）同（1），利用三角形全等可知在正五边形中，，． 【解答】（1）证明：是正三角形， ，， 在和中，， ， ， 又， ， ； （2）解：四边形是正方形， ，， 又， ， ，， 又， ；即； （3）解：五边形是正五边形， ，， 又， ， ， ， ． 故答案为：，，． 【点评】此题主要考查了正多边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，利用三角形的外角性质得出是解题关键． 【变式3-3】．（2023秋•张店区校级月考）如图，正六边形中，点在边上，，与六边形外角的平分线交于点． （1）当点不与点、重合时，求证：． （2）当点在正六边形一边上运动（点不与点重合）时，猜想与的数量关系，并对猜想的结果加以证明． 【分析】（1）先有正多边形的内角和定理得出六边形内角的度数，再根据，、、在一条直线上，再根据三角形内角和定理即可得出结论； （2）①当点与点重合时，，与的交点与点重合，故可直接得出结论； ②当点与点不重合时，连接并延长到，使，连接，由全等三角形的判定定理可得出，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】（1）证明：六边形为正六边形， 每个内角均为． ，、、在一条直线上， ， ． （2）解：猜想：． 证明：①当点与点重合时，，与的交点与点重合，有． ②当点与点不重合时， 证法一：如图1，连接并延长到，使，连接． ，， ， ． 与六边形外角的平分线交于点， ， ， ． ， ， ，， ，， ， ， ． ． 证法二：如图2，在上截取，连接． ，， ， ， 有， 平分， ， ， 由（1）知， ． ． 【点评】本题考查的是正多边形和圆，涉及到正多边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，涉及面较广，难度较大． 考点4.作圆的内接正多边形 【例4】如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分． 解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°； (2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形． 方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°； (2)在⊙O上用圆规截取＝； (3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形． 方法三：(1)作直径AD； (2)以D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B，C； (3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形． 方法四：(1)作直径AE； (2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C； (3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形． 方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形． 【变式4-1】如图，点是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）画出的内接正． （2）在上画出、两点，使得．（画一种即可） 【分析】（1）从点开始，以为半径．延长画弧，这样把把六等份，连接的三等份点得到的内接正三角形； （2）可作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 【解答】解：（1）如图，为所作； （2）如图，点、为所作． 【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的判定、圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系． 【变式4-2】（2022秋•江门期末）如图，在等边三角形中． （1）请用尺规作图画出三角形的外接圆（保留作图痕迹）； （2）若，求的半径． 【分析】（1）利用基本作图，过点作的垂线，垂足为．过点作的垂线，垂足为点，与相交于点，然后以点为圆心，的长为半径作圆即可； （2）先根据等边三角形的性质的，，平分，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出即可． 【解答】解：（1）如图，为所作； （2）如图，为等边三角形，于点，于点， ，，平分， ， 在中，， ， ， 即的半径为． 【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全边三角形的性质和三角形的外接圆． 【变式4-3】（2023秋•兴国县期末）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法 如图2． 1．作直径． 2．以为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． （1）求的度数． （2）是正三角形吗？请说明理由． （3）从点开始，以长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 【分析】（1）根据正五边形内角和，可以计算出的度数； （2）先判断，然后根据题意和图形说明理由即可； （3）根据题意和（2）中的结果，计算出的度数，然后即可计算出的值． 【解答】解：（1）五边形是正五边形， ， 即； （2）是正三角形， 理由：连接，，如图， 由题意可得：， 是等边三角形， ， ， 同理可得：， ， 是正三角形； （3）连接，如图， ， ， ， ， ， 的值是15． 【点评】本题考查正多边形和圆、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 一．选择题（共8小题） 1．（2024•南关区一模）如图，在正六边形中，的面积为4，则的面积为　　 A．16． B．12 C．8 D．6 【分析】利用正六边形的性质可得出：与同底，其高的比为：，即可得出答案． 【解答】解：如图所示：与同底，其高的比为：， 的面积为4， 的面积为：8． 故选：． 【点评】此题主要考查了正六边形的性质，得出与高的比是解题关键． 2．（2024春•海淀区校级期末）如果一个正多边形的每一个内角是，那么这个正多边形的边数为　　 A．16 B．12 C．8 D．6 【分析】根据正多边形的一个内角是，则知该正多边形的一个外角为，再根据多边形的外角之和为，即可求出正多边形的边数． 【解答】解：正多边形的一个内角是， 该正多边形的一个外角为， 多边形的外角之和为， 边数， 该正多边形的边数是12． 故选：． 【点评】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为，此题难度不大． 3．（2024•安庆二模）将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点，分别对应直尺上的刻度12和4，则与之间的距离为　　 A．8 B． C． D．4 【分析】根据正六边形的性质，正三角形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】解：如图，设正六边形的中心为，由题意可知，， 正六边形， 是正三角形，， ， 即与之间的距离为． 故选：． 【点评】本题考查正多边形与圆，掌握正六边形，正三角形以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 4．（2024•蜀山区二模）苯（分子式为的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现阳苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图，图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：如图2，六边形是正六边形， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查正多边形和圆，等腰三角形以及三角形内角和定理，解题关键是掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提． 5．（2024•榕江县校级二模）如图，正六边形的边，与相切于点，，连接，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案． 【解答】解：正六边形的边，与相切于点，， ， 六边形是正六边形， ， 在五边形中， ， 故选：． 【点评】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 6．（2024春•阳新县校级月考）在正五边形中，连接对角线、、，其中、相交于点，连接，交于点，则下列说法不正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】首先由正五边形的性质可得，，，，，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得四边形为菱形，得，即，由菱形的性质和勾股定理得出，即可得到，可证明，即可得出，由正五边形内角和得到，结合菱形的性质得到，． 【解答】解：是正五边形， ，，，，， 四边形为菱形， ， ，故选项正确； ， ，故选项正确； ，， ， ，故选项正确； ， ，， ，故选项不正确， 故选：． 【点评】本题考查了正多边形和圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 7．（2024•河北二模）如图，正五边形中，，连接，点在线段上，连接，，将五边形分成面积为，，，，的五部分，则下列式子不能确定大小的是　　 A． B． C． D． 【分析】当三角形面积一定时，判断不符合题意；利用等高性质判断三角形面积一定，判断出不符合题意；综合和即可判断的正确性；分析动点的变化可判断出符合题意． 【解答】解：由图得，为的面积， 五边形为正五边形， ，， 的面积是能确定的，故不符合题意； 由图得，，即与之间的距离一定， ， 可以确定， 梯形面积一定， 可以确定，故不符合题意； 当和可以确定时，即可以确定，故不符合题意； 由图得，当点靠近点时面积变小， 当点靠近点时面积变大， 的面积不能确定大小，故符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了正多边形的性质，三角形的面加和梯形的面积的变化规律是本题的解题关键． 8．（2024•石家庄模拟）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接、、，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】求出正五边形的内角度数，由圆的内接四边形对角互补，求出，再利用三角形内角和求出答案即可． 【解答】解：正五边形的内角和为， ， 四边形是圆的内接四边形， ， 在三角形中， ， 故选：． 【点评】本题考查了正多边形与园，正多边形的性质及园的性质的综合应用是本题的解题关键． 二．填空题（共6小题） 9．（2024•头屯河区二模）正多边形的一个中心角为36度，那么这个正多边形的一个内角等于　144　度． 【分析】根据正多边形的中心角为，求出正多边形的边数，再求出其每个外角，即可根据内角和外角的和为180度求出每个内角的度数． 【解答】解：由于正多边形的中心角等于，， 所以正多边形为正10边形， 又因为其外角和为， 所以其外角为， 其每个内角为． 故答案为144． 【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的中心角和外角、内角混淆． 10．（2024•仓山区校级模拟）正多边形的一个内角等于，则该正多边形的边数为 　10　． 【分析】根据正多边形的性质以及多边形内角和的计算方法进行计算即可． 【解答】解：设这个多边形为边形，由题意得， ， 解得，， 即这个正多边形为正十边形． 故答案为：10． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 11．（2024•榆阳区校级模拟）如图，点是正八边形的中心，连接、，则　45　． 【分析】用360除以边数即可解答此题． 【解答】解：点是正八边形的中心， 为正八边形的中心角， 中心角和为，且正多边形中心角相等， ． 故答案为：45． 【点评】本题考查了正多边形与圆，熟记正多边形和圆的相关性质并应用是本题的解题关键． 12．（2023秋•钢城区期末）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距，则这个正六边形的面积是 　　． 【分析】连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出，求出，得出六边形的面积即可． 【解答】解：连接，，如图所示： 六边形是正六边形， ，， 为等边三角形， ， ， ，， ， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积计算，解答本题的关键是明确正六边形的特点． 13．（2024•越秀区校级模拟）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 　　；（2）周长的最小值是 　　． 【分析】根据圆的面积可以确定圆的半径，进而求出直径；由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，且使，连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，进而求解． 【解答】解：的面积为， 圆的半径为， ， 由正方形的性质，知点是点关于的对称点， 过点作，且使， 连接交于点，取，连接、，则点、为所求点， 理由：，且， 四边形为平行四边形， ， 故的周长为最小， ， 的周长的最小值为， 故答案为：，4． 【点评】本题是为几何综合题，主要考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点、的位置是本题解题的关键． 14．（2024•雨花台区模拟）如图，点是正六边形和正五边形的中心，连接，相交于点，则的度数为 　78　． 【分析】连接，，，根据正五边形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论． 【解答】解：连接，，， 点是正六边形和正五边形的中心， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：78． 【点评】本题考查了正多边形与圆，等由三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 三．解答题（共3小题） 15．（2023秋•同心县期末）如图，四边形内接于，，求的度数． 【分析】先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质求的度数． 【解答】解：， ， ． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质． 16．（2023秋•林芝市期末）如图，已知正六边形的边长为．求边心距的长． 【分析】由正六边形可求出，进而可求出，根据勾股定理即可求出边心距的长． 【解答】解：正六边形是圆的内接多边形， ， ，， ，， ， ，， ． 【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键． 17．（2024•义乌市模拟）在直角坐标系中，正方形的两边、分别在轴、轴上，点的坐标为、． （1）将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，边交于．求点的坐标； （2）如图，与正方形四边都相切，直线切于点，分别交轴、轴、线段于点、、．求证：平分． （3）若、，为延长线上一动点，过、、三点作，交于．当运动时（不包括点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 【分析】（1）求出旋转角、的度数为，进而求出的度数，再利用三角函数求出点坐标； （2）由切线长定理证得，由切线长定理或其他方法证得，平分； （3）在上取点，使，构造出全等三角形，判断出为等腰直角三角形， 求得为定值． 【解答】解：（1）连接， ，由轴对称可得， 又， ， ； （2）， ， 根据切线长定理，， ， 由切线长定理， 平分． （3）的值是定值为， 在上取点，使，即， ， ， 、，、， ； 又， ， ， ， ； 又，， ， 为等腰直角三角形， ． 【点评】（1）此题不仅要熟悉旋转角，还要知道旋转不变性，并联系特殊三角形用勾股定理解答； （2）运用切割线定理是解答此题的关键； （3）构造全等三角形，比作辅助线难度要大，但确是一种有效的解题方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$