第17讲 点和圆、直线和圆的位置关系（9个知识点+8个考点）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第17讲 点和圆、直线和圆的位置关系（9个知识点+8个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 了解点和圆的三种位置关系的图形特征；掌握点到圆心的距离与半径之间的数量关系；掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”，并能作出这个圆。 2. 了解反证法的意义，会用反证法进行简单的证明。 3. 掌握直线和圆的三种位置关系的特点及判别方法；了解割线、切线的概念；掌握切线的判定和性质，并能灵活运用。 4. 了解并会应用切线长定理，了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 5. 体验数形结合思想和建模思想，提高解决实际问题的能力。 知识点1.点和圆的位置关系（重点） （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点2.圆的确定条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 要点归纳：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点3.三角形的外接圆 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点4.反证法（难点） 1.反证法 假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.反证法是一种间接证明命题的方法. 2.用反证法证明命题的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立; (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾 (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确 知识点5.直线和圆的位置关系（重点） (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　　　　　　　 　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 　　 知识点6.切线的判定定理和性质定理（重点）（难点） （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． （3）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （4）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （5）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 要点归纳： 　　切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 知识点7.切线长及切线长定理（重点） （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点8.三角形的内切圆 1.三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点归纳： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 知识点9.圆和圆的位置关系（拓展） 1．圆与圆的五种位置关系的定义 两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含. 　　 2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 　　设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则： 　　两圆外离 d＞r1+r2 　　两圆外切 d=r1+r2 　　两圆相交 r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2) 　　两圆内切 d=r1-r2 (r1＞r2) 　　两圆内含 d＜r1-r2 (r1＞r2) 要点归纳： 　　(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； 　　(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； 　　(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合. 考点1.点和圆的位置关系 【例1-1】如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm. (1)以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？ 【例1-2】如图，点O处有一灯塔，警示⊙O内部为危险区，一渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由． 【变式1-1】（2023秋•江夏区校级期末）已知的半径为3，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是　　 A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【变式1-2】（2024•蒸湘区一模）已知点是外一点，且的半径为6，则的长可能为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-3】（2024•榕城区校级三模）如图，为矩形的边的延长线上的动点，于，点在边上，若，，，则线段的最大值为 　 　． 【变式1-4】（2023秋•东光县期中）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、． （1）圆心的坐标为　 　； （2）判断点与的位置关系． 考点2.确定圆的条件 【例2】已知：不在同一直线上的三个已知点A，B，C(如图)，求作：⊙O，使它经过点A，B，C. 【变式2-1】（2024•上饶一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-2】．（2023秋•遵化市期末）已知平面直角坐标系中的三个点分别为、、，则、、这三个点 　　确定一个圆（填“可以”或“不可以” ． 【变式2-3】．（2023秋•滨海县月考）如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 考点3.三角形的外接圆 【例3-1】如图，△ABC内接于⊙O，∠OAB＝20°，则∠C的度数是________． 【例3-2】如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径． 【变式3-1】（2024•香洲区二模）如图，已知四边形，过，，的圆交于点，连接，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式3-2】．（2024•黑龙江）如图，内接于，是直径，若，则　　． 【变式3-3】．（2024•云岩区校级二模）如图，等边内接于，是上任一点（点不与点、重合），连接、，过点作交的延长线于点． （1）求和的度数； （2）求证：； （3）若，，求四边形的面积． 考点4.直线与圆的位置关系 【例4-1】已知⊙O的半径为5，点P在直线l上，且OP＝5，直线l与⊙O的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【例4-2】△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm，以点B为圆心、6cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线与⊙B的位置关系是________． 【例4-3】如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为(　　) A．(－1，－2) B．(1，2) C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2) 【例4-4】已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是________． 【变式4-1】（2024春•丰城市校级月考）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足　　 A． B． C． D． 【变式4-2】（2024•汉川市模拟）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是　　 A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 【变式4-3】．（2024•西湖区校级开学）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 　　． 【变式4-4】．（2023秋•安州区期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是　 　． 考点5.切线的判定 【例5】如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线． 【变式5-1】（2024•凉州区校级三模）如图，为的直径，点，在上，，． 求证：是的切线． 【变式5-2】（2024•赣州二模）如图，的顶点，在上，交于点，连接，已知．（1）若的半径为3，求弦的长； （2）当，求证：是的切线． 【变式5-3】（2024•良庆区校级模拟）如图，在中，，以为直径作，交于点，连接，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）求证：为的切线． 考点6.切线的性质 【例6-1】如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝，求⊙O的半径． 【例6-2】如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且＝＝，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若CD＝2，求⊙O的半径． 【例6-3】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D. (1)当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由； (2)当DP为⊙O的切线时，求线段BP的长． 【变式6-1】（2024春•东昌府区校级月考）如图，四边形是平行四边形，是的直径，点在上，与相交于点，连接，过点作的切线交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【变式6-2】（2024•永城市校级二模）如图，在中，，以为直径作，交于点，作切线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 考点7.切线长定理 【例7-1】如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上．若PA长为2，则△PEF的周长是________． 【例7-2】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度． 【例7-3】为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的． 【变式7-1】（2024•城中区校级一模）如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长为　　 A．60 B．55 C．45 D．50 【变式7-2】．（2023秋•康县期末）如图，，是的切线，，为切点，，则　 　 ． 【变式7-3】（2022秋•永年区校级月考）已知、分别切于、，为劣弧上一点，过点的切线交于、交于． （1）若，求的周长． （2）若求． 考点8.三角形的内切圆 【例8-1】如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________． 【例8-2】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为(　　) A．r B.r C．2r D.r 【变式8-1】（2024•阳新县校级二模）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则的大小是　　 A． B． C． D． 【变式8-2】．（2024•高青县模拟）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为　　 A．19 B．17 C．22 D．20 【变式8-3】（2024•克什克腾旗一模）如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为　　 A． B． C． D． 一．选择题（共10小题） 1．（2024•萨迦县一模）如图，为的切线，点为切点，交于点，点在上，连接，，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 2．（2024•越秀区校级二模）在中，，是角平分线．以点为圆心，长为半径作，则与的位置关系是　　 A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 3．（2024•西宁二模）已知的半径等于，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数为　　 A．0 B．1或0 C．0或2 D．1或2 4．（2024•东莞市校级模拟）如图，为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为　　 A．8 B．6 C．12 D．10 5．（2024•二道区校级四模）如图，为的直径，为的切线，连结交于点，连结．若，则的大小为　　 A． B． C． D． 6．（2024•福建）如图，已知点，在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于　　 A． B． C． D． 7．（2024•临邑县一模）如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为　　 A．9 B．10 C． D．12 8．（2024春•大足区期末）如图，是的切线，点是切点，连接交于点，延长交于点，连接，若，，则的长为　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•邻水县期末）如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为　　 A．44 B．42 C．46 D．47 10．（2024•武汉模拟）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为、，则的值为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 11．（2024•浙江）如图，是的直径，与相切，为切点，连接．已知，则的度数为 　　． 12．（2024春•海淀区校级期末）如图，点为外一点，过点作的两条切线，切点分别为，，点为优弧上一点，若，则　　． 13．（2024•龙马潭区校级二模）如图，在等边中，，半径为1的在等边内平移可以与该三角形的相切），则点到上的点的距离最大值为 　　． 14．（2024•西城区二模）如图，与相切于点．点，分别在，上，四边形为正方形．若，则　　． 15．（2024•六合区校级三模）如图，菱形的顶点，，在上，且与相切，若的半径为1，则菱形的周长为 　　． 16．（2024•南岗区校级二模）如图，已知四边形为菱形，以为直径作，过点作的切线交于点．若，则的度数为 　　． 三．解答题（共4小题） 17．（2024•辽阳三模）如图，一个圆形瓶盖和一个直角三角形纸板，点在斜边上．与分别交于点和，与切于点，于点． （1）求证：； （2）若，求的半径长． 18．（2024•凉州区三模）如图，以点为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 19．（2024•民权县校级四模）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观 察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 20．（2024•河北区二模）在中，是的直径，，弦交于点，． （Ⅰ）如图①，求和的大小； （Ⅱ）如图②，过点作的切线，过点作于点，若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 点和圆、直线和圆的位置关系（9个知识点+8个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 了解点和圆的三种位置关系的图形特征；掌握点到圆心的距离与半径之间的数量关系；掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”，并能作出这个圆。 2. 了解反证法的意义，会用反证法进行简单的证明。 3. 掌握直线和圆的三种位置关系的特点及判别方法；了解割线、切线的概念；掌握切线的判定和性质，并能灵活运用。 4. 了解并会应用切线长定理，了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 5. 体验数形结合思想和建模思想，提高解决实际问题的能力。 知识点1.点和圆的位置关系（重点） （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点2.圆的确定条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 要点归纳：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点3.三角形的外接圆 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点4.反证法（难点） 1.反证法 假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.反证法是一种间接证明命题的方法. 2.用反证法证明命题的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立; (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾 (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确 知识点5.直线和圆的位置关系（重点） (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　　　　　　　 　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 　　 知识点6.切线的判定定理和性质定理（重点）（难点） （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． （3）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （4）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （5）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 要点归纳： 　　切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 知识点7.切线长及切线长定理（重点） （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点8.三角形的内切圆 1.三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点归纳： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 知识点9.圆和圆的位置关系（拓展） 1．圆与圆的五种位置关系的定义 两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含. 　　 2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 　　设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则： 　　两圆外离 d＞r1+r2 　　两圆外切 d=r1+r2 　　两圆相交 r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2) 　　两圆内切 d=r1-r2 (r1＞r2) 　　两圆内含 d＜r1-r2 (r1＞r2) 要点归纳： 　　(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； 　　(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； 　　(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合. 考点1.点和圆的位置关系 【例1-1】如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm. (1)以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？ 解：(1)∵AB＝3cm＜4cm，∴点B在⊙A内；∵AD＝4cm，∴点D在⊙A上；∵AC＝＝5cm＞4cm，∴点C在⊙A外． (2)由题意得，点B一定在圆内，点C一定在圆外．∴3cm＜r＜5cm. 【例1-2】如图，点O处有一灯塔，警示⊙O内部为危险区，一渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由． 解：渔船应沿着灯塔O过点P的射线OP方向航行才能尽快离开危险区．理由如下：设射线OP交⊙O与点A，过点P任意作一条弦CD，连接OD，在△ODP中，OD－OP＜PD，又∵OD＝OA，∴OA－OP＜PD，∴PA＜PD，即渔船沿射线OP方向航行才能尽快离开危险区． 【变式1-1】（2023秋•江夏区校级期末）已知的半径为3，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是　　 A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点与的位置关系． 【解答】解：的半径分别是3，点到圆心的距离为4， ， 点与的位置关系是：点在圆外． 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【变式1-2】（2024•蒸湘区一模）已知点是外一点，且的半径为6，则的长可能为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径6可对各选项进行判断． 【解答】解：点是外一点， ， 的长可能为8． 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：若半径为，点到圆心的距离为，则有当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【变式1-3】（2024•榕城区校级三模）如图，为矩形的边的延长线上的动点，于，点在边上，若，，，则线段的最大值为 　 　． 【分析】连接，以为直径作的外接圆，当，，三点共线时，取最大值，再过作于，根据勾股定理求出，而，即可求出线段的最大值． 【解答】解：连接，以为直径作的外接圆， ， 点在上， 当，，三点共线时，取最大值， 过作于， ，， ， 为的中点， ， 在中，，， 线段的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，圆周角定理，直角三角形斜边上的中线，点与圆的位置关系，作辅助线并判断出最大时的情况是解题的关键． 【变式1-4】（2023秋•东光县期中）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、． （1）圆心的坐标为　 　； （2）判断点与的位置关系． 【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． （2）求出的半径，的长即可判断； 【解答】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是 故答案为：2，0． （2）圆的半径， 线段， 所以点在内． 【点评】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． 考点2.确定圆的条件 【例2】已知：不在同一直线上的三个已知点A，B，C(如图)，求作：⊙O，使它经过点A，B，C. 解析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边AB、BC的垂直平分线相交于点O，以O为圆心，以OA为半径，作出圆即可． 解：(1)连接AB、BC； (2)分别作出线段AB、BC的垂直平分线DE、GF，两垂直平分线相交于点O，则点O就是所求作的⊙O的圆心； (3)以点O为圆心，OC长为半径作圆．则⊙O就是所求作的圆． 方法总结：线段垂直平分线的作法，需熟练掌握． 【变式2-1】（2024•上饶一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当、、、四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆画出图形，即可得出答案． 【解答】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时， ②当三点在一直线上时，如图2， 分别过、、或、、或、、作圆，共3个圆，即， ③当、、、四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过、、或、、或、、或、、作圆，共4个圆，即此时， 即不能是2， 故选：． 【点评】本题考查了确定圆的条件，主要考查学生的动手操作能力和画图能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目，有一定的难度． 【变式2-2】．（2023秋•遵化市期末）已知平面直角坐标系中的三个点分别为、、，则、、这三个点 　　确定一个圆（填“可以”或“不可以” ． 【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点是否在直线上，然后根据确定圆的条件进行判断． 【解答】解：能．理由如下： 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得， 所以直线的解析式为， 当时，， 所以点不在直线上， 即点、、不共线， 所以过、、这三个点能确定一个圆． 【点评】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．会利用待定系数法求一次函数解析式． 【变式2-3】．（2023秋•滨海县月考）如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【分析】求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以． 【解答】证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， 和都是直角三角形． ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 【点评】此题主要考查了确定圆的条件，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等． 考点3.三角形的外接圆 【例3-1】如图，△ABC内接于⊙O，∠OAB＝20°，则∠C的度数是________． 解析：由OA＝OB，知∠OAB＝∠OBA＝20°，所以∠AOB＝140°，根据圆周角定理，得∠C＝∠AOB＝70°. 方法总结：在圆中求圆周角的度数，可以根据圆周角定理找相等的角实现互换，也可以寻找同弧所对的圆周角与圆心角的关系． 【例3-2】如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径． 解：连接OB，过点O作OD⊥BC，则OD＝5cm，BD＝BC＝12cm.在Rt△OBD中，OB＝＝＝13cm.即△ABC的外接圆的半径为13cm. 方法总结：由外心的定义可知外接圆的半径等于OB，过点O作OD⊥BC，易得BD＝12cm.由此可求它的外接圆的半径． 【变式3-1】（2024•香洲区二模）如图，已知四边形，过，，的圆交于点，连接，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆内接四边形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：四边形是圆的内接四边形， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质的性质是解题的关键． 【变式3-2】．（2024•黑龙江）如图，内接于，是直径，若，则　　． 【分析】连接，先根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答． 【解答】解：连接， ， ， 是的直径， ， ， 故答案为：65． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式3-3】．（2024•云岩区校级二模）如图，等边内接于，是上任一点（点不与点、重合），连接、，过点作交的延长线于点． （1）求和的度数； （2）求证：； （3）若，，求四边形的面积． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，根据圆周角定理即可得到，； （2）根据平行线的性质得到，，求得，根据圆周角定理得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （3）作于，根据全等三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论； 【解答】（1）解：是等边三角形， ， ，， ，； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， 又、、、四点共圆， ， ， 在和中， ， ； （3）解：， 四边形为梯形， 作于， ， ，， 又， 为等边三角形， ， 在中，， ， ． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 考点4.直线与圆的位置关系 【例4-1】已知⊙O的半径为5，点P在直线l上，且OP＝5，直线l与⊙O的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 解析：我们考虑圆心到直线l的距离，如果距离大于半径，则直线l与⊙O的位置关系是相离；若距离等于半径，则直线l与⊙O相切；若距离小于半径，则直线l与⊙O相交．分两种情况讨论：(1)OP⊥直线l，则圆心到直线l的距离为5，此时直线l与⊙O相切．(2)若OP与直线l不垂直，则圆心到直线的距离小于5，此时直线l与⊙O相交．所以本题选D. 方法总结：判断直线与圆的位置关系，主要看该圆心到直线的距离，所以要判断直线与圆的位置关系，我们先确定圆心到直线的距离． 【例4-2】△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm，以点B为圆心、6cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线与⊙B的位置关系是________． 解析：根据圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断．本题根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，AC，BC是直角边，则圆心B到直线AC的距离是6cm，等于⊙B的半径，所以AC所在的直线与⊙B相切． 方法总结：根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状同时求出圆心到直线的距离是解题的关键． 【例4-3】如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为(　　) A．(－1，－2) B．(1，2) C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2) 解析：过点A作AQ⊥MN于Q，连接AN，设半径为r，由垂径定理有MQ＝NQ，所以AQ＝2，AN＝r，NQ＝4－r，利用勾股定理可以求出NQ＝1.5，所以N点坐标为(－1，－2)．故选A. 方法总结：在圆中如果有弦要求线段的长度，通常要将经过圆心的半径画出，利用垂径定理和勾股定理解决问题． 【例4-4】已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是________． 解析：因为直线l与圆没有交点，所以直线l与圆相离，所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即d＞5. 【变式4-1】（2024春•丰城市校级月考）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足　　 A． B． C． D． 【分析】直线和圆的三种位置关系：相离，相切，相交，设的半径为，圆心到直线距离为，直线和相交，则；直线和相切，则；直线和相离，则，即可求解． 【解答】解：直线和圆的三种位置关系：相离，相切，相交， 设的半径为，圆心到直线距离为， 直线和相交，则； 直线和相切，则； 直线和相离，则． 圆的直径为， 圆的半径为， 直径为的圆与一条直线有两个公共点， 的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握点到直线距离与半径比较求解方法是解决本题的关键． 【变式4-2】（2024•汉川市模拟）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是　　 A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 【分析】设的半径为，解一元一次方程得，，则，所以，可知直线与相离，于是得到问题的答案． 【解答】解：设的半径为， 解一元一次方程得，， 的半径是一元二次方程的一个根， ， 圆心到直线的距离， ， 直线与相离， 故选：． 【点评】此题重点考查一元一次方程的解法，直线与圆的位置关系等知识与方法，求出一元一次方程的解并且判断圆心到直线的距离与的半径之间的大小关系是解题的关键． 【变式4-3】．（2024•西湖区校级开学）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 　　． 【分析】作于，则，由题意得出半径，由，即可得出结论． 【解答】解：如图所示：作于 则， ， ， ，即圆心到直线的距离半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【变式4-4】．（2023秋•安州区期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是　 　． 【分析】根据已知条件和图形分析可得当是大圆直径时的值最大，从而可得的最大值；进一步分析可得当与小圆相切的时，最小，利用勾股定理可得的最小值；若大圆的弦与小圆有公共点，即与小圆相切或相交，再结合上面分析即可解答． 【解答】解：当是大圆直径时的值最大，最大值为10． 当与小圆相切时最小． 小圆的半径为3，大圆半径为5， ． 大圆的弦与小圆有公共点，即相切或相交， ． 故答案：． 【点评】本题考查了判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和相交；直线和相切；直线和相离． 考点5.切线的判定 【例5】如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线． 证明：连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线． 方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【变式5-1】（2024•凉州区校级三模）如图，为的直径，点，在上，，． 求证：是的切线． 【分析】连接，根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式5-2】（2024•赣州二模）如图，的顶点，在上，交于点，连接，已知．（1）若的半径为3，求弦的长； （2）当，求证：是的切线． 【分析】（1）连接、，则，由圆周角定理得，得出是直角三角形，利用勾股定理即可得出结果； （2）连接并延长交于点，连接，则，，由直角三角形的性质得，即可证得结论． 【解答】（1）解：如图，连接、， ， ， ， 是直角三角形， ； （2）证明；连接并延长交于点，连接， 为直径， ， ， ，， ， ， ，即， 是的直径， 是的切线． 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式5-3】（2024•良庆区校级模拟）如图，在中，，以为直径作，交于点，连接，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）求证：为的切线． 【分析】（1）先利用圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得； （2）连接，如图，先证明为的中位线，则，再利用得到，然后根据切线的判定定理得到结论． 【解答】（1）证明：为直径， ， ， ； （2）证明：连接，如图， ，， 为的中位线， ， ， ， 是半径， 为的切线． 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理． 考点6.切线的性质 【例6-1】如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝，求⊙O的半径． (1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO. (2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝，∴AO＝1，∴CB＝OP＝2，∴OB＝1，即⊙O的半径为1. 【例6-2】如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且＝＝，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若CD＝2，求⊙O的半径． 分析：(1)连接OC，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得∠ACD＝∠B，再根据等量代换得到∠ACO＋∠ACD＝90°，从而证明CD是⊙O的切线；(2)由＝＝推得∠DAC＝∠BAC＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB的长，进而求得⊙O的半径． (1)证明：连接OC，BC.∵＝，∴∠DAC＝∠BAC.∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵BO＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＝∠OBC，∠ACD＝∠ABC，∴∠ACO＋∠ACD＝90°，即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线． (2)解：∵＝＝，∴∠DAC＝∠BAC＝30°.∵CD⊥AF，CD＝2，∴AC＝4.在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4，∴BC＝4，AB＝8，∴⊙O的半径为4. 【例6-3】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D. (1)当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由； (2)当DP为⊙O的切线时，求线段BP的长． 解析：(1)当点P是的中点时，得＝，得出PA是⊙O的直径，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，问题得证； (2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出△ABE∽△ADP，即可求出DP的长． 解：(1)当点P是的中点时，DP是⊙O的切线．理由如下：∵AB＝AC，∴＝，又∵＝，∴＝，∴PA是⊙O的直径．∵＝，∴∠1＝∠2，又AB＝AC，∴PA⊥BC.又∵DP∥BC，∴DP⊥PA，∴DP是⊙O的切线． (2)连接OB，设PA交BC于点E.由垂径定理， 得BE＝BC＝6.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝＝8.设⊙O的半径为r，则OE＝8－r，在Rt△OBE中，由勾股定理，得r2＝62＋(8－r)2，解得r＝.在Rt△ABC中，AP＝2r＝，AB＝10，∴BP＝＝. 【变式6-1】（2024春•东昌府区校级月考）如图，四边形是平行四边形，是的直径，点在上，与相交于点，连接，过点作的切线交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，由圆内接四边形性质可得，进而即可得解； （2）由圆的切线的性质可，由平行线的性质可得，由圆内接四边形可得，进而可证为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一性质即可得解； 【解答】（1）解：四边形是平行四边形，且， ， 四边形为圆内接四边形， ， ． （2）证明：为圆切线， 即， 四边形是平行四边形， ，， ，即， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ，即为等腰三角形， ， ． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，圆的切线性质和圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握圆内接四边形的性质是解决此题的关键．． 【变式6-2】（2024•永城市校级二模）如图，在中，，以为直径作，交于点，作切线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，如图，先根据切线的性质得到，再根据等角的余角相等得到，从而可判断； （2）连接，如图，利用，可判断为等边三角形，所以，，再根据含30度角的直角三角形三边的关系在中计算出，接着在中计算出，然后计算即可． 【解答】（1）证明：连接，如图， ， ， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ； （2）连接，如图， ， ， 为等边三角形， ，， 在中，， 在中，， ． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 考点7.切线长定理 【例7-1】如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上．若PA长为2，则△PEF的周长是________． 解析：因为PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，所以PA＝PB，因为⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF的周长PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝(PE＋EC)＋(CF＋PF)＝PA＋PB＝2＋2＝4. 【例7-2】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度． 解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝∠APB＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB. 【例7-3】为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的． 解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝5(cm)，即铁环的半径为5cm. 【变式7-1】（2024•城中区校级一模）如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长为　　 A．60 B．55 C．45 D．50 【分析】根据切线长定理得到，，，，进而求出，再根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：四边形外切于，切点分别为、、、， ，，，， ， 四边形的周长为：， 故选：． 【点评】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 【变式7-2】．（2023秋•康县期末）如图，，是的切线，，为切点，，则　 　 ． 【分析】由切线的性质得出，，得出，，由已知得出，再由三角形内角和定理即可得出结果． 【解答】解：，是的切线， ，， ，， ， ； 故答案为：76． 【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；利用切线的性质来解答问题时，解此类问题的一般思路是利用直角来解决问题． 【变式7-3】（2022秋•永年区校级月考）已知、分别切于、，为劣弧上一点，过点的切线交于、交于． （1）若，求的周长． （2）若求． 【分析】（1）根据切线长定理得到，，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）证明，得到和，计算即可． 【解答】解：（1）连接， 、与圆相切， ， 同理可得：，， 的周长； （2）与圆相切， ，， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ． 【点评】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角是解题的关键． 考点8.三角形的内切圆 【例8-1】如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________． 解析：如图，连接OD.由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD＝30°，OD⊥BC，所以CD＝BC，OC＝2OD.又由BC＝2，则CD＝1.在Rt△OCD中，根据勾股定理得OD2＋CD2＝OC2，所以OD2＋12＝(2OD)2，所以OD＝.即⊙O的半径为. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 【例8-2】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为(　　) A．r B.r C．2r D.r 解析：连接OD，OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC.又∵MD，MP都是⊙O的切线，且D、P是切点，∴MD＝MP，同理可得NP＝NE，∴CRt△MBN＝MB＋BN＋NM＝MB＋BN＋NP＋PM＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r，故选C. 【变式8-1】（2024•阳新县校级二模）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则的大小是　　 A． B． C． D． 【分析】由是的内切圆，与，分别相切于点，，得，平分，则，，所以 ，于是得到问题的答案． 【解答】解：是的内切圆，与，分别相切于点，， ，平分， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义、切线长定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出是解题的关键． 【变式8-2】．（2024•高青县模拟）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为　　 A．19 B．17 C．22 D．20 【分析】设的内切圆切三边于点，，，连接，，，得四边形是正方形，由切线长定理可知：，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长． 【解答】解：如图，设的内切圆切三边于点，，，连接，，， 四边形是正方形， 由切线长定理可知：， 是的切线， ，， ，，， ， 是的内切圆， 内切圆的半径， ， ， 的周长． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 【变式8-3】（2024•克什克腾旗一模）如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题． 【解答】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线相交于、、于点、、， ， ， ， 的长为， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键． 一．选择题（共10小题） 1．（2024•萨迦县一模）如图，为的切线，点为切点，交于点，点在上，连接，，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆周角和圆心角的关系，可以得到的度数，然后根据为的切线和直角三角形的两个锐角互余，即可求得的度数． 【解答】解：， ， 为的切线，点为切点， ， ， 故选：． 【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键． 2．（2024•越秀区校级二模）在中，，是角平分线．以点为圆心，长为半径作，则与的位置关系是　　 A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【分析】根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论． 【解答】解：，是角平分线， ， 以点为圆心，长为半径作， 与相切， 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 3．（2024•西宁二模）已知的半径等于，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数为　　 A．0 B．1或0 C．0或2 D．1或2 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线和相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断． 【解答】解：的半径等于，圆心到直线的距离为， 即圆心到直线的距离小于或等于圆的半径， 直线和相切或相交， 直线与公共点的个数为1或2． 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，则当直线和相交；直线和相切；直线和相离． 4．（2024•东莞市校级模拟）如图，为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为　　 A．8 B．6 C．12 D．10 【分析】由切线长定理可求得，，，则可求得答案． 【解答】解： 、分别切于点、，切于点， ，，， ， 即的周长为12， 故选：． 【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得、和是解题的关键． 5．（2024•二道区校级四模）如图，为的直径，为的切线，连结交于点，连结．若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆周角定理和切线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：， ， 为的切线， ， ， 故选：． 【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理等知识，三角形内角和定理，根据切线的性质求出，根据圆周角定理求出是解决问题的关键． 6．（2024•福建）如图，已知点，在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据为的中点可求出的度数，根据等腰三角形的性质得，再由切线的性质可知，即可求出的度数． 【解答】解：为的中点，， ， ， ， 直线与相切，切点为， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理，掌握切线的性质、圆周角定理是解题的关键． 7．（2024•临邑县一模）如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为　　 A．9 B．10 C． D．12 【分析】连接，延长交于点，设，则，由勾股定理得出，解得，则得出答案． 【解答】解：连接，延长交于点， 与相切， ， 又矩形中，， ， ， 矩形绕点旋转所得矩形为， ，，， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， 解得， ． 故选：． 【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点． 8．（2024春•大足区期末）如图，是的切线，点是切点，连接交于点，延长交于点，连接，若，，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】连接、，由是的直径，得，，由切线的性质得，而，则，所以是等边三角形，则，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接、，则， 是的直径， ，， 与相切于点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查切线的性质定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 9．（2023秋•邻水县期末）如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为　　 A．44 B．42 C．46 D．47 【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等求出，根据四边形的周长公式计算即可． 【解答】解：四边形是的外切四边形， ， 四边形的周长， 故选：． 【点评】本题考查的是切线长定理，掌握圆外切四边形的对边之和相等是解题的关键． 10．（2024•武汉模拟）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为、，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形的边角关系和性质求出，，，，再利用三角形内切圆半径，三角形周长与面积之间的关系分别表示，，由可求出答案． 【解答】解：如图，连接，，，，，，过点，点分别作的垂线，垂足分别为，， 在中，，，， ， 为中线， ， ，即 ， ． 故选：． 【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，直角三角形的斜边中线的性质，掌握直角三角形的边角关系以及直角三角形斜边中线等于斜边一半是正确解答的关键． 二．填空题（共6小题） 11．（2024•浙江）如图，是的直径，与相切，为切点，连接．已知，则的度数为 　　． 【分析】由切线的性质得到，由直角三角形的性质求出． 【解答】解：是的直径，与相切，为切点， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查切线的性质，关键是由切线的性质得到． 12．（2024春•海淀区校级期末）如图，点为外一点，过点作的两条切线，切点分别为，，点为优弧上一点，若，则　80　． 【分析】连接，，由切线的性质定理得到，，利用解答即可． 【解答】解：连接，， ，分别切圆于、， 半径，半径， ， ， ， ， 故答案为：80． 【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由切线的性质定理得到，由圆周角定理得到． 13．（2024•龙马潭区校级二模）如图，在等边中，，半径为1的在等边内平移可以与该三角形的相切），则点到上的点的距离最大值为 　　． 【分析】直接根据图形作答即可． 【解答】解：当与、相切时，如图，连接，，延长交于， 同理可得， 根据勾股定理可得， ， ， ， 点到上的点的距离的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了点到圆的距离，圆外一点到圆上的点的最短距离和最长距离都在此圆外的点与圆心的连线所在的直线上，记圆外的点为，圆上的点为，圆心为，记，圆的半径为，则当，，共线时，若在线段之间，则取最小值，若在线段之间，则取最大值． 14．（2024•西城区二模）如图，与相切于点．点，分别在，上，四边形为正方形．若，则　　． 【分析】根据切线的性质和正方形的性质证得，，，进而得到，由勾股定理求出由平行线等分线段定理得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求出． 【解答】解：四边形为正方形， ，，，， 与相切于点， ， ， ，， 是的中位线， ， ，， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，平行线等分线段定理，三角形中位线定理等知识，综合运用这些知识是解决问题的关键． 15．（2024•六合区校级三模）如图，菱形的顶点，，在上，且与相切，若的半径为1，则菱形的周长为 　　． 【分析】连接，先根据切线的性质得出，再根据菱形的性质得出，再根据外角的性质，进而得出，根据直角三角形30度角所对的边是斜边的一半可得，再由勾股定理求解即可． 【解答】解：连接， 与相切， ， ， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为1， ， ， 菱形的周长为， 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质，三角形外角的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 16．（2024•南岗区校级二模）如图，已知四边形为菱形，以为直径作，过点作的切线交于点．若，则的度数为 　　． 【分析】由菱形的性质得，，，则，由切线的性质得，则，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：四边形是菱形，， ，，， ， 与相切于点，是的直径， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，求得，并且证明是解题的关键． 三．解答题（共4小题） 17．（2024•辽阳三模）如图，一个圆形瓶盖和一个直角三角形纸板，点在斜边上．与分别交于点和，与切于点，于点． （1）求证：； （2）若，求的半径长． 【分析】（1）连接，，得，由是的切线得，得，得出，根据角平分线性质定理可得结论； （2）根据证明，可得，设的半径为，在中由勾股定理列方程可求出的值 【解答】（1）证明：如图所示，连接，， 与切于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （2）解：在和中， ， ， ， 设的半径为，则， ， 在中，，即， 解得， 的半径长为9． 【点评】本题主要考查切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．（2024•凉州区三模）如图，以点为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接，，如图， 为直径， ，即， 又， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ，是的直径， 是的切线， 是的切线； ， ， ， 解得． 【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． 19．（2024•民权县校级四模）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观 察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 【分析】（1）连接，根据切线的性质的，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到； （2）根据直角三角形的性质得到，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 20．（2024•河北区二模）在中，是的直径，，弦交于点，． （Ⅰ）如图①，求和的大小； （Ⅱ）如图②，过点作的切线，过点作于点，若，求的长． 【分析】（Ⅰ）连接，根据垂径定理证明，然后根据直角三角形的性质即可解决问题； （Ⅱ）根据切线的性质证明，过点作于点，结合（Ⅰ）证明是等腰直角三角形，四边形为矩形，进而可以解决问题． 【解答】解：（Ⅰ）在中，连接， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （Ⅱ）如图②，连接， 切于点， 于点，， 于点， ， ， ， 同（Ⅰ）可得， ， 如图②，过点作于点， 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形为矩形， ． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$