第07讲 幂的乘方 （1个知识点+2种经典题型+试题练习）-2024年新七年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第07讲 幂的乘方 （1个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 【例1】（2023秋•浦东新区校级期末）已知，，，则下列给出，，之间的数量关系式中，错误的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•宝山区校级月考）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•奉贤区期中）计算：　　． 【变式3】（2023秋•浦东新区期末）比较大小：　　． 【变式4】（2023秋•静安区校级月考）计算： （1）； （2）． 【变式5】（2023秋•闵行区校级月考）已知，求的值． 经典题型汇编 题型一.幂的乘方运算 1．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，则 ． 3．（23-24七年级上·上海静安·阶段练习）计算 (1) (2) 题型二.幂的乘方的逆用 4．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，则的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）若，，那么 ． 6．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）若2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，试求x与y的值． 试题练习 一、单选题 1．（20-21七年级上·上海·阶段练习）化简的结果是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海普陀·阶段练习）已知，则的值是（　　） A．24 B．31 C．108 D．6 3．（19-20七年级上·上海青浦·期中）下列等式中能成立的是 A．x5+x5=x10 B．(x5)2=x25 C．x5·x5=x10 D．(2x2)5=2x10 4．（19-20七年级上·上海闵行·阶段练习）的计算结果是.(    ). A． B．- C． D．- 5．（七年级上·上海普陀·期中）如果，那么的值是（  ） A． B． C． D． 6．（21-22七年级上·上海青浦·阶段练习）已知5a＝3，5b＝2，5c＝12，则a、b、c之间满足数量关系（    ） A．a＋2b＝c B．4a＋6b＝c C．a＋2b＝12c D．3a＋2b＝12c 二、填空题 7．（20-21七年级上·上海·期中）（n4）3等于 ． 8．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）填空： 9．如果，计算 ． 10．（21-22七年级上·上海青浦·阶段练习）化简：（n﹣m）2•（m﹣n）3•[（n﹣m）5]4＝ ． 11．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）比较大小： ． 12．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）已知，，则 ． 13．（23-24七年级上·上海松江·期末）若，，则 ． 14．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，则 . 15．（21-22七年级上·上海金山·期末）计算： ． 16．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）如果一个正方体的棱长是，那么这个正方体的体积是 ． 17．（21-22七年级上·上海宝山·期末）若，则的值是 18．（22-23七年级上·上海·期中）（1） （结果用幂的形式表示）； （2） ． 三、解答题 19．（19-20七年级上·上海静安·阶段练习）已知：=a，=b，用a，b分别表示： （1）的值； （2）的值. 20．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）计算： 21．（20-21七年级上·上海·期中）已知的值 22．（19-20七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算： 23．（2022七年级上·上海·专题练习） 24．（19-20七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算，结果用幂的形式表示： （1）               （2） （3）                         （4） 25．（19-20七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算结果用幂的形式表示： ； 26．（20-21七年级上·上海黄浦·阶段练习）若（，为正整数），且，求的值． 27．（19-20七年级上·上海浦东新·期中）已知，； 求：（1） （2） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 幂的乘方 （1个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 【例1】（2023秋•浦东新区校级期末）已知，，，则下列给出，，之间的数量关系式中，错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据同底数幂相乘的法则、幂的乘方法则分别计算，判断即可． 【解答】解：、，，，，正确，故此选项不符合题意； 、，，，，正确，故此选项不符合题意； 、，，，错误，故此选项符合题意； 、，，，，正确，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘是解题的关键． 【变式1】（2023秋•宝山区校级月考）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据，，合并同类项，进行计算后逐一判断，即可求解． 【解答】解：．，运算不正确，故不符合题意； ．，运算正确，故符合题意； ．，运算不正确，故不符合题意； ．，不能进行运算，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了幂的乘方公式，同底数幂的乘法公式，合并同类项，掌握公式是解题的关键． 【变式2】（2023秋•奉贤区期中）计算：　　． 【分析】先把原式变形为，再利用积的乘方的法则进行求解即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了积的乘方，掌握积的乘方的法则是关键． 【变式3】（2023秋•浦东新区期末）比较大小：　　． 【分析】先根据乘方的意义，把写成，写成的形式，然后比较大小即可． 【解答】解： ， ， ，， ，即， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数的大小比较，解题关键是把这两个数写成指数相同的幂． 【变式4】（2023秋•静安区校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）原式利用同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方法则计算，再合并同类项，即可得到结果； （2）原式先去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式5】（2023秋•闵行区校级月考）已知，求的值． 【分析】首先变形把等号左边2 ，然后再利用积的乘方进行计算，从而可得，进而可得，再解即可． 【解答】解：， 2 ， ， ， 则， ． 【点评】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方，关键是熟练掌握积的乘方计算公式是正整数）． 经典题型汇编 题型一.幂的乘方运算 1．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，合并同类项，进行计算后逐一判断，即可求解. 【详解】解：A.，运算不正确，故不符合题意； B.，运算正确，故符合题意； C.，运算不正确，故不符合题意； D.，不能进行运算，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的乘方公式，同底数幂的乘法公式，合并同类项，掌握公式是解题的关键． 2．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·上海静安·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式利用同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方法则计算，再合并同类项，即可得到结果； （2）原式先去括号，再合并同类型即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型二.幂的乘方的逆用 4．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，则的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先把变形为，得到，然后求出n的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解此题的关键，同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘． 5．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）若，，那么 ． 【答案】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘将要求的式子变形为，然后代入计算即可． 本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 6．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）若2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，试求x与y的值． 【答案】 【分析】根据幂的乘方的意义得到二元一次方程组，再进行计算即可． 【详解】解：∵2x＝4y+1，27y＝3x﹣1， ∴ ∴ 整理得， ①+②得， 把代入①得， ∴ ∴方程组的解为 【点睛】本题主要考查了幂的乘方和解二元一次方程组，熟练掌握解题步骤是解答本题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（20-21七年级上·上海·阶段练习）化简的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的乘方公式解题． 【详解】 故选：B． 【点睛】本题考查幂的乘方，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2．（23-24七年级上·上海普陀·阶段练习）已知，则的值是（　　） A．24 B．31 C．108 D．6 【答案】C 【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法的逆运算，进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 3．（19-20七年级上·上海青浦·期中）下列等式中能成立的是 A．x5+x5=x10 B．(x5)2=x25 C．x5·x5=x10 D．(2x2)5=2x10 【答案】C 【分析】根据幂的运算法则逐项进行判断即可. 【详解】A. x5+x5=2 x5，故原等式不能成立； B. (x5)2=x10，故原等式不能成立； C. x5·x5=x10，故原等式能成立； D. (2x2)5=25x10，故原等式不能成立. 故选C. 【点睛】本题考查幂的运算，准确掌握运算法则是关键. 4．（19-20七年级上·上海闵行·阶段练习）的计算结果是.(    ). A． B．- C． D．- 【答案】D 【分析】把原式化成 ，根据积的乘方得出 ，求出即可． 【详解】原式===12007×（-）=− 故选D. 【点睛】此题考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解题关键在于掌握运算法则. 5．（七年级上·上海普陀·期中）如果，那么的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用同底数幂乘法、幂的乘方公式，将式子进行变形是关键． 【详解】因为 所以 所以 所以 所以= 故选：C 【点睛】考核知识点：同底数幂乘法、幂的乘方．运用同底数幂乘法、幂的乘方法则将式子适当变形是关键． 6．（21-22七年级上·上海青浦·阶段练习）已知5a＝3，5b＝2，5c＝12，则a、b、c之间满足数量关系（    ） A．a＋2b＝c B．4a＋6b＝c C．a＋2b＝12c D．3a＋2b＝12c 【答案】A 【分析】根据所给的条件，由5c＝12＝3×22，可求得结果． 【详解】解：∵5a＝3，5b＝2，5c＝12， ∴5c＝12 ＝3×22 ＝5a×（5b）2 ＝5a+2b， ∴c＝a+2b． 故选：A． 【点睛】本题主要考查幂的乘方和同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则要熟练掌握． 二、填空题 7．（20-21七年级上·上海·期中）（n4）3等于 ． 【答案】n12 【分析】幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此计算即可． 【详解】解：（n4）3＝n4×3＝n12． 故答案为：n12． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算，解题的关键在于能够熟练掌握幂的乘方运算的计算法则． 8．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）填空： 【答案】/ 【分析】根据幂的乘方公式结合题目可得答案． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】此题考查幂的乘方公式的应用，掌握幂的乘方公式是解题关键． 9．如果，计算 ． 【答案】12 【分析】逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则变形为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是灵活运用运算法则，注意法则的逆用． 10．（21-22七年级上·上海青浦·阶段练习）化简：（n﹣m）2•（m﹣n）3•[（n﹣m）5]4＝ ． 【答案】﹣（n﹣m）25 【分析】首先把各项的底数转化为相同，再进行幂的乘方与同底数幂的乘法的运算即可． 【详解】解：（n﹣m）2•（m﹣n）3•[（n﹣m）5]4 ＝﹣（n﹣m）2•（n﹣m）3•[（n﹣m）5]4 ＝﹣（n﹣m）2•（n﹣m）3•（n﹣m）20 ＝﹣（n﹣m）2+3+20 ＝﹣（n﹣m）25． 故答案为：﹣（n﹣m）25． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 11．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）比较大小： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了幂的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键．根据幂的乘方的性质，可得，，比较2187和2018的大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为 12．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】逆用同底数幂的乘法和幂的乘方变形为，再代入已知条件即可得到答案，熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方法则是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， 故答案为： 13．（23-24七年级上·上海松江·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了运算公式的逆用，掌握，是解题的关键． 【详解】解： ； 故答案为：． 14．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】根据题意得到，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则得到，代入即可求出结果. 本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 15．（21-22七年级上·上海金山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】先计算幂的乘方，然后根据同底数幂乘法的计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法，熟知幂的乘方指数相乘，同底数幂乘法指数相加是解题的关键． 16．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）如果一个正方体的棱长是，那么这个正方体的体积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方，根据幂的乘方，底数不变指数相乘计算即可． 【详解】解：根据正方体的体积公式得，． 故答案为：． 17．（21-22七年级上·上海宝山·期末）若，则的值是 【答案】 【分析】将代入，根据幂的运算与负整数指数幂运算法则即可得． 【详解】解：， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了幂的运算与负整数指数幂，熟练掌握是解题关键． 18．（22-23七年级上·上海·期中）（1） （结果用幂的形式表示）； （2） ． 【答案】 【分析】直接根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：（1）， （2）， 故答案为；． 【点睛】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n为正整数）． 三、解答题 19．（19-20七年级上·上海静安·阶段练习）已知：=a，=b，用a，b分别表示： （1）的值； （2）的值. 【答案】（1）ab；（2）a3b2. 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法：，再将=a，=b代入即可； （2）逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方：，再将=a，=b代入即可. 【详解】（1） 将=a，=b代入可得： 原式=ab； （2） 将=a，=b代入可得： 原式=a3b2. 【点睛】此题考查的是逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方. 20．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方的运算法则是解题的关键． 21．（20-21七年级上·上海·期中）已知的值 【答案】 【分析】先根据幂的运算法则及性质进行化简，再求值． 【详解】解原式= 把代入上式，得 原式 ， 【点睛】本题考查了幂的运算法则及性质，运用同底数幂的乘法法则及积的乘方的性质是解本题的关键． 22．（19-20七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算： 【答案】0 【分析】根据幂的乘方公式及同底数幂的运算法则即可求解. 【详解】 = = =0 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则. 23．（2022七年级上·上海·专题练习） 【答案】 【分析】根据积的乘方和同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】原式= 【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握幂的乘方和同底数幂的乘法法则． 24．（19-20七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算，结果用幂的形式表示： （1）               （2） （3）                         （4） 【答案】（1）（2） （3）（4） 【分析】（1）根据同底数幂的运算公式即可求解； （2）根据同底数幂的运算公式即可求解； （3）根据幂的乘方与积的乘方公式即可求解； （4）根据幂的乘方与同底数幂的运算即可求解. 【详解】（1）=          （2） = （3）=                       （4）= 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式的运用. 25．（19-20七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算结果用幂的形式表示： ； 【答案】 【分析】先进行括号内的幂的运算，再进行括号外面的运算. 【详解】原式= 【点睛】本题主要考查幂的乘法、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 26．（20-21七年级上·上海黄浦·阶段练习）若（，为正整数），且，求的值． 【答案】2020 【分析】根据题意，把进行整理，得到a、b的值，然后进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 即． ∵， ∴， 即． 此时． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确得到a、b的值． 27．（19-20七年级上·上海浦东新·期中）已知，； 求：（1） （2） 【答案】（1）4；（2）200. 【分析】与已知中有关，需要对变形，联想到可写成的形式，再利用代入即可求解. 运用（1）中同样的方法，代入求值即可. 【详解】解：（1）； （2） ； 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方运算，熟练掌握运算法则并能灵活运用是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$