12.3.2 角平分线的判定课件2023-2024学年人教版数学八年级上册

第十二章 全等三角形 12.3.2 角平分线的判定 人教版 数学 八年级 上册 复习导入 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 PD⊥OA，PE⊥OB ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ PD＝PE 几何语言： 角的平分线的性质: O C B 1 A 2 P D E 学习目标 1.了解角的平分线的判定定理； 2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算. 学习探究 任务一 角平分线的判定 【自学】 独立思考完成《学习任务单》的活动1（3分钟）. 自学要求： （独立不讨论） ①圈点勾画; ②标记疑问. 思考：这个结论正确吗？ 已知：PD= PE，且PD⊥OA， PE⊥OB 求证：OC平分∠AOB 问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． P A O B C D E 学习探究 活动2 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. B A D O P E 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP ｛ 互学要求： （组长主持，主动参与，分工合作） ①有序交流：C2先说，其余补充; ②汇总意见：组长汇总，作好记录; ③准备展示：任务分工，全员展示. 【互学】 （3分钟） 展学要求： （积极展示，自信大方） ①组长主持，分工讲解; ②有没有补充和质疑的？ 学习反思 【展学】 （4分钟） 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. P A O B C D E 学以致用 活动3 要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？（比例尺 1：20000） Ｓ Ｏ 公路 铁路 角平分线的性质 应建在角平分线上。 学以致用 D C S 解：作夹角的角平分线OC， 500米=50000厘米，根据比例尺，图上距离应为2.5厘米，所有截取点D=2.5cm ,点D即为所求。 所有在角平分线上的点到角两边的距离都相等吗？ 学习探究 任务二 三角形的内角平分线 结论：三角形的三条角平分线相交于一点 1、分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 自学要求： （独立不讨论） ①圈点勾画; ②标记疑问. 独立思考完成《学习任务单》的活动4（5分钟）. 【自学】 学习探究 活动4 2、分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 自学要求： （独立不讨论） ①圈点勾画; ②标记疑问. 学习探究 互学要求： （组长主持，主动参与，分工合作） ①有序交流：C2先说，其余补充; ②汇总意见：组长汇总，作好记录; ③准备展示：任务分工，全员展示. 活动5 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. D E F A B C P N M 【互学】 （3分钟） 得出结论 展学要求： （积极展示，自信大方） ①组长主持，分工讲解; ②有没有补充和质疑的？ 想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上. D E F A B C P N M 【展学】 （4分钟） 知识要点 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 学以致用 M E N A B C P O D 1：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4, (1)求点O到△ABC三边的距离和. 温馨提示：不存在垂线段———构造应用 12 学以致用 变式1：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4, (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 解：连接OC M E N A B C P O D 学习测评 独立完成下列各题（10分钟） 1．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠BCD＝60°，则∠DAC的度数为(　　) A．60°　　　　　 B．30°　　　　　 C．120°　　　　　 D．90° A 学习测评 2．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是(　　) A．线段CD的中点 B．过点O作CD的垂线所得垂足 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对 C 学习测评 3．如图所示，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF交CE于点D，且BD＝CD.求证：AD平分∠BAC. 证明： ∠BED＝∠CDF， ∠BDF＝∠CDF， BD＝CD， ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴DE＝DF. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC. 学习测评 4. 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有 ∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°. 学习反思 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的角平分线相交于内部一点，并且这点到三边的距离相等. 课后作业 分层作业: 1. 必做题：教材P51第3题 2. 选做题：教材P52第7题. $$