第20讲 任意角 -2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第20讲 任意角 1. 了解任意角的概念，能正确区分正角、负角和零角； 2. 掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角； 3. 理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同角组成的集合. 1 角的定义与分类 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角. 2 象限角的概念 (1) 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角. (2) 角度的加减 角度的加减与实数的加减差不多. 3 终边相等的角 与角终边相同的角的集合为 注 表达式中的不能漏！ 【题型一】 角的概念辨析 相关知识点讲解 1 角的定义与分类 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 如下图，一条射线的端点是，从起始位置按逆时针旋转到终止位置，形成角，射线分别是角的始边和终边. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角. 2 象限角的概念 (1) 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角. 注 终边落在坐标轴上，不能称为象限角. Eg：是第三象限角，是第一象限角. 3 角度的加减 角度的加减与实数的加减差不多. Eg：是锐角，则终边落在第一象限，那的终边把逆时针旋转落在第二象限， 故是第二象限.同理是第四象限，是第三象限. 【典题1】 射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为(　　) A．逆时针， B．顺时针， C．逆时针， D．顺时针， 【典题2】已知集合A={| 为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是(    ) A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D 变式练习 1. 时间经过1小时50分钟，则分针转过的角度是(    ) A． B． C． D． 2.下列说法正确的是(    ) A．终边与始边重合的角是零角 B．终边与始边都相同的两个角一定相等 C．小于90°的角是锐角 D．若，则是第三象限角 3.已知 {第二象限角}，{钝角}，{大于90°的角}，那么关系是(    ) A． B． C． D． 4.若是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是(    ) A． B． C． D． 5.若角α＝30°，把角α逆时针旋转20°得到角β，则β＝ . 6.如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝ .    【题型二】 求终边相同的角 相关知识点讲解 与角终边相同的角的集合为 注 表达式中的不能漏！ Eg：与角终边相同的角的集合为. 【典题1】 角的终边所在的象限是(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典题2】设集合，集合，则(    ) A． B．  C．  D． 变式练习 1. 的终边落在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.设集合，，则 A． B． C． D． 3.若角的终边在直线上，则角的取值集合为(    ) A． B． C． D． 4.设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么(   　) A．M＝N B．N⊆M C．M⊆N D．M∩N＝∅ 5.已知，则与角终边相同的最小正角为 ，最大负角为 . 6.已知的终边与角的终边相同，则在之间与终边相同的角的集合为 . 【题型三】 根据图形写出角的范围 【典题1】 写出终边落在图中阴影区域内的角的集合． (1)  (2)   变式练习 1. 集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是(   ) A． B． C． D． 2.已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是(    ) A． B．C． D． 3.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么 . 4.写出如图所示阴影部分的角α的范围． 【题型四】 确定未知角所在的象限 【典题1】 (多选)若是第二象限角，则(    ) A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角 变式练习 1. 角的终边落在(    ) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 2.(多选)若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是(    ) A． B． C． D． 3.已知是锐角，则错误的是(    ) A．是第三象限角 B．是小于的正角 C．是第一或第二象限角 D．是锐角 4. (多选)如图，若角的终边落在阴影部分，则角的终边可能在(    )    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.若是第一象限角，则是(    ) A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角 6.如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【A组---基础题】 1.将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数为(    ) A． B． C． D． 2.下列说法正确的是(    ) A．第一象限角一定是锐角 B．终边相同角一定相等 C．小于90°的角一定是锐角 D．钝角的终边在第二象限 3.若角与角的终边关于y轴对称，则必有(    ) A． B． C． D． 4.设是第二象限角，则的终边在(    ) A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 5.下列说法中正确的是 (填序号)． ①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限角；③第二象限角为钝角； ④小于的角一定为锐角；⑤角与的终边关于x轴对称． 6.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB的位置，再顺时针旋转270°到达OC的位置，则 . 7.已知的终边与角的终边相同，则在之间与终边相同的角的集合为 . 8.(1)如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．          (2)已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角． 9.如图,,分别是终边落在射线OA,OB位置上的两个角,且,. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合; (2)求终边落在阴影部分(不包括边界),且在内的角的集合. 【B组---提高题】 1.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，若两只蚂蚁均从点A(1，0)同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°＜α＜β＜180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 任意角 1. 了解任意角的概念，能正确区分正角、负角和零角； 2. 掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角； 3. 理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同角组成的集合. 1 角的定义与分类 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角. 2 象限角的概念 (1) 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角. (2) 角度的加减 角度的加减与实数的加减差不多. 3 终边相等的角 与角终边相同的角的集合为 注 表达式中的不能漏！ 【题型一】 角的概念辨析 相关知识点讲解 1 角的定义与分类 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 如下图，一条射线的端点是，从起始位置按逆时针旋转到终止位置，形成角，射线分别是角的始边和终边. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角. 2 象限角的概念 (1) 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角. 注 终边落在坐标轴上，不能称为象限角. Eg：是第三象限角，是第一象限角. 3 角度的加减 角度的加减与实数的加减差不多. Eg：是锐角，则终边落在第一象限，那的终边把逆时针旋转落在第二象限， 故是第二象限.同理是第四象限，是第三象限. 【典题1】 射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为(　　) A．逆时针， B．顺时针， C．逆时针， D．顺时针， 【答案】B 【分析】由题意可得，，从而可求出，进而可得答案. 【详解】由题意可得，设，则 ， 解得， 所以射线绕端点顺时针旋转， 故选：B 【典题2】已知集合A={| 为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是(    ) A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D 【答案】D 【分析】根据题意，将各个集合化简，即可得到结果. 【详解】因为A={| 为锐角}， D={|为小于的正角}， 对于集合，小于的角包括零角与负角， 对于集合，C={|为第一象限角}， 所以A=D， 故选：D 变式练习 1. 时间经过1小时50分钟，则分针转过的角度是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意角的概念求得正确答案. 【详解】，则， 因为时针都是顺时针旋转， 所以时间经过1小时50分钟，分针转过的角度是. 故选：A 2.下列说法正确的是(    ) A．终边与始边重合的角是零角 B．终边与始边都相同的两个角一定相等 C．小于90°的角是锐角 D．若，则是第三象限角 【答案】D 【分析】根据象限角的相关定义即可结合选项即可逐一求解. 【详解】对于A. 终边与始边重合的角的集合为,故A错误， 对于B，终边与始边都相同的两个角不一定相等，比如的终边和始边相同，但两个角不相等，故B错误， 对于C，锐角为的角，所以小于90°的角不一定是锐角，故C错误， 对于D，，则是第三象限角，故D正确， 故选：D 3.已知 {第二象限角}，{钝角}，{大于90°的角}，那么关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用任意角象限角的概念逐一分析判断得解. 【详解】对A，如在集合里，但是并不是钝角，所以不在集合里，所以选项A错误； 对B，钝角大于90°，小于180°，故，故选项B正确； 对C，错误，如在第二象限，但是并不大于，所以选项C错误； 对D，错误. 如在第二象限，但是并不在集合中，故D错误. 故选：B 4.若是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据角的定义和象限角的概念可判断各个选项. 【详解】因为是第一象限角，所以是第四象限角， 则是第一象限角，故A错误；是第二象限角，故B错误； 是第四象限角，故C正确；是第一象限角，故D错误. 故选：C. 5.若角α＝30°，把角α逆时针旋转20°得到角β，则β＝ . 【答案】50° 【分析】根据任意角的概念计算可得到结果. 【详解】因为由逆时针旋转得到，所以. 故答案为： 6.如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝ .    【答案】 【分析】根据任意角的定义即可求解. 【详解】两次旋转后形成的角为，. 故答案为： 【题型二】 求终边相同的角 相关知识点讲解 与角终边相同的角的集合为 注 表达式中的不能漏！ Eg：与角终边相同的角的集合为. 【典题1】 角的终边所在的象限是(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据终边相同的角的表示，将转化为到之间，从而判断角所在的象限. 【详解】，所以的终边所在的象限是第三象限. 故选：C. 【典题2】设集合，集合，则(    ) A． B．  C．  D． 【答案】D 【分析】考虑中角的终边的位置，再考虑中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系. 【详解】. 表示终边在直线上的角， 表示终边在直线上的角， 而 表示终边在四条射线上的角，   四条射线分别是射线 ，   它们构成直线、直线，故. 故选：D. 【点睛】本题考查终边相同的角，注意的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线，而的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题. 变式练习 1. 的终边落在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据角与角的终边相同，，所以与的终边落在同一象限，判断所在象限即可. 【详解】因为，又因为的终边落在第四象限， 所以的终边落在第四象限． 故选：D 2.设集合，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别取，得到内的值，与取交集得答案． 【详解】∵， 当时，时，时，时， 又， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了赋值思想，是基础题． 3.若角的终边在直线上，则角的取值集合为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的终边在直线上，利用终边相同的角的写法，考虑角的终边的位置的两种情况，即可求出角的集合. 【详解】由题意知角的终边在直线上， 故或， 即或， 故角的取值集合为. 故选：C. 4.设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么(   　) A．M＝N B．N⊆M C．M⊆N D．M∩N＝∅ 【答案】C 【分析】变形表达式为相同的形式，比较可得． 【详解】由题意可 即为的奇数倍构成的集合， 又，即为的整数倍构成的集合，， 故选C． 【点睛】本题考查集合的包含关系的判定，变形为同样的形式比较是解决问题的关键，属基础题． 5.已知，则与角终边相同的最小正角为 ，最大负角为 . 【答案】 【分析】先将与终边相同的角表示出来，然后对进行赋值，由此求得最小正角和最大负角. 【详解】， 则与角终边相同的角可以写成的形式. 当时，可得与角终边相同的最小正角为；当时， 可得与角终边相同的最大负角为. 故填：(1)；(2). 【点睛】本小题主要考查终边相同的角，考查正角、负角的概念，属于基础题. 6.已知的终边与角的终边相同，则在之间与终边相同的角的集合为 . 【答案】 【解析】根据终边相同的角的表示方法得，再求出，解不等式即可得解. 【详解】∵， ∴.令， 则.∴. 将它们分别代入可得，，，，. 故答案为： 【点睛】此题考查终边相同的角的表示方法，再求出在之间的集合. 【题型三】 根据图形写出角的范围 【典题1】 写出终边落在图中阴影区域内的角的集合． (1)  (2)   【答案】(1) (2) 【分析】写出终边在边界上的角，结合图象，利用不等式表示终边在阴影内的角，注意边界的虚实. 【详解】(1)在范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为， 因此，阴影部分区域所表示的集合为； (2)图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为 ， 图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为 ， 因此，阴影部分区域所表示角的集合为 . 变式练习 1. 集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法来求得正确答案. 【详解】当k＝2n，n∈Z时,n360°＋45°≤α≤n360°＋90°，n∈Z； 当k＝2n＋1，n∈Z时，n360°＋225°≤α≤n360°＋270°，n∈Z. 故选：C 2.已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出临界位置的终边，结合选项即可得结果. 【详解】当，时，角的终边落在第一象限的角平分线上， 当，时，角的终边落在y轴的非负半轴上， 按照逆时针旋转的方向确定范围可得角的终边所在区域如选项B所示． 故选：B． 3.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么 . 【答案】 【分析】先求得在范围内，终边落在阴影内的角的范围，继而即可求得. 【详解】在范围内，终边落在阴影内的角为； 和. ， 故答案为： 4.写出如图所示阴影部分的角α的范围． 【答案】(1){α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}；(2){α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}． 【解析】(1)分别写出与45°角终边相同的角和与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角，再表示出其范围. (2)分别写出与45°角终边相同的角和与－60°＋360°＝300°角终边相同的角，再表示出其范围. 【详解】(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式， 与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式． 所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}． (2)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式， 与－60°＋360°＝300°角终边相同的角可写成300°＋k·360°，k∈Z的形式， 所以图(2)中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}． 【题型四】 确定未知角所在的象限 【典题1】 (多选)若是第二象限角，则(    ) A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角 【答案】AB 【分析】由与关于x轴对称，判断A选项； 由已知得，，再根据不等式的性质可判断B选项； 由是第一象限角判断C选项； 由不等式的性质可得，，由此可判断D选项． 【详解】解：因为与关于x轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A选项正确； 因为是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B选项正确； 因为是第二象限角，所以是第一象限角，故 C选项错误； 因为是第二象限角，所以，，所以，，所以的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误． 故选：AB. 变式练习 1. 角的终边落在(    ) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】分为奇数、偶数两种情况讨论，分别判断角所在的象限. 【详解】当时，，故为第三象限角； 当时，，故为第一象限角． 故角的终边落在第一或第三象限． 故选：C 2.(多选)若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用不等式表示象限角，根据象限角的定义逐项判断可得答案. 【详解】因为角是第二象限角，所以，， 对于A ，，，故是第三象限角，故A正确； 对于B，，，故是第一象限角，故B不正确； 对于C ，，，故是第三象限角，故C正确； 对于D，,,故是第三象限角或轴负半轴上的角或第四象限角，故D不正确. 故选：AC 3.已知是锐角，则错误的是(    ) A．是第三象限角 B．是小于的正角 C．是第一或第二象限角 D．是锐角 【答案】C 【分析】根据锐角的范围，直接利用不等式的运算法则即可求解. 【详解】由题知， 因为是锐角，所以， 对于A：所以，故A选项正确； 对于BC：，故B选项正确，C选项错误； 对于D：，故D选项正确； 故选：C. 4. (多选)如图，若角的终边落在阴影部分，则角的终边可能在(    )    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AC 【分析】利用象限角的定义即可得解. 【详解】依题意，得， 所以， 当为偶数时，的终边在第一象限；当为奇数时，的终边在第三象限． 故选：AC. 5.若是第一象限角，则是(    ) A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角 【答案】D 【分析】根据题意求出的范围即可判断. 【详解】由题意知，，， 则，所以，． 当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角． 所以是第二或第四象限角. 故选：D. 6.如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据角的终边在第三象限，得，即，然后分类讨论，再结合象限角定义可判断. 【详解】∵α为第三象限角，∴， ∴， 令，，时，，， 可得的终边在第一象限； 令，时，，， 可得的终边在第三象限， 令，时，，， ∴可得的终边在第四象限， 故选:B． 【A组---基础题】 1.将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的定义求解即可. 【详解】将时钟拨快20分钟，分针顺时针旋转，所以分针转过的度数为． 故选：D. 2.下列说法正确的是(    ) A．第一象限角一定是锐角 B．终边相同角一定相等 C．小于90°的角一定是锐角 D．钝角的终边在第二象限 【答案】D 【分析】根据象限角和终边相同的角，以及锐角和钝角的定义，判断选项中的命题是否正确即可. 【详解】对于A，第一象限角是，第一象限角不一定是锐角，故A错误； 对于B，终边相同角不一定相等，它们可能差，故B错误； 对于C，小于90°的角不一定是锐角，也可能是零角或者负角，故C错误； 对于D，钝角是大于90°且小于180°的角，故D正确； 故选：D. 3.若角与角的终边关于y轴对称，则必有(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据角与角的终边关于y轴对称，有，即可得解. 【详解】角与角的终边关于y轴对称， 所以， ， 即， 故选：D 【点睛】此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系，关键在于准确将对称关系转化成代数关系求解. 4.设是第二象限角，则的终边在(    ) A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】D 【分析】由 ，得到，对k赋值判断. 【详解】解：因为是第二象限角， 所以 ， ， 当 时， ，在第一象限； 当 时， ，在第二象限； 当 时， ，在第四象限； 故选：D 5.下列说法中正确的是 (填序号)． ①终边落在第一象限的角为锐角； ②锐角是第一象限角； ③第二象限角为钝角； ④小于的角一定为锐角； ⑤角与的终边关于x轴对称． 【答案】②⑤ 【分析】根据角的相关概念逐一分析即可. 【详解】锐角是第一象限角，但第一象限的角不一定是锐角， 如是第一象限角，但不是锐角，故①错误，②正确； 第二象限角不一定是钝角，例如，故③错误； 小于的角不一定是锐角，如，故④错误； 由角的定义可知，与的终边关于x轴对称，⑤正确. 故答案为：②⑤． 6.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB的位置，再顺时针旋转270°到达OC的位置，则 . 【答案】-150° 【分析】根据逆时针旋转是正角顺时针旋转是负角求解. 【详解】逆时针旋转是正角，顺时针旋转是负角， . 故答案为：-150° 7.已知的终边与角的终边相同，则在之间与终边相同的角的集合为 . 【答案】 【解析】根据终边相同的角的表示方法得，再求出，解不等式即可得解. 【详解】∵， ∴.令， 则.∴. 将它们分别代入可得，，，，. 故答案为： 【点睛】此题考查终边相同的角的表示方法，再求出在之间的集合. 8.(1)如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．          (2)已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角． 【答案】(1)答案见解析；(2)；是第一象限角． 【分析】(1)根据终边相同的角及角的概念求解即可得； (2)根据弧度制与角度概念转化书写即可. 【详解】(1)① ； ②． (2)∵，∴． 又，所以与终边相同，是第一象限角． 9.如图,,分别是终边落在射线OA,OB位置上的两个角,且,. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合; (2)求终边落在阴影部分(不包括边界),且在内的角的集合. 【答案】(1). (2). 【解析】(1)写出终边在边界上的角，即可得阴影部分角的集合(2)由(1)取适当的整数即可求满足条件角的集合. 【详解】(1)因为,， 可知终边在射线上的角分别是，，， 所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为： . (2)当时，在内的角为， 当时，在内的角为， 所以终边落在阴影部分(不包括边界),且在内的角的集合： . 【点睛】本题主要考查了利用终边相同的角写出终边在指定区域内角的集合，属于中档题. 【B组---提高题】 1.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，若两只蚂蚁均从点A(1，0)同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°＜α＜β＜180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值． 【答案】α=()°，β=()°． 【详解】试题分析：确定α=•180°，β=•180°，m，n∈Z，利用2α，2β均为钝角，即可得到结论． 解：根据题意可知：14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α=m•360°，m∈Z，14β=n•360°，n∈Z，从而可知α=•180°，β=•180°，m，n∈Z． 又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，则2α，2β在第二象限． 又0°＜α＜β＜180°，从而可得0°＜2α＜2β＜360°， 因此2α，2β均为钝角，即90°＜2α＜2β＜180°． 于是45°＜α＜90°，45°＜β＜90°． ∴45°＜•180°＜90°，45°＜•180°＜90°， 即＜m＜，＜n＜． 又∵α＜β，∴m＜n，从而可得m=2，n=3． 即α=()°，β=()°． 点评：本题考查任意角的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$