第21讲 任意角（思维导图+3知识点+5考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第21讲 任意角 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解任意角的概念，能正确区分正角、零角和负角； 2．理解象限角的意义，掌握终边相同的角的意义与表示； 3．通过正角和负角理解角的大小、旋转方向，通过角的终边所在的象限的讨论，培养数学抽象与逻辑推理核心素养. 知识点 1 角的概念 1、角的概念：角可以看成平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形。 2、角的表示： （1）始边：射线的起始位置． （2）终边：射线的终止位置． （3）顶点：射线的端点O． （4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． 3、角的分类： （1）正角：按逆时针方向旋转形成的角； （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角； （3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角。 知识点 2 相等角与角的加减 1、相等角：设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成，如果他们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称. 2、相反角：把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为. 3、角的加减：记，是任意两个角，我们规定：把角的终边按逆时针旋转角，这时终边所对应的角是；按顺时针旋转角，这时终边所对应的角是 知识点 3 终边相同的角 1、终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，它们彼此相差，即. 【要点辨析】相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍，要注意角的集合的表示形式不是唯一的。 1、象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限； 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 3、轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，并且角的终边落在坐标轴上时，称这个角为轴线角，这时，这个角不属于任何象限。 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 考点一：任意角的概念辨析 例1．（23-24高一上·全国·专题练习）时间经过1小时50分钟，则分针转过的角度是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一下·福建福州·开学考试）已知 {第二象限角}，{钝角}，{大于90°的角}，那么关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23高一上·河北承德·期末）下列说法正确的是 A．小于的角是锐角 B．钝角是第二象限的角 C．第二象限的角大于第一象限的角 D．若角与角的终边相同，则 【变式1-3】（23-24高一上·山西临汾·月考）（多选）下列命题不正确的是（    ） A．终边相同的角都相等 B．钝角比第三象限角小 C．互为相反的两个角关于轴对称 D．锐角都是第一象限角 考点二：求终边相同的角 例2.（22-23高一上·陕西宝鸡·月考）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·广西桂林·月考）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·安徽蚌埠·月考）将角的终边绕坐标原点O逆时针旋转60°后与130°角的终边重合，则与角终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·江西赣州·期中）角的终边与的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 考点三：根据图形写出角的范围 例3.（22-23高一下·山西朔州·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·陕西铜川·月考）如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 . 【变式3-3】（23-24高一上·全国·专题练习）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合． 考点四：确定已知角所在的象限 例4.（23-24高一下·广西桂林·月考）是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式4-1】（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】（23-24高一上·山东济南·月考）下列各角的终边在第二象限的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（22-23高一下·河南·月考）已知α是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 考点五：确定n分角与n倍角的象限 例5.（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·月考）若角是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【变式5-1】（23-24高一下·江西·月考）（多选）如图，若角的终边落在阴影部分，则角的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-2】（23-24高一上·山东济宁·月考）已知为第二象限角，那么是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角 【变式5-3】（23-24高一上·河北保定·期中）（多选）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 一、单选题 1．（23-24高一上·山西太原·期末）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·全国·专题练习）若，，则所在象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 4．（23-24高一下·河南驻马店·月考）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·甘肃天水·期末）若是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 6．（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知为第三象限角，则为第（    ）象限角. A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三 二、多选题 7．（22-23高一下·四川绵阳·月考）已知角的终边在第一象限，那么角的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（23-24高一上·广东珠海·月考）下列说法中，不正确的是（    ） A．第二象限角都是钝角 B．第二象限角大于第一象限角 C．若角与角不相等，则与的终边不可能重合 D．若角与角的终边在一条直线上，则 三、填空题 9．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合 ． 10．（22-23高一下·上海松江·月考）已知，若与的终边相同，且，则 11．（23-24高一上·全国·专题练习）若角的终边与角的终边相同，则终边与角的终边相同的钝角为 ． 四、解答题 12．（23-24高一上·陕西渭南·月考）写出图（1），（2）中的角α，β，γ的度数． 13．（23-24高一上·全国·月考）已知角的终边在直线上， (1)写出角的集合； (2)写出集合中适合不等式的元素. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21讲 任意角 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解任意角的概念，能正确区分正角、零角和负角； 2．理解象限角的意义，掌握终边相同的角的意义与表示； 3．通过正角和负角理解角的大小、旋转方向，通过角的终边所在的象限的讨论，培养数学抽象与逻辑推理核心素养. 知识点 1 角的概念 1、角的概念：角可以看成平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形。 2、角的表示： （1）始边：射线的起始位置． （2）终边：射线的终止位置． （3）顶点：射线的端点O． （4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． 3、角的分类： （1）正角：按逆时针方向旋转形成的角； （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角； （3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角。 知识点 2 相等角与角的加减 1、相等角：设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成，如果他们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称. 2、相反角：把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为. 3、角的加减：记，是任意两个角，我们规定：把角的终边按逆时针旋转角，这时终边所对应的角是；按顺时针旋转角，这时终边所对应的角是 知识点 3 终边相同的角 1、终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，它们彼此相差，即. 【要点辨析】相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍，要注意角的集合的表示形式不是唯一的。 1、象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限； 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 3、轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，并且角的终边落在坐标轴上时，称这个角为轴线角，这时，这个角不属于任何象限。 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 考点一：任意角的概念辨析 例1．（23-24高一上·全国·专题练习）时间经过1小时50分钟，则分针转过的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，则， 因为时针都是顺时针旋转， 所以时间经过1小时50分钟，分针转过的角度是.故选：A 【变式1-1】（23-24高一下·福建福州·开学考试）已知 {第二象限角}，{钝角}，{大于90°的角}，那么关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，如在集合里，但是并不是钝角，所以不在集合里，所以选项A错误； 对B，钝角大于90°，小于180°，故，故选项B正确； 对C，错误，如在第二象限，但是并不大于，所以选项C错误； 对D，错误. 如在第二象限，但是并不在集合中，故D错误.故选：B 【变式1-2】（22-23高一上·河北承德·期末）下列说法正确的是 A．小于的角是锐角 B．钝角是第二象限的角 C．第二象限的角大于第一象限的角 D．若角与角的终边相同，则 【答案】B 【解析】小于90°的角可以是负角，负角不是锐角，A不正确． 钝角是第二象限的角，正确； 第二象限的角大于第一象限的角，例如：150°是第二象限角，390°是第一象限角， 显然判断是不正确的．C是不正确的． 若角α与角β的终边相同，那么α=β+2kπ，k∈Z，所以D 不正确．故选B． 【变式1-3】（23-24高一上·山西临汾·月考）（多选）下列命题不正确的是（    ） A．终边相同的角都相等 B．钝角比第三象限角小 C．互为相反的两个角关于轴对称 D．锐角都是第一象限角 【答案】AB 【解析】A选项，和终边相同，但角不同，所以A选项错误. B选项，是钝角，是第三象限角，所以B选项错误. C选项，与关于轴对称，所以C选项正确. D选项，锐角的范围是，都是第一象限角，所以D选项正确.故选：AB 考点二：求终边相同的角 例2.（22-23高一上·陕西宝鸡·月考）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为与角终边相同的角是，， 当时，这个角为， 只有选项D满足，其他选项不满足.故选：D. 【变式2-1】（23-24高一下·广西桂林·月考）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于， 所以与角终边相同的角是.故选：D. 【变式2-2】（23-24高一下·安徽蚌埠·月考）将角的终边绕坐标原点O逆时针旋转60°后与130°角的终边重合，则与角终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，解得， 所以与角终边相同的角的集合为，故选：B 【变式2-3】（23-24高一下·江西赣州·期中）角的终边与的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为大小为的角的终边与大小为的角的终边关于y轴对称， 所以．故选：D． 考点三：根据图形写出角的范围 例3.（22-23高一下·山西朔州·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 当时，,所以选项C满足题意.故选：C. 【变式3-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当，时，角的终边落在第一象限的角平分线上， 当，时，角的终边落在y轴的非负半轴上， 按照逆时针旋转的方向确定范围可得角的终边所在区域如选项B所示．故选：B． 【变式3-2】（23-24高一上·陕西铜川·月考）如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 . 【答案】{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} 【解析】终边落在阴影部分第二象限最左边的角为, 终边落在阴影部分第四象限最左边的角为. 所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}. 【变式3-3】（23-24高一上·全国·专题练习）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合． 【答案】答案见解析 【解析】① ② 考点四：确定已知角所在的象限 例4.（23-24高一下·广西桂林·月考）是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】显然，所以是第三象限角.故选：C. 【变式4-1】（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为，又因为的终边落在第四象限， 所以的终边落在第四象限．故选：D 【变式4-2】（23-24高一上·山东济南·月考）下列各角的终边在第二象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：，而为第一象限角，所以为第一象限角，故A错误； 对于B：，所以为第三象限角，故B错误； 对于C：，所以为第四象限角，故C错误； 对于D：，而为第二象限角， 所以为第二象限角，故D正确；故选：D 【变式4-3】（22-23高一下·河南·月考）已知α是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【解析】由α是第二象限角可得，． 所以， 即，所以为第一象限角．故选：A 考点五：确定n分角与n倍角的象限 例5.（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·月考）若角是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【解析】由题意可知， 当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴， 当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴， 即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限.故选：C. 【变式5-1】（23-24高一下·江西·月考）（多选）如图，若角的终边落在阴影部分，则角的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AC 【解析】依题意，得， 所以， 当为偶数时，的终边在第一象限；当为奇数时，的终边在第三象限．故选：AC. 【变式5-2】（23-24高一上·山东济宁·月考）已知为第二象限角，那么是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角 【答案】D 【解析】∵为第二象限角， ∴， ∴, 当时，，属于第一象限， 当时，，属于第二象限， 当时，,属于第四象限， ∴是第一、二或第四象限角．故选：D 【变式5-3】（23-24高一上·河北保定·期中）（多选）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】CD 【解析】为第二象限角，故， 所以， 所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴.故选：CD 一、单选题 1．（23-24高一上·山西太原·期末）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】与角终边相同的角为， 当时，有，D正确，其他选项检验均不成立.故选：D. 2．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为钝角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故选项C正确， 又第二象限角的范围为， 不妨取，此时是第二象限角，但，所以选项ABD均错误，故选：C. 3．（23-24高一上·全国·专题练习）若，，则所在象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【答案】A 【解析】当时，为第一象限角，当时，为第三象限角，故选：A. 4．（23-24高一下·河南驻马店·月考）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知角的终边在直线上， 故或， 即或， 故角的取值集合为.故选：C. 5．（22-23高一上·甘肃天水·期末）若是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解析】由题意是第二象限角， 所以不妨设， 所以， 由象限角的定义可知是第四象限角.故选：D. 6．（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知为第三象限角，则为第（    ）象限角. A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三 【答案】A 【解析】因为为第三象限角， 所以 所以 当为偶数时，记, 所以，所以为第二象限角， 当为奇数时，记, 所以，所以为第四象限角， 所以为第二或第四象限角，故选:A. 二、多选题 7．（22-23高一下·四川绵阳·月考）已知角的终边在第一象限，那么角的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AC 【解析】因为角的终边在第一象限， 所以， 所以， 当时，，则终边在第一象限； 当时，，则终边在第三象限； 所以角的终边可能在第一象限或第三象限.故选：AC 8．（23-24高一上·广东珠海·月考）下列说法中，不正确的是（    ） A．第二象限角都是钝角 B．第二象限角大于第一象限角 C．若角与角不相等，则与的终边不可能重合 D．若角与角的终边在一条直线上，则 【答案】ABC 【解析】对于A，是第二象限角，但不是钝角，故A错误； 对于B，是第二象限角，是第一象限角，但，故B错误； 对于C，，则，但二者终边重合，故C错误； 对于D，角与角的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差的整数倍， 故，故D正确.故选：ABC. 三、填空题 9．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合 ． 【答案】 【解析】阴影部分内的角的集合为 10．（22-23高一下·上海松江·月考）已知，若与的终边相同，且，则 【答案】 【解析】依题意，， 又与的终边相同，且，所以. 故答案为： 11．（23-24高一上·全国·专题练习）若角的终边与角的终边相同，则终边与角的终边相同的钝角为 ． 【答案】 【解析】因为角的终边与角的终边相同，可得， 则，令， 即，则， 又因为，所以， 所以终边与角的终边相同的钝角为． 故答案为：. 四、解答题 12．（23-24高一上·陕西渭南·月考）写出图（1），（2）中的角α，β，γ的度数． 【答案】答案见解析 【解析】图（1）中，； 图（2）中，； . 13．（23-24高一上·全国·月考）已知角的终边在直线上， (1)写出角的集合； (2)写出集合中适合不等式的元素. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）角的终边在直线上 且直线与轴正半轴的夹角为， 角的集合. （2）在中， 取，得，取，得， 取，得，取，得， 取，得，取，得， 中适合不等式的元素分别是. 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