预习第15讲 椭圆及其标准方程 -2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）

第15讲 椭圆及其标准方程 1.掌握椭圆的定义； 2.掌握椭圆的标准方程，并会求椭圆方程； 3.掌握椭圆的焦点三角形，并会处理焦点三角形的相关问题. 1 椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆． 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 如图：是椭圆上一点. 2 椭圆的标准方程 焦点在轴上的椭圆方程为； 焦点在轴上的椭圆方程为. 3 焦点三角形 ，是椭圆的焦点，点在椭圆上，且与、不共线，则三角形叫做焦点三角形. 在题目出现焦点三角形，可想到椭圆定义和解三角形的相关知识. 【题型一】 椭圆的定义 相关知识点讲解 平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆． 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 如图：是椭圆上一点. 解释 点的轨迹是以、为焦点的椭圆； 点的轨迹是线段； 点的轨迹是无轨迹. 【例】点到两定点，的距离之和为，则动点的轨迹是什么？ 【典题1】 如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为(    ) A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆 【典题2】 如图，一动圆与圆外切，与圆内切，那动圆圆心的轨迹是什么图形？    变式练习 1. 已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是(   ) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 2.平面上到两定点，的距离之和为的点的轨迹是(    ) A．直线 B．椭圆 C．圆 D．线段 3.设定点，动点P满足条件(m为常数，且)，则点P的轨迹是(    ) A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 4.设圆与:外切并与:内切，则的圆心轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【题型二】 椭圆的标准方程 相关知识点讲解 焦点在轴上的椭圆方程为； 焦点在轴上的椭圆方程为. 解释 (1) 椭圆标准方程的证明 椭圆具有对称性，以经过椭圆两焦点的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点，， 根据椭圆定义可得，则， 所以， 两边平方得， 整理得， 两边平方得， 整理得， 两边同除以得， 即动点的轨迹椭圆对应的方程是. 由椭圆定义可知，即，所以. 令，(为椭圆与轴交点与原点的距离) 则我们称为椭圆的标准方程. (焦点在轴上的椭圆类似证明) 【典题1】 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【典题2】以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【典题3】 已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程 变式练习 1. 已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 2.椭圆M的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆M于点A，B.若的周长为20，则该椭圆的标准方程为(    ) A． B． C． D． 3.已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4.椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过，两点，则的方程为(    ) A． B． C． D． 5.在圆的上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为D，并延长至M，使得，则点M的轨迹方程是(    ) A． B． C． D． 6.已知圆：，点M为圆上任意一点，，的中垂线交于点E．求点E的轨迹方程． 【题型三】 椭圆的焦点三角形 相关知识点讲解 ，是椭圆的焦点，点在椭圆上，且与、不共线，则三角形叫做焦点三角形. 在题目出现焦点三角形，可想到椭圆定义和解三角形的相关知识. 【典题1】 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为(    ) A．7 B．8 C．9 D．11 【典题2】已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为(    ) A． B． C．4 D．8 2.设椭圆的焦点分别为与.若此椭圆上存在点使得为正三角形，则(    ) A． B． C．28 D．36 3.椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为(    ) A．10 B．14 C．18 D．20 4.已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最小值为(    ) A． B．1 C． D． 5.已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为(    ) A． B．2 C． D．6 6.设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为(    ) A．8 B．6 C．4 D．2 7.已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 8.已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为(    ) A． B． C． D． 9.已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则(    ) A． B． C． D．1 【A组---基础题】 1.已知点，动点P满足，则点P的轨迹为(    ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 2.若方程表示椭圆，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 3.平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是(    ) A． B． C． D． 4.已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则(    ) A． B． C． D． 5.已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为(    ) A．5 B． C． D．6 6.已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 7.已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则 ． 8.已知圆：，，T是圆M上任意一点，线段NT的垂直平分线与半径MT相交于点Q，当点T运动时，记点Q的轨迹为曲线C.求曲线C的方程； 9.平面直角坐标系中，圆M的方程为，圆N的方程为，动圆P与圆N内切，与圆M外切. (1)求动圆P的圆心的轨迹方程； (2)当时，求的大小. 【B组---提高题】 1.已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为(    ) A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 椭圆及其标准方程 1.掌握椭圆的定义； 2.掌握椭圆的标准方程，并会求椭圆方程； 3.掌握椭圆的焦点三角形，并会处理焦点三角形的相关问题. 1 椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆． 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 如图：是椭圆上一点. 2 椭圆的标准方程 焦点在轴上的椭圆方程为； 焦点在轴上的椭圆方程为. 3 焦点三角形 ，是椭圆的焦点，点在椭圆上，且与、不共线，则三角形叫做焦点三角形. 在题目出现焦点三角形，可想到椭圆定义和解三角形的相关知识. 【题型一】 椭圆的定义 相关知识点讲解 平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆． 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 如图：是椭圆上一点. 解释 点的轨迹是以、为焦点的椭圆； 点的轨迹是线段； 点的轨迹是无轨迹. 【例】点到两定点，的距离之和为，则动点的轨迹是什么？ 解析 依题意是定值，且大于两定点距离， 由椭圆定义可知，动点的轨迹是椭圆. 【典题1】 如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为(    ) A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆 【答案】C 【分析】 根据两点间距离公式结合椭圆的定义分析判断. 【详解】可设，，则， 可得， 由椭圆的定义可知：点P的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，. 故选：C 【典题2】 如图，一动圆与圆外切，与圆内切，那动圆圆心的轨迹是什么图形？    【答案】椭圆. 【分析】根据椭圆的定义求得动员圆心的轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径， ，所以圆与圆的关系是内含. 设动圆圆心为，动圆半径为， 由于， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，    变式练习 1. 已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是(   ) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【答案】D 【分析】利用椭圆轨迹的相关定义即可得解. 【详解】因为 所以为线段上的点. 故选：D. 2.平面上到两定点，的距离之和为的点的轨迹是(    ) A．直线 B．椭圆 C．圆 D．线段 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义判断可得； 【详解】因为平面上两定点，，所以，动点到两定点，的距离之和为，因为，所以动点是以，为焦点的椭圆； 故选：B 3.设定点，动点P满足条件(m为常数，且)，则点P的轨迹是(    ) A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义即可判断. 【详解】因为，所以，即， 所以点P的轨迹是以为焦点的椭圆． 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的定义，理解定义是解题的关键，属于基础题. 4.设圆与:外切并与:内切，则的圆心轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】根据圆的方程，分别找出圆心，的坐标，以及两圆的半径，再根据内切，外切中圆半径的关系，找到相关等式，即可得出动点M的轨迹属性，根据已知条件即可求出轨迹方程. 【详解】解:由圆:，圆心 ，， 圆:，圆心 ，半径， 设动圆圆心 ，半径为， 根据题意可得 整理得， 所以圆心的轨迹是以，为焦点， ，的椭圆，， 动圆圆心的的轨迹方程，所以轨迹为椭圆. 故选：B 【题型二】 椭圆的标准方程 相关知识点讲解 焦点在轴上的椭圆方程为； 焦点在轴上的椭圆方程为. 解释 (1) 椭圆标准方程的证明 椭圆具有对称性，以经过椭圆两焦点的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点，， 根据椭圆定义可得，则， 所以， 两边平方得， 整理得， 两边平方得， 整理得， 两边同除以得， 即动点的轨迹椭圆对应的方程是. 由椭圆定义可知，即，所以. 令，(为椭圆与轴交点与原点的距离) 则我们称为椭圆的标准方程. (焦点在轴上的椭圆类似证明) 【典题1】 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出含有参数的不等式组求解即可. 【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆, 需满足，解得. 故选：B. 【典题2】以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【答案】B 【详解】方法1 因为焦点在x轴上，设椭圆方程为 因为c=1，所以， 将代入得， 解得，，故椭圆方程为。 方法2 根据椭圆的定义得，所以， 因为c=1，所以， 故椭圆方程为。 【典题3】 已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程 【答案】x2＋＝1 【分析】设Q(x，y)，P(x0，y0)，进而可得x0＝2x，y0＝2y，代入椭圆方程即可求解. 【详解】设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y， 又＋1， 所以＋1，即x2＋＝1. 变式练习 1. 已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且， 所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆， 设椭圆方程为，焦距为， 则，解得，故动点P的轨迹方程为. 故选：B 2.椭圆M的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆M于点A，B.若的周长为20，则该椭圆的标准方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义列出方程，求出a＝5，根据焦点坐标求出c＝3，，得到椭圆标准方程. 【详解】因为的周长为20，由椭圆定义可知：4a＝20，即a＝5， 又因为c＝3，所以， 所以该椭圆的标准方程为. 故选：B. 3.已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程中分母都大于且不能相等即可求解. 【详解】因为方程表示的曲线是椭圆， 所以，解得且， 所以实数k的取值范围是. 故选：D. 4.椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过，两点，则的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆的方程为，代入点的坐标求解即可. 【详解】设椭圆的方程为， 因为椭圆过，两点， ， 解得， 所以所求椭圆方程为， 故选：C 5.在圆的上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为D，并延长至M，使得，则点M的轨迹方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设，则，然后代入圆的方程，化简即可得到结果. 【详解】   设，则，又点在圆上，所以， 化简可得，所以点M的轨迹方程是. 故选：C 6.已知圆：，点M为圆上任意一点，，的中垂线交于点E．求点E的轨迹方程． 【答案】 【分析】作图分析，由中垂线性质可得，即有点M到两定点的距离之和为定值，结合椭圆的定义求解即可得. 【详解】，，的中垂线交于点E． 则有，， 所以E点在以，为焦点的椭圆上， 设该椭圆的方程为)，半焦距为， 由，得，由，得， 所以． 故点E的轨迹方程为． 【题型三】 椭圆的焦点三角形 相关知识点讲解 ，是椭圆的焦点，点在椭圆上，且与、不共线，则三角形叫做焦点三角形. 在题目出现焦点三角形，可想到椭圆定义和解三角形的相关知识. 【典题1】 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为(    ) A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】A 【分析】 根据椭圆的定义可得，利用可求的最大值. 【详解】   设椭圆的半焦距为，则，， 如图，连接，则， 而，当且仅当共线且在中间时等号成立， 故的最大值为. 故选：A. 【典题2】已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义及三角形中位线的性质求出、，再由余弦定理求出，即可求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】由题意可得． 如图，因为分别是和的中点，所以， 根据椭圆定义，可得，又因为， 所以， 所以， 故的面积为． 故选：A． 变式练习 1. 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为(    ) A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据椭圆定义求解. 【详解】由椭圆定义知，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为. 故选：B 2.设椭圆的焦点分别为与.若此椭圆上存在点使得为正三角形，则(    ) A． B． C．28 D．36 【答案】C 【分析】根据已知推得，焦点位于轴上，点位于短轴的顶点，结合椭圆的定义即可得出，进而得出，即可得出答案. 【详解】由已知可得椭圆的焦点位于轴上且， 所以点位于短轴的端点，且，解得. 又，所以， 所以，. 故选：C. 3.椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为(    ) A．10 B．14 C．18 D．20 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用椭圆定义，结合三角形中位线性质求解即得. 【详解】椭圆的长半轴轴，半焦距， 依题意，分别是的中点，即， 所以的周长为. 故选：D 4.已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最小值为(    ) A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先由焦点坐标求出椭圆方程，再根据椭圆定义转化，数形结合可得，得解. 【详解】   由为椭圆的焦点， ，，， ，， 设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义得， ， 所以的最小值为. 故选：A. 5.已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为(    ) A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】由直线经过定点，结合椭圆的定义由求解. 【详解】由椭圆得， 因为点为椭圆上的点，则， 直线经过定点， 则， 当且仅当在线段上时取等号， 所以的最大值为2. 故选：B. 6.设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为(    ) A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】由题意结合椭圆定义推导出△是直角三角形，再求面积即可. 【详解】由可得：， 则椭圆得长轴长为， ， 可设，， 由题意可知，， ，，， △是直角三角形， 其面积． 故选：B． 7.已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】由椭圆，可得，，， 因为，所以， 由题意可得，， 即. 故选：D. 8.已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到垂直平分线段，则，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求解． 【详解】 因为椭圆方程为， 所以，，， 又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以垂直平分线段，所以， 又因为，所以，， 在直角三角形中，， 于是的面积为． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上转化为垂直平分线段，再结合椭圆定义求解. 9.已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则(    ) A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案. 【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得，    则①，即， 由余弦定理得， 即，整理得，② 联立①②，解得：，则， 又因为，则， 使用. 故选：B 【A组---基础题】 1.已知点，动点P满足，则点P的轨迹为(    ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】解： ， 故， 又， 根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆. 故选：A. 2.若方程表示椭圆，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程表示椭圆列不等式组，即得实数的取值范围. 【详解】由题意知表示椭圆，则， 解得. 故选：A. 3.平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出即可得出动点P的轨迹方程. 【详解】由题意， 平面内点P到、的距离之和是10， ∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上, , 解得：， ∴， ∴轨迹方程为: ， 故选: B. 4.已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】 由椭圆的方程，得，，因为，所以， 又在椭圆上，所以，解得， 即，， 所以 ． 故选：A． 5.已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为(    ) A．5 B． C． D．6 【答案】B 【分析】由题意设椭圆的左焦点为，作出图形，结合图形和椭圆的定义可知当三点共线时取到最大值. 【详解】由题意知，，设椭圆的左焦点为， 如图，P为C上一点，Q为圆上一点，，半径为1， ， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B 6.已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据圆的性质和椭圆定义得到，再利用关系即可. 【详解】设圆的半径为，则，则， 所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆． 则，所以 ， 所以动圆的圆心的轨迹方程为． 故答案为：. 7.已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则 ． 【答案】40 【分析】根据余弦定理，结合椭圆定义即可求解. 【详解】由题意可得， 在中，，由余弦定理， 得， 得， 得， 所以． 故答案为：40． 8.已知圆：，，T是圆M上任意一点，线段NT的垂直平分线与半径MT相交于点Q，当点T运动时，记点Q的轨迹为曲线C.求曲线C的方程； 【答案】 【分析】 根据椭圆的定义结合垂直平分线的性质即可得结果； 【详解】 因为点Q为线段NT的垂直平分线与半径MT的交点，连接， 所以，所以， 所以点Q的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 在椭圆中，，，所以求曲线C的方程为. 9.平面直角坐标系中，圆M的方程为，圆N的方程为，动圆P与圆N内切，与圆M外切. (1)求动圆P的圆心的轨迹方程； (2)当时，求的大小. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)作图，根据圆与圆的位置关系和椭圆定义可知所求轨迹为椭圆，然后可得方程； (2)根据椭圆定义和已知，联立余弦定理求解即可. 【详解】(1)圆M的圆心为，半径为， 圆N的圆心为，半径为. 设动圆P的圆心为，半径为r， 则依题意得，， 所以， 所以，点P的轨迹为椭圆，焦点在x轴上，其中，故， 所以，动圆P的圆心的轨迹方程为. 由图可知，当时，不符合题意，故椭圆方程为. (2)记，， 由(1)知，， 由余弦定理可得， 整理得，即， 又，所以，解得， 因为，所以. 【B组---提高题】 1.已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意画出图象，由角平分线的性质可得点到直线与的距离相等，进而利用直线的方程可得点的坐标，然后列方程求点的坐标，从而可得. 【详解】由题意可知，点只能在第一、四象限，不妨设点在第一象限，如图所示：    设，又， 由题意可知，直线的斜率一定存在， 所以，直线 ，即，则点， 直线 ，化为一般形式得， 因为点在的角平分线上，所以点到直线与的距离相等， 点到直线的距离， 点到直线的距离， 于是，化简得， 即， 又点在椭圆上，所以，得， 因此，，即， 解得或，点在第一象限，所以，， 则点， 所以. 故选：C. 【点睛】思路点睛：首先设点的坐标，再求出直线，直线的表达式以及点的坐标，最后再根据点到角两边的距离相等以及点在椭圆上，解出点的坐标，最后再求线段的长度. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$