预习第13讲 圆的方程-2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）

第13讲 圆的方程 1.理解圆的定义； 2.掌握圆的标准方程和一般方程； 3.会利用待定系数法或几何法求圆的方程； 4.理解曲线的轨迹方程的概念，会求简单曲线方程. 1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径. 2 圆的标准方程 ，称之为圆心为，半径为的圆的标准方程. 3 圆的一般方程 4 求圆方程的方法 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 5 求轨迹方程 曲线方程的理解 若动点的横坐标，纵坐标满足方程，则在直角坐标系中，动点的轨迹为由方程确定的曲线. (2) 求轨迹方程的方法 ① 代数法，建立动点的横、纵坐标的方程； ② 几何法，通过题中已知条件确定动点符合的几何图形，再求轨迹方程. (3) 代数法求轨迹方程的一般步骤 ① 设动点的坐标， ② 根据已知条件得到与动点相关的等量关系，进而得到关于的方程； ③ 化简方程得到动点的轨迹方程． 【题型一】 对圆标准方程和一般方程的理解 相关知识点讲解 1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径. 2 圆的标准方程 ，称之为圆心为，半径为的圆的标准方程. 证明 在直角坐标系中，设圆上任意一点，由圆的定义可得， 由两点距离公式可得， 两边平方得 ， 若点在上，点的坐标满足方程；反过来，若点的坐标满足方程，就说明点在上. 3 圆的一般方程 解释 (1) 圆的标准方程可变形为， 比如 圆变形为； 但形如的方程不一定能表示为圆， 比如 ，对其配方得，其中. (2) 要满足什么条件方程才能表示圆呢？ 证明 ， 对其左边进行配方得， 当时，它可以表示以为圆心，为半径的圆； 当时，方程只有一组实数解，它表示一个点； 当时，方程没有实数解，它不表示任何图形. 【典题1】 圆的圆心坐标和半径分别为(    ) A． B． C． D． 【典题2】已知圆的面积为，则(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为(    ) A． B． C． D． 2.曲线所围成的区域的面积为(    ) A． B． C． D． 3.若方程表示一个圆，则m可取的值为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 4.方程所表示的圆的最大面积为(    ) A． B． C． D． 【题型二】 求圆的方程 相关知识点讲解 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 【典题1】 已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，3)，B(﹣2，2)，C(1，﹣7)，则该三角形外接圆的圆心及半径分别为(    ) A．(2，﹣2)， B．(1，﹣2)， C．(1，﹣2)，5 D．(2，﹣2)，5 变式练习 1. 已知圆过三点，，，则的圆心和半径分别为(    ) A．， B．， C．， D．， 2.若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 3.过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 4.东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥(如下图)的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为(    )(参考数据：) A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米 5.已知曲线与x轴交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，则过A，B，C(A，B，C均不重合)三点的圆的半径不可能为(    ) A． B． C．1 D．2 【题型三】 圆的方程的运用 【典题1】 过点作圆的两条切线，切点分别为，若为直角三角形，为坐标原点，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 已知直线将圆分成长度之比为的两段弧，则(    ) A． B．3 C．或3 D．1或 2.已知点P在圆上，点A的坐标为，O为原点，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3.已知点、在圆上，且，为圆上任意一点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 4.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3). (1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)求MQ的最大值和最小值； (3)若M(m，n)，求的最大值和最小值． 【题型四】 求轨迹方程 相关知识点讲解 曲线方程的理解 若动点的横坐标，纵坐标满足方程，则在直角坐标系中，动点的轨迹为由方程确定的曲线. (2) 求轨迹方程的方法 ① 代数法，建立动点的横、纵坐标的方程； ② 几何法，通过题中已知条件确定动点符合的几何图形，再求轨迹方程. (3) 代数法求轨迹方程的一般步骤 ① 设动点的坐标， ② 根据已知条件得到与动点相关的等量关系，进而得到关于的方程； ③ 化简方程得到动点的轨迹方程． 【典题1】 已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 变式练习 1.已知圆C：与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M． (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)求满足的点P的轨迹方程． 2.已知A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，点B(1，1)，P，Q为圆O上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程. 3.动圆与定圆A：外切，且与直线L：相切. (1)求动圆圆心P的轨迹方程C； (2)若M是曲线C上任意一点，求M到直线的最短距离. 【A组---基础题】 1.圆的圆心坐标和半径分别为(    ) A．， B．， C．，3 D．，3 2.圆关于点对称的圆的标准方程为(    ) A． B． C． D． 3.三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是(    ) A． B． C． D． 4.已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是(    ) A． B． C． D． 5.已知曲线，则的最大值，最小值分别为(    ) A．， B．， C．， D．， 6.已知点在圆上运动，且，点，则 ． 7.已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为 . 8.已知为坐标原点，，为圆上一点且在第一象限，，则直线的方程为 ． 9.已知圆：过点. (1)求圆的标准方程及其圆心、半径； (2)若直线分别与轴，轴交于、两点，点为圆上任意一点，求面积的取值范围. 10.的三个顶点坐标是； (1)的外接圆方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 【B组---提高题】 1.由曲线围成的图形的面积为(    ) A． B． C． D． 2.已知圆，O是坐标原点，P是圆C上任意一点，若定点A满足，则面积的最大值是(    ) A．3 B．9 C． D． 3.已知圆，圆，点是圆上一点，当的面积最大时，(    ) A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 圆的方程 1.理解圆的定义； 2.掌握圆的标准方程和一般方程； 3.会利用待定系数法或几何法求圆的方程； 4.理解曲线的轨迹方程的概念，会求简单曲线方程. 1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径. 2 圆的标准方程 ，称之为圆心为，半径为的圆的标准方程. 3 圆的一般方程 4 求圆方程的方法 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 5 求轨迹方程 曲线方程的理解 若动点的横坐标，纵坐标满足方程，则在直角坐标系中，动点的轨迹为由方程确定的曲线. (2) 求轨迹方程的方法 ① 代数法，建立动点的横、纵坐标的方程； ② 几何法，通过题中已知条件确定动点符合的几何图形，再求轨迹方程. (3) 代数法求轨迹方程的一般步骤 ① 设动点的坐标， ② 根据已知条件得到与动点相关的等量关系，进而得到关于的方程； ③ 化简方程得到动点的轨迹方程． 【题型一】 对圆标准方程和一般方程的理解 相关知识点讲解 1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径. 2 圆的标准方程 ，称之为圆心为，半径为的圆的标准方程. 证明 在直角坐标系中，设圆上任意一点，由圆的定义可得， 由两点距离公式可得， 两边平方得 ， 若点在上，点的坐标满足方程；反过来，若点的坐标满足方程，就说明点在上. 3 圆的一般方程 解释 (1) 圆的标准方程可变形为， 比如 圆变形为； 但形如的方程不一定能表示为圆， 比如 ，对其配方得，其中. (2) 要满足什么条件方程才能表示圆呢？ 证明 ， 对其左边进行配方得， 当时，它可以表示以为圆心，为半径的圆； 当时，方程只有一组实数解，它表示一个点； 当时，方程没有实数解，它不表示任何图形. 【典题1】 圆的圆心坐标和半径分别为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径. 【详解】根据圆的标准方程， 即可得圆心坐标为，半径为. 故选：D 【典题2】已知圆的面积为，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解. 【详解】因为圆，即， 所以，解得. 故选：B. 变式练习 1. 已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程得解. 【详解】因为圆心为，半径为5， 所以圆的标准方程为， 故选：C 2.曲线所围成的区域的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程化为圆的标准方程，确定圆的半径，即可求解. 【详解】由， 得， 故该曲线围成区域的面积为半径为3的圆的面积为 . 故选：D. 3.若方程表示一个圆，则m可取的值为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】将题设中的一般式方程经配方化成标准方程，依题须使右式大于零，求得的范围，对选项进行判断即可. 【详解】由方程分别对进行配方得：， 依题意它表示一个圆，须使，解得：或，在选项中只有D项满足. 故选：D. 4.方程所表示的圆的最大面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程，表示出圆的半径，求出半径的最大值，即可确定面积的最大值. 【详解】方程即， 则所给圆的半径， 所以当时，半径r取最大值，此时最大面积是. 故选：C 【题型二】 求圆的方程 相关知识点讲解 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 【典题1】 已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，3)，B(﹣2，2)，C(1，﹣7)，则该三角形外接圆的圆心及半径分别为(    ) A．(2，﹣2)， B．(1，﹣2)， C．(1，﹣2)，5 D．(2，﹣2)，5 【答案】C 【分析】根据题意，设三角形外接圆的圆心为M，其坐标为(a，b)，半径为r，由|MA|＝|MC|和|MA|＝|MB|，求出a、b的值，可得圆心坐标，进而可得r的值，即可得答案. 【详解】根据题意，设三角形外接圆的圆心为M，其坐标为(a，b)，半径为r， △ABC的顶点坐标分别为A(1，3)，B(﹣2，2)，C(1，﹣7)， |MA|＝|MC|，必有b＝﹣2， |MA|＝|MB|，则有(a﹣1)2+25＝(a+2)2+16，解可得a＝1， 则r＝|MA|＝5； 即圆心为(1，﹣2)，半径r＝5； 故选：C. 变式练习 1. 已知圆过三点，，，则的圆心和半径分别为(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用斜率可以推出是直角三角形，而直角三角形外接圆的直径是斜边长，圆心是斜边中点，据此求解. 【详解】由题意，，，即， 故，即是直角三角形，且为斜边， 直角三角形外接圆的直径是斜边长，圆心是斜边中点， 又， 于是的外接圆半径为，圆心是的中点，即. 故选：A 2.若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点坐标写出以为直径的圆的方程即可. 【详解】直线与两坐标轴的交点为， 则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：. 故选：A 3.过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程. 【详解】 设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 4.东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥(如下图)的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为(    )(参考数据：) A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米 【答案】B 【分析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为，利用待定系数法求出圆的方程，将代入即可求得. 【详解】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 设圆心坐标为，则， 可设圆拱所在圆的方程为, 由题意可得：， 解得：， 所以所求圆的方程为， 将代入圆方程,得: , 因为，所以. 故选：B. 5.已知曲线与x轴交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，则过A，B，C(A，B，C均不重合)三点的圆的半径不可能为(    ) A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】设出圆的方程，利用给定条件用m表示圆的半径，并求出半径的取值范围即得. 【详解】依题意，设点，则是方程的两个实根， ，， 显然点，当时，曲线过原点，点与点之一重合，不符合题意，则， 设过三点的圆方程为，由，得， 显然是的两个根，于是， 又，联立解得，又， 因此，而当或时，， 所以过三点的圆的半径的取值范围是，BCD均可能，A不可能. 故选：A 【题型三】 圆的方程的运用 【典题1】 过点作圆的两条切线，切点分别为，若为直角三角形，为坐标原点，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹，再利用圆的几何性质求解即得. 【详解】圆的圆心，半径， 由切圆于点，且为直角三角形，得，连接， 则，即四边形是正方形，， 因此点在以点为圆心，为半径的圆上，而， 于是，所以的取值范围为. 故选：D 变式练习 1. 已知直线将圆分成长度之比为的两段弧，则(    ) A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】C 【分析】根据题意可知劣弧所对圆心角为，从而利用圆心到直线的距离公式，列出方程，求出答案. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径， 因为直线将圆分成长度之比为1：3的两段弧， 故劣弧所对圆心角为，如图： 由题意，，，取中点，连接，所以， 即圆心为到直线的距离为， 所以，解得或. 故选：C 2.已知点P在圆上，点A的坐标为，O为原点，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心和点的坐标，可得，再由数量积的定义以及坐标运算即可得出结果. 【详解】易知圆的圆心坐标为，半径为， 连接，易知，如下图所示：    易得，所以， 则； 设夹角为，则， 所以，又 可得. 故选：D 3.已知点、在圆上，且，为圆上任意一点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可设、，设点，然后根据向量数量积的坐标表示及三角函数的性质即可得解. 【详解】因为点、在圆上，且，为圆上任意一点， 因为，所以，是等边三角形，则， 不妨设、，设点， 所以，， 所以， 即的最小值为. 故选：C. 4.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3). (1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)求MQ的最大值和最小值； (3)若M(m，n)，求的最大值和最小值． 【答案】(1)，的斜率为 (2)MQ的最大值为，最小值为 (3)的最大值为、最小值为 【分析】(1)将点的坐标代入圆的方程，解得，再根据两点间的距离公式求出，根据斜率公式求出直线PQ的斜率； (2)求出圆心的坐标和，再用加圆的半径得MQ的最大值，减圆的半径得MQ的最小值； (3)设 ，根据的几何意义得直线的方程，再根据圆心到直线的距离小于等于圆的半径列式可求出结果. 【详解】(1)因为点P(a，a＋1)在圆C上，所以， 即，解得，所以， 所以，的斜率为. (2)由得， 所以圆的圆心，半径， 所以， 所以， . (3)设 ，因为表示圆上任意一点与连线的斜率， 则直线的方程为，即， 由直线与圆有交点，可得， 化简得，解得， 所以的最大值为、最小值为. 【题型四】 求轨迹方程 相关知识点讲解 曲线方程的理解 若动点的横坐标，纵坐标满足方程，则在直角坐标系中，动点的轨迹为由方程确定的曲线. (2) 求轨迹方程的方法 ① 代数法，建立动点的横、纵坐标的方程； ② 几何法，通过题中已知条件确定动点符合的几何图形，再求轨迹方程. (3) 代数法求轨迹方程的一般步骤 ① 设动点的坐标， ② 根据已知条件得到与动点相关的等量关系，进而得到关于的方程； ③ 化简方程得到动点的轨迹方程． 【典题1】 已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据给定条件，列出方程化简即得动点P的轨迹方程. (2)设出点的坐标，表示出点的坐标，代入点P的轨迹方程得解. 【详解】(1)由动点满足，得，化简得， 所以动点P的轨迹方程是. (2)设点，由轴于点，且是中点，得，即， 由(1)知，， 因此，整理得. 所以点M的轨迹方程是. 变式练习 1.已知圆C：与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M． (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)求满足的点P的轨迹方程． 【答案】(1)，半径为1 (2) 【分析】(1)将圆的方程化为标准方程，根据与轴相切求出可得； (2)设，根据已知结合距离公式可求出. 【详解】(1)圆的方程可化为， 因为圆与轴相切，所以，解得， 所以圆心为，半径为1； (2)设， 则， ， 因为，所以， 即， 化简可得点P的轨迹方程为. 2.已知A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，点B(1，1)，P，Q为圆O上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程. 【答案】(1)(x－1)2＋y2＝1 (2)x2＋y2－x－y－1＝0 【详解】(1)设线段AP的中点为M(x，y). 由中点坐标公式可知，点P的坐标为(2x－2，2y). ∵ A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，∴ 圆O的方程为x2＋y2＝4.又点P在圆O上，∴ (2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设线段PQ的中点为N(x，y). 在Rt△PBQ中，PN＝BN，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴ OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，∴ x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－x－y－1＝0. ∴ 线段PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 3.动圆与定圆A：外切，且与直线L：相切. (1)求动圆圆心P的轨迹方程C； (2)若M是曲线C上任意一点，求M到直线的最短距离. 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)设圆心到直线的距离等于，，由题意有可得，由此能求出动圆圆心的轨迹方程; (2)设是曲线C上任意一点，利用点到直线的距离公式结合二次函数求最值即可. 【详解】(1)设圆心到直线的距离等于，， 则由题意有可得， 即， 化简可得， 故动圆圆心的轨迹方程C：． (2)设是曲线C上任意一点， 则到直线的距离， 因为 所以， 即最短距离为到直线距离. 【A组---基础题】 1.圆的圆心坐标和半径分别为(    ) A．， B．， C．，3 D．，3 【答案】A 【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：A 2.圆关于点对称的圆的标准方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为， 因为点关于点的对称点为， 所以所求对称圆的标准方程为， 故选：D 3.三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，借助斜率判断形状，再求出圆方程作答. 【详解】依题意，直线AC斜率，直线BC斜率，有，即， 因此外接圆是以线段为直径的圆，AB的中点为，半径， 所以外接圆方程是，即. 故选：A 4.已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程. 【详解】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 5.已知曲线，则的最大值，最小值分别为(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】首先化简题给条件，得到其为以为圆心半径为2的圆的右半部分，再利用数形结合即可求得的最大值，最小值. 【详解】由，可得， 此方程表示的曲线为以为圆心半径为2的圆的右半部分， 则表示点与此半圆上点的距离， 其最大值为，最小值为， 又，，， 则最大值为，最小值为. 故选：B 6.已知点在圆上运动，且，点，则 ． 【答案】15 【分析】分析可知为直径，即圆心为中点，结合数量积的运算律分析求解. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 由题意可知：为直径，即圆心为中点， 所以． 故答案为：15. 7.已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】先求出圆的圆心坐标，根据直线平分圆的圆周可知，反射光线所在直线过圆心，根据对称性可知反射光线过点，即可求直线方程. 【详解】由圆的方程得：圆心为， ∵反射光线恰好平分圆的圆周， ∴反射光线经过点， ∵关于轴对称的点为， ∴反射光线所在直线经过点， ∴反射光线所在直线斜率为，所以方程为，化简得. 故答案为：. 8.已知为坐标原点，，为圆上一点且在第一象限，，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】数形结合求得直线的倾斜角，进而即可求得直线方程. 【详解】根据题意，作图如下：    易知点在圆上，由可知，， 所以，又因为，所以， 则直线斜率，故直线的方程为． 故答案为：. 9.已知圆：过点. (1)求圆的标准方程及其圆心、半径； (2)若直线分别与轴，轴交于、两点，点为圆上任意一点，求面积的取值范围. 【答案】(1)，圆心为，，半径为(2)， 【解析】(1)把点的坐标代入圆的方程求得值，可得圆的方程，配方化为圆的标准方程，求得圆心坐标与半径； (2)由题意得与的坐标，求得，再求出圆心到直线的距离，可得点到直线的距离的最小值与最大值，则面积的取值范围可求． 【详解】(1)由题意，， 解得； 圆的方程为， 化为标准方程：，圆心为，，半径为； (2)由题意得，，，， ， 圆心到直线的距离， 点到直线的距离的最小值为，最大值为． 的面积的最小值为，最大值为． 面积的取值范围是，． 【点睛】关键点点睛：求圆上一点到直线的距离的最大值与最小值，先求圆心到直线的距离d,则分别是圆上点到直线的距离的最大值与最小值. 10.的三个顶点坐标是； (1)的外接圆方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)用待定系数法可求圆的方程； (2)定义代入法求线段MN的中点P的轨迹方程． 【详解】(1)设△ABC的外接圆方程为 . 把A(0，1)，B(2，1)，C(3，4)代入圆的方程得: 解此方程组，得. ∴△ABC的外接圆方程是 (2)设点，， ∵点P是MN的中点，∴ . ∵点M在上运动，∴. 即，整理得：. 所以，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 【B组---提高题】 1.由曲线围成的图形的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分两种情况写出曲线方程，再做出图像，求出面积. 【详解】   当时，曲线为 当时，曲线 画出图像如上图， 所求面积为两个圆的面积减去一个重叠部分的面积 圆的半径为，两圆对称， 故为 故选：D 2.已知圆，O是坐标原点，P是圆C上任意一点，若定点A满足，则面积的最大值是(    ) A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】设出坐标，由得到，利用对于任意一点都成立，建立方程求解可得点坐标，可得当点的纵坐标的绝对值最大时的面积最大，此时轴，利用可得答案. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 设，由得， 化简得， 又因为即， 所以，因为对于任意恒成立， 所以，解得，所以， 所以当点的纵坐标的绝对值最大时的面积最大， 此时轴，所以或， 所以的面积为. 故选：A.    3.已知圆，圆，点是圆上一点，当的面积最大时，(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当的面积最大时，，在中，，求出，再利用二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】圆化为， 则圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为，所以点在圆上，则， 当的面积最大时，， 在中，，则， 所以， 所以. 故选：A. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$