预习第11讲 直线方程-2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）

第11讲 直线方程 1.理解直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程，并了解各式方程的使用范围； 2.掌握用各式方程求解直线方程； 3.掌握对称性问题. 1 直线的点斜式方程 若直线的斜率为，且过定点，则直线方程为，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 2 直线的斜截式方程 我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式，其中为直线斜率，为直线在轴上的截距. 3直线的两点式方程 经过两点(其中)的直线的方程是，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 4 直线的截距式方程 我们把(其中，分别是直线在轴、轴上的截距且)叫做直线的截距式方程，简称截距式. 5 直线的一般式方程 关于的二元一次方程(其中不同时为)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 6 对称性问题 点关于点的对称 点关于的对称点为； 点关于直线的对称 设点关于直线的对称点为， 则有可求出，从而得到点. (直线是线段的垂直平分线，则，的中点在直线上) 【题型一】直线的点斜式与斜截式 相关知识点讲解 1 直线的点斜式方程 若直线的斜率为，且过定点，则直线方程为，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 解释 点斜式告诉我们：给定一点和斜率便可唯一确定一条直线，确定其方程. 当倾斜角为时，，方程为; 当倾斜角为时，斜率不存在，不能用点斜式表示，方程为; 【例】求经过点，倾斜角为的直线方程. 2 直线的斜截式方程 我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式，其中为直线斜率，为直线在轴上的截距. 解释 ① 截距是一个数值，不是距离； ② 对于直线，， 且；. 【例】已知直线在轴上的截距为，且斜率为2，求直线的斜截式方程. 【典题1】 过点且与直线垂直的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【典题2】已知直线l过，并在两坐标轴上的截距的绝对值相等，那么这样的直线l共有(    ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 变式练习 1. 经过点且倾斜角为的直线方程是(    ) A． B． C． D． 2.过点且与直线平行的直线方程为(    ) A． B． C． D． 3.已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是(    ) A． B． C． D． 4.直线l过点A(3,4)，且与点B(－3,2)的距离最远，则直线l的方程为(　　) ． A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0 C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0 5.直线、是分别经过、两点的两条平行直线，当、间的距离最大时，直线的方程是(    ) A． B． C． D． 6.过点的直线与轴、轴分别交于、两点，且，则符合条件的直线有(    ) A．条 B．条 C．条 D．条 【题型二】直线的两点式、截距式与一般式 相关知识点讲解 1 直线的两点式方程 经过两点(其中)的直线的方程是，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 解释 ① 证明：当时，经过两点的直线斜率，再取点，由点斜式可得； 当时，可得. ② 在中，如果或，则直线没有两点式; ③ 两点式从代数的角度明确了”两点确定一直线”的事实. 2 直线的截距式方程 我们把(其中，分别是直线在轴、轴上的截距且)叫做直线的截距式方程，简称截距式. 解释 ① 证明：因为直线与轴的交点为，与轴的交点为， 由两点式可得，即. ② 使用截距式的前提是直线轴、轴上的截距均不为. 【例】求经过点和的直线方程. 3 直线的一般式方程 关于的二元一次方程(其中不同时为)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 解释 ① 任何一直线都可以表示为一个关于的二元一次方程； ② 对于任意一个二元一次方程(其中不同时为)也可以表示一条直线. 当时，方程变形为，它表示过点，且垂直轴的直线； 当时，方程变形为，它表示，斜率为的直线. ③ 一般式的直线一方向向量为，斜率. 【典题1】 已知点，，则直线在轴上的截距为(    ) A． B． C． D． 【典题2】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(    ) A． B． C．或 D．或 【典题3】不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且满足，则直线的斜率为(    ) A．2 B． C． D．或 2.直线过点，则直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为(    ) A．6 B．12 C．18 D．24 3.设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为(    ) A． B． C． D． 4.已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为(    ) A．，或 B．，或 C． D． 5.设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是(     ) A． B．2 C．3 D．5 6.已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 【题型三】 对称性问题 相关知识点讲解 点关于点的对称 点关于的对称点为； 点关于直线的对称 设点关于直线的对称点为， 则有可求出，从而得到点. (直线是线段的垂直平分线，则，的中点在直线上) 【典题1】 一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 以为端点的线段的垂直平分线方程是(　　) A． B． C． D． 2.直线关于点对称的直线的方程为(    ) A． B． C． D． 3.光线通过点A(2，3)，在直线l：x+y+1=0上反射，反射光线经过点B(1，1)，则反射光线所在直线方程为(　　) A． B． C． D． 4.在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则(    ) A． B． C．1 D．2 【A组---基础题】 1.过点且斜率为的直线的点斜式方程为(    ) A． B． C． D． 2.已知直线l过点，且在x轴上的截距为y轴上截距的3倍，则直线l的方程为(    ) A． B． C．或 D．或 3.已知直线， 则下述论断正确的是(    ) A．直线不可能经过坐标原点 B．直线的斜率可能为0 C．直线的倾斜角不可能是 D．直线恒过定点 4.已知，，若的角平分线所在直线方程是，则直线方程为 A． B． C． D． 5.不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为(    ) A． B． C． D． 6.过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是 ． 7.已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 . 8.已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求： (1)所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程. 9.已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【B组---提高题】 1.设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为(　　) A． B． C． D．与m的取值有关 2.已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求： (1)求证：不论为何实数，直线过定点P； (2)分别求和时，所对应的直线条数； (3)针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数. 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 直线方程 1.理解直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程，并了解各式方程的使用范围； 2.掌握用各式方程求解直线方程； 3.掌握对称性问题. 1 直线的点斜式方程 若直线的斜率为，且过定点，则直线方程为，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 2 直线的斜截式方程 我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式，其中为直线斜率，为直线在轴上的截距. 3直线的两点式方程 经过两点(其中)的直线的方程是，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 4 直线的截距式方程 我们把(其中，分别是直线在轴、轴上的截距且)叫做直线的截距式方程，简称截距式. 5 直线的一般式方程 关于的二元一次方程(其中不同时为)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 6 对称性问题 点关于点的对称 点关于的对称点为； 点关于直线的对称 设点关于直线的对称点为， 则有可求出，从而得到点. (直线是线段的垂直平分线，则，的中点在直线上) 【题型一】直线的点斜式与斜截式 相关知识点讲解 1 直线的点斜式方程 若直线的斜率为，且过定点，则直线方程为，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 解释 点斜式告诉我们：给定一点和斜率便可唯一确定一条直线，确定其方程. 当倾斜角为时，，方程为; 当倾斜角为时，斜率不存在，不能用点斜式表示，方程为; 【例】求经过点，倾斜角为的直线方程. 解 ，则直线方程为，即. 2 直线的斜截式方程 我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式，其中为直线斜率，为直线在轴上的截距. 解释 ① 截距是一个数值，不是距离； ② 对于直线，， 且；. 【例】已知直线在轴上的截距为，且斜率为2，求直线的斜截式方程. 解 ，，则直线的截距式方程. 【典题1】 过点且与直线垂直的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先求得所求直线的斜率，再根据点斜式求得正确答案. 【详解】直线的斜率为 由垂直关系可得垂线的斜率为， 又垂线过点， 垂线方程为 故选：D 【典题2】已知直线l过，并在两坐标轴上的截距的绝对值相等，那么这样的直线l共有(    ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】用点斜式设出直线方程，求出与坐标轴的交点为，，再由截距的绝对值相等列式，求解得的值有3个，从而得结论. 【详解】由题意，该直线斜率存在且不为，设所求直线的方程为， 令，则；令，则， 因为直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等， ，化简得或， 解得或或， 所以过并在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条. 故选：C 变式练习 1. 经过点且倾斜角为的直线方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程，得到答案. 【详解】直线斜率，故直线方程为，即. 故选：A 2.过点且与直线平行的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设线的方程为，再根据经过点，待定系数即可得答案. 【详解】由题可得，设平行于直线的直线的方程为， 因为直线过点， 所以，解得， 所以直线的方程为. 故选：D. 3.已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正切的和角公式与直线方程的点斜式求解即可 【详解】设直线的倾斜角为，则， 又直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线， 所以直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 故直线的方程是，即， 故选：D． 4.直线l过点A(3,4)，且与点B(－3,2)的距离最远，则直线l的方程为(　　) ． A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0 C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0 【答案】D 【分析】由题意确定直线斜率，再根据点斜式求直线方程. 【详解】由题意直线l与AB垂直，所以， 选D. 5.直线、是分别经过、两点的两条平行直线，当、间的距离最大时，直线的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由平面几何知识判定和这两条直线都垂直时，、间的距离最大，再利用两点坐标求的斜率，进而求出所求直线的斜率和方程. 【详解】由题意可得，、间的距离最大时，和这两条直线都垂直． 由于的斜率为，故直线的斜率为， 故它的方程是，即. 故选:A． 6.过点的直线与轴、轴分别交于、两点，且，则符合条件的直线有(    ) A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】设直线的方程为，则，，可得 ，解出即可得到结论. 【详解】由题意，设直线的方程为， 令，得，则， 令，得，则， 所以，即， 解得或， 因此符合题意的直线方程有条. 故选：C. 【题型二】直线的两点式、截距式与一般式 相关知识点讲解 1 直线的两点式方程 经过两点(其中)的直线的方程是，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 解释 ① 证明：当时，经过两点的直线斜率，再取点，由点斜式可得； 当时，可得. ② 在中，如果或，则直线没有两点式; ③ 两点式从代数的角度明确了”两点确定一直线”的事实. 2 直线的截距式方程 我们把(其中，分别是直线在轴、轴上的截距且)叫做直线的截距式方程，简称截距式. 解释 ① 证明：因为直线与轴的交点为，与轴的交点为， 由两点式可得，即. ② 使用截距式的前提是直线轴、轴上的截距均不为. 【例】求经过点和的直线方程. 解 直线的截距式方程为，化简为. 3 直线的一般式方程 关于的二元一次方程(其中不同时为)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 解释 ① 任何一直线都可以表示为一个关于的二元一次方程； ② 对于任意一个二元一次方程(其中不同时为)也可以表示一条直线. 当时，方程变形为，它表示过点，且垂直轴的直线； 当时，方程变形为，它表示，斜率为的直线. ③ 一般式的直线一方向向量为，斜率. 【典题1】 已知点，，则直线在轴上的截距为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知的两点求出直线的方程，将代入直线方程即可求解轴上的截距. 【详解】因为直线经过两点和，则直线方程为，化简得， 令，则直线在轴上的截距为. 故选：B. 【典题2】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确. 故选：C. 【典题3】不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出的关系，然后利用基本不等式求出的最小值. 【详解】由直线， 得：，即恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数 所以， 则， ，当且仅当时取等号； 故选：B 变式练习 1. 直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且满足，则直线的斜率为(    ) A．2 B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意设直线的方程为，列出关于的方程组，求解即可. 【详解】由题意设直线的方程为，则①， 又，∴②， 由①②解得，或，， 又由知，则，， 则直线的斜率为． 故选：C． 2.直线过点，则直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为(    ) A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】依题意可得且、，利用基本不等式求出的最小值，从而求出三角形面积的最小值. 【详解】因为直线过点，所以， 令，可得，即直线与轴交于点， 令，可得，即直线与轴交于点， 依题意可得、，所以，则，当且仅当， 即、时取等号， 所以直线与、正半轴围成的三角形的面积，当且仅当、时取等号， 即直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为. 故选：B 3.设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理直线的方程，可得直线恒过点，当时，点到的距离最大时，即可求解. 【详解】∵直线：， ∴可将直线方程变形为， 由，解得， 由此可得直线恒过点， 当时，点到的距离最大时， ，则由，得. 故选：A. 4.已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为(    ) A．，或 B．，或 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴为成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为. 故选：A 5.设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是(     ) A． B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】先确定两直线所过的定点、的坐标，然后根据两直线的位置关系可判断它们垂直，结合基本不等式求解即可. 【详解】依题意，直线过定点，直线可整理为，故直线过定点， 又因为直线和直线始终垂直，为两直线交点， 所以， 则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等号，所以的最大值是. 故选：A. 6.已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2). 【分析】(1)根据条件可知点是的三等分点，构造直角三角形，利用相似三角形比值关系即可求出A，B两点坐标，继而求出方程; (2)利用截距式找出两截距关系，再根据代入三角形面积计算中即可找出面积的最小值，继而求出方程. 【详解】(1)作，则.    由三角形相似，，可求得，， ∴方程为，即； (2)根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，， ∵l过点，∴，解得，∴的面积， 化简，得.① ∴，解得或(舍去). ∴S的最小值为4， 将代入①式，得，解得， ∴.∴直线l的方程为. 【题型三】 对称性问题 相关知识点讲解 点关于点的对称 点关于的对称点为； 点关于直线的对称 设点关于直线的对称点为， 则有可求出，从而得到点. (直线是线段的垂直平分线，则，的中点在直线上) 【典题1】 一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出关于的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可； 【详解】设关于的对称点为， 则有 ， 解得：，即， 反射光线所在直线为， 整理得： 故选：B． 变式练习 1. 以为端点的线段的垂直平分线方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两点坐标分别求出其中点坐标和，再根据，求出，从而由点斜式即可得解. 【详解】由，知线段AB的中点坐标为， 又由斜率公式可得， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为． 故选：D. 2.直线关于点对称的直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线关于直线外一点的对称直线互相平行可知其斜率，再取上一点求其关于点的对称点，即可求出的方程. 【详解】由题意得，故设， 在l上取点，则点关于点的对称点是， 所以，即， 故直线的方程为. 故选：C 3.光线通过点A(2，3)，在直线l：x+y+1=0上反射，反射光线经过点B(1，1)，则反射光线所在直线方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称的性质，设点关于直线的对称点为，，利用斜率和中点坐标可得 ，利用直线的点斜式方程可得反射光线所在直线的方程． 【详解】设点关于直线的对称点为，， 则 解得：． 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即． 故选A 【点睛】本题主要考查点线点对称问题，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 4.在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则(    ) A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，建立坐标系，设点的坐标，可得关于直线的对称点的坐标，和关于轴的对称点的坐标，由，，四点共线可得直线的方程，由于过的重心，代入可得关于的方程，解之可得的坐标，进而可得的值，即可得答案． 【详解】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得，， 故直线的方程为， 又由，，，则 的重心为， 设，其中，点关于直线 的对称点，则有， 解得，即， 易得关于 轴的对称点， 由光的反射原理可知，，，四点共成直线的斜率， 故直线的方程为， 由于直线过 的重心，代入化简可得， 解得：或 舍，即，故， 故选：C． 【A组---基础题】 1.过点且斜率为的直线的点斜式方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点斜式公式带入条件即可. 【详解】将，斜率为带入直线方程点斜式，得. 故选：B. 2.已知直线l过点，且在x轴上的截距为y轴上截距的3倍，则直线l的方程为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】考虑截距是否为0两种情况即可. 【详解】分两种情况：①当过原点时，由直线经过点， 可得直线方程为，即； ②当不过原点时，设的方程为， 将点的坐标代入得，解得， 此时的方程为，即.， 故选：C 3.已知直线， 则下述论断正确的是(    ) A．直线不可能经过坐标原点 B．直线的斜率可能为0 C．直线的倾斜角不可能是 D．直线恒过定点 【答案】D 【分析】当时，经过坐标原点；若，由斜率判断B；当，斜率不存在，从而判断C；将点代入直线方程判断D. 【详解】当时，经过坐标原点，故A错误； 若，直线的斜率存在，且斜率，不可能为0，故B错误； 若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角是，故C错误； 将点代入直线方程得：，即直线恒过定点，故D正确； 故选：D 4.已知，，若的角平分线所在直线方程是，则直线方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是点关于直线的对称点、直线关于直线的对称直线，可通过设B的对称点，再根据对称性质进行求解． 【详解】分析试题：由题意可知直线和直线关于直线对称．设点关于直线的对称点为，则有，即．因为在直线上，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即． 故A正确． 【点睛】解决直线的对称性问题对考生来说相对较抽象，可结合草图来加强理解． 5.不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案. 【详解】由可得：， 令，解得：， 所以，设直线关于点的对称直线方程为：， 则到直线与的距离相等， 所以，解得：，即(舍去)或. 故直线关于点的对称直线方程为：. 故选：D. 6.过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是 ． 【答案】或 【分析】由题意设直线l为，从而求得在坐标轴上的截距，再利用三角形面积公式得到关于的二次方程，解之即可. 【详解】由题意所求直线l的斜率必存在，且不为，设其斜率为，则直线l方程为， 令，得，令，得， 故所围三角形面积为，即， 当时，上式可化为，解得或； 当时，上式可化为，方程无解； 综上：直线的斜截式方程是或. 故答案为：或. 7.已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先表示出直线的截距式，利用直线过点，得到，借助基本不等式，即可求得最小值. 【详解】直线与与x轴、y轴分别交于， 可设直线的截距式，直线过点， ，且， ， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：. 8.已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求： (1)所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. (2)利用垂直关系结合(1)求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【详解】(1)由，，得直线的斜率为， 所以所在直线的方程为，即. (2)由(1)知，直线的斜率为，而， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 9.已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【答案】(1)或； (2) 【分析】(1)分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程； (2)写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，． 【详解】(1)①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上，，，即． 综上所述直线的方程为或 (2)由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得， 故，故，当且仅当，即时等号成立， 故此时面积最小为, 故直线方程为，即 【B组---提高题】 1.设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为(　　) A． B． C． D．与m的取值有关 【答案】A 【分析】求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解. 【详解】由于经过的定点为，所以， 直线变形为， 所以经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形， 所以， 故选：A 2.已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求： (1)求证：不论为何实数，直线过定点P； (2)分别求和时，所对应的直线条数； (3)针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数. 【答案】(1)定点，见解析；(2)时，2条直线，时，4条直线；(3)①时，2条直线；   ②时，3条直线；   ③时，4条直线. 【分析】(1)直线方程化为，令求得直线所过的定点； (2)由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数； (3)由题意得，讨论和时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中元素的个数． 【详解】(1)直线可化为， 令，解得， ∴不论为何实数，直线过定点. (2)由题意知，直线的斜率存在，且， 设直线方程为，则直线与轴的交点为，与轴的交点为； ∴的面积为； 令，得，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，，方程无实数根，即无直线； 综上知，时有两条直线； 令，得，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，解得，有两个负根，即有两条直线； 综上知，时有四条直线； (3)由题意得，，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，， 时， ，方程无实数根，此时无直线； 时，，方程有一负根，此时有一条直线； 时，，解得，方程有两负根，即有两条直线； 综上知，时有两条直线；时有三条直线，时有4条直线； 所以时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有2个； 时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有3个； 时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有4个． 【点睛】本题考查直线恒过定点、集合元素个数的判断，考查函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$