预习第10讲 两条直线平行与垂直的判定 -2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）

第10讲 两条直线平行与垂直的判定 1.掌握两直线平行的判定方法； 2.掌握两直线垂直的判定方法； 3.会利用两直线的平行和垂直的关系处理平面几何问题. 1两直线平行 对于斜率分别为，的两条直线，有. 2 两直线垂直 对于斜率分别为，的两条直线，有. 【题型一】 两条直线位置关系的判断 相关知识点讲解 1两直线平行 (1) 对于斜率分别为，的两条直线，有. 解释 ① 证明：若，则与的倾斜角与相等，则，即. 因此若，则；反之时，，由倾斜角范围及正切函数的单调性可知，因此. ② 当时，直线的斜率不存在，此时. ③ 若存在斜率的两直线重合，此时仍然有.故可用斜率相等证明三点共线时. 【例1】两条不重合直线斜率是的 条件. 2 两直线垂直 对于斜率分别为，的两条直线，有. 解释 ① 证明：直线的方向向量分别是，，于是 ，即； ② 当直线或的倾斜角为时，若，则另一条直线的倾斜角为；反之亦然. 【例1】两条直线斜率是的 条件. 【典题1】 判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由． (1)经过点，经过点； (2)的斜率为，经过点； (3)，. 变式练习 1.已知不重合的两直线与对应的斜率分别为与，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分也不是必要条件 2.下列各对直线互相平行的是(    ) A．直线经过点，，直线经过点， B．直线经过点，，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 3.已知直线的斜率是方程的两个根，则(    ) A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 4.若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是(    ) A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合 5.已知直线，直线，则直线的倾斜角为(    ) A． B． C． D． 【题型二】 已知直线位置关系求参数 【典题1】若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是(  ) A． B． C． D． 【典题2】已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为 . 变式练习 1.已知直线的一个方向向量为(，2)，直线的一个法向量为(m，6)，若，则m＝(    ) A． B．3 C．6 D．9 2.已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线与垂直，的值为(    ) A．1 B．6 C．0或6 D．0 3.已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为(　　) A．－1 B．－2 C．－1或2 D．－2或1 4.已知的倾斜角为45°，经过点．若，则实数m为(    ) A．6 B．－6 C．5 D．－5 5.已知的顶点，，． (1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值． (2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值． (3)若为直角三角形，如何求解的值？ 【题型三】 两直线平行与垂直的综合应用 【典题1】已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 【典题2】已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为(    ) A． B． C． D． 2.以为顶点的四边形是(    ) A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形 3.已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为(    ) A． B． C． D． 4.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则＝(　　) A． B．－ C． D．－ 5.过点与点(7,0)的直线l1，过点(2,1)与点(3，k＋1)的直线l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为(　　) A．－3 B．3 C．－6 D．6 6.在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点(异于端点)，设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    7.在平面直角坐标系中，矩形的顶点按逆时针顺序依次排列，且点O，P，Q的坐标分别是，其中． (1)求顶点R的坐标； (2)求矩形在第一象限部分的面积． 【A组---基础题】 1.下列说法中正确的有(    ) ①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行； ②若，则； ③所有的直线都有倾斜角； ④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为(    ) A． B． C． D． 3.直线，的斜率是方程的两个根，则(    ) A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 4.以为顶点的三角形是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以为直角顶点的直角三角形 D．以为直角顶点的直角三角形 5.顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是( ) A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 6.若直线l经过点和，且与经过点，斜率为的直线垂直，则实数a的值为 ． 7.在平面直角坐标系中，已知点和，点在轴上．若直线与直线的夹角为，则点的坐标为 ． 8.在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标按逆时针顺序依次为，，，，其中．则四边形的形状为 . 9.根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 10.已知过坐标原点的一条直线与函数的图象交于，两点，分别过点，作轴的平行线与函数的图象交于，两点． (1)证明：点，，在同一条直线上； (2)当直线的斜率为0时，求点的坐标． 【B组---提高题】 1.已知直线，动直线，则下列结论错误的是(    ) A．存在，使得的倾斜角为； B．对任意的，与都有公共点； C．对任意的，与都不重合； D．对任意的，与都不垂直； 2.已知直线，若，则的倾斜角的取值范围是(    ) A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 两条直线平行与垂直的判定 1.掌握两直线平行的判定方法； 2.掌握两直线垂直的判定方法； 3.会利用两直线的平行和垂直的关系处理平面几何问题. 1两直线平行 对于斜率分别为，的两条直线，有. 2 两直线垂直 对于斜率分别为，的两条直线，有. 【题型一】 两条直线位置关系的判断 相关知识点讲解 1两直线平行 (1) 对于斜率分别为，的两条直线，有. 解释 ① 证明：若，则与的倾斜角与相等，则，即. 因此若，则；反之时，，由倾斜角范围及正切函数的单调性可知，因此. ② 当时，直线的斜率不存在，此时. ③ 若存在斜率的两直线重合，此时仍然有.故可用斜率相等证明三点共线时. 【例1】两条不重合直线斜率是的 条件. 解析 若直线的斜率，则；故是的充分条件； 若，不一定有，因为两直线可能垂直轴而不存在斜率，故是的不必要条件； 故填充分不必要条件. 2 两直线垂直 对于斜率分别为，的两条直线，有. 解释 ① 证明：直线的方向向量分别是，，于是 ，即； ② 当直线或的倾斜角为时，若，则另一条直线的倾斜角为；反之亦然. 【例1】两条直线斜率是的 条件. 解析 若直线存在斜率，且，则；故是的充分条件；若，不一定有，因为若两直线倾斜角分别为和，它们依然相互垂直，但由于一直线不存在斜率，则不存在，故是的不必要条件； 故填充分不必要条件. 【典题1】 判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由． (1)经过点，经过点； (2)的斜率为，经过点； (3)，. 【答案】(1)既不平行又不垂直，理由见解析 (2)垂直，理由见解析 (3)平行，理由见解析 【分析】先判断直线是否存在斜率，若不存在，则易判断两直线位置关系；若不存在，则求出斜率，并判断斜率是否相等，或乘积是否为，斜率相等时注意是否重合. 【详解】(1)设直线，的斜率分别为， 因为，， 所以，从而与既不平行又不垂直． (2)设直线，的斜率分别为， 因为， 所以，从而与垂直． (3)设直线，的斜率分别为， 因为，且与不重合， 从而与平行. 变式练习 1.已知不重合的两直线与对应的斜率分别为与，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分也不是必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，由直线斜率与直线的位置关系，即可判断. 【详解】不重合的两直线与对应的斜率分别为与， 当时，可得，当时，可得， 故“”是“”的充分必要条件， 故选：C． 2.下列各对直线互相平行的是(    ) A．直线经过点，，直线经过点， B．直线经过点，，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 【答案】A 【分析】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论. 【详解】对于A，因为， 所以； 对于B，因为， 所以直线不平行； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行. 故选：A. 3.已知直线的斜率是方程的两个根，则(    ) A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 【答案】C 【分析】由可知两直线不垂直，且知两直线不平行，由此可得结论. 【详解】设直线的斜率为，则， ，不垂直，A错误； 若，则，与矛盾，，不平行，B错误； 不平行，也不垂直，相交但不垂直，C正确，D错误. 故选：C. 4.若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是(    ) A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合 【答案】B 【分析】根据直线斜率公式，结合两直线位置关系与斜率的关系进行判断即可. 【详解】因为直线经过点，， 所以直线的斜率为：， 又因为， 所以两直线垂直， 故选：B 5.已知直线，直线，则直线的倾斜角为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合垂直关系可得直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率， 且，可知直线的斜率 所以的倾斜角为． 故选：D． 【题型二】 已知直线位置关系求参数 【典题1】若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用斜率公式表示出；再根据两直线垂直列出关系式求解即可. 【详解】由题意得，直线l的斜率必存在，且 . 因为直线l与斜率为的直线垂直 所以，解得. 故选：A. 【典题2】已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为 . 【答案】0或1 【分析】 分当直线AB的斜率不存在，直线MN的斜率不存在及两直线的斜率都存在时进行求解即可，注意检验下两直线不重合. 【详解】解：当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不合题意； 当m≠－2，且m≠－1时， kAB＝， kMN＝. 因为AB∥MN，所以kAB＝kMN， 即，解得m＝0或m＝1. 当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合. 综上，m的值为0或1. 故答案为：0或1 变式练习 1.已知直线的一个方向向量为(，2)，直线的一个法向量为(m，6)，若，则m＝(    ) A． B．3 C．6 D．9 【答案】A 【分析】用直线方向向量和法向量的定义，直接翻译条件求解参数即可. 【详解】，直线的一个方向向量为(，2)，直线的一个法向量为(m，6)， 直线的一个方向向量与直线的一个法向量平行 ， 解得, 故选: A 2.已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线与垂直，的值为(    ) A．1 B．6 C．0或6 D．0 【答案】D 【分析】求出直线与的斜率，利用两个斜率乘积等于即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，且与垂直， 所以直线斜率存在， 由经过点和，所以直线斜率为， 所以，解得：， 故选：D 3.已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为(　　) A．－1 B．－2 C．－1或2 D．－2或1 【答案】C 【分析】利用直线的斜率公式求解. 【详解】由题意得， 因为，所以，即， 化简得， 所以或， 又由得＝－1或2， 故选:C. 4.已知的倾斜角为45°，经过点．若，则实数m为(    ) A．6 B．－6 C．5 D．－5 【答案】B 【分析】 根据垂直关系得到，由此计算出的值. 【详解】因为，，且， 所以，解得， 故选：B. 5.已知的顶点，，． (1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值． (2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值． (3)若为直角三角形，如何求解的值？ 【答案】(1)； (2)或； (3)或或 【分析】(1)依题意可得，则，利用斜率公式计算可得； (2)分或为直角顶点两种情况讨论，分别计算可得； (3)结合(1)(2)得解. 【详解】(1)因为为直角顶点，所以， 由题可知直线，的斜率存在，所以，即，解得． (2)由于为锐角顶点，为直角三角形，故或为直角顶点． 若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在， 所以，即，解得； 若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在， 所以，即，解得． 综上可知，或． (3)若为直角顶点，由(1)知； 若为直角顶点，由(2)知； 若为直角顶点，由(2)知． 综上可知，或或． 【题型三】 两直线平行与垂直的综合应用 【典题1】已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 【答案】矩形 【分析】分别求出直线的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论. 【详解】解：，且不在直线上，. 又，且不在直线上，，四边形为平行四边形. 又. 平行四边形为矩形. 故答案为：矩形. 【典题2】已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 变式练习 1. 已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设D(x，y)，根据两直线平行和垂直时，其斜率间的关系得出方程组，解之可求得点D的坐标得选项. 【详解】解：设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0， ∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，， 故选：D. 2.以为顶点的四边形是(    ) A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形 【答案】D 【分析】先在坐标系内画出ABCD点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形ABCD的形状. 【详解】    在坐标系中画出ABCD点，大致如上图，其中， ， ， 所以四边形ABCD是直角梯形； 故选：D. 3.已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 4.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则＝(　　) A． B．－ C． D．－ 【答案】C 【分析】根据直线的垂直关系，可求得垂直直线的斜率；由斜率与倾斜角关系，结合同角三角函数关系式中齐次式化简方法可求得式子的值． 【详解】直线的斜率为，因此与此直线垂直的直线的斜率， ， ∴， 把代入得， 原式. 故选：C． 5.过点与点(7,0)的直线l1，过点(2,1)与点(3，k＋1)的直线l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为(　　) A．－3 B．3 C．－6 D．6 【答案】B 【分析】根据四点共圆的条件可知，四边形的2个对角之和是180°，即l1与l2是相互垂直的，利用两条直线斜率的乘积为-1，即可得到结论． 【详解】   .由已知得l1⊥l2，∴×k＝－1，∴k＝3． 【点睛】本题主要考查直线垂直与直线斜率之间的关系，利用四点共圆得到直线垂直是解决本题的关键． 6.在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点(异于端点)，设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 7.在平面直角坐标系中，矩形的顶点按逆时针顺序依次排列，且点O，P，Q的坐标分别是，其中． (1)求顶点R的坐标； (2)求矩形在第一象限部分的面积． 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)顶点R的坐标为，然后由矩形的性质可得，解方程组可得点R的坐标； (2)，然后如图分两种情况：当和进行求解，当时，由点R和Q的坐标表示出直线RQ的方程，令求出直线与轴的交点，设为M，表示出三角形OMR的面积，利用矩形的面积减去三角形OMR的面积即为所求的面积；当时，设出直线RQ的方程，令求出直线与轴的交点，记为N，此时三角形OPN的面积即为所求的图积，从而可得答案 【详解】(1)设顶点R的坐标为． 由题意知， 易知， 所以， 解得即点R的坐标为． (2)易得． ①如图1，当，即时，设线段与y轴交于点M，易知直线的方程为，则点M的坐标为，所以，所以． ②如图2，当，即时，设线段与y轴交于点N，易知直线的方程为，则点N的坐标是，所以． 综上 【点睛】此题考查矩形的性质，考查直线的位置关系，考查数学分类思想和计算能力，属于中档题 【A组---基础题】 1.下列说法中正确的有(    ) ①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行； ②若，则； ③所有的直线都有倾斜角； ④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①，根据斜率的定义进行判断；对于②，举出反例；对于③，根据倾斜角定义得到③正确；对于④，举出反例. 【详解】对于①，若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行，正确； 对于②，若，但可能斜率不存在，此时不能得到，错误； 对于③，所有的直线都有倾斜角，正确； 对于④，若两条直线中，一条直线斜率为0，另一条没有斜率，也满足垂直关系，但不满足它们的斜率之积为-1，错误.， 故正确的个数为2. 故选：B 2.已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的倾斜角与斜率及两条直线之间的位置关系可得. 【详解】直线的倾斜角为，斜率， 因为，所以，即， 故选:C． 3.直线，的斜率是方程的两个根，则(    ) A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 【答案】B 【分析】结合根与系数关系、两直线的位置关系求得正确答案. 【详解】设直线的斜率分别是， 依题意，所以. 故选：B 4.以为顶点的三角形是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以为直角顶点的直角三角形 D．以为直角顶点的直角三角形 【答案】D 【分析】通过斜率证明两直线垂直，得到三角形形状. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 由，所以， 故是以为直角顶点的直角三角形． 故选：D 5.顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是( ) A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 【答案】B 【分析】结合直角梯形的性质，利用两直线间的平行和垂直关系来判断即可得出结论. 【详解】，，则， 所以,与不平行， 因此 故构成的图形为直角梯形. 故选：B. 6.若直线l经过点和，且与经过点，斜率为的直线垂直，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】求出直线l的斜率，利用直线垂直关系列式求出a的值即得. 【详解】依题意，直线的斜率存在且为，由直线l经过点和， 得直线的斜率，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 7.在平面直角坐标系中，已知点和，点在轴上．若直线与直线的夹角为，则点的坐标为 ． 【答案】/(0.5) 【分析】翻译垂直条件，利用直线斜率建立方程求解即可. 【详解】设横坐标为，且由题意得， 与相互垂直，，解得,故, 故答案为： 8.在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标按逆时针顺序依次为，，，，其中．则四边形的形状为 . 【答案】矩形 【分析】根据点的坐标计算斜率，利用斜率相等得到直线平行，再根据矩形的判定，即可得到答案； 【详解】由斜率公式得，，，， 所以，，从而，．所以四边形为平行四边形． 又，所以，故四边形为矩形． 故答案为：矩形. 9.根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不平行 (2)平行或重合 (3)平行 (4)重合 【分析】 先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断； 【详解】(1)，，，所以与不平行． (2) 的斜率，的斜率，，所以l1与l2平行或重合． (3)由题意，知的斜率不存在，且不与轴重合，的斜率也不存在，且与轴重合，所以. (4) 由题意，知，, ，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，. 所以，，，四点共线，所以与重合． 10.已知过坐标原点的一条直线与函数的图象交于，两点，分别过点，作轴的平行线与函数的图象交于，两点． (1)证明：点，，在同一条直线上； (2)当直线的斜率为0时，求点的坐标． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】(1)设，，通过，，三点共线知，从而证明，即点，，在同一条直线上； (2)根据直线的斜率为0得出，再结合(1)中的条件即可求出，从而求出点的坐标． 【详解】(1)如图，设点，，则，． 由，，三点共线，知， 所以，即， 所以，即． 所以点，，在同一条直线上． (2)当直线的斜率为0时，轴， 则，即，所以, 由(1)知，所以，解得， 所以点的坐标为． 【B组---提高题】 1.已知直线，动直线，则下列结论错误的是(    ) A．存在，使得的倾斜角为； B．对任意的，与都有公共点； C．对任意的，与都不重合； D．对任意的，与都不垂直； 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系取特殊值判断A；联立与的方程，由恒有解判断B；取时，与重合，判断C；由两直线垂直斜率的关系判断D. 【详解】解：当时，的倾斜角为，此时的方程为，故A正确； 联立方程组，得，此方程恒有解， 故对任意的，与都有公共点，B正确； 当时，，此时与重合，故C错误； 因为的斜率为1，当时，与不垂直； 当时，的斜率，所以对任意的，与都不垂直，D正确； 故选：C. 2.已知直线，若，则的倾斜角的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分时和时两种情况讨论，根据，得，或，不存在，从而求得的范围，即可得出倾斜角的取值范围. 【详解】解：当时，， ，， ，, 设的倾斜角为，则，； 当时，直线的斜率为0，倾斜角为0， ，的倾斜角为． 综上. 故选：C． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$