预习第09讲 直线的倾斜角与斜率-2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）

第09讲 直线的倾斜角与斜率 1.掌握直线的倾斜角的概念； 2.掌握直线的斜率的概念，并会求直线斜率； 3.掌握有关斜率的最值问题. 直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 特别地，当直线与轴平行或重合时，规定. 范围 直线倾斜角 与轴垂直时，. 直线的斜率 定义 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作. 当直线与轴平行或重合时，， 当直线与轴垂直时，不存在. 倾斜角与斜率之间的关系 ，. 斜率公式 经过两点的直线的斜率公式是 使用斜率公式的时候要注意的前提条件. (4)求斜率的方法 已知直线上两点，根据斜率公式求斜率； 已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率. (5) 斜率的几何意义 形如的代数式可以理解为过点与点直线的斜率. 如 的代数式可以理解为过点与点直线的斜率. 【题型一】 直线倾斜角与斜率的概念 相关知识点讲解 直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 特别地，当直线与轴平行或重合时，规定. 解析 ① 每条直线都有一个确定的倾斜角，且方向相同的直线，其倾斜程度相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等； ② 倾斜角表示直线的倾斜程度. 【例】如图，直线的倾斜角为 (　　) A． B． C． D． 范围 直线倾斜角 与轴垂直时，. 直线的斜率 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作. 当直线与轴平行或重合时，， 当直线与轴垂直时，不存在. 【例】 若直线的斜率为，则其倾斜角是 . 【典题1】 下列说法正确的是(    ) A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等； C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角． 【典题2】直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是(    )      A． B． C． D． 变式练习 1. 下列说法正确的是(    ) A．若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 2.直线的倾斜角为(    ) A．0 B． C． D． 3.已知直线l的倾斜角为，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为(    ) A． B． C． D． 4.下列关于直线斜率和倾斜角的说法中，正确的是(    ) A．任意一条直线都有斜率 B．倾斜角的范围为 C．倾斜角为0的直线只有一条，即x轴 D．若直线的倾斜角为，则 5.已知直线l的倾斜角为α，斜率为k ，，斜率k(    ) A． B． C． D． 6.直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.三条直线，，的位置如图所示，它们的斜率分别为，，，则，，的大小关系为(    )    A． B． C． D． 8.如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则( ) A． B． C． D． 【题型二】 求直线斜率 相关知识点讲解 倾斜角与斜率之间的关系 ，. 斜率公式 经过两点的直线的斜率公式是 使用斜率公式的时候要注意的前提条件. 【例】 已知点，，而直线的斜率为，则____． 3 求斜率的方法 已知直线上两点，根据斜率公式求斜率； 已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率. 【典题1】 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为(    ) A．-2 B．1 C．3 D．4 【典题2】已知，，，直线l过点B，且与线段AP相交，则直线l的斜率k的取值范围是(    ) A．或 B． C．或 D．或 变式练习 1. 若直线经过、两点，则直线的倾斜角为(    ) A． B． C． D． 2.经过两点，的直线的倾斜角为，则(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 3.若，，，三点共线，则(    ) A．2 B．3 C．9 D． 4.已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(    ) A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 5.已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为( ) A． B． C． D． 6.已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为(   ) A． B． C． D． 7.设A(1，1)，B(3，5)，C(5，3)，D(0，－7)，E(2，－3)及F(8，－6)为坐标平面上的六个点．若直线l分别与△ABC及△DEF各恰有一个交点，则l的斜率的最小值为(    ) A．－4 B．－3 C． D．－1 【题型三】 斜率的几何意义 相关知识点讲解 斜率的几何意义 形如的代数式可以理解为过点与点直线的斜率. 如 的代数式可以理解为过点与点直线的斜率. 【典题1】 已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 【典题2】已知，，点是线段(包括端点)上的动点，求的取值范围. 变式练习 1. 已知点，若点在线段上，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2.已知A(2，3)，B(﹣1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为(　　) A．1 B． C． D．﹣3 3.已知函数，且，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 4.已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【A组---基础题】 1.在下列四个命题中，正确的是(    ) A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D．直线的倾斜角的取值范围是 2.已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为(    ) A． B． C． D． 3.在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点的所有直线中，下列说法正确的(    ) A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有条直线，每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少过两个有理点 D．每条直线至多过一个有理点 4.若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是(    ) A． B． C． D． 5.经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(    ) A． B． C． D． 6.已知两点，所在直线的斜率为，则 . 7.直线与直线的夹角大小为 ． 8.已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 9.已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 10.设，比较的大小． 【B组---提高题】 1.已知函数若存在唯一的整数，使得成立，则所有满足条件的整数的取值集合为(    ) A． B． C． D． 2.已知正三角形的三个顶点均在抛物线上，其中一条边所在直线的斜率为，则的三个顶点的横坐标之和为 ． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 直线的倾斜角与斜率 1.掌握直线的倾斜角的概念； 2.掌握直线的斜率的概念，并会求直线斜率； 3.掌握有关斜率的最值问题. 直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 特别地，当直线与轴平行或重合时，规定. 范围 直线倾斜角 与轴垂直时，. 直线的斜率 定义 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作. 当直线与轴平行或重合时，， 当直线与轴垂直时，不存在. 倾斜角与斜率之间的关系 ，. 斜率公式 经过两点的直线的斜率公式是 使用斜率公式的时候要注意的前提条件. (4)求斜率的方法 已知直线上两点，根据斜率公式求斜率； 已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率. (5) 斜率的几何意义 形如的代数式可以理解为过点与点直线的斜率. 如 的代数式可以理解为过点与点直线的斜率. 【题型一】 直线倾斜角与斜率的概念 相关知识点讲解 直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 特别地，当直线与轴平行或重合时，规定. 解析 ① 每条直线都有一个确定的倾斜角，且方向相同的直线，其倾斜程度相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等； ② 倾斜角表示直线的倾斜程度. 【例】如图，直线的倾斜角为 (　　) A． B． C． D． 解析 ，选. 范围 直线倾斜角 与轴垂直时，. 直线的斜率 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作. 当直线与轴平行或重合时，， 当直线与轴垂直时，不存在. 【例】 若直线的斜率为，则其倾斜角是 . 解析 ，. 【典题1】 下列说法正确的是(    ) A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等； C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角． 【答案】D 【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可. 【详解】对于:直线的倾斜角,,所以错误； 对于:两直线的倾斜角相等为,斜率不存在,所以错误； 对于:当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误； 对于:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以正确. 故选：. 【典题2】直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是(    )      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题图确定直线斜率的大小关系即可. 【详解】由图知：，故斜率最小的直线是. 故选：B 变式练习 1. 下列说法正确的是(    ) A．若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 【答案】B 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系逐项分析判断即可． 【详解】对于选项A：直线倾斜角的的范围是.例如，若直线的斜率为，则其倾斜角为，而不是，故A错误； 对于选项B：直线倾斜角的的范围是，故B正确； 对于选项C：当直线垂直于x轴时，其倾斜角为，∵无意义，∴不存在斜率，故C错误； 对于选项D：在，正切函数不单调，故D错误． 故选：B 2.直线的倾斜角为(    ) A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角的定义可判断. 【详解】由直线，可得该直线的倾斜角为. 故选：D. 3.已知直线l的倾斜角为，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角的定义结合图形可得答案. 【详解】根据倾斜角的定义，并结合图形知，所求直线的倾斜角为. 故选：C. 4.下列关于直线斜率和倾斜角的说法中，正确的是(    ) A．任意一条直线都有斜率 B．倾斜角的范围为 C．倾斜角为0的直线只有一条，即x轴 D．若直线的倾斜角为，则 【答案】B 【分析】利用直线斜率和倾斜角的概念，逐项判断即得. 【详解】对于A，垂直于x轴的直线没有斜率，A错误； 对于B，直线倾斜角的范围为，B正确； 对于C，垂直于y轴的直线倾斜角都为0，C错误； 对于D，直线的倾斜角为，则，D错误. 故选：B 5.已知直线l的倾斜角为α，斜率为k ，，斜率k(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率与倾斜角的变化关系即可求解. 【详解】由于，且， 所以或， 故选：D 6.直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据倾斜角的范围，正切的性质判断“”与“”的逻辑关系即可. 【详解】因为直线，的倾斜角分别为，， 所以， 若，则， 若，则都不存在， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 7.三条直线，，的位置如图所示，它们的斜率分别为，，，则，，的大小关系为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系判断即可. 【详解】设三条直线，，的倾斜角为, 由图可知, 所以. 故选：B. 8.如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】由题可得， 又，得，，得， . 故选：C. 【题型二】 求直线斜率 相关知识点讲解 倾斜角与斜率之间的关系 ，. 斜率公式 经过两点的直线的斜率公式是 使用斜率公式的时候要注意的前提条件. 【例】 已知点，，而直线的斜率为，则____． 解析 直线的斜率，所以. 3 求斜率的方法 已知直线上两点，根据斜率公式求斜率； 已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率. 【典题1】 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为(    ) A．-2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得. 故选：B. 【典题2】已知，，，直线l过点B，且与线段AP相交，则直线l的斜率k的取值范围是(    ) A．或 B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】画出图形，数形结合得到，求出，得到答案. 【详解】如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足， 即且，所以． 故选：B． 变式练习 1. 若直线经过、两点，则直线的倾斜角为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的斜率，根据斜率的定义，即可求得直线的倾斜角. 【详解】直线经过、两点，则其斜率为， 设直线倾斜角为，则， 由于直线的倾斜角范围为大于等于小于， 故该直线的倾斜角为， 故选：B 2.经过两点，的直线的倾斜角为，则(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可. 【详解】由于直线AB的倾斜角为，则该直线AB的斜率为， 又因为，，所以，解得． 故选:B． 3.若，，，三点共线，则(    ) A．2 B．3 C．9 D． 【答案】D 【分析】根据斜率相等得到方程，解出即可. 【详解】由，解得， 故选：D． 4.已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(    ) A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 【答案】D 【分析】求出和，数形结合观察满足直线l过点且与线段AB有公共点下斜率的变化情况即可求出结果. 【详解】根据题意，作出图形如下图： 直线PA的斜率为，直线PB的斜率为， 所以由图可知过点且与线段AB有公共点时，直线l的斜率取值范围是. 故选：D. 5.已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线恒过的定点，根据斜率公式即可求解. 【详解】由直线， 变形可得， 由，解得， 可得直线恒过定点，则， 结合图象可得： 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为， 由斜率定义，可得直线倾斜角的取值范围为. 故选：D. 6.已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用斜率公式求得，根据正切函数图象与性质分析运算即可得解. 【详解】解：由题意点，，则直线的斜率为 ， ∵， ∴，又∵直线倾斜角的范围是， ∴当时，倾斜角有：； 当时，倾斜角有：； 综上，直线的倾斜角的取值范围为. 故选：A. 7.设A(1，1)，B(3，5)，C(5，3)，D(0，－7)，E(2，－3)及F(8，－6)为坐标平面上的六个点．若直线l分别与△ABC及△DEF各恰有一个交点，则l的斜率的最小值为(    ) A．－4 B．－3 C． D．－1 【答案】B 【分析】由题意可知，直线l只能过两三角形的顶点，由此可得答案. 【详解】因直线l分别与△ABC及△DEF各恰有一个交点，则直线只能过三角形的顶点，注意到，则D，C，E三点共线，又结合图形，可知直线只能是AD，AF，CF中的一条 又，，.则斜率最小值为. 故选：B 【题型三】 斜率的几何意义 相关知识点讲解 斜率的几何意义 形如的代数式可以理解为过点与点直线的斜率. 如 的代数式可以理解为过点与点直线的斜率. 【典题1】 已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，， 可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率， 当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为 故选：B. 【典题2】已知，，点是线段(包括端点)上的动点，求的取值范围. 【答案】[1，2] 【分析】可以看成过点与坐标原点的直线的斜率，数形结合即得解 【详解】设，则可以看成过点与坐标原点的直线的斜率. 当点在线段上由点运动到点时，直线的斜率由增大到，如图所示. 又，，所以，即的取值范围是[1，2]. 变式练习 1. 已知点，若点在线段上，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解 【详解】可看作与的斜率， 则，， 因为点在线段上， 所以的取值范围为， 故选：A 2.已知A(2，3)，B(﹣1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为(　　) A．1 B． C． D．﹣3 【答案】C 【分析】设Q(3,0)，利用斜率计算公式可得：kQA，kQB．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设Q(3，0)，则kAQ3，kBQ， ∵点P(x，y)是线段AB上的任意一点， ∴的取值范围是[﹣3，]， 故则的最大值为， 故选C． 【点睛】本题考查了斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.已知函数，且，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，该式表示点和点连线的斜率，结合的图像，即可得答案. 【详解】函数，该式表示的几何意义为点和点连线的斜率， 如图所示：    根据图像知， ， 故选： 【点睛】本题考查指数函数图像的应用，难点在于根据所给形式，构造函数，并根据几何意义进行求解，考查数形结合的思想，属中档题. 4.已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【详解】(1)解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； (2)解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； (3)解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 【A组---基础题】 1.在下列四个命题中，正确的是(    ) A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D．直线的倾斜角的取值范围是 【答案】D 【分析】 利用直线倾斜角和斜率的定义，逐项判断作答. 【详解】对于A，直线的斜率为1，而，显然不是直线的倾斜角，A错误； 对于B，直线的倾斜角为，而直线的斜率不存在，B错误； 对于C，坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，而垂直于x轴的直线没有斜率，C错误； 对于D，直线的倾斜角的取值范围是，D正确. 故选：D 2.已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得直线的斜率为，进而求得直线的倾斜角，得到答案. 【详解】由直线经过，两点，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得，所以. 故选：B. 3.在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点的所有直线中，下列说法正确的(    ) A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有条直线，每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少过两个有理点 D．每条直线至多过一个有理点 【答案】C 【分析】 分析斜率不存在的直线和斜率为0的直线上的有理点的个数，再在斜率存在且不为0的直线上假设有两个有理点，利用直线的斜率公式推导出矛盾，从而判断各选项． 【详解】显然直线过点且此直线上有无数个有理点，选项D错误； 直线上的所有点都不是有理点， 其它过点斜率存在且不为0的直线上假如有两个有理点，都是有理数， 则此直线的斜率为为有理数，又为无理数，显然，矛盾， 因此此类直线上不可能有两个或以上的有理点．所以AB均错，C正确． 故选：C． 4.若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合斜率、倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】因为直线恒过点， 直线与坐标轴的交点分别为， 直线的斜率，此时倾斜角为； 直线的斜率不存在，此时倾斜角为； 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 5.经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形及斜率定义可得答案. 【详解】如图，当公共点在AO之间(不含O)时，直线l的斜率为负， 当公共点在A时，斜率有最大值，为，则此时斜率范围为； 当公共点在OB之间(不含O)时，直线l的斜率为正， 当公共点在B时，斜率有最小值，为，则此时斜率范围为； 当公共点在O点时，直线l的斜率不存在. 综上，直线l的斜率的取值范围是. 故选：C      6.已知两点，所在直线的斜率为，则 . 【答案】 【分析】根据两点的斜率公式计算可得. 【详解】因为两点，所在直线的斜率为， 所以，解得. 故答案为： 7.直线与直线的夹角大小为 ． 【答案】/ 【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果. 【详解】设直线与直线的倾斜角分别为， 则，且， 所以， 因为， 所以，即两条直线的夹角为， 故答案为：. 8.已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 【答案】或 【分析】由点在坐标轴上，分轴两类情况设点的坐标，由斜率建立等式求解方程可得. 【详解】若点在轴上，设，又点， 则直线的斜率，解得， . 若点在轴上，设， 则直线的斜率，解得. 故点的坐标为或. 9.已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】(1)由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角； (2)根据点移动时，直线夹在直线和直线之间，运动时不可能与轴垂直，由此可得斜率范围． 【详解】(1)解：因为，，， 由斜率公式，可得， 再由直线倾斜角的定义得： 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. (2)如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点， 即在线段上，此时的斜率由增大到， 所以的取值范围为. 10.设，比较的大小． 【答案】 【分析】构造函数，将问题转化为函数上的点到点的斜率的大小比较，从而结合图象即可得解. 【详解】令， 而可统一成格式， 表示函数上的点到点的斜率，    结合图象与条件，则构造的斜率都是正数， 所以图象的倾斜角越大，斜率越大，即原式的值越大，可得. 【B组---提高题】 1.已知函数若存在唯一的整数，使得成立，则所有满足条件的整数的取值集合为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得范围. 【详解】令作出的图象如图所示：等价于，表示点与点所在直线的斜率， 可得曲线上只有一个整数点与所在的直线斜率小于0， 而点在直线上运动， 由, 可知当时， 只有点满足，当时， 只有点满足， 当时，至少有，满足， 不满足唯一整数点，故舍去， 当时，至少有，满足， 不满足唯一整数点，故舍去，因为为整数，故可取. 故选：B    2.已知正三角形的三个顶点均在抛物线上，其中一条边所在直线的斜率为，则的三个顶点的横坐标之和为 ． 【答案】 【分析】设点，则可得，，，不妨设，且直线的倾斜角为，可得，然后利用算出答案即可. 【详解】设点， 则，， 不妨设，且直线的倾斜角为 因为是等边三角形，所以 所以 故答案为： 【点睛】本题以抛物线为载体，考查了直线的斜率和三角函数的和差公式，属于较难题. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$