预习第08讲 用空间向量研究空间所成角 -2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）

第08讲 用空间向量研究空间所成角 1.掌握向量法求解异面直线所成角的方法； 2.掌握向量法求解线面角的方法； 3.掌握向量法求解面面角的方法. 1 求异面直线所成的角 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 2 求直线和平面所成的角 设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. 3 空间向量求平面与平面的夹角 求法：设平面与平面的法向量分别为， 再设的夹角为，平面与平面的平面角为，则为或， 则. 【题型一】 向量法求异面直线所成角 相关知识点讲解 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 解释 ①向量所成角的范围是，而异面直线所成的角范围是； ②与的关系相等或互补； 故，不要漏了“绝对值符号”. 【典题1】已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 已知点，，，，则异面直线与所成角的余弦值为(   ) A． B． C． D． 2.在正四棱锥中，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 3.直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为(    ) A．1 B． C． D． 【题型二】 向量法求线面角 相关知识点讲解 设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. 解释 如下图，当时，；当时，； 在求直线和平面所成的角实际过程中，较难判断平面的法向量的方向，但不管如何均有. 【例1】在正方体中，直线与平面所成角为，向量与向量所成角为，判断与的关系. 【典题1】 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为(    ) A． B． C． D．1 【典题2】如图，四棱锥的底面为正方形，底面分别是线段的中点，是线段上的一点. (1)证明直线平面; (2)若直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置. 变式练习 1.如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，E是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为(    )    A． B． C． D． 2.如图，△ABC与△DBC所在平面垂直，且，． (1)证明：； (2)求直线BC与平面ABD所成角的余弦值． 3.如图，在直三棱柱中，△为边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且. (1)当时，求证平面； (2)设为底面的中心，求直线与平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时的值. 【题型三】 向量法求面面角 相关知识点讲解 空间向量求平面与平面的夹角 求法：设平面与平面的法向量分别为， 再设的夹角为，平面与平面的平面角为，则为或， 则. (与线面所成角的情况一样，均由法向量的方向导致两种情况的出现) 【例1】在正方体中，易得平面与平面的法向量分别是 、，其夹角是，二面角为，平面与平面的夹角，判断三个角之间的关系！ 【典题1】若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为(    ) A． B． C． D． 【典题2】 如图，已知四棱锥的底面为矩形，，平面，分别为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 变式练习 1. 如图，三棱柱满足棱长都相等，且平面，是棱的中点，是棱上的动点，设，随着增大，平面与底面所成钝二面角的平面角是(    ) A．减小 B．先减小再增大 C．先增大再减小 D．增大 2.如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是(    ) A．直线与所成角的范围是 B．直线与平面所成角的最大值为 C．二面角的大小不确定 D．直线与平面不垂直 3.如图，已知四棱锥中，点在平面内的投影为点，，.    (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面所成角的正弦值为，求的值. 4.在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，． (1)证明：平面平面； (2)是侧棱上一点，记，是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【A组---基础题】 1.在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为(   ) A． B． C． D． 2.已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为(   ) A．或－1 B．或1 C．－1或2 D． 3.直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为(   ) A． B． C． D． 4.如图，在长方体中，，，P为线段上的动点，则下列结论正确的是(　　) A．当时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为 B．当时，若平面的法向量记为，则 C．当时，二面角的余弦值为 D．若，则 5.已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 6.如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，O为中点．线段上存在一点Q，使得二面角的余弦值为，则 7.如图，在三棱锥中，平面平面，点为的重心，． (1)若平面，求的长度； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值． 8.如图，在正三棱柱中，为中点，点在棱上，. (1)证明： 平面； (2)求锐二面角的余弦值. 【B组---提高题】 1.在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 2.如图，若P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是(    ) A．当P在平面内运动时，四棱锥的体积变化 B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．使直线与平面所成的角为45°的点P的轨迹长度为 D．若F是棱的中点，当P在底面内运动，且满足平面时，长度的最小值是 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 用空间向量研究空间所成角 1.掌握向量法求解异面直线所成角的方法； 2.掌握向量法求解线面角的方法； 3.掌握向量法求解面面角的方法. 1 求异面直线所成的角 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 2 求直线和平面所成的角 设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. 3 空间向量求平面与平面的夹角 求法：设平面与平面的法向量分别为， 再设的夹角为，平面与平面的平面角为，则为或， 则. 【题型一】 向量法求异面直线所成角 相关知识点讲解 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 解释 ①向量所成角的范围是，而异面直线所成的角范围是； ②与的关系相等或互补； 故，不要漏了“绝对值符号”. 【典题1】已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当三棱锥的体积最大时，平面平面，以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，根据向量夹角的坐标表示可解. 【详解】记的 中点分别为，因为，所以， 同理，，记， 因为，所以， 所以，， 易知，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时， 以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 变式练习 1. 已知点，，，，则异面直线与所成角的余弦值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量公式，转化为求的值. 【详解】由已知得， 设异面直线与所成的角为，则． 故选：A 2.在正四棱锥中，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等角定理找到异面直线与所成角(或其补角)，利用余弦定理即可的解. 【详解】 如图，取分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 不妨设，则， 则，故,, 设，则， 因异面直线与所成角是锐角，故它们所成角的余弦值为. 故选：D. 3.直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为(    ) A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】建系标点，设，可得，利用空间向量求异面直线的夹角，列式求解即可. 【详解】以A为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设，则， 所以，解得(负值舍去). 故选：A． 【题型二】 向量法求线面角 相关知识点讲解 设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. 解释 如下图，当时，；当时，； 在求直线和平面所成的角实际过程中，较难判断平面的法向量的方向，但不管如何均有. 【例1】在正方体中，直线与平面所成角为，向量与向量所成角为，判断与的关系. 解析 因为平面，所以直线与平面所成角， 而平面的法向量与向量所成角，由图易得. 所以， 若把平面的法向量改为，则时，. 【典题1】 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为(    ) A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设出夹角，由，求出答案. 【详解】设与所成角的大小为， 则. 故选：A 【典题2】如图，四棱锥的底面为正方形，底面分别是线段的中点，是线段上的一点. (1)证明直线平面; (2)若直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置. 【答案】(1)证明见解析 (2)M位于PA中点 【分析】(1)利用线线平行证线面平行即可； (2)建系，设 ,利用空间向量法直接求线面角的正弦值,计算即可求得，得出结果. 【详解】(1)如图所示，连接BD， ∵E，F分别为PB、PD的中点， ∴在中，EF为其中位线，即 BD， 又BD面AFE，EF面AFE， ∴直线面AEF； (2)分别以 为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，设 ， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得 设直线与平面所成的角为， 则，解得： 所以，即M位于PA中点. 变式练习 1.如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，E是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把该几何体补成一个正方体，设该正方体的棱长为，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量和向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面， 可把该几何体补成一个正方体，设该正方体的棱长为，如图所示， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 可得， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为，其中， 则， 则，即直线与平面所成角的余弦值为. 故选：B.    2.如图，△ABC与△DBC所在平面垂直，且，． (1)证明：； (2)求直线BC与平面ABD所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)首先由角度关系得到，进而可得，再结合线面垂直的判定定理以及性质可得； (2)建立空间直角坐标系，求出直线BC的一个方向向量与平面ABD法向量，利用向量法即可求得答案. 【详解】(1)证明：过A作AO⊥CB交CB的延长线于点O，连接DO， 由题：，所以， 又因为，，所以． 因此分，故， 又因为，所以平面ADO， 又因为平面ADO，故． (2)设，由(1)得：OD，OC，OA两两互相垂直， 故以O为原点，OD，OC，OA分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz如图， 则，，，， 所以，，， 设平面ABD法向量为，则有 ，则 设直线BC与平面ABD所成角为，则， 又因为，所以． 3.如图，在直三棱柱中，△为边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且. (1)当时，求证平面； (2)设为底面的中心，求直线与平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为，此时 【分析】(1)根据已知条件建立空间直角坐坐标系，利用向量证明线面垂直即可. (2)求出直线对应的方向向量和平面对应的法向量，将线面角用向量坐标表示进而求最值. 【详解】(1)取的中点，连接， 因为三棱柱为直棱柱，且△为正三角形， 所以以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 根据已知条件得 ， 当时，，， ， ， ，即， 又，而平面，平面. (2)由(1)知， ， 为△的中心，， 设平面的法向量，则 ，令，则 设直线与平面所成角为，则 令，则， 此时， (当且仅当即时取等号)， ， 即直线与平面所成角正弦的最大值为，此时的值为 【题型三】 向量法求面面角 相关知识点讲解 空间向量求平面与平面的夹角 求法：设平面与平面的法向量分别为， 再设的夹角为，平面与平面的平面角为，则为或， 则. (与线面所成角的情况一样，均由法向量的方向导致两种情况的出现) 【例1】在正方体中，易得平面与平面的法向量分别是 、，其夹角是，二面角为，平面与平面的夹角，判断三个角之间的关系！ 解析 两个法向量的、的夹角，二面角为是个钝角，则平面与平面的夹角，而. 所以三角关系是. 【典题1】若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的夹角公式计算即可 【详解】与所成角的余弦值为， 又与所成角为， 与所成角的大小为 故选：B 【典题2】 如图，已知四棱锥的底面为矩形，，平面，分别为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】(1)根据线面垂直的判定定理证明即可； (2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的正弦值. 【详解】(1)因为分别为线段的中点，所以． 因为平面，所以平面， 因为平面，所以． 易知，，所以， 所以． 因为平面，， 所以平面． (2)易知两两垂直，故以为坐标原点，，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以，． 设平面的法向量为， 则，即，令，则． 易知平面的一个法向量为． 故， 设平面与平面所成二面角的大小为，则， 故平面与平面所成二面角的正弦值为． 变式练习 1. 如图，三棱柱满足棱长都相等，且平面，是棱的中点，是棱上的动点，设，随着增大，平面与底面所成钝二面角的平面角是(    ) A．减小 B．先减小再增大 C．先增大再减小 D．增大 【答案】C 【分析】以中点为坐标原点，，分别为，轴，并垂直向上作轴建立空间直角坐标系，设所有棱长均为，则，平面法向量的夹角的余弦值，平面与底面所成钝二面角的余弦值，通过讨论的增减变化，即可得出结论. 【详解】 以中点为坐标原点，，分别为，轴，并垂直向上作轴建立空间直角坐标系， 设所有棱长均为，则，，，，， ，设平面法向量， 则，所以，令，有，， 故， 又平面的法向量， 故两平面法向量夹角的余弦值， 又，故在上单调递增，上单调递减， 平面与底面所成钝二面角的余弦值， 所以在上单调递减，上单调递增， 即随着增大先减小后增大，所以随着增大先增大后减小. 故选：C. 2.如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是(    ) A．直线与所成角的范围是 B．直线与平面所成角的最大值为 C．二面角的大小不确定 D．直线与平面不垂直 【答案】D 【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，由直线方向向量夹角余弦的范围即可判断；对于B，由线面角正弦值的公式即可判断；对于C，由两平面的法向量夹角余弦即可判断；对于D，由即可判断. 【详解】以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 不妨设正方体棱长为1， ， 对于A，， 不妨设直线与所成角为， 所以， 当增大时，分别减小，增大，所以关于单调递减， 所以，所以，故A错误； 对于B，由题意，且显然平面的法向量为， 不妨设直线与平面所成角为， 则单调递增，， 所以，所以，故B错误； 对于C，， 所以， 不妨设平面与平面的法向量分别为， 所以有和，令，解得， 即取平面与平面的法向量分别为， 二面角为锐角，不妨设为， 则， 所以二面角的大小为，故C错误； 对于D，， 所以， 所以与不垂直，所以直线与平面不垂直. 故选：D. 【点睛】关键点睛：C选项的关键是看两平面法向量夹角是否固定不变，由此即可顺利得解. 3.如图，已知四棱锥中，点在平面内的投影为点，，.    (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)设中点为，连接，即可得到四边形为正方形，利用勾股定理逆定理得到，再由线面垂直的性质得到，即可证明平面，从而得证； (2)建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量求解即可. 【详解】(1)设中点为，连接， 因为，且，故四边形为正方形， 而，，， 所以，所以， 因为平面，平面， 所以，又平面，， 所以平面，因为平面， 所以平面平面； (2)以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，所以，， 设平面的法向量为，则，即，令，所以， 由(1)知，平面的法向量为， 设平面与平面所成角为，则，所以， 即，解得或(舍去)， 所以.    4.在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，． (1)证明：平面平面； (2)是侧棱上一点，记，是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】(1)利用面面垂直的判定定理，先证平面，再证平面平面即可； (2)先根据已知条件证面，再建立空间直角坐标系，利用向量方法求平面与平面所成的二面角的余弦值，再结合平面与平面所成的二面角为，即可得到方程 ，解方程即可求解. 【详解】(1) 连接交于点，连接， 底面为平行四边形， 为中点， ， 又，，平面，， 平面，又平面， 平面平面. (2) 平面，平面， ， 又 为平行四边形，所以为菱形， ， ， ，在中，， ，， ，在中，，， ， 在中，，，， 所以，所以，所以， 又 ，平面，平面，， 面； 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系． 可得，，，，，由， ，，， 设平面的法向量为，则， 又因为平面的法向量， ，解得(舍去)或． 经检验得：． 【A组---基础题】 1.在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用线面角的向量求法列式计算即得. 【详解】由直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 得直线与平面所成角的正弦值为． 故选：B 2.已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为(   ) A．或－1 B．或1 C．－1或2 D． 【答案】B 【分析】根据平面夹角的向量公式求解可得. 【详解】因为， 所以，解得或1． 故选：B． 3.直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，以为原点，建立空间直角坐标系，求出异面直线与所在直线的方向向量，由空间向量夹角的余弦值的坐标公式求解即可. 【详解】以为原点，在平面中过作的垂线交于， 以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为直三棱柱中，， 设， 所以，，，， ，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：. 4.如图，在长方体中，，，P为线段上的动点，则下列结论正确的是(　　) A．当时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为 B．当时，若平面的法向量记为，则 C．当时，二面角的余弦值为 D．若，则 【答案】C 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，根据得到，结合法向量得到直线BP与平面ABCD所成角的正弦值；B选项，根据得到，结合得到答案；C选项，根据求出，利用二面角的向量求解公式得到答案；D选项，设 ，表达出，根据得到方程，求出，得到D错误. 【详解】A选项，如图所示，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系．由，可知， ， 则,设，则. 当时，，即解得， 所以，所以， 平面ABCD的一个法向量为， 所以直线BP与平面ABCD所成角的正弦值，故A错误． B选项，当时，，解得， 所以，所以. 设平面的法向量为， 因为， 由， 令，则，则， 所以，故B错误． C选项，当时，解得， 所以，平面的一个法向量为. 设平面APD1的法向量为， 因为，， 由， 令，则，，则， 所以二面角的余弦值为 ，故C正确； D选项，设 ，因为， 所以，解得，所以， 所以， 若，则， 解得，所以，即，故D错误． 故选：C. 5.已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】以点H为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，直线的一个方向向量，利用向量的夹角公式可求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因为点在底面的射影为中点H，则平面， 又因为四边形为正方形， 以点H为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，    因为平面，平面，则， 因为，，则， 则、、、， 所以， 易知平面的一个法向量为， ， 因此，直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为：. 6.如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，O为中点．线段上存在一点Q，使得二面角的余弦值为，则 【答案】/ 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系利用向量法求解. 【详解】在中，，O为中点，所以， 又侧面 底面， 平面平面，平面， 所以平面. 又，，， 又在直角梯形中，连接，易得， 所以以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系． 则，，，，， 设)， 因为，，() ，所以， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得 平面的一个法向量为， 要使二面角的余弦值为，需使 整理化简得：，得或(舍去)， 所以存在点，且. 故答案为：. 7.如图，在三棱锥中，平面平面，点为的重心，． (1)若平面，求的长度； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】(1)连接并延长与交于点，连接，由线面平行的性质定理得，再利用G为重心得到，求出AD，再利用勾股定理求出BD长即可. (2)以BC中点O为坐标原点建系，求出PD的方向向量与平面PAB的法向量，再利用线面角与这两个向量夹角之间的关系计算即可. 【详解】(1)连接并延长与交于点，连接，所以平面平面． 因为平面平面所以 又因为为的重心，所以．所以． 所以，即．所以在中，，则． (2)设为的中点，连接．因为平面平面 又因为所以，且平面平面， 所以平面，如图所示，分别以为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，所以，因为，所以 又因为，所以，所以． 所以，又因为． 不妨设平面的法向量，所以 所以，可取 设直线与平面所成的角为，所以． 即直线与平面所成的角的正弦值为. 8.如图，在正三棱柱中，为中点，点在棱上，. (1)证明： 平面； (2)求锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】(1)解法1：作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行；解法2：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由证明出结论； (2)解法1：作出辅助线，得到即为二面角的平面角，求出各边长，求出锐二面角的余弦值；解法2：求出平面的法向量，得到平面的法向量，求出答案. 【详解】(1)解法1：设，则为中点， ，连接， 延长交延长线于， 由得， 为中点， ， 平面平面， 平面， 解法2：取中点，取中点，连接， 因为为正三棱柱，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 则， ， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 平面， 故 平面. (2)解法1：因为，所以，故四边形为正方形， 故⊥，且为中点， 又，， 故，故⊥， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 又，， 且，， ， 故锐二面角的余弦值为. 解法2：设平面的一个法向量为， 则， 令，则， ， 所以锐二面角的余弦值为. 【B组---提高题】 1.在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线面垂直的性质与判定可证得平面，进而得到，设，，，利用勾股定理可得关于的方程，由方程有且仅有一个范围内的解，由求得的值；以为坐标原点，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】平面，平面，， 又，，平面，平面， 又平面，； 设，，， ，，， ，即， 关于的方程有且仅有一个范围内的解，对称轴为， ，解得：，， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 轴平面，平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， ， 由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量法求解二面角的问题；解题关键是能够根据线面垂直的判定与性质证得，从而利用勾股定理构造关于的一元二次方程，根据其根的分布可求得和的长度，进而得到利用向量法求解时所需的线段长度. 2.如图，若P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是(    ) A．当P在平面内运动时，四棱锥的体积变化 B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．使直线与平面所成的角为45°的点P的轨迹长度为 D．若F是棱的中点，当P在底面内运动，且满足平面时，长度的最小值是 【答案】D 【分析】对A，点P在平面内运动时，四棱锥的底面积和高均不变，所以体积不变；对B，D，建系利用向量法求解；对C，根据线面角的定义，讨论点在各个表面的情况求解得答案. 【详解】对于A，因为底面正方形的面积不变，点P到平面的距离为正方体棱长， 所以四棱锥的体积不变，故A错误； 对于B，如图①，以D为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 可得，，.设，， 则，. 设直线与所成角为θ，则， 图① 因为，当时，可得，所以； 当时，，所以， 所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B错误； 对于C，已知直线与平面所成的角为45°，若点P在平面和平面内， 因为，最大，点P仅在点；若点P在平面内， 则点P的轨迹长度是；若点P在平面内，则点P的轨迹长度是； 若点P在平面内，作平面，如图②所示， 因为，所以. 图② 因为，所以，所以， 所以点P的轨迹是以点A1为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点P的轨迹长度为. 综上，点P的轨迹总长度为，故C错误； 对于D，如图③，由前面建系得，，，， 设，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，所以. 图③ 因为平面，所以，可得， 所以， 当时，等号成立，故D正确． 故选：D. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$