预习课第09讲 轴对称、垂直平分线 -2024年新八年级暑假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

第09讲 轴对称、垂直平分线 1.了解轴对称和两个图形关于某直线对称的概念； 2.能识别简单的轴对称图形及其对称轴； 3.了解线段垂直平分线的定义； 4.掌握线段垂直平分线的性质和判定. 1 轴对称图形 (1)轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是抽对称图形；这条直线叫做它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称. (2)两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点事对应点，叫做对称点； 轴对称图形与两个图形形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形，而两个图形形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系. 2 垂直平分线的 (1)定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； (2)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； (3)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； (4)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 3 三角形的外心 (1)定义：三角形外接圆的圆心叫做该三角形的外心. (2)三角形三边的垂直平分线的交点是这个三角形的外心. 如下图，直线，，分别是三角形三边、和的垂直平分线，它们会交于一点，点就是三角形的外心. 【题型一】 轴对称图形的识别 相关知识点讲解 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是抽对称图形；这条直线叫做它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称. 【典题1】 下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 下列图形中，是轴对称图形的是(　　) A． B．C． D． 2.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是(    ) A． B． C． D． 3.下列图形中不是轴对称图形的为(    ) A．平行四边形 B．等边三角形 C．等腰梯形 D．圆 【题型二】 垂直平分线的定义和性质 相关知识点讲解 (1)定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； 如下图，，且，则是线段的垂直平分线，或称中垂线. (2)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 如下图，若是线段的垂直平分线，点在直线上，则.(利用全等三角形可证明) 【典题1】 如图，在中， 垂直平分，点 P为直线上的任意一点，则的最小值是(   )    A．6 B．7 C．8 D．10 变式练习 1. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E．如果，，那么的周长是(　　) A． B． C． D． 2.如图，在中，垂直平分线段垂直平分线段，，则线段的长为(    ) A． B． C． D． 3.如图，已知是的角平分线，的垂直平分线交于点F，交的延长线于点E．以下四个结论：(1)；(2)；(3)；(4)．以上恒成立的结论有(    ) A．(1)(2) B．(2)(3)(4) C．(1)(2)(4) D．(1)(2)(3)(4) 4.如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 5.如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【题型三】 垂直平分线的判定及其应用 相关知识点讲解 1 垂直平分线的判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 如下图，若，则点在线段的垂直平分线上；(利用全等三角形可证明) 拓展：若，，则是线段的垂直平分线. 2 三角形的外心 (1)定义：三角形外接圆的圆心叫做该三角形的外心. (2)三角形三边的垂直平分线的交点是这个三角形的外心. 如下图，直线，，分别是三角形三边、和的垂直平分线，它们会交于一点，点就是三角形的外心. 证明 设直线，交于点， 依题意可得，，则， 所以点在线段的垂直平分线上，即直线，，交于同一点. 因为， 所以以点为圆心，为半径画个圆，该圆必过三角形三个顶点，，. 【典题1】 两组邻边分别相等的四边形叫“筝形”．如图所示，四边形是一个筝形，其中，，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典题2】如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 变式练习 1. 如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，，，，垂足分别为，，下列结论成立的是(    ) ①平分；②；③平分；④垂直平分． A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 3.如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【题型四】 垂直平分线的尺规作图 相关知识点讲解 尺规作图：作线段的垂直平分线. 作法：以,为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，，作直线，则直线所求直线. 【典题1】 一个快递公司打算在两交叉公路间建一个菜鸟驿站，以便于两条公路上的物流车快件卸后存放，又要方便两处居民区的居民取件．请依据你现有的知识设计出一个相对合理的地点(尺规作图，保留痕迹)，并说明你的设计理由． 变式练习 1. 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路，的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？ 2.如图，在中，，为的平分线． (1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．(不写作法，保留作图痕迹，标明字母) (2)在(1)的条件下，求证：． 【A组---基础题】 1.下列汽车图标中，是轴对称图形的是(    ) A．B．C． D． 2.如图，已知，以A、B两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M、N，连接与相交于点D，则的周长为(    ) A．8 B．10 C．11 D．13 3.如图，已知中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值为(   ) A．12 B．11 C．10 D．9 4.如图，在中，，分别为，边上的高，，相交于点F，，连接，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有(　　)    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5.中共中央国务院关促进农民增加收入若干政策的意见中提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．政策出台后，湖南陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在三条边的 的交点处．    6.如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长为13，则 ． 7.如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为 ． 8.如图，的边的垂直平分线与的平分线相交于，于点，于，连接、．求证： (1)；(2)． 9.如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 【B组---提高题】 1.如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是(    ) A．5 B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 轴对称、垂直平分线 1.了解轴对称和两个图形关于某直线对称的概念； 2.能识别简单的轴对称图形及其对称轴； 3.了解线段垂直平分线的定义； 4.掌握线段垂直平分线的性质和判定. 1 轴对称图形 (1)轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是抽对称图形；这条直线叫做它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称. (2)两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点事对应点，叫做对称点； 轴对称图形与两个图形形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形，而两个图形形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系. 2 垂直平分线的 (1)定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； (2)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； (3)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； (4)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 3 三角形的外心 (1)定义：三角形外接圆的圆心叫做该三角形的外心. (2)三角形三边的垂直平分线的交点是这个三角形的外心. 如下图，直线，，分别是三角形三边、和的垂直平分线，它们会交于一点，点就是三角形的外心. 【题型一】 轴对称图形的识别 相关知识点讲解 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是抽对称图形；这条直线叫做它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称. 【典题1】 下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A正确； B．不是轴对称图形，故B错误； C．不是轴对称图形，故C错误； D．不是轴对称图形，故D错误． 故选：A． 变式练习 1. 下列图形中，是轴对称图形的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、B、C中的图形不是轴对称图形，故ABC不符合题意； D图形是轴对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，利用轴对称图形的概念逐一进行识别即可． 【详解】A．不是轴对称图形，该选项不符合题意； B．是轴对称图形，该选项符合题意； C． 不是轴对称图形，该选项不符合题意； D． 不是轴对称图形，该选项不符合题意； 故选：B． 3.下列图形中不是轴对称图形的为(    ) A．平行四边形 B．等边三角形 C．等腰梯形 D．圆 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：A不能找到一条直线，使A沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A不是轴对称图形，符合题意； B、C、D能找到一条直线，使B、C、D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故B、C、D是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 【题型二】 垂直平分线的定义和性质 相关知识点讲解 (1)定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； 如下图，，且，则是线段的垂直平分线，或称中垂线. (2)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 如下图，若是线段的垂直平分线，点在直线上，则.(利用全等三角形可证明) 【典题1】 如图，在中， 垂直平分，点 P为直线上的任意一点，则的最小值是(   )    A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线可得，故当点P在上时，有最小值． 【详解】连接，    ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，P，C在一条直线上，即当点P在上时，有最小值，最小值． 故选：C． 变式练习 1. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E．如果，，那么的周长是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质可得，从而得出的周长是，进而得出结果． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， 的周长是：． 故选：C． 2.如图，在中，垂直平分线段垂直平分线段，，则线段的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解： 垂直平分线段， ， 垂直平分线段， ， 故选：C． 3.如图，已知是的角平分线，的垂直平分线交于点F，交的延长线于点E．以下四个结论：(1)；(2)；(3)；(4)．以上恒成立的结论有(    ) A．(1)(2) B．(2)(3)(4) C．(1)(2)(4) D．(1)(2)(3)(4) 【答案】C 【分析】 本题考查线段的垂直平分线或平行线的判定与性质，做题的关键是掌握相关知识． 根据线段的垂直平分线或平行线的判定与性质逐一推理即可． 【详解】 解：(1)是的垂直平分线， ，可证． (2)是的垂直平分线， ，可证， 平分， ， ， ． (3)与不一定互相垂直， (3)不一定成立． (4)由(1)(2)得，， 又，， ． 故选：C． 4.如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，垂直平分线上的点到两端距离相等．连接，通过证明，得出，在证明，得出，即可解答． 【详解】解：连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：2． 5.如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键； (1)根据线段垂直平分线的性质得到，等量代换证明结论； (2)根据三角形的周长公式得到，根据计算，即可得到答案． 【详解】(1)证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． (2)解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型三】 垂直平分线的判定及其应用 相关知识点讲解 1 垂直平分线的判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 如下图，若，则点在线段的垂直平分线上；(利用全等三角形可证明) 拓展：若，，则是线段的垂直平分线. 2 三角形的外心 (1)定义：三角形外接圆的圆心叫做该三角形的外心. (2)三角形三边的垂直平分线的交点是这个三角形的外心. 如下图，直线，，分别是三角形三边、和的垂直平分线，它们会交于一点，点就是三角形的外心. 证明 设直线，交于点， 依题意可得，，则， 所以点在线段的垂直平分线上，即直线，，交于同一点. 因为， 所以以点为圆心，为半径画个圆，该圆必过三角形三个顶点，，. 【典题1】 两组邻边分别相等的四边形叫“筝形”．如图所示，四边形是一个筝形，其中，，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题考查了垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质和判定方法，全等三角形的性质和判定定理． 根据题意得到是线段的垂直平分线，即可判断①②；根据可证明，即可判断③；根据，即可判断④． 【详解】∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴，，故①②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∴ 又∵， ∴，故④正确． 综上所述，其中正确的结论是4个． 故选：D． 【典题2】如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)点O在的垂直平分线上，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． (1)连接，根据垂直平分线的性质可得，则，根据垂直平分线的判定可证明结论 (2)证明，又由及四边形内角为即可得到的度数． 【详解】(1)点O在的垂直平分线上，理由如下： 连接， ∵边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； (2)∵， ∴， ∵， ∴ 变式练习 1. 如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，先根据，，得出直线是线段的垂直平分线，结合垂直平分线的性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴是的中点 ∴ 故选：B 2.如图，，，，垂足分别为，，下列结论成立的是(    ) ①平分；②；③平分；④垂直平分． A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、垂直平分线定义，以及角平分线的性质和判定，由，，，可证明，再根据全等三角形的性质，即可解题． 【详解】解：，， 在和中， 有，， ， ，，， 平分，平分， ①②③正确， ，， 垂直平分， ④错误， 故选C． 3.如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． (1)先由等边三角形的性质得出，结合，即可得出是的垂直平分线进行作答． (2)先由等边三角形的性质得出，结合角平分线的性质，得出，证明，再证明，结合边的等量代换以及边的运算，即可作答． 【详解】(1)证明：是等边三角形， ， 在的垂直平分线上， ， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． (2)证明： 过作，如图： 是等边三角形， ，， ． ． ，． ，平分， ， ， ． ，， ． ． 又， ， 【题型四】 垂直平分线的尺规作图 相关知识点讲解 尺规作图：作线段的垂直平分线. 作法：以,为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，，作直线，则直线所求直线. 【典题1】 一个快递公司打算在两交叉公路间建一个菜鸟驿站，以便于两条公路上的物流车快件卸后存放，又要方便两处居民区的居民取件．请依据你现有的知识设计出一个相对合理的地点(尺规作图，保留痕迹)，并说明你的设计理由． 【答案】画图见解析，理由：到两条公路距离相等，到两个居民区距离也相等 【分析】本题考查的是角平分线的性质与作图，线段的垂直平分线的性质与作图，先作的角平分线，再作线段的垂直平分线，则交点到两条公路距离相等，到两个居民区距离也相等，从而可得答案． 【详解】解：如图，即为菜鸟驿站的地点； ． 理由：交点P到两条公路距离相等，到两个居民区距离也相等． 变式练习 1. 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路，的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？ 【答案】画图见解析 【分析】本题考查了作角平分线、线段垂直平分线，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，作出线段的垂直平分线与的平分线交于点，点即为所求，熟练掌握角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，点即为所求； ． 2.如图，在中，，为的平分线． (1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．(不写作法，保留作图痕迹，标明字母) (2)在(1)的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了尺规作垂线，角平分线的定义，垂直平分线的性质，全等三角形的判断．正确的作垂线是解题的关键． (1)以D为圆心，适当长为半径画弧交于M、N，以M、N为圆心，大于长为半径画弧，交于点G，连接，交于E，则是线段的垂直平分线， 即为所求； (2)根据角平分线和垂直平分线的性质得，，证，即可得出结论． 【详解】(1)如图，即为所求． (2)证明：为的平分线，为的垂线，， ，， 在和中 ， ， ， ． 【A组---基础题】 1.下列汽车图标中，是轴对称图形的是(    ) A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：把一个图形沿着一条线对折，使对折后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2.如图，已知，以A、B两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M、N，连接与相交于点D，则的周长为(    ) A．8 B．10 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图(作已知线段的垂直平分线)，利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长，熟知垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， 的周长， ， ， ， ， ． 故选：C． 3.如图，已知中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值为(   ) A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题此题考查了轴对称的最短路线问题，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，利用数形结合的思想是解题关键． 【详解】如图所示，连接， 的垂直平分线分别交，于点E，F， ， 的周长， 当A、D、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，此时点D与点F重合，最小值即为的长， 的周长的最小值为， ，， 的周长的最小值为：， 故选：D． 4.如图，在中，，分别为，边上的高，，相交于点F，，连接，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有(　　)    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，垂直的定义，三角形外角的性质，线段垂直平分线的意义，根据已知，选择好方法，证明判断即可． 【详解】解：如图，延长交于H，    ∵，分别为，边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵， ∴， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长， 故③符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故④不符合题意； ∴正确的有①②③． 故选：A． 5.中共中央国务院关促进农民增加收入若干政策的意见中提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．政策出台后，湖南陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在三条边的 的交点处．    【答案】垂直平分线 【分析】利用线段的垂直平分线的性质解决问题． 【详解】解：因为充电桩到三个出口的距离都相等，即点、、的距离相等， 所以充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处． 故答案为：垂直平分线． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 6.如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长为13，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式可得，进而可知，即，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为13， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：5． 7.如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】此题考查垂直平分线的判定及四边形的面积，关键是熟练掌握垂直平分线的判定．根据线段垂直平分线的判定得出是线段的垂直平分线，再求解即可． 【详解】解： ，， ∴点C，点D在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ， 故答案为：5 8.如图，的边的垂直平分线与的平分线相交于，于点，于，连接、．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键． (1)根据线段垂直平分线的性质得到，根据角平分线的性质得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论； (2)根据全等三角形的性质得到，，等量代换即可得到结论． 【详解】(1)证明： 垂直平分， ， ，，， ， 在与中， ， ； (2)证明：， 在与中， ， ， ， 又， ， ． 9.如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解； (2)3． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． (1)由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论； (2)由，代入计算即可． 【详解】(1)证明：是的角平分线，分别是和的高， ， 在与中， ， ， ， 垂直平分； (2)解：， ， ， ． 【B组---提高题】 1.如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是(    ) A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点作于，于，延长交于，过作于，交于，利用可证明，得出，，可知垂直平分，得出，根据垂线段最短得出为的最小值，利用等面积法求出的长，再次利用等面积法得出即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，延长交于，过作于，交于， 在和中，； ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴ ∵， ∴的最小值为， ∵，，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、垂线段最短及等面积法求线段长，熟练掌握全等三角形的判定方法，正确得出的最小值是的长是解题关键． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$