12.动态平衡　平衡中的临界与极值问题-2024-2025学年高一物理同步培优训练（人教版2019必修第一册）

第12讲 动态平衡　平衡中的临界与极值问题 考点一　动态平衡 1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。 2.做题流程 方法　解析法 1.对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2.根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)。 3.根据自变量的变化确定因变量的变化。 例1 质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图1所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块。用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是(　　) 图1 A.推力F先增大后减小 B.凹槽对滑块的支持力先减小后增大 C.墙面对凹槽的压力先增大后减小 D.水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 考点训练 1.在药物使用时应用到很多物理知识。图2中甲、乙分别是用注射器取药的情景和针尖刺入瓶塞的示意图。针尖的顶角很小，医生沿着注射器轴线施加一个较小的力F，针尖会对瓶塞产生很大的推力，现只分析图乙的针尖倾斜侧面与直侧面对瓶塞产生的两个推力，则(　　) 图2 A.针尖在两个侧面上对瓶塞产生的两个推力是等大的 B.针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比直侧面的推力小 C.若F一定，增大θ，直侧面对瓶塞的推力减小 D.若θ一定，增大F，直侧面与倾斜侧面对瓶塞的推力之比增大 方法　图解法 用图解法分析物体动态平衡问题时，一般是物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。 例2 如图3所示，将质量为m的球放在AB和CD两个与纸面垂直的光滑板之间，两板与水平面夹角θ＝α＝30°并保持静止。AB板固定，CD板与AB板活动连接，CD板可绕通过D点且垂直纸面的轴转动。在θ角缓慢地由30°增大到75°的过程中，球对AB板压力的最大值为(　　) 图3 A.0.5mg B.mg C.mg D.1.5mg 考点训练 2.(多选)如图4，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块B，另一端与斜面上的物块A相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动B，直至悬挂B的细绳与竖直方向成45°。已知A始终保持静止，则在此过程中(　　) 图4 A.水平拉力的大小可能保持不变 B.A所受细绳的拉力大小一定一直增加 C.A所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D.A所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加 方法　相似三角形法 物体受三个力平衡：一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”总相似时，常利用相似三角形法。 例3 如图5所示为一种可折叠壁挂书架，一个书架用两个三角形支架固定在墙壁上，书与书架的重心始终恰好在两个支架横梁和斜梁的连接点O、O′连线中点的正上方，书架含书的总重力为60 N，横梁AO、A′O′水平，斜梁BO、B′O′跟横梁夹角为37°，横梁对O、O′点拉力始终沿OA、O′A′方向，斜梁对O、O′点的压力始终沿BO、B′O′方向，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　) 图5 A.横梁OA所受的力为80 N B.斜梁BO所受的力为50 N C.O、O′点同时向A、A′移动少许，横梁OA所受的力变大 D.O、O′点同时向A、A′移动少许，斜梁BO所受的力变大 考点训练 3.(多选)如图6所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬挂于O点，A球固定在O点正下方，当小球B平衡时，细绳所受的拉力为T1，弹簧的弹力为F1；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时细绳所受的拉力为T2，弹簧的弹力为F2。则下列关于T1与T2、F1与F2大小的比较，正确的是(　　) 图6 A.T1>T2 B.T1＝T2 C.F1<F2 D.F1＝F2 考点二　平衡中的临界与极值问题 1.临界、极值问题特征 (1)临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 ①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 ②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 ③刚好离开接触面，支持力N＝0。 (2)极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。 2.解决极值和临界问题的三种方法 极限 法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 数学 分析 法 通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值) 物理 分析 法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 例4 如图7所示，一个倾角为30°、底面粗糙、斜面光滑的斜面体放在粗糙的水平面上，斜面体的质量为2m。轻绳的一端固定在天花板上，另一端系住质量为m的小球，整个系统处于静止状态，轻绳与竖直方向的夹角也为30°。若滑动摩擦力等于最大静摩擦力，则斜面体与水平面间的动摩擦因数至少为(　　) 图7 A. B. C. D. 考点训练 4.歼－20战斗机安装了我国自主研制的矢量发动机，能够在不改变飞机飞行方向的情况下，通过转动尾喷口方向改变推力的方向，使战斗机获得很多优异的飞行性能。已知在歼－20战斗机沿水平方向超音速匀速巡航时升阻比(垂直机身向上的升力和平行机身向后的阻力之比)为k，飞机的重力为G，能使飞机实现水平匀速巡航模式的最小推力是(　　) 图8 A. 　 B. C. 　　 D.G 基础训练 基础训练1　动态平衡 1.(多选)如图1所示，在水平地面上放着一个左侧截面为半圆的光滑柱状物体A，在物体A与竖直墙面之间放着一个光滑斜面体B，斜面体B未接触地面，整个装置在水平力F作用下处于静止状态，现推动物体A缓慢向左移动一小段距离，在此过程中，下列说法正确的是(　　) 图1 A.水平力F大小不变 B.地面对物体A的支持力不变 C.斜面体B对物体A的压力逐渐增大 D.墙面对斜面体B的支持力逐渐减小 2.如图2所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的等长细绳将书本静止悬挂，现将两环距离变大后书本仍处于静止状态，若杆对A环的支持力为N，杆对A环的摩擦力为f，则(　　) 图2 A.N减小，f不变 　 B.N减小，f增大 C.N不变，f不变 　 D.N不变，f增大 3.(多选)某中学举行趣味运动会时，挑战用一支钢尺取出深盒子(固定不动)中的玻璃球，该游戏深受大家喜爱，参与者热情高涨。游戏中需要的器材和取球的原理分别如图3甲和乙所示。若忽略玻璃球与盒壁、钢尺间的摩擦力，在不损坏盒子的前提下，钢尺沿着盒子上边缘某处旋转拨动(钢尺在盒内的长度逐渐变短)，使玻璃球沿着盒壁缓慢上移时，下列说法正确的是(　　) 图3 A.钢尺对玻璃球的弹力逐渐减小 B.钢尺对玻璃球的弹力先增大后减小 C.盒壁对玻璃球的弹力逐渐减小 D.盒壁对玻璃球的弹力先减小后增大 4.如图4所示为一简易起重装置，(不计一切阻力)AD是上端带有滑轮的竖直固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°。在此过程中，杆BC所产生的弹力(　　) 图4 A.大小不变 B.逐渐增大 C.先增大后减小 D.先减小后增大 基础训练2　平衡中的临界与极值问题 5.北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图5所示。若支撑点距水平地面的高度为 m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端一定不发生侧滑，则木棍的长度最多为(　　) 图5 A.1.5 m B. m C.2 m D.2 m 6.如图6所示，质量分别为3m和m的两个可视为质点的小球a、b，中间用一细线连接，并通过另一细线将小球a与天花板上的O点相连，为使小球a和小球b均处于静止状态，且Oa细线向右偏离竖直方向的夹角恒为37°，需要对小球b朝某一方向施加一拉力F。若已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。重力加速度为g，则当F的大小达到最小时，Oa细线对小球a的拉力大小为(　　) 图6 A.2.4mg B.3mg C.3.2mg D.4mg 7.如图7所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为(　　) 图7 A. B. C. D. 8.(多选)如图8所示，A、B两个物体中间用一根不可伸长的轻绳相连，在物体B上施加一斜向上的力F，使A、B两物体保持相对静止一起沿水平地面向右匀速运动，当力F与水平面的夹角为θ时，力F最小。已知A、B两物体的质量分别为m1＝2.5 kg、m2＝0.5 kg，物体A与地面间的动摩擦因数μ＝，g取10 m/s2，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　) 图8 A.θ＝30° B.θ＝60° C.力F的最小值为12 N D.力F的最小值为15 N 巩固训练 9.如图9所示，在水平板的左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧，紧贴弹簧放一质量为m的滑块，此时弹簧处于自然长度。已知滑块与板间的动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现将板的右端缓慢抬起(板与水平面的夹角为θ)，直到板竖直。此过程中(　　) 图9 A.当θ＝30°时，弹簧的弹力F＝mg B.当θ＝45°时，摩擦力f＝mg C.当θ＝60°时，摩擦力达到最大 D.当θ＝60°时，弹簧的弹力F＝mg 10.(多选)如图10所示，一个装满水的空心球总质量为m，左侧紧靠在竖直墙面上，右侧由方形物块顶在其右下方的A点，使球处于静止状态。空心球的圆心为O，半径为R，A点距离圆心O的竖直距离为，重力加速度为g。则(　　) 图10 A.方形物块对空心球的弹力大小为2mg B.仅将方形物块向右移动少许，墙面对空心球的弹力将不变 C.仅当空心球里的水放掉一小部分，方形物块对球的弹力将变小 D.仅当空心球里的水放掉一小部分，方形物块对球的弹力与水平方向的夹角将变小 11.如图11所示，在水平推力作用下，物体A静止在倾角为θ＝45°的粗糙斜面上，当水平推力为F0时，A刚好不下滑，然后增大水平推力的值，当水平推力为F时A刚好不上滑。设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，物体A与斜面之间的动摩擦因数为μ(μ＜1)，则下列关系式成立的是(　　) 图11 A.F＝F0 B.F＝()2F0 C.F＝F0 D.F＝()2F0 12.如图12所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角α时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，设物体与斜面的动摩擦因数为μ＝，这一临界角α的大小为(　　) 图12 A.30° B.45° C.60° D.75° 13.如图13所示，在质量为m的物块上系着两条细绳，其中长30 cm的细绳另一端连着轻质圆环，圆环套在水平棒上可以滑动，圆环与棒间的动摩擦因数μ＝0.75。另一细绳跨过光滑定滑轮与重为G的物块相连，定滑轮固定在距离圆环50 cm的地方。当G＝6 N时，圆环恰好开始滑动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： 图13 (1)OA绳与棒间的夹角θ； (2)物块的质量m。 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 动态平衡　平衡中的临界与极值问题 考点一　动态平衡 1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。 2.做题流程 方法　解析法 1.对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2.根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)。 3.根据自变量的变化确定因变量的变化。 例1 质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图1所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块。用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是(　　) 图1 A.推力F先增大后减小 B.凹槽对滑块的支持力先减小后增大 C.墙面对凹槽的压力先增大后减小 D.水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 答案　C 解析　对小滑块受力分析，如图甲所示，由题意可知，推力F与凹槽对滑块的支持力N始终垂直，即α＋β始终为90°，在小滑块由A点向B点缓慢移动的过程中，α减小，β增大，由平衡条件得F＝mgcos α、N＝mgsin α，可知推力F一直增大，凹槽对滑块的支持力N一直减小，A、B错误；对小滑块和凹槽整体受力分析，如图乙所示，根据平衡条件可得，墙面对凹槽的压力大小N1＝Fsin α＝mgsin 2α，水平地面对凹槽的支持力N2＝Mg＋mg－Fcos α，在小滑块由A点向B点缓慢移动的过程中，α由逐渐减小到零，根据数学知识可知墙面对凹槽的压力先增大后减小，水平地面对凹槽的支持力一直减小，C正确，D错误。 　 甲　　　　　乙 考点训练 1.在药物使用时应用到很多物理知识。图2中甲、乙分别是用注射器取药的情景和针尖刺入瓶塞的示意图。针尖的顶角很小，医生沿着注射器轴线施加一个较小的力F，针尖会对瓶塞产生很大的推力，现只分析图乙的针尖倾斜侧面与直侧面对瓶塞产生的两个推力，则(　　) 图2 A.针尖在两个侧面上对瓶塞产生的两个推力是等大的 B.针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比直侧面的推力小 C.若F一定，增大θ，直侧面对瓶塞的推力减小 D.若θ一定，增大F，直侧面与倾斜侧面对瓶塞的推力之比增大 答案　C 解析　将力F分解在垂直于两个侧面的方向上，如图所示，设针尖在倾斜侧面上对瓶塞产生推力为N，对直侧面产生的推力为N′，由＝cos θ知N′<N，则针尖在两个侧面上对瓶塞的两个推力大小不相等，故A、B错误；由＝tan θ，得N′＝，若F一定，增大θ，N′减小，故C正确；由＝cos θ知，若θ一定，增大F，直侧面与倾斜侧面对瓶塞产生的推力之比不变，故D错误。 方法　图解法 用图解法分析物体动态平衡问题时，一般是物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。 例2 如图3所示，将质量为m的球放在AB和CD两个与纸面垂直的光滑板之间，两板与水平面夹角θ＝α＝30°并保持静止。AB板固定，CD板与AB板活动连接，CD板可绕通过D点且垂直纸面的轴转动。在θ角缓慢地由30°增大到75°的过程中，球对AB板压力的最大值为(　　) 图3 A.0.5mg B.mg C.mg D.1.5mg 答案　B 解析　对小球进行受力分析，如图甲所示，小球受重力mg、AB板的支持力NAB、CD的支持力NCD三个力作用保持平衡，当θ角缓慢地由30°增大到75°的过程中，如图乙所示，在θ＝75°时NAB达到最大值，由几何知识可知，此时AB板对球的支持力等于mg，根据牛顿第三定律可知，球对AB板压力的最大值为mg，故B正确。 考点训练 2.(多选)如图4，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块B，另一端与斜面上的物块A相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动B，直至悬挂B的细绳与竖直方向成45°。已知A始终保持静止，则在此过程中(　　) 图4 A.水平拉力的大小可能保持不变 B.A所受细绳的拉力大小一定一直增加 C.A所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D.A所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加 答案　BD 解析　选B为研究对象，受力情况如图甲所示，用水平拉力F缓慢拉动B的过程中，水平拉力F逐渐增大，细绳的拉力T逐渐增大，选项A错误，B正确；对A受力分析，如图乙所示，受重力GA、支持力N、绳的拉力T以及斜面对它的摩擦力f。若开始时斜面对A的摩擦力f沿斜面向上，则T＋f＝GAsin θ，T逐渐增大，f逐渐减小，当f减小到零后，再反向增大。若开始时斜面对A的摩擦力f沿斜面向下，此时，T＝GAsin θ＋f，当T逐渐增大时，f逐渐增大，选项C错误，D正确。 方法　相似三角形法 物体受三个力平衡：一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”总相似时，常利用相似三角形法。 例3 如图5所示为一种可折叠壁挂书架，一个书架用两个三角形支架固定在墙壁上，书与书架的重心始终恰好在两个支架横梁和斜梁的连接点O、O′连线中点的正上方，书架含书的总重力为60 N，横梁AO、A′O′水平，斜梁BO、B′O′跟横梁夹角为37°，横梁对O、O′点拉力始终沿OA、O′A′方向，斜梁对O、O′点的压力始终沿BO、B′O′方向，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　) 图5 A.横梁OA所受的力为80 N B.斜梁BO所受的力为50 N C.O、O′点同时向A、A′移动少许，横梁OA所受的力变大 D.O、O′点同时向A、A′移动少许，斜梁BO所受的力变大 答案　B 解析　两个三角架承担的力为60 N，每个三角架为30 N，对O点受力分析，如图甲所示，FOA＝＝40 N，FBO＝＝50 N，故A错误，B正确；O、O′同时向A、A′移动少许，对O点受力分析，如图乙虚线所示，三角形AOB与力三角形相似，所以有＝＝，AB与BO长度未变，AO长度减小，故FBO不变，FAO减小，故C、D错误。 考点训练 3.(多选)如图6所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬挂于O点，A球固定在O点正下方，当小球B平衡时，细绳所受的拉力为T1，弹簧的弹力为F1；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时细绳所受的拉力为T2，弹簧的弹力为F2。则下列关于T1与T2、F1与F2大小的比较，正确的是(　　) 图6 A.T1>T2 B.T1＝T2 C.F1<F2 D.F1＝F2 答案　BC 解析　以B为研究对象，分析受力情况，如图所示。由平衡条件可知，弹簧的弹力F和细绳的拉力T的合力F合与其重力mg大小相等、方向相反，即F合＝mg，由力的三角形和几何三角形相似得＝＝。当弹簧劲度系数变大时，弹簧的压缩量减小，故AB的长度增加，而OB、OA的长度不变，故T1＝T2，F2＞F1，故A、D错误，B、C正确。 考点二　平衡中的临界与极值问题 1.临界、极值问题特征 (1)临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 ①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 ②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 ③刚好离开接触面，支持力N＝0。 (2)极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。 2.解决极值和临界问题的三种方法 极限 法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 数学 分析 法 通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值) 物理 分析 法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 例4 如图7所示，一个倾角为30°、底面粗糙、斜面光滑的斜面体放在粗糙的水平面上，斜面体的质量为2m。轻绳的一端固定在天花板上，另一端系住质量为m的小球，整个系统处于静止状态，轻绳与竖直方向的夹角也为30°。若滑动摩擦力等于最大静摩擦力，则斜面体与水平面间的动摩擦因数至少为(　　) 图7 A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意对小球受力分析，沿斜面方向由平衡条件得mgsin 30°＝Tcos 30°，解得T＝mgtan 30°＝mg，对小球和斜面构成的整体受力分析，由平衡条件得，水平方向满足Tsin 30°＝f，竖直方向满足N＋Tcos 30°＝3mg，当f＝μN时，斜面体与水平面间的动摩擦因数最小，解得最小为μ＝，故C正确。 考点训练 4.歼－20战斗机安装了我国自主研制的矢量发动机，能够在不改变飞机飞行方向的情况下，通过转动尾喷口方向改变推力的方向，使战斗机获得很多优异的飞行性能。已知在歼－20战斗机沿水平方向超音速匀速巡航时升阻比(垂直机身向上的升力和平行机身向后的阻力之比)为k，飞机的重力为G，能使飞机实现水平匀速巡航模式的最小推力是(　　) 图8 A. 　 B. C. 　　 D.G 基础训练 基础训练1　动态平衡 1.(多选)如图1所示，在水平地面上放着一个左侧截面为半圆的光滑柱状物体A，在物体A与竖直墙面之间放着一个光滑斜面体B，斜面体B未接触地面，整个装置在水平力F作用下处于静止状态，现推动物体A缓慢向左移动一小段距离，在此过程中，下列说法正确的是(　　) 图1 A.水平力F大小不变 B.地面对物体A的支持力不变 C.斜面体B对物体A的压力逐渐增大 D.墙面对斜面体B的支持力逐渐减小 2.如图2所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的等长细绳将书本静止悬挂，现将两环距离变大后书本仍处于静止状态，若杆对A环的支持力为N，杆对A环的摩擦力为f，则(　　) 图2 A.N减小，f不变 　 B.N减小，f增大 C.N不变，f不变 　 D.N不变，f增大 3.(多选)某中学举行趣味运动会时，挑战用一支钢尺取出深盒子(固定不动)中的玻璃球，该游戏深受大家喜爱，参与者热情高涨。游戏中需要的器材和取球的原理分别如图3甲和乙所示。若忽略玻璃球与盒壁、钢尺间的摩擦力，在不损坏盒子的前提下，钢尺沿着盒子上边缘某处旋转拨动(钢尺在盒内的长度逐渐变短)，使玻璃球沿着盒壁缓慢上移时，下列说法正确的是(　　) 图3 A.钢尺对玻璃球的弹力逐渐减小 B.钢尺对玻璃球的弹力先增大后减小 C.盒壁对玻璃球的弹力逐渐减小 D.盒壁对玻璃球的弹力先减小后增大 4.如图4所示为一简易起重装置，(不计一切阻力)AD是上端带有滑轮的竖直固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°。在此过程中，杆BC所产生的弹力(　　) 图4 A.大小不变 B.逐渐增大 C.先增大后减小 D.先减小后增大 基础训练2　平衡中的临界与极值问题 5.北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图5所示。若支撑点距水平地面的高度为 m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端一定不发生侧滑，则木棍的长度最多为(　　) 图5 A.1.5 m B. m C.2 m D.2 m 6.如图6所示，质量分别为3m和m的两个可视为质点的小球a、b，中间用一细线连接，并通过另一细线将小球a与天花板上的O点相连，为使小球a和小球b均处于静止状态，且Oa细线向右偏离竖直方向的夹角恒为37°，需要对小球b朝某一方向施加一拉力F。若已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。重力加速度为g，则当F的大小达到最小时，Oa细线对小球a的拉力大小为(　　) 图6 A.2.4mg B.3mg C.3.2mg D.4mg 7.如图7所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为(　　) 图7 A. B. C. D. 8.(多选)如图8所示，A、B两个物体中间用一根不可伸长的轻绳相连，在物体B上施加一斜向上的力F，使A、B两物体保持相对静止一起沿水平地面向右匀速运动，当力F与水平面的夹角为θ时，力F最小。已知A、B两物体的质量分别为m1＝2.5 kg、m2＝0.5 kg，物体A与地面间的动摩擦因数μ＝，g取10 m/s2，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　) 图8 A.θ＝30° B.θ＝60° C.力F的最小值为12 N D.力F的最小值为15 N 巩固训练 9.如图9所示，在水平板的左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧，紧贴弹簧放一质量为m的滑块，此时弹簧处于自然长度。已知滑块与板间的动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现将板的右端缓慢抬起(板与水平面的夹角为θ)，直到板竖直。此过程中(　　) 图9 A.当θ＝30°时，弹簧的弹力F＝mg B.当θ＝45°时，摩擦力f＝mg C.当θ＝60°时，摩擦力达到最大 D.当θ＝60°时，弹簧的弹力F＝mg 10.(多选)如图10所示，一个装满水的空心球总质量为m，左侧紧靠在竖直墙面上，右侧由方形物块顶在其右下方的A点，使球处于静止状态。空心球的圆心为O，半径为R，A点距离圆心O的竖直距离为，重力加速度为g。则(　　) 图10 A.方形物块对空心球的弹力大小为2mg B.仅将方形物块向右移动少许，墙面对空心球的弹力将不变 C.仅当空心球里的水放掉一小部分，方形物块对球的弹力将变小 D.仅当空心球里的水放掉一小部分，方形物块对球的弹力与水平方向的夹角将变小 11.如图11所示，在水平推力作用下，物体A静止在倾角为θ＝45°的粗糙斜面上，当水平推力为F0时，A刚好不下滑，然后增大水平推力的值，当水平推力为F时A刚好不上滑。设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，物体A与斜面之间的动摩擦因数为μ(μ＜1)，则下列关系式成立的是(　　) 图11 A.F＝F0 B.F＝()2F0 C.F＝F0 D.F＝()2F0 12.如图12所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角α时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，设物体与斜面的动摩擦因数为μ＝，这一临界角α的大小为(　　) 图12 A.30° B.45° C.60° D.75° 13.如图13所示，在质量为m的物块上系着两条细绳，其中长30 cm的细绳另一端连着轻质圆环，圆环套在水平棒上可以滑动，圆环与棒间的动摩擦因数μ＝0.75。另一细绳跨过光滑定滑轮与重为G的物块相连，定滑轮固定在距离圆环50 cm的地方。当G＝6 N时，圆环恰好开始滑动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： 图13 (1)OA绳与棒间的夹角θ； (2)物块的质量m。 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$