第16讲 角 2024年新七年级暑假数学预习课（人教版）

第14讲 角 1.掌握角的概念与表示； 2.掌握角的性质和角平分线，会角之间的运算； 3.掌握余角和补角的概念，会求某个角的余角和补角. 1 角 (1)概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。(或者看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形) 两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边. (2)平角和周角 一条射线绕着它的端点旋转，当终点和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角. 2 角的表示 ① 用数字表示单独的角，如，等； ② 用小写的希腊字母表示单独的一个角，如，等； ③ 用一个大写英文字母表示一个独立(在顶点处只有一个角)的角，如，等； ④ 用三个大写英文字母表示角是，一定要把顶点字母写在之间，边上的字母写在两侧. 3 角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角等分，每一份就是度的角，单位是度，用“”表示，度记作，度记作。 把的角等分，每一份叫做分的角，分记作； 把的角等分，每一份叫做秒的角，分记作； ，。 4 角的性质 (1)角的大小与边的长度无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关； (2)角的大小可以度量，可以比较，可以参与运算. 5 角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这角射线叫做这个角的平分线。 6 余角和补角 (1)如果两个角的和等于(直角)，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。 用数学语言表示，如果，那么和互余； 反过来，如果和互余，那么； (2)如果两个角的和等于，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 用数学语言表示，如果，那么和互补； 反过来，如果和互补，那么； (3)同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 【题型一】 角的概念与表示 相关知识点讲解 1 角 (1)概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。(或者看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形) 两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边. (2)平角和周角 一条射线绕着它的端点旋转，当终点和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角. 2 角的表示 ① 用数字表示单独的角，如，等； ② 用小写的希腊字母表示单独的一个角，如，等； ③ 用一个大写英文字母表示一个独立(在顶点处只有一个角)的角，如，等； ④ 用三个大写英文字母表示角是，一定要把顶点字母写在之间，边上的字母写在两侧. 【例】如下图，有角，，，，. 【典题1】 如图所示，下列说法中正确的是(　　) A．就是 B．可以用表示 C．和是同一个角 D．和是不同的两个角 变式练习 1.下列四个图中，能用，和表示同一个角的是(    ) A．B． C．D． 2.下列四个图中，能用三种方法表示同一个角的是(    ) A． B． C． D． 3.下列标注的四个角中，最小的角是(    ) A．  B．  C．   D．   【题型二】 度分秒的换算 相关知识点讲解 角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角等分，每一份就是度的角，单位是度，用“”表示，度记作，度记作。 把的角等分，每一份叫做分的角，分记作； 把的角等分，每一份叫做秒的角，分记作； ，。 【典题1】 )若，，，则(   ) A． B． C． D． 变式练习 1. 若，则与的大小关系是(   ) A． B． C． D．无法判断 2.若，，则(　　) A． B． C． D． 【题型三】 有关角的计算 相关知识点讲解 1角的性质 (1)角的大小与边的长度无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关； (2)角的大小可以度量，可以比较，可以参与运算. 2角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这角射线叫做这个角的平分线。 如下图，是的角平分线，则(或). 【典题1】 如图，已知是直线上一点，，平分，求度数． 是直线上一点 　　． 　　． 平分 　 　＝　　　　 　　． 【典题2】 如图，点O在直线上，平分，若，求的度数． 变式练习 1. 如图，平分，， 则度数为(   ) A． B． C． D． 2.如图，是直角，，平分，则等于(    ) A．65° B．70° C．75° D．80° 3.如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为(    )    A． B． C． D． 4.如图，直线相交于点，过点作射线，，平分，，则的大小为(    ) A． B． C． D． 5.已知，射线，在内部，平分，平分，则 ．    6.如图，，射线平分，当时， ． 7.如图，已知与相交于点平分 (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 8.如图，E是直线上一点，，分别是，的平分线． (1)如果，求的度数． (2)试问与有什么数量关系？请说明理由． 【题型四】 余角与补角 相关知识点讲解 余角和补角 (1)如果两个角的和等于(直角)，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。 用数学语言表示，如果，那么和互余；反过来，如果和互余，那么； (2)如果两个角的和等于，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 用数学语言表示，如果，那么和互补；反过来，如果和互补，那么； (3)同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 【典题1】 若一个角的补角比它的余角的3倍少，求这个角的度数． 【典题2】如图，直线相交于点，平分，． (1)求证：是的平分线； (2)若，求的度数． 变式练习 1. 已知的余角是，的补角是，则与的大小关系是(    ) A． B． C． D．不能确定 2.已知与互补，与互余，若，则的度数为(  ) A． B． C． D． 3.若一个角的补角的度数是这个角的余角的度数的3倍，则这个角的度数等于(    ) A． B． C． D． 4.已知两个直角三角尺如图所示放置，直角顶点重合，，由此可得：，其依据是(    )    A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 5.如图，，，平分， ．      (1)求的度数(用含n的代数式表示)，请将以下解答过程补充完整． 解：∵， ∴． ∵． ． ∴ ．(理由： ) ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴ ． (2)用等式表示与的数量关系． 【A组---基础题】 1.已知，，，则相等的两个角是(    ) A． B． C． D．无法确定 2.如图，平分，，则的度数为(　　) A． B． C． D． 3.如图，直线交于点O，平分，若，则等于(    ) A． B． C． D． 4.如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是(    )    A． B． C． D． 5.已知与互为补角，并且的2倍比大，则为(   ) A． B． C． D． 如图所示，直线、相交于点，平分，平分，，则的度数为 ． 7.已知与互余，且，则的补角的度数为 度． 8.一个角的补角加上，恰好等于这个角的5倍，求这个角的度数． 9.如图，已知是内部任意的一条射线，、分别是、的平分线． (1)图中有几个小于平角的角； (2)若，，求的度数； (3)若，求的度数． 10.【问题背景】已知是内部的一条射线，且．    【问题再现】(1)如图，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】(2)如图，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】(3)如图，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【B组---提高题】 1.定义：从)的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”； (1)若，且在内部，则 ； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 2.已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？ (3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值。 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 角 1.掌握角的概念与表示； 2.掌握角的性质和角平分线，会角之间的运算； 3.掌握余角和补角的概念，会求某个角的余角和补角. 1 角 (1)概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。(或者看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形) 两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边. (2)平角和周角 一条射线绕着它的端点旋转，当终点和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角. 2 角的表示 ① 用数字表示单独的角，如，等； ② 用小写的希腊字母表示单独的一个角，如，等； ③ 用一个大写英文字母表示一个独立(在顶点处只有一个角)的角，如，等； ④ 用三个大写英文字母表示角是，一定要把顶点字母写在之间，边上的字母写在两侧. 3 角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角等分，每一份就是度的角，单位是度，用“”表示，度记作，度记作。 把的角等分，每一份叫做分的角，分记作； 把的角等分，每一份叫做秒的角，分记作； ，。 4 角的性质 (1)角的大小与边的长度无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关； (2)角的大小可以度量，可以比较，可以参与运算. 5 角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这角射线叫做这个角的平分线。 6 余角和补角 (1)如果两个角的和等于(直角)，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。 用数学语言表示，如果，那么和互余； 反过来，如果和互余，那么； (2)如果两个角的和等于，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 用数学语言表示，如果，那么和互补； 反过来，如果和互补，那么； (3)同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 【题型一】 角的概念与表示 相关知识点讲解 1 角 (1)概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。(或者看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形) 两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边. (2)平角和周角 一条射线绕着它的端点旋转，当终点和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角. 2 角的表示 ① 用数字表示单独的角，如，等； ② 用小写的希腊字母表示单独的一个角，如，等； ③ 用一个大写英文字母表示一个独立(在顶点处只有一个角)的角，如，等； ④ 用三个大写英文字母表示角是，一定要把顶点字母写在之间，边上的字母写在两侧. 【例】如下图，有角，，，，. 【典题1】 如图所示，下列说法中正确的是(　　) A．就是 B．可以用表示 C．和是同一个角 D．和是不同的两个角 【答案】B 【分析】本题考查角的定义和表示方法，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据角的定义和表示方法逐一判断即可． 【详解】解：A、在图中，不能明确表示哪一个角，必须由三个字母表示，本选项不符合题意． B、可以用表示，正确，本选项符合题意． C、和不是同一个角，本选项不符合题意． D、和是同一个角，本选项不符合题意， 故选：B． 变式练习 1.下列四个图中，能用，和表示同一个角的是(    ) A．B． C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力．根据角的表示方法和图形选出即可． 【详解】解：A、图中、、表示同一个角，故本选项正确； B、图中的和不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的不能用表示，故本选项错误； D、图中的不能用表示，故本选项错误； 故选：A． 2.下列四个图中，能用三种方法表示同一个角的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角的三种表示方法，逐个进行分析即可．熟练掌握角度的三种正确表示方法是解题的关键． 【详解】解：A．表示同一个角，没有可以用表示的角，故此选项不符合题意； B．能用三种方法表示同一个角，故此选项符合题意； C．不能表示同一个角，图中没有用表示的角，故此选项不符合题意； D．可以表示同一个角，图中没有能用表示的角，故此选项不符合题意； 故选：B． 3.下列标注的四个角中，最小的角是(    ) A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】根据角的分类即可得． 【详解】解：A是钝角，大于小于；B是锐角，小于；C是直角，等于；D是平角，等于， ∴最小的角是锐角， 故选：B． 【点睛】本题考查了角的分类和比较大小，解题的关键是掌握角的分类． 【题型二】 度分秒的换算 相关知识点讲解 角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角等分，每一份就是度的角，单位是度，用“”表示，度记作，度记作。 把的角等分，每一份叫做分的角，分记作； 把的角等分，每一份叫做秒的角，分记作； ，。 【典题1】 )若，，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的大小比较．根据，将转换为度、分、秒的形式，即可比较大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 变式练习 1. 若，则与的大小关系是(   ) A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】 本题考查了角的度数大小比较，将角的表示形式统一即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 2.若，，则(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，主要考查学生能否正确进行度分秒之间的换算．先把的度数化成度、分、秒，再比较即可，也可把和的度数化成度，再进行比较． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【题型三】 有关角的计算 相关知识点讲解 1角的性质 (1)角的大小与边的长度无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关； (2)角的大小可以度量，可以比较，可以参与运算. 2角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这角射线叫做这个角的平分线。 如下图，是的角平分线，则(或). 【典题1】 如图，已知是直线上一点，，平分，求度数． 是直线上一点 　　． 　　． 平分 　 　＝　　　　 　　． 【答案】，，，，． 【分析】本题考查角的计算，关键是掌握角平分线定义． 由平角定义求出的度数，由角平分线定义求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：是直线上一点， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：，，，，． 【典题2】 如图，点O在直线上，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】 本题主要考查了有关角平分线的计算，一元一次方程的应用．根据题意可设，则，再由角平分内线的定义可得，从而得到，求出x的值，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式练习 1. 如图，平分，， 则度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，先由平角的定义求出，再由角平分线的定义可得． 【详解】解；∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：C． 2.如图，是直角，，平分，则等于(    ) A．65° B．70° C．75° D．80° 【答案】A 【分析】本题考查角与角之间的运算，注意结合图形，发现角与角之间的关系，进而求解．由是一直角，，可知，又知平分，故可求的度数． 【详解】解：∵是一直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3.如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，根据平角的定义，代入即可求解， 本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 4.如图，直线相交于点，过点作射线，，平分，，则的大小为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，设，则，再由角平分线的定义得到，由平角的定义得到，则可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5.已知，射线，在内部，平分，平分，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、几何图中角度的计算，由角平分线的定义得出，结合计算即可得出答案． 【详解】解： 平分，平分， ，， ， ， ， 故答案为：． 6.如图，，射线平分，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、角平分线的定义，根据题意得出，由角平分线的定义得出，再由计算即可得出答案． 【详解】解： ，， ， 射线平分， ， ， 故答案为：． 7.如图，已知与相交于点平分 (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角度之间的等量关系，是解题的关键． (1)先求出的度数，再根据角平分线平分角，求出的度数即可； (2)设，得到，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】(1)解：∵， ∴， ∵平分， ∴； (2)∵， ∴设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8.如图，E是直线上一点，，分别是，的平分线． (1)如果，求的度数． (2)试问与有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义以及角度计算问题． (1)由角平分线的定义可得，，计算出，即可求解； (2)由角平分线的定义可得，，结合平角定义可得，代入整理即可求解． 【详解】(1)解：∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)，理由如下： ∵∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴． 【题型四】 余角与补角 相关知识点讲解 余角和补角 (1)如果两个角的和等于(直角)，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。 用数学语言表示，如果，那么和互余；反过来，如果和互余，那么； (2)如果两个角的和等于，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 用数学语言表示，如果，那么和互补；反过来，如果和互补，那么； (3)同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 【典题1】 若一个角的补角比它的余角的3倍少，求这个角的度数． 【答案】这个角是 【分析】此题考查了余角和补角的概念，若两个角的和为90度，则这两个角互余；若两个角的和等于180度，则这两个角互补，结合已知条件列方程求解． 【详解】设这个角是 由题意得： 解得： ∴这个角是 【典题2】如图，直线相交于点，平分，． (1)求证：是的平分线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、邻补角的性质和余角的性质，解题的关键是熟练掌握邻补角和余角的性质． (1)由，从而，由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得结论； (2)由并且互补，可得和的度数，再利用邻补角求得的度数，根据角平分线的定义可得，利用邻补角和角平分线求得和的度数． 【详解】(1)证明： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，(等角的余角相等) ∴是的平分线； (2)解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． 变式练习 1. 已知的余角是，的补角是，则与的大小关系是(    ) A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角与补角的定义，根据余角与补角的定义求得和是解题的关键． 先根据余角与补角的定义求得和，然后再比较即可解答． 【详解】解：∵的余角是，的补角是， ∴，， ∴． 故选C． 2.已知与互补，与互余，若，则的度数为(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查余角和补角，熟练掌握余角和补角的意义是解决问题的关键． 与互补，与互余，列出关系式，然后根据求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵与互补，与互余， ， ， ， ． 故选：B． 3.若一个角的补角的度数是这个角的余角的度数的3倍，则这个角的度数等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角和补角，熟记概念是解题的关键． 本题考查了余角补角的相关计算，一元一次方程的应用，设这个角的度数为，则这个角余角的度数为，补角为，根据角的补角的度数是这个的角的余角的度数的3倍，列出方程进行计算即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角余角的度数为，补角为， 由题意得：， 解得：． 故选B． 4.已知两个直角三角尺如图所示放置，直角顶点重合，，由此可得：，其依据是(    )    A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】B 【分析】本题考查了余角的知识，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．根据题意可得，从而可得，，然后利用同角的余角相等，即可证明． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：B． 5.如图，，，平分， ．      (1)求的度数(用含n的代数式表示)，请将以下解答过程补充完整． 解：∵， ∴． ∵． ． ∴ ．(理由： ) ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴ ． (2)用等式表示与的数量关系． 【答案】(1)；同角的余角相等； (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，同角的余角相等： (1)根据角之间的关系，同角的余角相等结合已给推理过程求解即可； (2)先求出，再求出，则． 【详解】(1)解：∵， ∴． ∵． ． ∴．(理由：同角的余角相等) ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 故答案为：；同角的余角相等；； (2)解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ． 【A组---基础题】 1.已知，，，则相等的两个角是(    ) A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角的度数大小比较，熟练掌握角的单位与角度制是解答本题的关键． 根据已知条件，将三个角的单位统一化成度，，，，再找出相等的两个角． 【详解】解：由已知得， ，，， 故选：． 2.如图，平分，，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的平分线，根据，计算选择即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， 故选：D． 3.如图，直线交于点O，平分，若，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角平分线平分角和平角的定义，求出的度数，再根据互补关系，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故选D． 4.如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，根据邻补角先求出，然后根据翻折可知进而求解． 【详解】解： 由翻折可知 故选：C． 5.已知与互为补角，并且的2倍比大，则为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，互为补角的和为得性质．根据题意列出关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解： 的2倍比大， ， 与互为补角， 即， ． 故选：C． 如图所示，直线、相交于点，平分，平分，，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了角的计算，关键是掌握对顶角相等，角平分线的定义． 因为平分，平分，所以，，因为，可得的度数，因为，，可得的度数，因为，可得的度数． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， ，， ，即， ，， ， ， 故答案为：． 7. 已知与互余，且，则的补角的度数为 度． 【答案】125 【分析】本题考查余角和补角的概念．根据题意先求出，再求其补角即可． 【详解】解： 与互余，且 的补角的度数为． 故答案为：125． 8.一个角的补角加上，恰好等于这个角的5倍，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数为． 【分析】本题主要考查了补角，一元一次方程的应用，熟练掌余角和补角的定义进行求解是解决本题的关键． 设这个为，则这个角的补角为，根据题意可列等式，求解即可得出答案． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为， 根据题意可得，， 解得：， 这个角的度数为． 9.如图，已知是内部任意的一条射线，、分别是、的平分线． (1)图中有几个小于平角的角； (2)若，，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)图中小于平角的角有10个 (2) (3) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． (1)根据角的定义进行解答即可； (2)根据角平分线的定义可知，，再根据计算，即得答案； (3)根据角平分线定义可知，，，再根据计算，即得答案． 【详解】(1)解：图中小于平角的角有：，，，，，，，，，共10个； (2)解：、分别是，的平分线， ，， ； (3)解：、分别是，的平分线， ，， ， ， ． 10.【问题背景】已知是内部的一条射线，且．    【问题再现】(1)如图，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】(2)如图，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】(3)如图，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义， (1)根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相加即可求解； (2)根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相减即可求解； (3)角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系． 【详解】解：(1)，， ． 又平分，平分， ，， ； ， ． (2)，， ； ． ． 又平分， ， ． (3)设，则． ， ， ． ， ， ． 【B组---提高题】 1.定义：从)的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”； (1)若，且在内部，则 ； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了补角的定义和性质，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． ()根据“好线”的定义即可求解； ()根据“好线”和角平分线的定义求解即可； ()分两种情况：在内部和在内部，进行解答即可求解． 【详解】(1)解：如图， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； (2)解：如图，平分， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)解：或． 理由：当在内部时，如图， 由()可得，， 设，则，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在内部时，如图， 由()可得， 设，则， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上，当在内部时，；当在内部时，． 2.已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？ (3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值。 【答案】(1) (2) (3)的值可为5或10或或 【分析】 本题主要考查角度的和差运算，涉及一元一次方程的应用，角平分线问题，在解题过程中根据角度的变化进行恰当的分类讨论是解题关键． (1)根据，，进行求解即可； (2)根据角平分线的定义进行求解即可； (3)分四种情况进行讨论：当、同向运动追及前，当、同向运动追及后，当、反向运动相遇前，当、反向运动相遇后，分别求出结果即可． 【详解】(1)解：， ， ， ． (2)解：平分，平分， ，， ， ， ． (3) 解：①当、同向运动追上前， ，， ， ， 解得：； ②当、同向运动追上后， ， ， 解得：； ③当、相向运动相遇前，， ，， ， 解得：； ④当、相向运动相遇后，， ， 解得：； 综上所述，的值可为5或10或或． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$