第13讲 实际问题与一元一次方程 2024年新七年级暑假数学预习课（人教版）

第11讲 实际问题与一元一次方程 1.掌握列一元一次方程解应用题的方法步骤； 2.掌握利用一元一次方程解决配套问题、商品销售问题、路程问题、工程问题等现实生活中的实际问题. 1 解一元一次方程的一般步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为. 2 实际问题中的常见类型 题型 涉及公式 等量关系 注意事项 和差倍分问题 -- -- 弄清“倍数”及“多少”的关系 等积变形问题 各种图形的面积， 体积公式 变形前后的面积或体积不变 分清半径、直径及各边长 相遇问题 路程 速度 时间 速度=路程 时间 时间=路程 速度 两者路程之和为相距的距离 注意始发时间和地点 追及问题 两者路程之差为相距的距离 比例分配问题 -- 全部数量=各种成分的数量之和 灵活设未知数 工程问题 工作量工作效率工作时间 工作时间 两个或多个对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般把总工作量设为 1 销售问题 利润 实际售价一进价 利润率 找出利润或利润率之间的关系 打几折就是按百分之几十出售 数字问题 分别为一个两位数的个位上的数字与十位上的数字则这个两位数可表示为 数的大小与表示数的各字母之间的关系 一般间接设未知数 比赛积分问题 总积分=胜积分十平积分十负积分 比赛场数=胜场 + 负场十平数 搞清比赛中胜、平、负一场的积分 3 列一元一次方程解应用题基本步骤 审清题意、设未知数、列出方程、解方程、写出答案. 关键在于抓住问题的有关数量的相等关系，列出方程 解决的策略常用表格或示意图等方式分析。 【题型一】 和差倍分问题 【典题1】 甲煤场有煤390吨，乙煤场有煤96吨，为了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场? 若设从甲煤场运x吨煤到乙煤场，则下列方程中，正确的是(   ) A． B． C． D． 【典题2】 在“践行垃圾分类，助力双碳目标”主题班会结束后，刘华和小燕子一起收集了一些废电池，刘华说：“我比你多收集了7 节废电池．”小燕子说：“如果你给我8 节废电池，那么我的废电池节数就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，那么刘华和小燕子分别收集了多少节废电池？ 变式练习 1. “我与好书为伴，千里江山万里海”，某校七年级开展阅读好书活动．小明5天里阅读的总页数比小亮7天里阅读的总页数少12页，小明平均每天阅读的页数比小亮平均每天阅读的页数的2倍少12页，若设小亮平均每天阅读页，则下列方程正确的是(   ) A． B． C． D． 2.某社区组织志愿者服务小组利用周末时间购买了一些中老年奶粉到敬老院慰问老人，如果送给每位老人3袋，那么剩余12袋；如果送给每位老人4袋，那么还差24袋，敬老院一共有多少位老人？ 【题型二】 几何问题 【典题1】 一个长方形的周长为，若这个长方形的长减少，宽增加，可成为一个正方形，设长方形的长为，则可列方程为(  ) A． B． C． D． 【典题2】下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板的瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．    变式练习 1. 一块长方形土地的周长为18米，长是宽的2倍多3米，设宽为x米，下列关于x的一元一次方程正确的是(   ) A． B． C． D． 2.列方程，解决实际问题： 如图所示，学校准备在图书馆后面的场地边建一个长方形自行车棚，一边利用图书馆的后墙，已知墙长18米，并利用已有总长为52米的铁围栏．若小张的设计方案中，长比宽多4米，问他的设计是否符合实际情况？ 【题型三】 行程问题 相关知识点讲解 (1)路程 速度 时间，速度=路程 时间，时间=路程 速度； (2)两者路程之和为相距的距离，相遇时间=相遇路程速度和； (3)两者路程之差为相距的距离，追及时间=追及路程速度差. 【典题1】 轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3，若船速为26，水速为2，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x．根据题意，可列出方程(  ) A． B． C． D． 【典题2】修建中的贵阳经金沙至古蔺高速公路是《贵州省交通运输“十三五”发展规划》重点实施项目，项目全长约，其中古蔺至金沙段全长近，设计时速的双向六车道高速公路，它的建成将加快金沙经济的快速发展．建成后若一辆小轿车以的速度从古蔺匀速行驶，15分钟后一辆客车以的速度从金沙匀速出发．问：小轿车能否在到达贵阳之前追上客车？若不能追上说明理由；若能追上则追上时距离目的地贵阳还有多远？(列一元一次方程解) 变式练习 1. 某人骑自行车从地到地，若每小时骑16千米比每小时骑12千米要少用30分钟，若设两地相距千米，下列方程正确的是(   ) A． B． C． D． 2.一艘轮船从A港顺流行驶到B港，比它从B港逆流行驶到A港少用2小时，若船在静水中的速度为25千米/时，水流的速度为5千米/时，求A港和B港相距多少千米？ 【题型四】 数字问题 相关知识点讲解 分别为一个两位数的个位上的数字与十位上的数字则这个两位数可表示为 【典题1】 一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大45，设原两位数的十位数字是x，则可列方程(   ) A． B． C． D． 【典题2】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110，求原两位数是多少． 变式练习 1. 甲、乙两数的和是，乙数的小数点向右移动一位就会与甲数相等，则甲数是(  ) A． B． C． D．23 2.一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，求这个两位数． 3.【阅读理解】利用一元一次方程将化成分数，设，则， ∵，∴，化简得，解得，∴． (1)请参照上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程． (2)尝试类比这种方法，把循环小数化为分数为____________．(直接写结果) 4.如图的数阵是由全体正奇数排成． (1)计算十字框内的五个数的和，并说明与中间数27有什么关系？若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数的和还有这种规律吗？ (2)十字框中五个数之和能等于2024吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由． 【题型五】 销售问题 相关知识点讲解 (1)利润 实际售价一进价，利润率 ；(2)打几折就是按百分之几十出售。 【典题1】 “一雷惊蛰始，吃梨正当时”，惊蛰吃梨的习俗由来已久．惊蛰来临之际，某批发商购进一批原平酥梨，每箱酥梨的进价为35元，标价为60元，打折销售后仍可获利．若设每箱酥梨打折，则根据题意可列方程为(   ) A． B． C． D． 【典题2】平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为；乙种商品每件进价80元，售价128元． (1)甲种商品每件进价为 元． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进乙种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动：按下表优惠条件， 若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 变式练习 1. 元旦期间某商场进行促销活动，一件进价为160元的衬衫打八折销售后仍可获利进价的．设这件衬衫的标价为x元，根据题意可列方程为(   ) A． B． C． D． 2.某商场购进一批商品，每件进价为80元，由于换季滞销，商场决定将这种商品按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利，则该服装标价是(　　) A．150元 B．160元 C．170元 D．180元 3.一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．则这种服装每件的标价(  )元 A．90 B．100 C．110 D．120 4.某电商决定在五一期间开展促销活动，对网上销售的某种服装按成本价提高50%后标价，又以9折优惠卖出，结果每件服装仍可获利105元．求这种服装每件的成本是多少元？ 5.春节前夕，某商家预测某种水果能够畅销，就购进了第一批200斤这种水果，上市后销售非常好，商家又购进第二批这种水果，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每斤进价多了5元，已知第二批的进货总钱数比第一次多8000元． (1)该商家购进第一批这种水果时每斤多少元？ (2)由于储存不当，第二批购进的水果中有10%腐坏，不能售卖．该商家将两批水果按同一价格全部销售完毕后获利8000元，求每斤这种水果的售价是多少元？ 【A组---基础题】 1.甲队有人，乙队有人，如果要求甲队人数是乙队人数的，应从甲队调多少人去乙队，如果设应从甲队调x人到乙队，列出的方程正确的是(   ) A． B． C． D． 2.一个长方形的周长是，这个长方形的长减小，宽增加，就可以成为一个正方形，设长方形的长为，可列方程为(   ) A． B． C． D． 3.《算学启蒙》是中国古代的数学著作，其中有道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”设快马x天可以追上慢马，可列方程为(   ) A． B． C． D． 4.若三个连续偶数的和是30，则它们的积是(   ) A．1680 B．960 C．480 D．240 5.一件球服进价为300元，商店将进价提升后标价，再按标价的七五折销售，仍可获利的值是(   ) A．60 B．50 C．40 D．30 6.某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要，逆水航行需要，水流的速度是，则轮船在静水中的速度是 ，两个码头之间的距离是 ． 7.为了增强学生的安全防范意识，某校举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小莹一共得70分，则小莹答对题的个数为 个． 8.已知明明的年龄是m岁，红红的年龄比明明的年龄的2倍少4岁，元元的年龄比红红的年龄的 还多1岁． (1)用含m的式子分别表示红红的年龄、元元的年龄以及这三人的年龄和； (2)若这三人的年龄和为35岁，请你求出这三人的年龄． 9.某校综合实践小分队成一列在野外拓展训练，在队伍中的队长数了一下他前后的人数，发现他前面人数是他后面的三倍，他往前超了5位队友后，发现他前面的人数和他后面的人数一样多．问： (1)这列队伍一共有多少名学生？ (2)这列队伍要过一座240米的大桥，为拓展训练和安全需要，相邻两个学生保持相同的间距，队伍行进速度为3米/秒，从第一位学生刚上桥到全体通过大桥用了90秒时间，请问相邻两个学生间距离为多少米(不考虑学生身材的大小)？ 10.列方程解应用题： 某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：(注：获利=售价﹣进价) 甲 乙 进价(元/件) 22 30 售价(元/件) 29 40 (1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品分别为多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？ 【B组---提高题】 1.A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是 次． 2.汽车拉力赛有两个距离相等的赛程第一赛程由平路出发，离中点26千米处开始上坡，通过中点继续行驶4千米后，全是下坡路：第二赛程也是由平路出发，离中点4千米处开始下坡，通过中点继续行驶26千米后，全是上坡路．已知某赛车在这两个赛程中所用时间相同，第二赛程出发时的速度是第一赛程出发时速度的，而遇到上坡时速度就要减少，遇到下坡时速度就要增加，那么，每个赛程的距离是多少千米？ 3.数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，a，b满足，点P为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点P为线段AB的中点，则点P对应的数______； (2)点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8，求此时点P对应的数的值； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点A，B的2倍点．现在，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“2倍点”，请直接写出此时t的值． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 实际问题与一元一次方程 1.掌握列一元一次方程解应用题的方法步骤； 2.掌握利用一元一次方程解决配套问题、商品销售问题、路程问题、工程问题等现实生活中的实际问题. 1 解一元一次方程的一般步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为. 2 实际问题中的常见类型 题型 涉及公式 等量关系 注意事项 和差倍分问题 -- -- 弄清“倍数”及“多少”的关系 等积变形问题 各种图形的面积， 体积公式 变形前后的面积或体积不变 分清半径、直径及各边长 相遇问题 路程 速度 时间 速度=路程 时间 时间=路程 速度 两者路程之和为相距的距离 注意始发时间和地点 追及问题 两者路程之差为相距的距离 比例分配问题 -- 全部数量=各种成分的数量之和 灵活设未知数 工程问题 工作量工作效率工作时间 工作时间 两个或多个对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般把总工作量设为 1 销售问题 利润 实际售价一进价 利润率 找出利润或利润率之间的关系 打几折就是按百分之几十出售 数字问题 分别为一个两位数的个位上的数字与十位上的数字则这个两位数可表示为 数的大小与表示数的各字母之间的关系 一般间接设未知数 比赛积分问题 总积分=胜积分十平积分十负积分 比赛场数=胜场 + 负场十平数 搞清比赛中胜、平、负一场的积分 3 列一元一次方程解应用题基本步骤 审清题意、设未知数、列出方程、解方程、写出答案. 关键在于抓住问题的有关数量的相等关系，列出方程 解决的策略常用表格或示意图等方式分析。 【题型一】 和差倍分问题 【典题1】 甲煤场有煤390吨，乙煤场有煤96吨，为了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场? 若设从甲煤场运x吨煤到乙煤场，则下列方程中，正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，根据调运后甲煤场存煤是乙煤场的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设从甲煤场运煤x吨到乙煤场， 依题意得， 故选：A． 【典题2】 在“践行垃圾分类，助力双碳目标”主题班会结束后，刘华和小燕子一起收集了一些废电池，刘华说：“我比你多收集了7 节废电池．”小燕子说：“如果你给我8 节废电池，那么我的废电池节数就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，那么刘华和小燕子分别收集了多少节废电池？ 【答案】刘华和小燕子分别收集了节和节废电池 【分析】 本题考查一元一次方程的应用问题，设刘华收集节废电池，掌握根据题意列方程是解题的关键． 【详解】解：设刘华收集节废电池，列方程得： ， 解得：， ∴小燕子收集废电池为节， 答：刘华和小燕子分别收集了节和节废电池． 变式练习 1. “我与好书为伴，千里江山万里海”，某校七年级开展阅读好书活动．小明5天里阅读的总页数比小亮7天里阅读的总页数少12页，小明平均每天阅读的页数比小亮平均每天阅读的页数的2倍少12页，若设小亮平均每天阅读页，则下列方程正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题关键．设小亮平均每天阅读页，则小明平均每天阅读页，再根据“小明5天里阅读的总页数比小亮7天里阅读的总页数少12页”，列方程求解即可． 【详解】解：设小亮平均每天阅读页，则小明平均每天阅读页， 由题意可知，， 故选：A． 2.某社区组织志愿者服务小组利用周末时间购买了一些中老年奶粉到敬老院慰问老人，如果送给每位老人3袋，那么剩余12袋；如果送给每位老人4袋，那么还差24袋，敬老院一共有多少位老人？ 【答案】敬老院一共有36位老人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设敬老院一共有x位老人，根据“如果送给每位老人3袋，那么剩余12袋；如果送给每位老人4袋，那么还差24袋”，结合购买的中老年奶粉袋数不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设敬老院一共有x位老人， 根据题意得：， 解得：． 答：敬老院一共有36位老人． 【题型二】 几何问题 【典题1】 一个长方形的周长为，若这个长方形的长减少，宽增加，可成为一个正方形，设长方形的长为，则可列方程为(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是根据长方形的周长表示出其宽及变化后正方形的边长．由长方形的周长为，长方形的长为知长方形的宽为，根据正方形的边长相等可列出方程． 【详解】解：长方形的周长为，长方形的长为， 则长方形的宽为， 根据题意，得， 故选：B． 【典题2】下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板的瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．    【答案】每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元，根据花费10000元，其中包含安装费1270元列方程求解即可． 【详解】解：设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元． 厨房面积：， 卫生间面积：， 客厅面积：， 卧室面积：， 由题意可得，， 解得， ，． 答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元． 变式练习 1. 一块长方形土地的周长为18米，长是宽的2倍多3米，设宽为x米，下列关于x的一元一次方程正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列一元一次方程．设这个场地的宽为米，则长为米，然后根据长方形的周长公式即可解答． 【详解】解：设这个场地的宽为米，则长为米， 由题意可得：． 故选：D． 2.列方程，解决实际问题： 如图所示，学校准备在图书馆后面的场地边建一个长方形自行车棚，一边利用图书馆的后墙，已知墙长18米，并利用已有总长为52米的铁围栏．若小张的设计方案中，长比宽多4米，问他的设计是否符合实际情况？ 【答案】小张的设计不符合实际情况 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设宽为x米，则长为米，根据题意列出方程求解，再判断即可； 【详解】解：设宽为x米，则长为米，根据题意，得． 解这个方程，得． ∴． ∵， ∴不符合实际情况． 答：小张的设计不符合实际情况． 【题型三】 行程问题 相关知识点讲解 （1)路程 速度 时间，速度=路程 时间，时间=路程 速度； （2)两者路程之和为相距的距离，相遇时间=相遇路程速度和； （3)两者路程之差为相距的距离，追及时间=追及路程速度差. 【典题1】 轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3，若船速为26，水速为2，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x．根据题意，可列出方程(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．设A港和B港相距x千米，根据顺流比逆流少用3小时，列方程即可． 【详解】解：设A港和B港相距x千米， 依题意得：， 整理得：， 故选：A． 【典题2】修建中的贵阳经金沙至古蔺高速公路是《贵州省交通运输“十三五”发展规划》重点实施项目，项目全长约，其中古蔺至金沙段全长近，设计时速的双向六车道高速公路，它的建成将加快金沙经济的快速发展．建成后若一辆小轿车以的速度从古蔺匀速行驶，15分钟后一辆客车以的速度从金沙匀速出发．问：小轿车能否在到达贵阳之前追上客车？若不能追上说明理由；若能追上则追上时距离目的地贵阳还有多远？（列一元一次方程解) 【答案】能，追上时距离贵阳还有60km 【分析】根据题意列一元一次方程进行求解即可． 【详解】解：能追上 理由：设客车出发x小时后小轿车追上客车，由题意得： 解得   (km) 160－100=60(km) 答：到达贵阳之前小轿车能追上客车，追上时距离贵阳还有60km． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用：行程问题，根据题意正确的列出方程是解题的关键． 变式练习 1. 某人骑自行车从地到地，若每小时骑16千米比每小时骑12千米要少用30分钟，若设两地相距千米，下列方程正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设两地相距千米，根据时间=路程÷速度结合“若每小时骑16千米比每小时骑12千米要少用30分钟”，即可得出关于x的一元一次方程． 【详解】解：设两地相距千米， 依题意，得：． 故选：D． 2.一艘轮船从A港顺流行驶到B港，比它从B港逆流行驶到A港少用2小时，若船在静水中的速度为25千米/时，水流的速度为5千米/时，求A港和B港相距多少千米？ 【答案】A港和B港相距120千米 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设A港和B港相距x千米，根据时间=路程÷速度结合顺流比逆流少用2小时，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设A港和B港相距x千米．根据题意，得 解得： 答：A港和B港相距120千米． 【题型四】 数字问题 相关知识点讲解 分别为一个两位数的个位上的数字与十位上的数字则这个两位数可表示为 【典题1】 一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大45，设原两位数的十位数字是x，则可列方程(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程，根据一个两位数的表示方法：，结合个位数字与十位数字的和为9，以及个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大45，列出方程即可．找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原两位数的十位数字是x，由题意，得：； 故选：B． 【典题2】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110，求原两位数是多少． 【答案】37 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设原两位数的十位上数字为x，则个位上的数字为，根据“把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设原两位数的十位上数字为x，则个位上的数字为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：原两位数是37． 变式练习 1. 甲、乙两数的和是，乙数的小数点向右移动一位就会与甲数相等，则甲数是(  ) A． B． C． D．23 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲数为x，则乙数为，根据乙数的小数点向右移动一位就会与甲数相等，即甲数是乙数的10倍列出方程求解即可． 【详解】解：设甲数为x，则乙数为， 由题意得，， 解得， 故选：B． 2.一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，求这个两位数． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的表示两位数是解题的关键． 设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，这个两位数为，对调后的两位数为，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，这个两位数为，对调后的两位数为， 依题意得，， 解得，， ∴， ∴这个两位数为． 3.【阅读理解】利用一元一次方程将化成分数，设，则， ∵，∴，化简得，解得，∴． (1)请参照上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程． (2)尝试类比这种方法，把循环小数化为分数为____________．（直接写结果) 【答案】(1) (2) 【分析】 本题主要考查了无限循环小数转化为分数的方法，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出方程，解方程即可． （1)设，方程两边都乘10，转化为，求出其解即可； （2)设，方程两边同乘100，转化为，求出其解即可． 【详解】（1) 解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， 即． （2)解：设，则， ∵， ∴， 解得：， 即． 4.如图的数阵是由全体正奇数排成． (1)计算十字框内的五个数的和，并说明与中间数27有什么关系？若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数的和还有这种规律吗？ (2)十字框中五个数之和能等于2024吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)这五个数的和还是中间这个数的5倍 (2)不存在十字框中五个数之和等于2024，理由见解析 【分析】本题考查整式的加减运算，一元一次方程的应用．读懂题意，正确的列出代数式和方程，是解题的关键． （1)求出五个数的和，进而得到规律，设十字架框内中间的数为x，表示出其他数，求和后，即可得出结论； （2)设十字架框内中间的数为y，根据题意，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1)解：由题意，得，， 所以十字框内的五个数的和是中间数27的5倍； 设十字架框内中间的数为x，则其余的4个数分别为，，，， 根据题意，得， ∴这五个数的和还是中间这个数的5倍； （2)设十字架框内中间的数为y，其余的4个数分别为，，，， 根据题意，得， 解得：， ∵是小数，不是整数， ∴不存在十字框中五个数之和等于2024． 【题型五】 销售问题 相关知识点讲解 （1)利润 实际售价一进价，利润率 ； （2)打几折就是按百分之几十出售。 【典题1】 “一雷惊蛰始，吃梨正当时”，惊蛰吃梨的习俗由来已久．惊蛰来临之际，某批发商购进一批原平酥梨，每箱酥梨的进价为35元，标价为60元，打折销售后仍可获利．若设每箱酥梨打折，则根据题意可列方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题列一元一次方程，利用标价×打折-进价=进价×利润率即可得方程. 【详解】解：根据题意可列方程， 故选：A． 【典题2】平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为；乙种商品每件进价80元，售价128元． (1)甲种商品每件进价为 元． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进乙种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动：按下表优惠条件， 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于480元 不优惠 超过480元，但不超过680元 其中480元不打折，超过480元的部分给予6折优惠 超过680元 按购物总额给予折优惠 若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【答案】(1)70 (2)30件 (3)5或6件 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键． （1)根据售价减去进价等于利润，再建立方程求解即可； （2)设该商场购进乙种商品件，根据总进价为3800元，再建立方程求解即可； （3)设小华在该商场购买乙种商品件，再分两种情况讨论：①当过480元，但不超过680元时， ②当超过680元时，再建立方程求解即可． 【详解】（1)解：设甲种商品的进价为元，则 ． 解得．即甲种商品每件进价为 70元， 故答案是：70； （2)设该商场购进乙种商品件，根据题意可得： ， 解得：； 答：该商场购进乙种商品30件． （3)设小华在该商场购买乙种商品件，根据题意，得： ①当超过480元，但不超过680元时，， 解得． ②当超过680元时，， 解得．   答：小华在该商场购买乙种商品5或6件． 变式练习 1. 元旦期间某商场进行促销活动，一件进价为160元的衬衫打八折销售后仍可获利进价的．设这件衬衫的标价为x元，根据题意可列方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，设这件衬衫的标价为x元，根据利润实际售价进价列出方程求解即可． 【详解】解：设这件衬衫的标价为x元， 由题意得，， 故选：C 2.某商场购进一批商品，每件进价为80元，由于换季滞销，商场决定将这种商品按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利，则该服装标价是（　　) A．150元 B．160元 C．170元 D．180元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找到等量关系式是解决问题的关键．根据利润＝售价－进价，列出方程即可解决问题． 【详解】解：设服装标价为元． 根据题意可得 ， 解得：． 故选：B． 3.一家商店在销售某种服装（每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．则这种服装每件的标价(  )元 A．90 B．100 C．110 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设这种服装每件的标价元，由按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．列出方程可求解． 【详解】解：设这种服装每件的标价元， 由题意可得：， ， 答：这种服装每件的标价110元． 故选：C． 4.某电商决定在五一期间开展促销活动，对网上销售的某种服装按成本价提高50%后标价，又以9折优惠卖出，结果每件服装仍可获利105元．求这种服装每件的成本是多少元？ 【答案】这种服装每件的成本是300元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系 ． 根据售价－成本＝利润，标价=成本×（1+相应的百分数)，售价=标价×折数，解答即可． 【详解】解：设这种服装每件的成本是x元， 根据题意，得：， ， ， ， ， 答：这种服装每件的成本是300元． 5.春节前夕，某商家预测某种水果能够畅销，就购进了第一批200斤这种水果，上市后销售非常好，商家又购进第二批这种水果，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每斤进价多了5元，已知第二批的进货总钱数比第一次多8000元． (1)该商家购进第一批这种水果时每斤多少元？ (2)由于储存不当，第二批购进的水果中有10%腐坏，不能售卖．该商家将两批水果按同一价格全部销售完毕后获利8000元，求每斤这种水果的售价是多少元？ 【答案】(1)购进第一批水果每斤30元； (2)每斤售价50元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1)设该商家第一批购进这种水果每斤x元，则第二批购进这种水果每斤元，根据单价×数量总价，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2)设每千克这种水果每斤售价y元，根据利润销售单价销售数量进货总价，列式计算，即可得出结论． 【详解】（1)解：设购进第一批水果每斤x元 ，解得： 答：购进第一批水果每斤30元； （2)解：设每斤售价y元， ， 解得： 答：每斤售价50元． 【A组---基础题】 1.甲队有人，乙队有人，如果要求甲队人数是乙队人数的，应从甲队调多少人去乙队，如果设应从甲队调x人到乙队，列出的方程正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设应从甲队调x人到乙队，根据“甲队有人，乙队有人，如果要求甲队人数是乙队人数的．”进行列式，即可作答． 【详解】解：设应从甲队调x人到乙队， ∵甲队有人，乙队有人，如果要求甲队人数是乙队人数的， ∴列出的方程： 故选：C 2.一个长方形的周长是，这个长方形的长减小，宽增加，就可以成为一个正方形，设长方形的长为，可列方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列一元一次方程解应用题．首先理解题意找出题中存在的等量关系：长方形的长长方形的宽，根据此列方程即可． 【详解】解：设长方形的长为，则宽是， 根据题意得：， 故选：． 3.《算学启蒙》是中国古代的数学著作，其中有道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”设快马x天可以追上慢马，可列方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查列一元一次方程-行程问题，找出等量关系是关键．设快马x天可以追上慢马，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设快马x天可以追上慢马， 由题意得：． 故选D． 4.若三个连续偶数的和是30，则它们的积是(   ) A．1680 B．960 C．480 D．240 【答案】B 【分析】根据题意设中间的偶数为，则其余两个偶数分别为，以此建立方程求解即可；本题考查一元一次方程的应用，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】根据题意，设三个连续偶数中间项为 则有， 解得： 则它们的积是 故选：B． 5.一件球服进价为300元，商店将进价提升后标价，再按标价的七五折销售，仍可获利的值是(   ) A．60 B．50 C．40 D．30 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得实际售价为元，再根据利润实际售价进价列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：A． 6.某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要，逆水航行需要，水流的速度是，则轮船在静水中的速度是 ，两个码头之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程． 设轮船在静水中的速度是，根据码头之间的距离不变列方程即可解得答案． 【详解】解：设轮船在静水中的速度是，则两个码头之间的距离是， 根据题意得：， 解得， ， 答：轮船在静水中的速度是，两个码头之间的距离是， 故答案为：，． 7.为了增强学生的安全防范意识，某校举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小莹一共得70分，则小莹答对题的个数为 个． 【答案】15 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键． 设小莹答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可． 【详解】解：设小莹答对题的个数为x个，则答错个，根据题意得： 解得：， 所以，小莹答对题的个数为15个． 故答案为：15 8.已知明明的年龄是m岁，红红的年龄比明明的年龄的2倍少4岁，元元的年龄比红红的年龄的 还多1岁． (1)用含m的式子分别表示红红的年龄、元元的年龄以及这三人的年龄和； (2)若这三人的年龄和为35岁，请你求出这三人的年龄． 【答案】(1)红红的年龄为岁；元元的年龄为岁；这三人的年龄和为岁； (2)明明的年龄是10岁，红红的年龄是16岁，元元的年龄是9岁 【分析】（1)根据题意分别列出红红、元元的年龄，再合并同类项，即可求出这三名同学的年龄的和； （2)根据题意可得关于m的方程，解方程求出m的值，再分别求出各自的年龄即可． 本题考查了列代数式、整式的加减、一元一次方程的应用等，弄清题意是解题的关键． 【详解】（1)∵明明的年龄是m岁，根据题意得， 红红的年龄为岁， 元元的年龄为岁；； 这三人的年龄和为岁； （2)根据题意得 解得 此时，， 答：明明的年龄是10岁，红红的年龄是16岁，元元的年龄是9岁． 9.某校综合实践小分队成一列在野外拓展训练，在队伍中的队长数了一下他前后的人数，发现他前面人数是他后面的三倍，他往前超了5位队友后，发现他前面的人数和他后面的人数一样多．问： (1)这列队伍一共有多少名学生？ (2)这列队伍要过一座240米的大桥，为拓展训练和安全需要，相邻两个学生保持相同的间距，队伍行进速度为3米/秒，从第一位学生刚上桥到全体通过大桥用了90秒时间，请问相邻两个学生间距离为多少米（不考虑学生身材的大小)？ 【答案】(1)这列队伍一共有21名学生 (2)相邻两个学生间距离为1.5米 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1)设这支队伍有x人，根据题中所述列出方程即可求出； （2)设相邻两个学生间距离为y米，队伍全部通过所经过的路程为米，根据“行进速度为3米/秒，用时90秒”，列方程求解即可． 【详解】（1)解：设这支队伍有x人， 根据题意得：， 解得： 答：这列队伍一共有21名学生． （2)解：设相邻两个学生间距离为y米 队伍全部通过所经过的路程为米， ∴ 解得： 答：相邻两个学生间距离为1.5米． 10.列方程解应用题： 某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利=售价﹣进价) 甲 乙 进价（元/件) 22 30 售价（元/件) 29 40 (1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品分别为多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？ 【答案】(1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品两种商品分别为150件或90件 (2)第二次乙商品是按原价打8.5折销售 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．正确理解题意得出等量关系是解题的关键. （1)设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（)件，根据单价×数量＝总价，即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得到答案； （2)设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1)设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（)件， 根据题意得， 解得， 则， 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品分别为150件或90件； （2)两种商品全部卖完后可获得利润(元) 设第二次乙种商品是按原价打y折销售， 根据题意得， 解得， 答：第二次乙商品是按原价打折销售． 【B组---提高题】 1.A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是 次． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为t小时，分快车从A到B，快车从B到A两种情况，每种情况中又分两车相遇前和相遇后两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得： 当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有： 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时， ， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶， ∵ ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： ， 解得； ④快车返回A地终点所需时间是9小时，此刻慢车行驶了，距终点还需 行驶，则有： 解得． 综上所述，两车恰好相距的次数为4次． 故答案为：4． 2.汽车拉力赛有两个距离相等的赛程第一赛程由平路出发，离中点26千米处开始上坡，通过中点继续行驶4千米后，全是下坡路：第二赛程也是由平路出发，离中点4千米处开始下坡，通过中点继续行驶26千米后，全是上坡路．已知某赛车在这两个赛程中所用时间相同，第二赛程出发时的速度是第一赛程出发时速度的，而遇到上坡时速度就要减少，遇到下坡时速度就要增加，那么，每个赛程的距离是多少千米？ 【答案】每个赛程为92千米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出列方程的等量关系式是解题关键．设赛程每个赛程为千米，起点到中点为x千米，以第一赛程出发时的速度为1，不难得到第二个赛程出发时的速度；由题意表示出上坡、下坡的速度，根据两个赛程的路况表示出两个赛程所用的时间；根据两个赛程所用的时间相同列方程求解，问题即可解答． 【详解】解：设每个赛程距离为千米，则两个赛程的上、下坡图示如下（如图1、图2)： 设第一赛程出发时的速度为1， 则第一赛程用时为： ① 第二赛程用时为； ② 根据两个赛程用时相等，由①②得方程 解得，所以每个赛程为（千米)． 答：每个赛程为92千米． 3.数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，a，b满足，点P为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点P为线段AB的中点，则点P对应的数______； (2)点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8，求此时点P对应的数的值； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点A，B的2倍点．现在，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“2倍点”，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)1 (2)点对应的数是或5； (3)的值或1.3或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程． （1)先根据绝对值的非负性质求出a，b的值，再根据点到点、点的距离相等，结合数轴可得答案； （2)此题要分两种情况：①当在左侧时，②当在右侧时，再列出方程求解即可； （3)由点恰好是点，的“2倍点”，列出方程可求解． 【详解】（1)， ， ， 为的中点，． 依题意得， 解得：． 故答案为：1； （2)由，若存在点到点、点的距离之和为8，不可能在线段上，只能在点左侧，或点右侧． ①在点左侧，，， 依题意得， 解得：； ②在点右侧，，， 依题意得， 解得：． 故点对应的数是或5； （3)由题意可得：秒后，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 点恰好是点，的“2倍点”， 或， 解得：（舍去)或或或， 的值或1.3或． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$