第08讲 整式 2024年新七年级暑假数学预习课（人教版）

第06讲 整式 1.理解单项式的定义，能够确定其系数和次数； 2.理解多项式的定义，能够确定其项数和次数； 3.理解整式的定义，会求整式的值. 1 单项式 表示数与字母的乘积的代数式叫做单项式. (1)单项式的系数：单项式中的数字因数； (2)单项式的次数：一个单项式中，所有字母中的指数和； (3)单独的一个数或一个字母也是单项式. 2 多项式 几个单项式的和叫做多项式. (1)多项式的项：多项式中每个单项式，不含字母的项叫做常数项； (2)多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，常数项的次数为； 3 整式 单项式和单项式统称为整式. 【题型一】 单项式 相关知识点讲解 单项式 定义 由数字或字母的积组成的式子叫做单项式 单独的一个数字或者一个字母也是单项式 例如: 等都是单项式 系数 单项式中的数字因数就是单项式的系数 例如: 的系数是 的系数是 次数 单项式中所有字母的指数和就是单项式的次数 例如: abc 的次数是 的次数是 【典题1】 在代数式，，，，中，单项式的个数是(   )个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典题2】下列说法中正确的是(　　) A．不是单项式 B．的系数是 C．的系数是，次数是4 D．的系数为0，次数为2 变式练习 1. 下列代数式中，是单项式的是(   ) A． B． C． D． 2.在代数式，，，，x中，单项式的个数是(  ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.下列代数式中，是次数为3的单项式的是(   ) A． B．3 C． D． 4.单项式的系数和次数分别是(  ) A．和2 B．和3 C．2和2 D．2和3 5.单项式的系数和次数分别是(   ) A．，4 B．，5 C．，4 D．，5 6.单项式表示球的体积，其中表示圆周率，r表示球的半径，下列说法正确的是(   ) A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是4 7.观察下列单项式：，…，按此规律，第8个单项式是(   ) A． B． C． D． 【题型二】 多项式 相关知识点讲解 多项式 定义 几个单项式的和叫做多项式 项 多项式中的每个单项式叫做多项式的项 常数项 多项式中不含字母的项叫做常数项 次数 多项式中次数最高项的次数叫做这个多项式的次数 【例】 是多项式，有项：，项数是，次数为. 【典题1】 在代数式，下列结论正确的是(  ) A．有个多项式，个单项式 B．有个多项式，个单项式 C．有个多项式，个单项式 D．有个多项式，个单项式 【典题2】关于多项式，下列说法中正确的是(   ) A．它的系数是1 B．它的次数是3 C．它的常数项是1 D．它的项是，b 与1 变式练习 1. 下列式子，，，中，多项式有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.对于多项式，下列说法正确的是(   ) A．二次项系数是5 B．最高次项是 C．常数项是 D．是三次四项式 3.下列关于多项式的说法正确的是(   ) A．由，2x，1三项组成 B．三项系数分别为3，， C．是三次三项式 D．常数项为1 4.多项式是(   ) A．四次三项式 B．五次三项式 C．三次四项式 D．三次五项式 5.如果是关于x，y的五次三项式，则m的值为(   ) A． B．4 C．或4 D．不存在 6.如果多项式是关于x的二次二项式，那么a,b的值可能是(　　) A． B． C． D． 7.有一组按规律排列的多项式：，，，，…，则第2023个多项式是(　　) A． B． C． D． 8.观察下列式子： ，， ，． (1)__________． (2)根据以上式子，请直接写出的结果(n为正整数)； (3)根据以上式子，试求的个位数字． 【题型三】 整式 相关知识点讲解 单项式和单项式统称为整式. 解释 分母上含有字母的不是整式.如不是整式，它叫分式，以后会讲到. 【典题1】 在下列各式中，整式有(   ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式练习 1. 在代数式；；；；；中整式的个数有(     )个． A． B． C． D． 2.下列各式，，，，，，中，整式有(   ) A．个 B．个 C．个 D．个 【A组---基础题】 1.下列说法正确的是(　　) A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的系数是0，次数0 C．多项式的常数项是 D．多项式的次数是 2.对于式子：①abc；②；③；④；⑤.下列判断正确的是(   ) A．①③是单项式 B．②是二次三项式 C．②④是多项式 D．①⑤是整式 3.下列关于多项式的说法中，正确的是(   ) A．它的最高次项是 B．它的常数项是1 C．它是三次三项式 D．它是二次四项式 4.下列式子中，整式有 (填写序号) ①  ②0  ③  ④  ⑤  ⑥ 5.若是一个五次二项式，则 . 6.如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第2024个图形需要 根小木棒． 7.把千位数为a、百位数为b、十位数为c、个位数为d的四位数记为；规定：若一个四位数的各位数满足：(其中k为整数)，则称这个四位数为“k阶位数”：例：5367是“阶位数”，因为；7264不是“k阶位数”． (1)判断数8231与2597是不是“k阶位数”，若是，求出k的值； (2)若四位数是“2阶位数”，且，，求所有满足条件的四位数； (3)若记四位数．将各位数顺序颠倒后记为．若M是“k阶位数”，且，，试用含k的式子表示的值． 8.阅读下列材料： ， ， ， 由以上三个等式相加，可得： ． 根据以上材料，请你完成下列各题： (1)；(写出过程) (2)________________；(用含n的代数式表示) (3)根据以上学习经验，猜想____________．(写出最后结果) 【B组---提高题】 1.按一定规律排列的单项式：第10个单项式是(   ) A． B． C． D． 2.对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字互不相同，它的千位数字与百位数字之和等于9，十位数字与个位数字之和也等于9，那么称这个数为“永恒数”．对于一个“永恒数”，记为．例如：，因为，所以1854是一个“永恒数”，．则 ；若一个四位自然数是“永恒数”，且为整数，则满足条件的四位自然数的最大值与最小值的差为 ． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 整式 1.理解单项式的定义，能够确定其系数和次数； 2.理解多项式的定义，能够确定其项数和次数； 3.理解整式的定义，会求整式的值. 1 单项式 表示数与字母的乘积的代数式叫做单项式. (1)单项式的系数：单项式中的数字因数； (2)单项式的次数：一个单项式中，所有字母中的指数和； (3)单独的一个数或一个字母也是单项式. 2 多项式 几个单项式的和叫做多项式. (1)多项式的项：多项式中每个单项式，不含字母的项叫做常数项； (2)多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，常数项的次数为； 3 整式 单项式和单项式统称为整式. 【题型一】 单项式 相关知识点讲解 单项式 定义 由数字或字母的积组成的式子叫做单项式 单独的一个数字或者一个字母也是单项式 例如: 等都是单项式 系数 单项式中的数字因数就是单项式的系数 例如: 的系数是 的系数是 次数 单项式中所有字母的指数和就是单项式的次数 例如: abc 的次数是 的次数是 【典题1】 在代数式，，，，中，单项式的个数是(   )个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查单项式的概念，根据“数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式”对上述代数式进行判断，即可解题． 【详解】解：根据单项式的定义，式子有减法运算，式子分母中含字母，都不是单项式，另外的，，都是单项式． 单项式的个数是3个， 故选：B． 【典题2】下列说法中正确的是(　　) A．不是单项式 B．的系数是 C．的系数是，次数是4 D．的系数为0，次数为2 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的次数与系数以及单项式的定义，根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出答案． 【详解】解：A．是单项式，原说法错误，不符合题意； B．的系数是，原说法错误，不符合题意； C．的系数是，次数是4，原说法正确，符合题意； D．的系数为1，次数为3，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 变式练习 1. 下列代数式中，是单项式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查单项式的定义，数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式，可以做出选择． 【详解】 解：A、x是字母，所以它是单项式，符合题意； B、不是整式，不是单项式，所以它不是单项式，不符合题意； C、的分母中含有字母，所以它不是单项式，不符合题意； D、是多项式，所以它不是单项式，不符合题意． 故选：A． 2.在代数式，，，，x中，单项式的个数是(  ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的判断，由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式． 【详解】解：由单项式的定义可知：，，x是单项式， 故选：Ｃ 3.下列代数式中，是次数为3的单项式的是(   ) A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的定义及次数，根据数与字母的积的形式叫单项式，单独的数字，单独的字母也是单项式及单项式中字母的指数和叫单项式的次直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， A．是四次单项式，不符合题意， B．3是单项式但是0次，不符合题意， C．是3次二项式，不符合题意， D．是3次三项式，符合题意， 故选：D． 4.单项式的系数和次数分别是(  ) A．和2 B．和3 C．2和2 D．2和3 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 根据单项式系数和次数的概念求解． 【详解】解：单项式的系数和次数分别是和3． 5.单项式的系数和次数分别是(   ) A．，4 B．，5 C．，4 D．，5 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的系数与次数的定义，需注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数．单项式的次数就是所有字母指数的和． 【详解】解：单项式的系数为，次数为， 故选：D． 6.单项式表示球的体积，其中表示圆周率，r表示球的半径，下列说法正确的是(   ) A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是4 【答案】B 【分析】 本题主要考查单项式的相关概念，解题关键是理解相关概念．根据单项式系数和次数的概念即可得出答案． 【详解】解：的系数是，次数是3． 故选：B． 7.观察下列单项式：，…，按此规律，第8个单项式是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化规律，根据所给单项式，探索出式子的一般规律是解题的关键． 通过观察可知系数为的n次方，x的次数为自然数，由此可得第n个式子为，即可得出结果． 【详解】解：∵，，，，，…， ∴第n个式子为， ∴第8个单项式是， 故选：C． 【题型二】 多项式 相关知识点讲解 多项式 定义 几个单项式的和叫做多项式 项 多项式中的每个单项式叫做多项式的项 常数项 多项式中不含字母的项叫做常数项 次数 多项式中次数最高项的次数叫做这个多项式的次数 【例】 是多项式，有项：，项数是，次数为. 【典题1】 在代数式，下列结论正确的是(  ) A．有个多项式，个单项式 B．有个多项式，个单项式 C．有个多项式，个单项式 D．有个多项式，个单项式 【答案】A 【分析】根据多项式和单项式概念，逐个分析判断即可．本题考查了多项式和单项式的概念，看清两个分式是关键． 【详解】解：在代数式中， 多项式有：，，共计个， 单项式有：，，，共计个， 故选：A． 【典题2】关于多项式，下列说法中正确的是(   ) A．它的系数是1 B．它的次数是3 C．它的常数项是1 D．它的项是，b 与1 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式项及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【详解】解：多项式的次数是3，常数项是，它的项是，b 与，多项式没有系数的说法， ∴四个选项中，只有B选项说法正确，符合题意， 故选：B． 变式练习 1. 下列式子，，，中，多项式有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据多项式的定义，逐一判断，即可求解，本题考查了多项式的定义，解题的关键是：熟练掌握多项式定义． 【详解】解：是单项式，是多项式，是分式，是多项式， 其中多项式有2个， 故选：． 2.对于多项式，下列说法正确的是(   ) A．二次项系数是5 B．最高次项是 C．常数项是 D．是三次四项式 【答案】D 【分析】 根据多项式的项：多项式中的每一个单项式；项数：单项式的个数；次数：最高项的次数；常数项：不含字母项；逐一进行判断即可． 【详解】解：A、二次项是，二次项系数是2，故选项错误，不符合题意； B、最高次项是，故选项错误，不符合题意； C、常数项是1，故选项错误，不符合题意； D、是三次四项式；选项正确，符合题意； 故选：D． 3.下列关于多项式的说法正确的是(   ) A．由，2x，1三项组成 B．三项系数分别为3，， C．是三次三项式 D．常数项为1 【答案】B 【分析】此题考查了多项式次数及项数定义．根据多项式的次数及项数定义解答． 【详解】解：多项式共三项，分别为，是二次三项式， 三项系数分别为3，， 常数项为， 观察四个选项，B选项说法正确，符合题意， 故选：B． 4.多项式是(   ) A．四次三项式 B．五次三项式 C．三次四项式 D．三次五项式 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式次数和项的定义，几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此求解即可． 【详解】解：多项式是五次三项式， 故选：B． 5.如果是关于x，y的五次三项式，则m的值为(   ) A． B．4 C．或4 D．不存在 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的问题．根据多项式的定义以及性质即可求出m的值．b次a项式：一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 【详解】∵是关于x，y的五次三项式， ∴， ∴或，且 ∴． 故选：A． 6.如果多项式是关于x的二次二项式，那么a,b的值可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式的定义，多项式的项的定义及次数的定义，由此多余的项的系数应为0，据此解答． 【详解】∵多项式是关于x的二次二项式， ∴ 得 故选C． 7.有一组按规律排列的多项式：，，，，…，则第2023个多项式是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律． 【详解】解：多项式的第一项依次是， 第二项依次是， 得到第n个式子是：． 当时，多项式为 故选：D． 【点睛】此题主要考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键． 8.观察下列式子： ，， ，． (1)__________． (2)根据以上式子，请直接写出的结果(n为正整数)； (3)根据以上式子，试求的个位数字． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题考查了整式的除法，探索规律，解题的关键是发现规律，按照题意构造合适的整式进而求解． (1)根据题干中给出的式子总结规律得出答案即可； (2)根据题干中的式子可知：被除式和除式都是二项式，除式都是，商的次数比被除式的次数小1，项数与被除式的次数相等，按x进行降幂排列，各项系数为1，根据规律直接写出答案即可； (3)对(2)中式子分别取，即可得到结果． 【详解】(1)解：由题意得， 故答案为：； (2)解：观察题干中各等式，得到如下规律：被除式和除式都是二项式，除式都是(x−1)，商的次数比被除式的次数小1，项数与被除式的次数相等，按x进行降幂排列，各项系数为1， ， 故答案为：； (3)解：由题意得 ， ∵个位数是1，个位数是3，个位数是7，个位数是5，个位数是1，……， ∴个位数以1，3，7，5四个一循环， 而， ∴的个位数是1. 【题型三】 整式 相关知识点讲解 单项式和单项式统称为整式. 解释 分母上含有字母的不是整式.如不是整式，它叫分式，以后会讲到. 【典题1】 在下列各式中，整式有(   ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的定义，直接利用整式的定义分析得出答案． 【详解】中整式有，共4个， 故选：B． 变式练习 1. 在代数式；；；；；中整式的个数有(     )个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式和多项式统称为整式，利用整式的定义即可判断． 【详解】、分母中含字母，不是整式， 是多项式、、、是单项式，属于整式， 故整式有，共4个， 故选：． 【点睛】此题考查了整式，单项式和多项式统称为整式，解答题的关键是正确理解：单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法；多项式是若干个单项式的和，有加减法． 2.下列各式，，，，，，中，整式有(   ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据整式的定义，结合题意即可得出答案． 【详解】根据单项式和多项式统称为整式，则整式有：，，，，，共个， 故选：． 【点睛】此题考查了整式的定义：单项式和多项式统称为整式，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式．解题的关键是注意分式与整式的区别及正确记忆整式的类型． 【A组---基础题】 1.下列说法正确的是(　　) A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的系数是0，次数0 C．多项式的常数项是 D．多项式的次数是 【答案】D 【分析】 根据单项式、多项式的概念和次数的定义，依次判断即可求解， 本题考查了单项式、多项式，解题的关键是：单项式中的数字因数，叫做这个单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：、单项式的系数是，次数是，该选项错误，不符合题意， 、单项式的系数是1，次数1，该选项错误，不符合题意， 、多项式的常数项是，该选项错误，不符合题意， 、多项式的次数是，该选项正确，符合题意， 故选：． 2.对于式子：①abc；②；③；④；⑤.下列判断正确的是(   ) A．①③是单项式 B．②是二次三项式 C．②④是多项式 D．①⑤是整式 【答案】D 【分析】根据单项式、多项式、整式、分式的定义逐个判断即可． 【详解】A、①abc是单项式，③不是整式，也不是单项式，故本选项错误； B、②不是整式，不能说几次几项式，故本选项错误； C、②和都不是整式，也不是多项式，故本选项错误； D、abc是单项式，也是整式，−x＋y是整式，故本选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了对单项式、多项式、整式、分式的定义的理解和运用，主要考查学生的辨析能力，是一道比较容易出错的题目． 3.下列关于多项式的说法中，正确的是(   ) A．它的最高次项是 B．它的常数项是1 C．它是三次三项式 D．它是二次四项式 【答案】A 【分析】本题考查多项式，关键是掌握以下概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式中的几个概念进行判断即可． 【详解】解：多项式是一个四次三项式，最高次项是，常数项是， 故选：A 4.下列式子中，整式有 (填写序号) ①  ②0  ③  ④  ⑤  ⑥ 【答案】①②③④⑤ 【分析】此题主要考查了整式的定义，直接利用单项式和多项式统称为整式，进而判断得出答案． 【详解】解：①是单项式，也是整式； ②0是单项式，也是整式； ③是多项式，也是整式； ④是单项式，也是整式； ⑤是多项式，也是整式； ⑥分母中有字母，不是整式； 故答案为：①②③④⑤． 5.若是一个五次二项式，则 . 【答案】0 【分析】本题考查多项式的次数和项数，由题意知中只含2个单项式，可得，进而可得m的值．掌握多项式的次数和项数的定义是解题的关键． 【详解】解： 是一个五次二项式， 中只含2个单项式， ， 时，，不合题意， ． 6.如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第2024个图形需要 根小木棒． 【答案】16190 【分析】本题考查了规律型中图形的变化类．根据图形的变化及数值的变化找出变化规律，即可得出结论． 【详解】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒， 第2个图形需要根小木棒， 第3个图形需要根小木棒， 按此规律，第个图形需要根小木棒， 当时，． 故答案为：16190． 7.把千位数为a、百位数为b、十位数为c、个位数为d的四位数记为；规定：若一个四位数的各位数满足：(其中k为整数)，则称这个四位数为“k阶位数”：例：5367是“阶位数”，因为；7264不是“k阶位数”． (1)判断数8231与2597是不是“k阶位数”，若是，求出k的值； (2)若四位数是“2阶位数”，且，，求所有满足条件的四位数； (3)若记四位数．将各位数顺序颠倒后记为．若M是“k阶位数”，且，，试用含k的式子表示的值． 【答案】(1)8231是，；2597不是 (2)所有满足的四位数有：9330，9341，9352，9363，9374，9385，9396 (3) 【分析】本题考查了新定义运算与数字类游戏，解题的关键是紧扣定义作灵活的变形运算． (1)根据“k阶位数”的定义进行判定即可，注意k必须为整数． (2)根据“2阶位数”的定义并结合已知条件求得a、b的值，然后根据等式确定四位数的个位数与十位数字． (3)先将M与N用a、b、c、d的代数式表示出来，分别求得的表达式，代入的表达式中即可． 【详解】(1)是k阶位数， ∵， ∴； 不是k阶位数． ∵， ∴不是整数． (2)根据题意得， ∵，， ∴ 解得；． ∵c，d是小于的整数， 由可知，d可取之间的整数，则相应得到c的值． ∴所有满足的四位数有： (3)∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴ ． 8.阅读下列材料： ， ， ， 由以上三个等式相加，可得： ． 根据以上材料，请你完成下列各题： (1)；(写出过程) (2)________________；(用含n的代数式表示) (3)根据以上学习经验，猜想____________．(写出最后结果) 【答案】(1) (2) (3)35910 【分析】(1)利用已知材料得出原式，进而求出即可； (2)利用(1)中所求，进而求出即可； (3)仿照已知得出原式，进而求出即可． 【详解】(1)解： ； (2) ． 故答案为； (3) ． 故答案为：35910． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用找出的规律解决问题． 【B组---提高题】 1.按一定规律排列的单项式：第10个单项式是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别写出第一个、第二个单项式的系数和次数，总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第1个单项式系数是：， 第1个单项式字母部分是 第2个单项式系数是：， 第2个单项式字母部分是， 第3个单项式系数是：， 第3个单项式字母部分是， 第10个单项式系数是：， 第10个单项式字母部分是， ∴第10个单项式是， 故选：A． 2.对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字互不相同，它的千位数字与百位数字之和等于9，十位数字与个位数字之和也等于9，那么称这个数为“永恒数”．对于一个“永恒数”，记为．例如：，因为，所以1854是一个“永恒数”，．则 ；若一个四位自然数是“永恒数”，且为整数，则满足条件的四位自然数的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 402 7245 【分析】本题考查了新定义的实数运算，整式运算，根据直接进行求解即可；根据“永恒数”的定义，设，求出的值，根据为整数，分情况求出的最大值与最小值即可得出结果． 【详解】解：由题意可知：； 根据“永恒数”的定义， 设， 其中，，都为整数，， 为整数， 是整数， 由于各个数位上的数字互不相同， 当m取最大值时，，最大， 当m取最小值时，，时最小， m最大为， m最小为， ， 故答案为：402，7245． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$