2.2 探索轴对称的性质（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（鲁教版五四制）

2.2 探索轴对称的性质 知识点一 轴对称的性质 ◆轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. 题型一 利用轴对称的性质求长度 解题技巧提炼 轴对称图形的对应线段相等． 1. （2023秋•沂源县期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为　　 A． B． C． D． 2. （2023秋•平原县期末）内部有一点，，点关于的对称点为，点关于的对称点为，若，则的周长为 　 　． 题型二 利用轴对称的性质求角度 解题技巧提炼 轴对称图形的对应角度相等． 1. （2023秋•黄渤海新区期末）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点，均落于边上一点处，线段，为折痕．若，则　　． 2. （2023秋•宁阳县期末）如图，和△关于直线对称．若，，则的度数为 　　． 3. （2023秋•岚山区期末）数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点，分别是边，上的点，若沿直线折叠，点的对应点为点． （1）若如图1所示，点恰好在边上，则与的数量关系是 　　； （2）若如图2所示，点在内部，，求的度数； （3）若如图3所示，点在外部，直接写出，和之间的数量关系． 4. （2024春•莱芜区期中）将的顶角沿直线折叠（如图），点的对应点为点，记为，为． （1）如图1，当点的对应点落在内部时，试探求，与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点的对应点落在外部时，，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 题型三 轴对称-最短路线问题 解题技巧提炼 根据两点之间线段最短求最短路径． 1. （2023秋•东平县期末）如图，在锐角三角形中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，当取得最小值时，　　 A．2 B．4 C．6 D．8 2. （2023秋•桓台县期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为　　 A．4 B．5 C．4.5 D．6 3. （2024•东营区校级模拟）如图，在锐角三角形中，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 　 　． 4. （2024•齐河县校级模拟）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，　 　． 5. （2023秋•滨城区期末）已知：如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，．当最小时，则　　． 6. （2023秋•宁津县期末）如图，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，且周长的最小值是2时，的度数是 　　． 7. （2024春•武城县校级月考）如图所示铁路上、两站（视为两个点）相距，、为两村庄（视为两个点），于点，于点，已知，．现要在．之间建一个土特产收购站，当时 （1）求的长．（用含的式子表示） （2）在什么位置时的长最短． （3）根据上面的解答，求的最小值． 题型四 翻折变换（折叠问题）求长度 解题技巧提炼 折叠问题即全等问题． 1. （2023秋•芝罘区期末）如图，中，，将折叠后，使得点与点重合，折痕分别交、于点、．如果，的周长为，那么的长为　　 A． B． C． D． 2. （2024•泗水县二模）如图，将等边三角形纸片折叠，使点落在边上的处，为折痕．若，则的值为　　 A． B． C． D． 3. （2024•崂山区一模）如图，中，，，，点为边上一点，将沿折叠后，点的对应点恰好落在边上，则线段的长为　　 A． B． C． D． 4. （2024•菏泽一模）将一张半径为4的圆形纸片（如图①连续对折两次后展开得折痕、，且，垂足为（如图②，之后将纸片如图③翻折，使点与点重合，折痕与相交于点，连接、（如图④，则的面积是　　． 题型五 翻折变换（折叠问题）求角度 解题技巧提炼 折叠问题即全等问题． 1. （2024春•牟平区期末）如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是　　 A． B． C． D． 2. （2024•威海一模）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是　　 A． B． C． D． 3. （2024春•高密市期中）如图，把一张对边平行的纸条沿折叠，若，则等于　　 A． B． C． D． 4. （2023秋•肥城市期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点落在边上的点处，点落在点处，若，则图中的度数为　　 A． B． C． D． 5. （2023秋•兰山区期末）如图，长方形纸片，为边的中点，将纸片沿，折叠，使点落在处，点落在处，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 6. （2024•崂山区二模）如图，将长方形纸片沿，折叠成图1，使与在一条直线上，再沿折叠成图2，使点落在点处，若，则的度数为 　 　． 7. （2023秋•岚山区期末）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，恰有，则的度数为 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 探索轴对称的性质 知识点一 轴对称的性质 ◆轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. 题型一 利用轴对称的性质求长度 解题技巧提炼 轴对称图形的对应线段相等． 1. （2023秋•沂源县期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为　　 A． B． C． D． 【分析】利用轴对称图形的性质得出，，进而利用，得出的长，即可得出的长． 【解答】解：点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上， ，， ，，， ，， 即， 则线段的长为：． 故选：． 2. （2023秋•平原县期末）内部有一点，，点关于的对称点为，点关于的对称点为，若，则的周长为 　 　． 【分析】证明是等边三角形，可得结论． 【解答】解：如图， ，关于对称，，关于对称， ，，， ， 是等边三角形， ， 的周长为15． 故答案为：15． 题型二 利用轴对称的性质求角度 解题技巧提炼 轴对称图形的对应角度相等． 1. （2023秋•黄渤海新区期末）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点，均落于边上一点处，线段，为折痕．若，则　　． 【分析】由折叠的性质可知：，，根据三角形的内角和为，可求出的度数，进而得到的度数，问题得解． 【解答】解：线段、为折痕， ，， ， ， ， ， 故答案为：94． 2. （2023秋•宁阳县期末）如图，和△关于直线对称．若，，则的度数为 　　． 【分析】先根据和△关于直线对称得出△，故可得出，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【解答】解：和△关于直线对称，，， △， ， ． 故答案为：． 3. （2023秋•岚山区期末）数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点，分别是边，上的点，若沿直线折叠，点的对应点为点． （1）若如图1所示，点恰好在边上，则与的数量关系是 　　； （2）若如图2所示，点在内部，，求的度数； （3）若如图3所示，点在外部，直接写出，和之间的数量关系． 【分析】（1）根据折叠，利用三角形的外角定理即可解决问题． （2）连接，，利用三角形的外角定理即可解决问题． （3）连接，，方法与（2）相同． 【解答】解：（1）因为点恰好在上， 所以，，三点在一条直线上． 所以． 由折叠可知， ， 所以， 所以． 故答案为：． （2）连接，， 由折叠可知， ， 所以． 又因为， 所以． 同理可得， ， 又因为， 所以． 因为， 所以． （3）． 连接，， 由折叠可知， ， 所以． 又因为， 所以． 同理可得， ． 又因为， 所以． 故，和之间的数量关系为：． 4. （2024春•莱芜区期中）将的顶角沿直线折叠（如图），点的对应点为点，记为，为． （1）如图1，当点的对应点落在内部时，试探求，与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点的对应点落在外部时，，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 【分析】（1）利用三角形两次外角定理得出结论； （2）由三角形外角定理，，故，再由折叠可得：即可得出结论． 【解答】解：（1），理由如下： 如图1，连接， 是的外角， ． 同理，． ． 由折叠性质得． ． （2），证明如下： 如图2，连接， 是的外角， ． 同理，． ． 由折叠性质得． ， ． 题型三 轴对称-最短路线问题 解题技巧提炼 根据两点之间线段最短求最短路径． 1. （2023秋•东平县期末）如图，在锐角三角形中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，当取得最小值时，　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】作点关于的对称点，过点作交于点，交于于点，连结，此时的值最小，在中，求出即可． 【解答】解：作点关于的对称点，过点作交于点，交于于点，连结， ，平分， 点在上， ，此时的值最小， 由对称性可知，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 2. （2023秋•桓台县期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为　　 A．4 B．5 C．4.5 D．6 【分析】过作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【解答】解：过作于点，交于点，过点作于，如图： 平分，于点，于， ， 是最小值，此时与重合，与重合， 三角形的面积为10，， ， ． 即的最小值为5． 故选：． 3. （2024•东营区校级模拟）如图，在锐角三角形中，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 　 　． 【分析】作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，再根据是的平分线可知，再由等腰三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，， ， 的最小值是． 故答案为4． 4. （2024•齐河县校级模拟）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，　 　． 【分析】作点关于，的对称点、，连接分别交，于点、，连接，、，，则当点与点重合，点与点重合时，的周长最小，则易得的大小． 【解答】解：如图，作点关于，的对称点、，连接分别交，于点、，连接，、，， 由对称性知：，，，， ， 当点与点重合，点与点重合时，的周长最小； ，， ，， ，， ， ， ， ， 即， 故答案为：100． 5. （2023秋•滨城区期末）已知：如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，．当最小时，则　　． 【分析】作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【解答】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 6. （2023秋•宁津县期末）如图，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，且周长的最小值是2时，的度数是 　　． 【分析】作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，利用轴对称的性质得，利用两点之间线段最短判断此时周长最小为，可得是等边三角形，进而可得的度数． 【解答】解：如图，作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，连接，， 此时周长最小为， 根据轴对称的性质，得，，， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 7. （2024春•武城县校级月考）如图所示铁路上、两站（视为两个点）相距，、为两村庄（视为两个点），于点，于点，已知，．现要在．之间建一个土特产收购站，当时 （1）求的长．（用含的式子表示） （2）在什么位置时的长最短． （3）根据上面的解答，求的最小值． 【分析】（1）根据勾股定理分别用含的代数式来表示和，二者相加即可得出结论； （2）连接，由于点，于点可得出，根据相似三角形的性质可得出，找出长度即可找出点的位置； （3）过点作，延长交与点，结合（2）的结论即可得出结论． 【解答】解：（1），， ． 由勾股定理可得： ，． ． （2）连接，如图1所示． 当点为与的交点时，最短． 于点，于点， ， 又， ， ，即， 解得：． 当点离点时，的长最短． （3）过点作，延长交与点，如图2所示． ． 结合（2）的结论可知： 当时，最小． 解得，． 此时． 题型四 翻折变换（折叠问题）求长度 解题技巧提炼 折叠问题即全等问题． 1. （2023秋•芝罘区期末）如图，中，，将折叠后，使得点与点重合，折痕分别交、于点、．如果，的周长为，那么的长为　　 A． B． C． D． 【分析】由，且，求得，由折叠得，则，由，根据勾股定理求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：的周长为， ， ， ， 由折叠得， ， ， ， 故选：． 2. （2024•泗水县二模）如图，将等边三角形纸片折叠，使点落在边上的处，为折痕．若，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】由条件可以得出，设，，就有，设，，根据相似三角形的性质就可以表示出、，再根据，就可以求出与的数量关系，从而求出结论，解答时运用相似三角形的性质建立方程求解是关键． 【解答】解：是等边三角形， ， 由折叠可知：与关于对称， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 3. （2024•崂山区一模）如图，中，，，，点为边上一点，将沿折叠后，点的对应点恰好落在边上，则线段的长为　　 A． B． C． D． 【分析】由，，，根据勾股定理求得，由折叠得，，则，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：，，， ， 将沿折叠后，点的对应点恰好落在边上， ，， ，， ， ， 解得， 故选：． 4. （2024•菏泽一模）将一张半径为4的圆形纸片（如图①连续对折两次后展开得折痕、，且，垂足为（如图②，之后将纸片如图③翻折，使点与点重合，折痕与相交于点，连接、（如图④，则的面积是　　． 【分析】连接，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，根据等边对等角求出，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，从而得到，同理求出，再根据三角形的内角和等于求出，从而判定是等边三角形，求出、，然后求出、，再根据三角形的面积公式求即可． 【解答】解：连接， 纸片沿折叠，、两点重合， ，则， ， ， 又（都是半径）， ， ， ， 同理可求， ， 是等边三角形， 则，， ，， 的面积为：． 故答案为：． 题型五 翻折变换（折叠问题）求角度 解题技巧提炼 折叠问题即全等问题． 1. （2024春•牟平区期末）如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【解答】解：由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， 则， 则． 故选：． 2. （2024•威海一模）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】连接，过点作于，于，连接，过点作于，于，可得是等边三角形，得出，，运用可证得△△，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【解答】解：如图，连接，过点作于，于， 则， 由折叠可知，，， ， 是等边三角形， ，， 平分，， ， 又，， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 即， ，， ， ， 故选：． 3. （2024春•高密市期中）如图，把一张对边平行的纸条沿折叠，若，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据翻折的性质得出，进而利用平行线的性质解答即可． 【解答】解：， ， 由翻折的性质得出， 设， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：． 4. （2023秋•肥城市期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点落在边上的点处，点落在点处，若，则图中的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由邻补角概念和翻折变换性质得出，，据此知，结合知，从而得出答案． 【解答】解：， ，， ， 又， ， 故选：． 5. （2023秋•兰山区期末）如图，长方形纸片，为边的中点，将纸片沿，折叠，使点落在处，点落在处，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据矩形的性质证明，得，然后利用翻折的性质可得，再利用平角定义即可解决问题． 【解答】解：四边形是矩形， ，， 为边的中点， ， ， ， 由翻折可知：，， ， ， ， ， ， 故选：． 6. （2024•崂山区二模）如图，将长方形纸片沿，折叠成图1，使与在一条直线上，再沿折叠成图2，使点落在点处，若，则的度数为 　 　． 【分析】由题意可得：，利用平行线的性质可得：，，，再结合折叠的性质可得：，，利用三角形的外角性质可求解． 【解答】解：如图所示 由题意得：， ，，， 由折叠性质得：，， ，， ， 在图2中，由折叠的性质得：，， ． ， 故答案为：63． 7. （2023秋•岚山区期末）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，恰有，则的度数为 　　． 【分析】根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$