21.3 二次函数与一元二次方程（第1课时）（同步课件）数学沪科版九年级上册

九年级沪科版数学上册 第二十一章二次函数与反比例函数 21.3 二次函数与一元二次方程 第一课时 二次函数与一元二次方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系；（重点） 2.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解； （重点） 3.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用.（难点） 问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系： h=20t-5t2， 考虑以下问题： 情景导入 O h t 15 1 3 ∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m. 解：解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1,t2=3. 你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？ h=20t-5t2 1.二次函数与一元二次方程的关系 （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ 新知探究 （2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？ O h t 20 4 解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2. 当球飞行2秒时，它的高度为20米. h=20t-5t2 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度? 20.5 解方程： 20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0, 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5米. h=20t-5t2 7 （4）球从飞出到落地要用多少时间？ O h t 0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4. 当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米. 即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面. h=20t-5t2 从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. 如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程. 为一个常数 （定值） 概念归纳 9 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数 y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y＝x2＋x－2； （2）y＝x2－6x＋9； （3）y＝x2－x＋1. 问题2 2.利用二次函数深入讨论一元二次方程 新知探究 11 1 O y x y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线 与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2 0个 1个 2个 x2-x+1=0，无解 0 x2-6x+9=0，x1=x2=3 -2，1 x2+x-2=0，x1=-2, x2=1 无 12 b2－4ac 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2－4ac＞0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2－4ac＝0 没有交点 没有实数根 b2－4ac＜0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系： 概念归纳 13 例 1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有两个交点； 典例剖析 (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总 有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1或2. 例 1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 典例剖析 变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值． (1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴x1(2)＋x2(2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3， ∴a＝1. 典例剖析 例 2 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度. （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达 到3m？为什么？ 典例剖析 解：（1）由抛物线的表达式，得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始 位置的水平距离是1m或5m. （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？ 解：（2）由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位 置的水平距离是3m. 解：（3）由抛物线的表达式得 即 因为 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到3m. （3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？ 一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了. 1.若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1＝1，x2＝2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标分别为________________． (1，0)，(2，0) 2.二次函数y＝x2－6x＋n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2－6x＋n＝0的一个解为 x1＝1，则另一个解x2＝_____． 5 练一练 3.已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都 是整数，求正整数m的值． (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有两个交点； 练一练 (2)解：令 y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， ∴ x－1＝0 或 mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． ∴正整数m的值为1或2. 4.已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都 是整数，求正整数m的值． 练一练 3.利用二次函数求一元二次方程的近似解 新知探究 求一元二次方程 x2＋2x－1＝0 的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程 x²＋2x－1＝0 的根就是抛物线 y＝x²＋2x－1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 解：画出函数 y＝x²＋2x－1 的图象（如图所示），由图象可知，方程有两个实数根，一个在－3与－2之间，另一个在0与1之间. 1 4 -1 -3 O 1 x y -2 -4 3 2 2 3 4 5 6 -1 -2 先求位于－3到－2之间的根，由图象可估计这个根是－2.5或－2.4，利用计算器进行探索，见下表： x … －2.5 －2.4 … y … 0.25 －0.04 … 观察上表可以发现，当x分别取－2.5和－2.4时，对应的y由负变正，可见在－2.5和－2.4之间肯定有一个x使y＝0，即有y＝x2－2x－1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x＝－2.5和x＝－2.4都符合要求.但当x＝－2.4时更为接近0.故x1≈－2.4. 同理可得另一近似值为x2≈0.4. 一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根. (1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象； (2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值); (3)确定方程2x2+x-15=0的解; 由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5. 概念归纳 利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的步骤： (1)用描点法作二次函数图象； (2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标； (3)确定方程一元二次方程的解. 总结归纳 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为 (　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 B 解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则 ＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5. 故x1≈－2.5，x2≈0.5. 故选B. 练一练 课本练习 1.对于抛物线，当时，相应的方程的实数根个数的情况是 ，抛物线与x轴的交点个数的情况是 ；当时，方程的实数根个数的情况是 ，抛物线与 x轴的交点个数的情况是 ；当时，方程的实数根个数的情况是 ，抛物线与x轴的交点个数的情况是 ；若顶点在x轴上，则满足条件 ，若顶点在y轴上，则满足条件 . 有两个不相等的实数根 有两个交点 有两个相等的实数根 有一个交点 无实数根 没有交点 2.画出下列函数的图象，并求当x为何值时，y=0. （1）；（2）. 解：（1）. （2） （1） （2） 3.证明：抛物线与x轴必有两个不同的交点. 解证明：， ：关于的方程有两个不相等的实数根，抛物线与轴必有两个不同的交点. 4.用图象法求方程近似解（精确到 0.1）. 解：图略. 的近似解为 x 横 两 一 无 B 分层练习-基础 C A 分层练习-基础 2 1 答案不唯一，如－2 (－3,0)和(1,0) 直线x＝－1 分层练习-基础 整数 C 分层练习-基础 D 分层练习-巩固 C 分层练习-巩固 (4,5)或(－2，5) ①③ 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 y=ax2+bx+c(a≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a≠0),右边换成 y时就成了二次函数. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与一元二次方程 二次函数与x 轴的交点个数 判别式Δ 的符号 一元二次方 程根的情况 课堂小结 知识点一：二次函数与一元二次方程之间的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根就是抛物线y＝ax2＋bx＋c与 　 　轴交点的　 　坐标．Δ＝b2－4ac决定了抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的个数，当Δ＞0时，抛物线与x轴有　 　个交点；当Δ＝0时，抛物线与x轴有　 　个交点，当Δ＜0时，抛物线与x轴　 　交点． 1．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是(　　) A．x1＝1，x2＝－1　　　　　 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3 2．已知二次函数y＝mx2＋5x－10的图象与x轴有交点，则m的取值范围是(　　) A．m＞－eq \f(5,8) B．m≥－eq \f(5,8) C．m≥－eq \f(5,8)且m≠0 D．m＞－eq \f(5,8)且m≠0 3．关于x的一元二次方程x2－x－n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2－x－n的顶点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．抛物线y＝x2＋2x－5与x轴交点个数为 ，抛物线y＝x2－4x＋4与x轴交点个数为 . 5．若二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c可以是 (只需填写一个)． 6．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为－3和1，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的坐标为 ，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为 . 知识点二：利用二次函数求一元二次方程的近似解 步骤：(1)画出y＝ax2＋bx＋c的图象；(2)确定抛物线与x轴的交点在哪两个 　　 之间；(3)列表，在(2)中的两数之间取值，从而确定方程的近似根． 7．根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c为常数)一个解x的范围是(　　) A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26 8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表： x … －1 0 1 3 … y … －3 1 3 1 … 则下列判断中正确的是(　　) A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当x＝4时，y＞0 D．方程ax2＋bx＋c＝0的正根在3与4之间 9．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间．下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是(　　) A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个 10．已知抛物线y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，使△ABC的面积为10，则C点坐标为 ． 11．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是 .(只要求填出正确命题的序号) 12．已知函数y＝mx2－6x＋1(m是常数)． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； (2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． (1)证明：当x＝0时，y＝1，所以不论m为何值，函数y＝mx2－6x＋1的图象都经过y轴上的一个定点(0,1)；　 (2)解：①当m＝0时，函数y＝－6x＋1的图象与x轴只有一个交点；②当m≠0时，若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2－6x＋1＝0有两个相等的实数根．所以(－6)2－4m＝0，m＝9.综上，若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9. 13．(杭州中考)设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a、b是常数，a≠0)． (1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由． (2)若该二次函数图象经过A(－1,4)、B(0，－1)、C(1,1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式． (3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0. (1)解：由题意Δ＝b2－4a[－(a＋b)]＝b2＋4ab＋4a2＝(2a＋b)2≥0，∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个；　 (2)解：当x＝1时，y＝a＋b－(a＋b)＝0，∴抛物线不经过点C，易求得抛物线解析式为y＝3x2－2x－1；　 (3)证明：当x＝2时，m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＞0①，∵a＋b＜0，∴－a－b＞0②，①②相加得：2a＞0，∴a＞0. 14．已知：y关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点． (1)求k的取值范围； (2)若x1、x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)xeq \o\al(2,1)＋2kx2＋k＋2＝4x1x2. ①求k的值； ②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最小值和最大值． 解：(1)当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点，当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点．令y＝0得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0，Δ＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2且k≠1.综上所述，k的取值范围是k≤2；　 (2)①x1≠x2，由(1)知k＜2且k≠1.由题意得(k－1)xeq \o\al(2,1)－2kx1＋k＋2＝0，即(k－1)xeq \o\al(2,1)＋(k＋2)＝2kx1，将上式代入(k－1)xeq \o\al(2,1)＋2kx2＋k＋2＝4x1x2中得：2k(x1＋x2)＝4x1x2，又x1＋x2＝eq \f(2k,k－1)，x1x2＝eq \f(k＋2,k－1)，∴2k·eq \f(2k,k－1)＝4·eq \f(k＋2,k－1)，解得k1＝－1，k2＝2(不合题意，舍去)，∴所求k的值为－1.②∵k＝－1，∴y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－eq \f(1,2))2＋eq \f(3,2)，－1≤x≤1.当x＝－1时，y最小＝－3；当x＝eq \f(1,2)时，y最大＝eq \f(3,2)，∴y的最大值为eq \f(3,2)，最小值为－3. 由抛物线与x轴交点个数求未知字母的范围 1.已知关于x的函数y＝2(k＋1)x2＋4kx＋2k－3. (1)当k为何值，它与x轴有两个交点？ (2)当k为何值，它与x轴有唯一交点？ 【思路分析】　抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点情况由Δ决定．当Δ＞0时，抛物线与x轴有两个交点；当Δ＝0时，抛物线与x轴有唯一交点；当Δ＜0时，抛物线与x轴没有交点；(2)由函数与x轴交点情况来求字母范围时，注意隐含条件对二次项系数进行限制(a≠0)或讨论“二次”或“一次”． 【规范解答】　(1)∵它与x轴有两个交点，∴它必为二次函数．∴2(k＋1)≠0.即k≠－1.根据题意得：Δ＝16k2－4×2(k＋1)(2k－3)＝8k＋24＞0.解得：k＞－3.∴当k＞－3且k≠－1时，它与x轴有两个交点； (2)当2(k＋1)＝0时，即k＝－1时，函数为y＝－4x－5，为一次函数，与x轴有唯一交点，符合题意，当2(k＋1)≠0时，它为二次函数，根据题意得：Δ＝0，即8k＋24＝0，解得k＝－3.综上所述，当k＝－1或k＝－3时，函数y＝2(k＋1)x2＋4kx＋2k－3与x轴有唯一交点． 二次函数与二次方程的综合 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； (2)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【思路分析】　(1)抛物线与x轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根；(2)方程ax2＋bx＋c＝k的根就是抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k的交点横坐标． 【规范解答】　(1)x1＝1，x2＝3； (2)由图象知直线y＝2与y＝ax2＋bx＋c的图象有唯一的交点，要使ax2＋bx＋c＝k有两个不等实根，则y＝k与y＝ax2＋bx＋c的图象有两个交点，∴k＜2. $$