12.1 函数的概念（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十二章 一次函数 12.1 函数 第一课时 函数的概念 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1．联系自己的学习、生活实际，通过具体情境了解函数的概念，了解常量、变量，自变量与函数，写出简单的函数表达式;（重点） 2．探究变量的发现和函数概念的形成，提高学生分析、解决问题的能力. 情景导入 在树苗的成长中，它随着什么的变化而变化呢？ 小树苗会随着时间的推移成长为参天大树 我们生活在一个变化的世界中，通常会看到在同一变化过程中，有两个相关的量，其中一个量往往随着另一个量的变化而变化，今天我们来探讨如何表示这种变化的过程！ 当t=0 min 时 h为1 800m 当t=1 min 时 h为1 830m 当t=2min 时 h为1 860m 当t=3min 时 h为1 890m 常量与变量的概念 新知探究 在现实生活中，常常会需要研究两个变量之间的相互关系.例如： 用热气球探测高空气象 问题1：用热气球探测高空气象，设热气球从海拔1800 m 处的某地升空（如下图），在一段时间内，它匀速上升.它上升过程中到达的海拔高度 h m 与上升时间t min 的关系记录如下表： 时间t/min 海拔高度h/m 0 1800 1 1830 2 1860 3 1890 4 1920 5 1950 6 1980 7 2010 … … （1）这个问题中，涉及哪几个量？ （2）热气球在升空的过程中平均每分钟上升多少米？ （3）你能求出上升3min和6min 时热气球到达的海拔高度吗？ （1）答：涉及两个量 （2）答：热气球在升空的过程中平均每分钟上升30米 （1）这个问题中，涉及哪几个量？ （2）热气球在升空的过程中平均每分钟上升多少米？ （3）你能求出上升3min和6min 时热气球到达的海拔高度吗？ （3）答：上升3min时，热气球达到海拔高度1890m 上升6min时，热气球达到海拔高度1980m 30m×1＝50m 30m×2=100m 30m×3=150m 30m×4=200m … 30m×t=50tm (3)你能从中总结出h与t的关系吗？ h=500+50t (1) 热气球的初始高度是多少？ (2)热气球的高度随时间的推移而升高的高度有规律吗？ 1800m (4)这其中有哪些量发生了变化？哪些量没有发生变化？ 保持不变的量 （常量） 热气球原先所在的高度1800m 气球上升的速度30m/min 不断变化的量　　　　　　 热气球升空的时间tmin 气球升空的高度hm （变量） 因别人变化而变化的量__________. 自我发生变化的量___________； （5）热气球上升的高度h与时间t，这两个变量之间有关系吗？ t h 结论：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量. 问题2 下图是S市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线. O (1)你发现了哪些变量？ 　　　 其中哪个是自变量？ 　 哪个是因变量？ 为什么？ (3)这一天的用电高峰、用电低谷时负荷各是多少？它们是在 什么时刻达到的？ (2)任意给出这一天中的某一时刻，如4.5h、20h，你能找到这 一时刻的用电负荷y MW（兆瓦）是多少吗？这说明了什么？ 时间、负荷 时间 负荷 因为负荷随时间的变化而变化. 能，分别为10000MW、15000MW，说明t的值一确定，y的值就唯一确定了. 这一天的用电高峰在13.5h达到18000MW，用电低估在4.5h达到10000MW. 看图回答： “兆瓦”是物理学中电功率的单位 1兆瓦=1000000瓦 问题3 汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为制动距离.制动距离是分析事故原因的一个重要因素. (1)式中哪个量是常量？哪个量是变量？哪个量是自变 量？哪个量是因变量？ 某型号的汽车在平整路面上的刹车距离sm与车速vkm/h之间有下列经验公式： (2)当刹车时车速v 分别是40、80、120km/h时，相应的 滑行距离s分别是多少？ 当v＝40km/h时，s＝6.25m；当 v＝80km/h时，s＝25m； 当 v＝120km/h时，s＝56.25m. ①256；②s,v；③v；④s. 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 概念归纳 典例精析 例3 下列关于变量x ，y 的关系式：y =2x+3；y =x2+3；y =2|x|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．  总结：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应. 一个x值有两个y 值与它对应 例4 已知函数 (1)求当x=2，3，-3时，函数的值； (2)求当x取什么值时，函数的值为0. 解：（1）当x=2时，y= ; 当x=3时，y= ; 当x=-3时，y=7; （2）令 解得x= 即当x= 时，y=0. 把自变量x的值带入关系式中，即可求出函数的值. 下列关于变量x ，y 的关系式：y =2x+3；y =x2+3；y =2|x|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．  总结：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应. 一个x值有两个y 值与它对应 典例剖析 已知函数 (1)求当x=2，3，-3时，函数的值； (2)求当x取什么值时，函数的值为0. 解：（1）当x=2时，y= ; 当x=3时，y= ; 当x=-3时，y=7; （2）令 解得x= 即当x= 时，y=0. 把自变量x的值带入关系式中，即可求出函数的值. 典例剖析 5.写出下列各问题的函数关系式，并指出其中的常量与变量，自变量与函数. （1）运动员在200米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t（秒）与跑步的速度v(米/秒)的关系式； （2）n边形的对角线条数s与边数n之间的关系式. 解：（1） ，其中200是常量，v、t是变量， v是自变量，t是v的函数； （2） ，其中 ，-3是常量，s、n是变量， n是自变量，s是n的函数. 练一练 B 随堂练 C D 随堂练 气温 时间 t v t 随堂练 随堂练 1.指出下列关系中的变量与常量： （1）球的表面积 S cm2与球半径 R cm之间的关系为：S=4πR2； （2）在一定温度范围内，某种金属棒的长度 l cm与温度 t ℃之间的关系为：l=0.002t+200. 解：（1）S=4πR2中S、R为变量，4、π为常量； （2）l=0.002t+200中t、l为变量，0.002、200为常量； 课本练习 2.购买单价是2元的圆珠笔，总金额 y 元与圆珠笔支数 n 有怎样的关系？指出其中的常量与变量，自变量与因变量. 解：总金额 y 元与圆珠笔支数 n 的关系为：y=2n 其中变量为y、n 常量为2 自变量为 n 因变量为 y 课本练习 常量 变量 B －12、0.5 x、y 分层练习-基础 分层练习-基础 唯一 函数 B 分层练习-基础 C Q x x 分层练习-基础 B D 分层练习-巩固 C D 分层练习-巩固 C C 分层练习-巩固 h＝3n＋1 n h 是 给定t的一个值，T都有唯一的值与之对应 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 y=0.8x 0.8x x、y y=x+4 4 x、y ①② 课堂反馈 变量与函数 常量与变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定值,y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 课堂小结 1. 关于圆的周长公式C＝2πr，下列说法正确的是(　　) A．π、r是变量，2是常量 B．C、r是变量，2、π是常量 C．r是变量，2、π是常量 D．C是变量，2、π、r是常量 2．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，自变量是(　　) A．沙漠　 B．体温 C．时间　 D．骆驼 3．下列关系式中，y是x的函数的是(　　) A．x＝y2 B．y＝±x C．y2＝x＋1 D．y＝|x| 4．“早穿皮袄，午穿纱”这句谚语反映了我国新疆地区一天中， 随 的变化而变化． 5．在男子1500 m的赛跑中，运动员的平均速度v＝eq \f(1500,t).则在这个关系式中， 是自变量， 是 的函数． 6．指出下列关系中的变量与常量． (1)设地面气温是20 ℃，如果每升高1 km，气温就下降6 ℃，气温t(℃)与高度h(km)的关系式是t＝20－6h； (2)球的体积V(cm3)与球的半径R(cm)的关系式是V＝eq \f(4,3)πR3； (3)我国第一颗人造地球卫星绕地球一周需106分钟，t分钟内卫星绕地球的周数为N，N＝eq \f(t,106). 解：(1)变量为t与h，常量为20,6； (2)变量为V与R，常量为eq \f(4,3)，π； (3)变量为N与t，常量为105. 知识点一：变量与常量 常量、变量：在一个变化的过程中，取值固定不变的量称为 ；取值会发生变化的量称为 ． 1．小亮家与学校相距3千米，小亮每天上学所用的时间为t，行进速度为v.在这一变化过程中，常量与变量分别是(　　) A．常量为3、t，变量为v　　　 B．常量为3，变量为v、t C．常量为3、v，变量为t D．常量为t，变量为3、v 2．由实验测得某一弹簧的长度y(cm)与悬挂物体的质量x(kg)之间有如下关系：y＝－12＋0.5x，这里 是常量， 是变量． 3．写出下列各问题中的数量关系，并指出各个表达式中，哪些是常量，哪些是变量？ (1)购买单价为5元的钢笔，总金额y元与钢笔支数n之间的关系； (2)全班50名同学，女同学人数b与男同学人数a之间的关系； (3)汽车以60km/h的速度行驶，所行驶的路程为s(km)与行驶时间t(h)之间的关系． 解：(1)y＝5n，n、y是变量，5是常量；　(2)b＝50－a，a、b是变量，50是常量；　(3)s＝60t，s、t是变量，60是常量． 知识点二：自变量与函数 一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在它允许取值范围内的每一值y都有 的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的 ． 4．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温是随时间的变化而变化的，在这一问题中，因变量是(　　) A．沙漠　　　 B．体温　　　 C．时间　　　 D．骆驼 5．下列曲线中不能表示y是x的函数的是(　　) 6．一辆汽车的油箱中现有油QL，如果不再加油，那么油箱中的油量QL随行驶里程xkm的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km，这一变化过程中， 是 的函数，自变量是 . 7．在用电水壶加热水的过程中，电水壶中的水温随通电时间长短而变化，这个问题中的自变量是(　　) A.通电的强弱　　　　 B．通电的时间 C．水的温度 D．电水壶 8．小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是(　　) A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 9．假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是(　　) ①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量． A．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个 10．下列y与x的关系式中，y是x的函数的是( 　) A．x＝y2 B．y＝±x C．y2＝x＋1 D．y＝|x| 11．下列变量间的关系不是函数关系的是(　　) A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积 C．三角形的面积与底边长 D．圆的周长与半径 12．中国网通最近推出的无线市话的通话收费标准为：前3分钟(不足3分钟按3分钟计)收费0.2元，3分钟后每分钟收0.1元．则一次通话x(分钟)(x＞3)与这次通话费用y(元)之间的函数关系式为(　　) A．y＝0.1x B．y＝0.5＋0.1x C．y＝－0.1＋0.1x D．y＝0.2＋0.1x 13．一幢商住楼底层为店面房，底层高为4m，底层以上每层高3m，由楼高h与层数n之间的函数表达式为 ，其中 是自变量， 是因变量． 14．如图是合肥秋季某一天气温变化曲线，则气温T (填“是”或“不是”)时间t的函数．理由是： ． 15．爷爷告诉小强：“距离地面越高，温度越低”．并给小强出示了下面的表格： 距离地面高度/km 0 1 2 3 4 5 气温/℃ 20 14 8 2 －4 －10 根据上表，爷爷还给小强出了下面几个问题，请你和小强一起来回答． (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎样变化的？ (3)你知道距离地面5km的高空温度是多少吗？ (4)你能猜出距离地面6km的高空温度是多少吗？ 解：(1)反映了气温和距离地面的高度之间的关系，其中距离地面的高度是自变量，温度是因变量； (2)随着h的增加，t在减小； (3)距离地面5km的高空气温是－10℃；　 (4)由上表看出高度每增加1千米，气温下降6℃，估计海拔高度为6km的高空气温是－16℃. 16．如图，棱长为a的小正方体，按照下图的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层、第二层…第n层．第n层的小正方体的个数记为S.解答下列问题： (1)按要求填写下表： n 1 2 3 4 … S 1 3 6 10 … (2)研究上表可以发现S随n的变化而变化，且S随n的增大而增大有一定 的规律，可用式子S＝ ； (3)指出上式中的自变量与函数． 解：n是自变量，S是n的函数． eq \f(nn＋1,2) 　辨别常量与变量． 【例1】(1)寄一封质量在20g以内的市内平信，需邮资0.80元，则寄x封这样的信所需邮资y(元)，用含x的式子表示y为 ，其中常量为 ，变量为 ； (2)某长方形的长为12米，宽为8米，把长增加x米，宽增加y米，变为正方形，则y与x的关系式为 ，其中常量为 ，变量为 ． 【思路分析】(1)邮资y＝每封邮资·x，即y＝0.8x；(2)变化后的长为12＋x，宽为8＋y，所以有12＋x＝8＋y，即y＝x＋4. 【规范解答】(1)y＝0.8x，常量为0.8，变量为x、y；(2)y＝x＋4，常量为4，变量为x、y. 【例2】指出下列各式中的变量与常量，并指出哪个是自变量，哪个是因变量？ (1)圆的面积公式：S＝πR2(S是面积，R是半径)； (2)匀速运动路程公式：s＝vt(v表示速度，t表示时间，s表示路程)． 【思路分析】(1)中，π是保持不变的量，而R和S可以取不同的数值，S随着R的改变而改变；(2)中，因为是匀速运动，所以v保持不变，s和t可以取不同的数值，s随着t的改变而改变． 【规范解答】(1)变量是R和S，常量是π，R是自变量，S是因变量； (2)变量是s和t，常量是v，t是自变量，s是因变量． 　函数的概念． 【例3】下列变量间的关系是函数关系的有 (填序号)． ①等边三角形的周长与边长；②正方形的面积与边长；③|y|＝x；④s＝vt中的s与v. 【思路分析】本例考查了函数的概念，对于某变化过程中的自变量x的每一个值都有唯一的y值与它对应，这是判断是否是函数的关键．题中①②均满足函数的概念；③中对于x的每一个值都有两上y值与它对应，所以③不是；④中在一个变化过程中有三个变量s、v、t，所以④不是． $$