11.2 直角三角形两个锐角互余（第2课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

八年级人教版数学上册 第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 第二课时 直角三角形两个锐角互余 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点） 2.掌握直角三角形的判定.（难点） 3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点） 　 在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°，∠C 等于多少度？你用了什么知识解决的？ A B C 三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°建立方程来解决． 情景导入 观察这两个直角三角形，它们两锐角之和分别为多少？ 那对于任意直角三角形，这一结论是否还成立呢？ 问题1：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度? 30°+60°=90° 45°+45°=90° 直角三角形的两个锐角互余 新知探究 问题2：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？ 在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°,即 ∠A +∠B=90°. 思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ A B C 直角三角形的两个锐角互余．　　 应用格式： 在Rt△ABC 中， ∵　∠C =90°， ∴　∠A +∠B =90°．　 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ． 概念归纳 8 方法一（利用平行的判定和性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠D. 方法二（利用直角三角形的性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D. 例1（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？ 图 典例剖析 解：∠A=∠C.理由如下： ∵∠B=∠D=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠C. （2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与 ∠C有什么关系？请说明理由. 图 与图有哪些共同点与不同点？ 例2 如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ A B C D E 解：在Rt△ACE中， ∠CAE=90 °- ∠AEC. 在Rt△BDE中, ∠DBE=90 °- ∠BED. ∵ ∠AEC= ∠BED， ∴ ∠CAE= ∠DBE. 典例剖析 解：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E， ∴∠BEA=∠BDF=90°， ∴∠ABE+∠A=90°， ∠ABE+∠DFB=90°. ∴∠A=∠DFB. ∵∠DFB+∠BFC=180°， ∴∠A+∠BFC=180°. 【变式题】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于点F，∠A与∠BFC又有什么关系？为什么？ 思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本 图形吗？ 基本图形 ∠A=∠C ∠A=∠D 问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC 是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形 概念归纳 A B C 应用格式： 在△ABC 中， ∵　∠A +∠B =90°， ∴　△ABC 是直角三角形． 有两个角互余的三角形是直角三角形.　　 总结归纳 如图，AB∥CD，直线EF 分别交AB，CD 于点E，F，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P.试说明△EFP 为直角三角形． 例3 判断△EFP为直角三角形有两种方法：有一角是 直角或两锐角互余，即要说明∠EPF＝90°或 ∠EFP＋∠FEP＝90°. 分析： 典例剖析 ∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°. ∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线， ∴∠PEF＝ ∠BEF，∠PFE＝ ∠DFE. ∴∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE) ＝ ×180°＝90°. ∴∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)＝90°. ∴△EFP为直角三角形． 解： 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是 直角三角形吗？为什么？ 解：△ABD是直角三角形.理由如下： ∵CE⊥AD， ∴∠CED=90°， ∴∠C+∠D=90°， ∵∠A=∠C， ∴∠A+∠D=90°， ∴△ABD是直角三角形. 练一练 1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________. 90° 2.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C， 若∠BOD=38°，则∠A=________. 52° 第1题图 第2题图 3.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________. 直角三角形 练一练 4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另 一个锐角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° B 5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 （ 　　） A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C D 练一练 6.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， CD⊥AB，与∠1互余的角有（　　） A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD C 练一练 7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形． 证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形. 练一练 同角的余角相等． 1.如图，∠ACB =90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD 与∠B 有什么关系？为什么？ D A B C 1.解：∠ACD = ∠B. 理由：∵∠ACB =90°，CD⊥AB， ∴∠ACB = ∠CDB =90°. ∴∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = 90°. ∵∠B+ ∠BCD = 90°， ∴∠ACD = ∠B. 2.如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ A C B D E ( ( 1 2 解：在Rt△ABC中， ∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2, ∴∠1 + ∠A=90 °. 即△ADE是直角三角形. 课本练习 互余 直角 B 分层练习-基础 D 分层练习-基础 D 分层练习-基础 52° 分层练习-基础 分层练习-基础 D 分层练习-基础 D 分层练习-基础 50° 直角三角形 分层练习-基础 分层练习-基础 A 45 分层练习-巩固 ②③④⑤ 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 课堂反馈 课堂反馈 直角三角形的性质与判定 性质 直角三角形的两个锐角互余 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 课堂小结 知识点一：直角三角形的性质与判定 直角三角形两个锐角 ，有两个角互余的三角形是 三角形． 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为(　　) A．40° B．50° C．60° D．70° 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，则∠B的度数是(　　) A．50°　　 B．60° C．30°　　 D．40° 3．下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝4∶9∶5；③eq \f(1,2)∠A＝45°－eq \f(1,2)∠B；④∠A＝∠B－∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝38°，则∠A＝ . 5．如图，点E是△ABC的AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？ 解：△ABC是直角三角形，∵DE⊥AB，∴∠A＋∠1＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠2＝90°，∴△ABC为直角三角形． 6．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°，则∠2的度数是(　　) A．50° B．45° C．35° D．30° 7．如图所示，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠F＝45°，那么与∠FCD相等的角有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，AC⊥OB，BD⊥AO，若∠B＝50°，则∠A＝ . 9．在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC的形状为 ． 10．如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过点E作ED⊥AB，垂足为点D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？ 解：△ABC是直角三角形．理由如下：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠1＋∠A＝90°.又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠A＝90，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形． 11．如图，直线a∥b，Rt△BCD按如图所示的方式放置，∠DCB＝90°.若∠1＋∠B＝70°，则∠2的度数为(　　) A．20° B．40° C．30° D．25° 12．如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°.若∠1＝25°，∠2＝70°，则∠B＝ °. 13．有下列条件：①∠A－∠B＝90°；②∠A＝90°－∠B；③∠A＋∠B＝∠C；④∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；⑤∠A＝∠B＝eq \f(1,2)∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的条件有 (填序号)． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝2∠A，BD是△ABC的角平分线，求∠CDB的度数． 解：设∠A＝x，则∠ABC＝2x，∵∠C＝90°，∴x＋2x＝90°，∴x＝30°，∠ABC＝60°.又∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝30°，∴∠CDB＝90°－30°＝60°. 15．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E. (1)∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD的大小； (2)若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C－∠B是否相等？若相等，请说明理由． 解：(1)∵∠B＝30°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°.∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAE＝40°.∵AD是△ADC的高，∠C＝70°，∴∠DAC＝90°－∠C＝20°.∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝40°－20°＝20°； (2)相等，理由如下：∵∠C＝90°－∠DAC，∠B＝90°－∠BAD，∴∠C－∠B＝∠BAD－∠DAC.又∵∠BAD＝∠EAD＋∠BAE，∠DAC＝∠EAC－∠EAD，∠BAE＝∠EAC，∴∠C－∠B＝∠EAD＋∠BAE－(∠EAC－∠EAD)＝2∠EAD. 16．(宜昌中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E. (1)求∠CBE的度数； (2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F.求∠F的度数． 解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°－∠A＝50°，∴∠CBD＝130°.∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝eq \f(1,2)∠CBD＝65°； (2)∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°－65°＝25°.∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°. 会解与直角三角形有关的问题． 【例2】如图，A点在B点的北偏东40°方向，C点在B点的北偏东75°方向，A点在C点的北偏西50°方向． (1)试说明△ABC为直角三角形； (2)求∠BCA的度数． 【思路分析】A、B、C三处路线构成△ABC，过A作AF∥BD，可求得∠BAF和∠CAF的度数，从而可求出∠BAC的度数． 【规范解答】(1)过A作AF∥BD，∴∠BAF＝∠ABD＝40°，显然AF∥EC，∴∠CAF＝∠ECA＝50°，∴∠BAC＝∠BAF＋∠CAF＝40°＋50°＝90°，∴△ABC为直角三角形． (2)∵∠DBC＝75°，∴∠ABC＝∠DBC－∠DBA＝75°－40°＝35°.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°－∠ABC＝90°－35°＝55°. 【方法归纳】在计算角的度数时，应抓住角所在的几何图形——三角形或平行线，由三角形的内角和或平行线的性质进行求解． $$