1.3 探索三角形全等的条件（第1课时）（教学课件） -2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

八年级苏科版数学上册 第一章 全等三角形 第一课时 边角边（SAS） 1.3 探索三角形全等的条件 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解并掌握三角形全等判定“边角边”（SAS） 条件的内容.（重点） 2.熟练利用“边角边” （SAS）条件判定这两个 三角形全等.（难点） 情景导入 我们知道，如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等、对应角相等.反过来，当两个三角形具备多少对边或角分别相等的条件时，就能这两个三角形就全等呢？ A B C D E F 1. 什么叫全等三角形？ 2. 如果两个三角形全等如何表示？ 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”.若△ABC与△DEF全等，则记作△ABC≌△DEF 旧知回顾 一组三角形经过平移、翻折、旋转后依然能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 3. 全等三角形有什么性质？ 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 已知 ΔABC≌ΔDEF. A B C D E F （1）对应边相等， AB=DE，BC=EF，AC=DF， （2）对应角相等. ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F. 旧知回顾 思考探究：三角形需要满足以上几个条件才可以证明△ABC≌△A′B′C′？ m （1）有一条边相等的两个三角形，可以判定三角形全等吗？ 不能 （2）有一个角相等的两个三角形，可以判定三角形全等吗？ α 不能 结论：一个角或一条边相等不能判断两个三角形全等. 探索证明三角形全等的条件“边角边” 新知探究 给出一个条件（两种情况） 给出两个条件（三种情况） （1）分别有一个角和一条边对应相等的三角形可以证明 三角形全等吗？ 不能 （2）分别有两个角对应相等的三角形，可以证明 三角形全等吗？ 不能 m α α β β （3）分别有两条边对应相等的三角形，可以证明 三角形全等吗？ m n n 不能 结论：给出一个角和一条边相等或两个角也不能判断两个三角形全等. 结论:三个内角对应相等的三角形不一定全等. （1）有三个角对应相等的两个三角形，可以判断三角形全等吗？ 60o 300 300 60o 90o 90o 给出三个条件（四种情况） 三个条件（四种情况） （2）分别有两条边和一个角对应相等的三角形； （3）分别有两个角和一条边对应相等的三角形； （4）分别有三条边对应相等的三角形； α β β θ θ 可以 可以 可以 今日我们且来探究第二种情况 （1）分别有两条边和一个角对应相等的三角形. 思考：已知一个三角形的两边和一角，那么这两条边与这个角的位置有几种可能性呢？ A B C A B C ①“两边及其夹角” ②“两边和其中一边的对角” 已知ΔABC，用直尺和圆规作ΔDEF， 使ED=BA，EF=BC，∠E=∠B. A B C D F 1.作∠MEN=∠B； M E N 2.在射线EM上截取ED=BA，在射线EN上截取EF=BC； 3.连接DF，ΔDEF就是所求作的三角形. 作图的结果反映了什么规律？你能否用文字语言和符号语言概括出来？ 判定三角形全等的一个基本事实： 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 （可以简写成“边角边”或“SAS”）. 符号语言： 在ΔABC和ΔDEF中, AB=DE , ∠B=∠E , BC=EF, A B C D E F ∴ΔABC≌ΔDEF(SAS). 概念归纳 在△ABC 和△ DEF中， ∴△ABC ≌△ DEF（SAS）． 文字表述：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 （简写成“边角边”或“SAS ”）． “边角边”判定方法 符号语言： AB = DE， ∠A =∠D， AC =AF ， 注：必须是两边“夹角” A B C D E F 概念归纳 注意： 这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理. 概念归纳 例1 已知：如图，AB=AD，∠BAC=∠DAC. 求证：ΔABC≌ΔADC. 证明：在ΔABC和ΔADC中, AB=AD（已知）, ∠BAC=∠DAC （已知）, AC=AC （公共边）, ∴ΔABC≌ΔADC(SAS). A B C D 思考：DC=BC吗？CA平分∠DCB吗？ ΔABC和ΔADC，其中一个三角形沿AC所在的直线翻折后，能与另一个三角形重合. 课本例题 例2.已知:如图, AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2， 试说明:∠A=∠D. 解:∵ ∠1＝∠2(已知)， ∴∠1+∠DBC＝ ∠2+ ∠DBC(等式的性质)， 即∠ABC＝∠DBE. 在△ABC和△DBE中, AB＝DB(已知)， ∠ABC＝∠DBE(已证)， CB＝EB(已知)， ∴△ABC≌△DBE(SAS). ∴ ∠A=∠D(全等三角形的对应角相等). 1 A 2 C B D E 典例剖析 例3.如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架． 求证：△ABD ≌△ACD ． 解题思路： 先找隐含条件 公共边AD 再找现有条件 AB=AC 最后找准备条件 BD=CD D是BC的中点 典例剖析 证明：∵ D 是BC中点， ∴　BD =DC． 在△ABD 与△ACD 中， ∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）． AB =AC (已知）， BD =CD （已证）， AD =AD （公共边）， 画一画： 画△ABC 和△DEF，使∠B =∠E =30°， AB =DE =5 cm ，AC =DF =3 cm ．观察所得的两个三角形是否全等？   A B M C D A B C A B D 结论：两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 判断下列结论的对错. （1）有两条边及一个角对应相等的两个三角形全等. （2）如图，AD=BC，要根据“SAS”判定△ABD≌△BAC，还需要添加的条件是（∠D=∠C）. （3）“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角. A C B D O 分析：（1）错，两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. （2）错，需要添加∠DAB=∠CBA. （3）对. 练一练 （1）一定牢记“边边角”不能判定两个三角形全等，只有两边及其夹角分别相等才能判定两个三角形全等. （2）在已知的两个三角形中，有两条边对应相等，一般要根据题意去找第三条边对应相等（“SSS”），或者去找这两组边的夹角对应相等（“SAS”）. 概念归纳 B 随堂练 B 随堂练 35° 随堂练 ① 两边及夹角对应相等的两个三角形全等 随堂练 随堂练 随堂练 D 分层练习-基础 A 分层练习-基础 30° 分层练习-基础 82° 分层练习-基础 C 分层练习-巩固 D 分层练习-巩固 6 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-拓展 分层练习-拓展 全等 全等 SAS 课堂反馈 5 B 课堂反馈 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 SAS 应用 利用“SAS”解决实际问题 分类探讨 两边及其夹角分别相等 两边及其中一边的对角分别相等 三角形全等的判定 课堂小结 1．如图所示，BD、AC交于点O，若OA＝OD，则用“SAS”证明△AOB≌DOC，还需要(　　) A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠BAD＝∠ADC D．∠AOB＝∠DOC 2．下列能判定△ABC与△A′B′C′全等的条件是(　　) A．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′ B．∠B＝∠B′，AB＝B′C′，BC＝B′A′ C．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′ D．AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′ 3．如图，在△ABC中，AD＝AE，BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝105°，∠B＝40°，则∠CAE＝ . 4．如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心将它打破成①、②两块，现需配成同样大小的一块，为了方便起见，需带上第 块，其理由是 ． 5．如图所示，AD是△ABC的高线，AD＝BD，DE＝DC，∠C＝75°，求∠AEB的度数． 解：在△BDE和△ADC中，BD＝AD，∠EDB＝∠CDA，DE＝DC，∴△BDE≌△ADC(SAS)．∴∠BED＝∠C＝75°，∴∠AEB＝105°. 6．(无锡中考)如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF.求证： (1)△ABF≌△DCE； (2)AF∥DE. 证明：(1)∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.∵BE＝CF，∴BE－EF＝CF－EF，即BF＝CE.又∵AB＝CD，∴△ABF≌△DCE(SAS)； (2)∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC，∴∠AFE＝∠DEF，∴AF∥DE. 7．下图中全等的三角形是(　　) A．图①和图②　　　　 B．图②和图③ C．图②和图④ D．图①和图③ 8．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的(　　) A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC 9．如图，点A在BE上，AD＝AE，AB＝AC，∠1＝∠2＝30°，则∠3的度数为 . 10．(江西中考)如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为 . 7．如图所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD，那么△ACE≌△ADB的依据是(　　) A．ASA　　 B．AAS　　 C．SAS　　 D．SSS 8．如图所示，AD是△ABC的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF、CE，下列说法：①CE＝BF；②S△ABD＝S△ACD；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE，其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝ . 11．(陕西中考)如图，点A、E、F、B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD.求证：CF＝DE. 证明：∵AE＝BF，∴AF＝BE，∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE，又AC＝BD，∴△ACF≌△BDE(SAS)，∴CF＝DE. 12．(贵港中考)尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法)： 如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC. 解：如图， 13．(宜昌中考)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE. (1)求证：△ABE≌△DBE； (2)若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数． (1)证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE，在△ABE和△DBE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝DB,∠ABE＝∠DBE,BE＝BE))，∴△ABE≌△DBE(SAS)； (2)解：∵∠A＝100°，∠C＝50°，∴∠ABC＝30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE＝eq \f(1,2)∠ABC＝15°，在△ABE中，∠AEB＝180°－∠A－∠ABE＝180°－100°－15°＝65°. 14．如图，已知A、D、E三点共线，C、B、F三点共线，AB＝CD，AD＝CB，DE＝BF，那么BE与DF之间有什么数量关系？请说明理由． 解：BE＝DF.理由：连接BD.在△ABD和△CDB中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝CD,AD＝CB,BD＝DB))，∴△ABD≌△CDB(SSS)．∴∠A＝∠C.∵AD＝CB，DE＝BF，∴AD＋DE＝CB＋BF.即AE＝CF.在△ABE和△CDF中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AE＝CF,∠A＝∠C,AB＝CD))，∴△ABE≌△CDF(SAS)．∴BE＝DF. 用“SAS”判定两个三角形全等 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 (可以简写成“边角边”或“SAS”)． 1. 如图，AB＝AC，∠1＝∠2，则△ABD和△ACD的关系是 ，依据是 . “SAS”判定三角形全等的应用 2. 把两根钢条AA′、BB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽的工具(卡钳)．如图，若测得A′B′＝5 cm，则内槽宽为 cm. 易错点：误用“SSA”判定三角形全等． 3. 在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，BC＝EF，根据“SAS”判定△ABC≌△DEF，还需要的条件是(　　) A．∠A＝∠D　　　　　 B．∠B＝∠E C．∠C＝∠F　　　　　 D．以上三个均可 $$