1.4.1 空间中直线、平面的平行（第2课时）（教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1 用空间向量研究直线、 平面的位置关系 第二课时 空间中直线、平面的平行 人教A版2019高二数学（选修一）第一章 空间向量与立体几何 1 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量. 会求直线的方向向量与平面的法向量. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系. 能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判断． 问题1：生活中有很多线线平行，线面平行，面面平行的建筑，比如左下图上海世博会的中国馆，右下图是加拿大馆，我们肯定不能仅凭眼睛判断建筑的各个面之间是否平行。 情景导入 4 下图是武汉大学校门，校门上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行。这是为什么呢? 5 问题1 如何求直线的方向向量与平面的法向量？ （1）建系 （2）算点 （3）取向量 （4）建方程组 （5）取解 （1）去两点 （2）算向量 （1）算点，设法 （2）取向量:面内两个不共线向量 （3）建方程组 （4）取解 复习回顾 6 问题2 如何用空间向量表示空间中直线与平面？ 直线 平面 方向向量 法向量 位置关系 位置关系 空间向量 立体几何 平行 1.空间中直线、平面的平行 新知探究 7 问题3 由直线与直线平行的关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系？ l1 l2 (1) 如图(1)所示，设分别是直线l1, l2的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行，反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行 8 l1 l2 (1) 直线 方向向量 概念归纳 9 问题4 由直线与平面平行的关系，可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？ α l (2) m 如图(2)所示，设是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则 直线 方向向量 平面 法向量 概念归纳 10 问题5 由平面与平面平行的关系，可以得到这两个平面的法向量有什么关系？ α (3) β P m n 11 直线 方向向量 平面 法向量 转化 概念归纳 12 （1）证明“平面与平面平行的判定定理” （2）证明“直线与平面平行的判定定理” 要求： 1.以小组形式进行讨论； 2.转化成数学语言，利用向量方法解释（数形结合） 3.总结方法 请你用向量的方法证明直线、平面平行相关的判定定理 2.直线、平面平行的判定定理 新知探究 13 （1）证明“平面与平面平行的判定定理” α β P b a 换句话：两个平面的法向量共线 14 （2）证明“直线与平面平行的判定定理” α b a 换句话：法向量与方向向量垂直 15 A B C D D1 A1 B1 C1 x y z P 分析： 是否存在P？ 找到P 如何判断 P在哪儿？ P在B1C上 如何表示 A1P//面ACD1 如何 确定 向量运算 确定存在 3.利用空间向量方法求解立体几何中直线、平面平行 新知探究 P30-例3.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2， 线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1. x y z 坐标法 A B C D D1 A1 B1 C1 x y z P Q 方法二：立体几何先证再猜 作A1D的中点交AD1中于Q 建系 设点 取向量 通用 列方程组 取解 法向量 取两点 得向量 方向向量 运算 概念归纳 19 　已知O为坐标原点，四面体OABC中，A，B，C的坐标分别为A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，若直线AD∥BC且AD交坐标平面Ozx于点D，求点D的坐标． 素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养． 题型1　空间中的线线平行问题 典例剖析 或0＝－(x－1)，2＝－(y－2)，－5＝－z. 所以x＝1，y＝4，z＝－5或x＝1，y＝0，z＝5. 故D点坐标为(1,4，－5)或(1,0,5)． 向量法处理空间平行问题的两个应用 (1)求字母的值：通过线线、线面、面面平行转化为向量的共线、垂直的关系，再利用向量关系构造关于字母的等量关系，进而求出字母的值． (2)求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量，利用空间中点、线、面的位置关系，转化为向量的位置关系，进而建立与所求点的坐标有关的等式． 概念归纳 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形． 练一练 题型2　向量法证明线面、面面平行问题 　(1)若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________. (2)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正 方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的 中点．求证：EF∥平面SAD． 素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养． 　 　 典例剖析 【答案】(1)－3 1．用向量证明线面平行的方法 (1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直． (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行． (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示． 2．向量法证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)． 概念归纳 练一练 1．用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． l m 课本练习 A B C D E F A B C D E F 此方程组无解 A B C D D1 A1 B1 C1 F E x y z A B C D D1 A1 B1 C1 F E x y z 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分析 通过观察 MN//平面 证明与的法向量垂直 在平面内找一向量与共线 证明可以用平面中的 两个不共线向量线性表示 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 线线平行 线面平行 面面平行 课堂小结 其中， 分别是直线 的方向向量； 分别是平面 的法向量. 48 （一）建系； （二）设点； （三）表示相关向量； （四）进行向量运算； （五）把向量运算的结果”翻译”为几何结论. 数学运算 直观想象 逻辑推理 解决几何问题的步骤. 49 解：因为点D在平面Ozx中，所以可设点D(x,0，z)， 得向量eq \o(AD,\s\up16(→))＝(x，－3，z－5)，向量eq \o(BC,\s\up16(→))＝(－1,3,0)． 因为直线AD∥BC，所以有向量eq \o(AD,\s\up16(→))∥eq \o(BC,\s\up16(→))，即有eq \o(AD,\s\up16(→))＝λeq \o(BC,\s\up16(→))， 从而x＝－λ，－3＝3λ，z－5＝0，得x＝1，z＝5. 故点D的坐标为(1,0,5)． 变式：将本例条件“AD交坐标平面Ozx于点D”改为“|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝2|eq \o(BC,\s\up16(→))|”，则结果如何？ 解：设点D(x，y，z)，得向量eq \o(AD,\s\up16(→))＝(x，y－3，z－5)，向量eq \o(BC,\s\up16(→))＝(－1,3,0)， 因为直线AD∥BC，所以有向量eq \o(AD,\s\up16(→))∥eq \o(BC,\s\up16(→))且|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝2|eq \o(BC,\s\up16(→))|，即有eq \o(AD,\s\up16(→))＝±2eq \o(BC,\s\up16(→))， 从而x＝－2，y－3＝6，z－5＝0或x＝2，y－3＝－6，z－5＝0， 得x＝－2，y＝9，z＝5或x＝2，y＝－3，z＝5. 故点D的坐标为(－2,9,5)或(2，－3,5)． 变式：本例中将条件“直线AD∥BC且AD交坐标平面Ozx于点D”，改为“直线AC∥BD，且|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝|eq \o(BD,\s\up16(→))|”，结果如何？ 解：设点D(x，y，z)，得eq \o(AC,\s\up16(→))＝(0,2，－5)， eq \o(BD,\s\up16(→))＝(x－1，y－2，z)． 因为AC∥BD，所以eq \o(AC,\s\up16(→))∥eq \o(BD,\s\up16(→)). 又因为|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝|eq \o(BD,\s\up16(→))|，所以eq \o(AC,\s\up16(→))＝±eq \o(BD,\s\up16(→))， 所以0＝x－1,2＝y－2，－5＝z， 证明：以点D为坐标原点，分别以eq \o(DA,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))，eq \o(DD1,\s\up16(→))为正交基底建立空间直角坐标系． 不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，C1(0,1,1)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))， 所以eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))，eq \o(FC1,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))，eq \o(EC1,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2))).所以eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \o(FC1,\s\up16(→))，eq \o(EC1,\s\up16(→))＝eq \o(AF,\s\up16(→)). 所以eq \o(AE,\s\up16(→))∥eq \o(FC1,\s\up16(→))，eq \o(EC1,\s\up16(→))∥eq \o(AF,\s\up16(→)). 又因为F∉AE，F∉EC1， 所以AE∥FC1，EC1∥AF. 所以四边形AEC1F是平行四边形． 设A(a,0,0)，S(0,0，b)，则B(a，a,0)，C(0，a,0)， Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(b,2)))，eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，0，\f(b,2))). 【解析】由题意，得eq \f(－3,6)＝eq \f(y,－2)＝eq \f(2,z)，所以y＝1，z＝－4，所以y＋z＝－3. (2)证明：建立如图所示的空间直角坐标系． 取SD的中点Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(b,2)))，连接AG，则eq \o(AG,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，0，\f(b,2))). 因为eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(AG,\s\up16(→))，所以EF∥AG. 又AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD，所以EF∥平面SAD． 已知向量eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1,5，－2)，eq \o(BC,\s\up16(→))＝(3,1,2)，eq \o(DE,\s\up16(→))＝(x，－3,6)．若DE∥平面ABC，则x的值是 (　　) A．5 B．3 C．2 D．－1 【答案】A 【解析】设平面ABC的法向量n＝(a，b，c)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up16(→))＝0，,n·\o(BC,\s\up16(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋5b－2c＝0，,3a＋b＋2c＝0，))取n＝(6，－4，－7)．因为DE∥平面ABC，所以n·eq \o(DE,\s\up16(→))＝6x－3×(－4)＋6×(－7)＝0，解得x＝5. 1.若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 解析：∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a， ∴n∥a，∴l⊥α. 答案：B 2.设直线l的方向向量u＝(－2,2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 解析：因为直线l⊥平面α，所以u∥v，则eq \f(－2,6)＝eq \f(2,－6)＝eq \f(t,12)，解得t＝－4，故选B. 答案：B 3.已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,2,3)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________. 解析：∵α⊥β，∴a⊥b， ∴a·b＝x－4＋9＝0， ∴x＝－5. 答案：－5 1.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于 底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中 点．求证： (1)平面ABE⊥平面B1BCC1； (2)C1F∥平面ABE. 证明：如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝a，AB＝b，BB1＝c，则B(0,0,0)，A(0，b,0)， C1(a,0，c)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，0))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)，c)). (1)eq \o(AB,\s\up17(―→))＝(0，－b,0)， eq \o(AE,\s\up17(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－\f(b,2)，c)). 设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则o(AB,\s\up17(―→))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·eq \o(AE,\s\up17(―→))＝0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－by＝0，,\f(a,2)x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)))y＋cz＝0，)) 令x＝2，则y＝0，z＝－eq \f(a,c)，即n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0，－\f(a,c))). 又平面B1BCC1的一个法向量为n1＝(0,1,0)． ∵n1·n＝2×0＋0×1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,c)))×0＝0， ∴平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)∵eq \o(C1F,\s\up17(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，－c))，且n·eq \o(C1F,\s\up17(―→))＝0， ∴eq \o(C1F,\s\up17(―→))∥平面ABE. 又∵C1F⊄平面ABE，∴C1F∥平面ABE. 2．在一个正方体ABCD­A1B1C1D1木块上，已知M，N分别是CC1，B1C1的中点，试判断直线MN与平面A1BD有无交点？ 解：直线MN与平面A1BD无交点，MN∥平面A1BD. 法一：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))，于是eq \o(DA1,\s\up17(―→))＝(1,0,1)，eq \o(DB,\s\up17(―→))＝(1,1,0)， eq \o(MN,\s\up17(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2))). 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则o(DA1,\s\up17(―→))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n⊥，,n⊥eq \o(DB,\s\up17(―→))，)) 即o(DA1,\s\up17(―→))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·＝x＋z＝0，,n·eq \o(DB,\s\up17(―→))＝x＋y＝0，)) 取x＝1，则y＝－1，z＝－1， ∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)． 又eq \o(MN,\s\up17(―→))·n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))·(1，－1，－1)＝0，∴eq \o(MN,\s\up17(―→))⊥n. 又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD. 法二：∵eq \o(MN,\s\up17(―→))＝eq \o(C1N,\s\up17(―→))－eq \o(C1M,\s\up17(―→))＝eq \f(1,2) eq \o(C1B1,\s\up17(―→))－eq \f(1,2) eq \o(C1C,\s\up17(―→))＝eq \f(1,2)(eq \o(D1A1,\s\up17(―→))－eq \o(D1D,\s\up17(―→)))＝eq \f(1,2) eq \o(DA1,\s\up17(―→))，∴eq \o(MN,\s\up17(―→))∥eq \o(DA1,\s\up17(―→))， 又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD. 法三：eq \o(MN,\s\up17(―→))＝eq \o(C1N,\s\up17(―→))－eq \o(C1M,\s\up17(―→))＝eq \f(1,2) eq \o(C1B1,\s\up17(―→))－eq \f(1,2) eq \o(C1C,\s\up17(―→))＝eq \f(1,2) eq \o(DA,\s\up17(―→))－eq \f(1,2) eq \o(A1A,\s\up17(―→))＝eq \f(1,2)(eq \o(DB,\s\up17(―→))＋eq \o(BA,\s\up17(―→)))－eq \f(1,2)(eq \o(A1B,\s\up17(―→))＋eq \o(BA,\s\up17(―→)))＝eq \f(1,2) eq \o(DB,\s\up17(―→))－eq \f(1,2) eq \o(A1B,\s\up17(―→))， 即eq \o(MN,\s\up17(―→))可用eq \o(A1B,\s\up17(―→))与eq \o(DB,\s\up17(―→))线性表示， ∴eq \o(MN,\s\up17(―→))与eq \o(A1B,\s\up17(―→))，eq \o(DB,\s\up17(―→))是共面向量， 又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD. $$