1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行-（配套练习）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

**基本信息** 高中数学新授课同步练，以“基础巩固-综合提升-探索创新”分层递进，覆盖空间向量从基本概念到动态应用，适配新授课知识内化与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |必备知识·基础巩固|空间向量基本概念与运算|选择填空证明结合，强化方向向量平行垂直判定等基础运算，培养抽象能力与运算能力| |关键能力·综合提升|线面关系综合应用|多选与解答题结合，需逻辑推理（如平行六面体中线面平行判断），发展空间观念与推理能力| |核心价值·探索创新|动态几何与创新应用|情境化探究题（如正方体中动态点线面平行），渗透模型观念，提升创新意识|

[必备知识·基础巩固] 1．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y) 分别是直线 l1，l2 的方向向量，若 l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 解析　由题意得＝＝，∴x＝6，y＝. 答案　D 2．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则(　　) A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1，l2相交但不垂直 D．不能确定 解析　a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0， ∴a⊥b，∴l1⊥l2. 答案　B 3．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 解析　因为＝λ＋μ，所以，，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或直线在平面内． 答案　D 4．(多选)已知平面α的法向量为n＝(2，－2，4)，＝(－3，1，2)，则直线AB与平面α的位置关系为(　　) A．AB∥α B．AB⊂α C．AB与α相交 D．AB⊥α 解析　因为n·＝(2，－2，4)·(－3，1，2)＝－6－2＋8＝0，所以n⊥，故AB⊂α或AB∥α. 答案　AB 5．已知直线l的方向向量v＝(2，－1，3)，且过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y＝________，z＝________． 解析　因为v∥，且＝(－1，2－y，z－3)， 所以＝＝，解得y＝，z＝. 答案　　 6．已知平面α的法向量为μ＝(1，－1，t)，平面β的法向量为v＝(－2，2，6)，若α∥β，则实数t＝________． 解析　由题设，平面α与平面β的法向量共线， ∴μ＝λv(λ∈R)，则(1，－1，t)＝λ(－2，2，6)， 即解得 答案　－3 7．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝均与平面α平行，则a＝________． 解析　由题意，知 即解得 所以a＝. 答案　 8．如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，棱长为2，M，N分别为A1B，AC的中点．求证：MN∥B1C. 证明　证法一　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．则A(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，M(2，1，1)，N(1，1，0)， 所以＝(－1，0，－1)，＝(－2，0，－2). 所以＝2，所以∥， 所以MN∥B1C. 证法二　如图，取空间一个基底{，，}，设＝a，＝b，＝c，则＝b－c，＝＋＋＝(c－a)＋(－c)＋(a＋b)＝(b－c)，所以＝，所以∥，所以MN∥B1C. [关键能力·综合提升] 9．已知向量＝(1，5，－2)，＝(3，1，2)，＝(x，－3，6).若DE∥平面ABC，则x的值是(　　) A．5 B．3 C．2 D．－1 解析　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 取n＝(6，－4，－7).因为DE∥平面ABC， 所以n·＝6x＋(－3)×(－4)＋6×(－7)＝0，解得x＝5. 答案　A 10．(多选)如图所示，在平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是(　　) A.A1M∥D1P B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1. 解析　＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴∥，从而A1M∥D1P.∴ACD正确． 答案　ACD 11．已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是________． 解析　∵＝(0，1，－1)，＝(1，0，－1)， n·＝(－1，－1，－1)·(0，1，－1) ＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0， n·＝(－1，－1，－1)·(1，0，－1) ＝－1×1＋0＋(－1)×(－1)＝0， ∴n⊥，n⊥. ∴n也为α的一个法向量， 又α与β不重合， ∴α∥β. 答案　α∥β 12.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB＝90°，A1B1∥AB，AB＝AA1＝2A1B1＝2.直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点． (1)求证：AC⊥AB； (2)是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由． 解析　(1)证明　在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB＝90°，即AA1⊥AB， 由直角梯形AA1B1B绕直线AA1旋转得到直角梯形AA1C1C，得AA1⊥AC， 则∠CAB是平面AA1B1B与平面AA1C1C所成二面角的平面角， 而平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，即平面AA1B1B与平面AA1C1C所成二面角是直角， 因此∠CAB＝90°，所以AC⊥AB. (2)由(1)知，直线AC，AB，AA1两两垂直， 以点A为原点，直线AC，AB，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，M(1，1，0)，BB1＝(0，－1，2)， 假设在线段上存在点P，使得直线A1C∥平面AMP，设＝t＝(0，－t，2t)，0≤t≤1， 则＝＋＝(0，2－t，2t)，＝(1，1，0)，设平面AMP的法向量n＝(x，y，z)， 于是取y＝－2t，得n＝(2t，－2t，2－t)，而＝(2，0，－2)， 由直线A1C∥平面AMP，得⊥n，则·n＝4t－2(2－t)＝0，解得t＝， 所以在线段BB1上存在点P，使得直线A1C∥平面AMP， 点P为线段BB1上靠近B1的三等分点． [核心价值·探索创新] 13．如图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且＝λ，若B1F∥平面A1BE，则λ＝(　　) A． B． C． D． 解析　如图所示，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则B(1，0，0)，E， D1(0，1，1)，C1(1，1，1)，A1(0，0，1)，所以＝(－1，0，1)，＝.设n＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则由得取z＝2，得平面A1BE的一个法向量为n＝(2，1，2).由＝(1，0，0)，＝λ，可得F(λ，1，1)(0≤λ≤1).又B1(1，0，1)，所以＝(λ－1，1，0).由B1F∥平面A1BE，得·n＝0，即(λ－1，1，0)·(2，1，2)＝0，得λ＝. 答案　C 学科网（北京）股份有限公司 $