第09讲 图形的位似变换（1大知识点+12大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（沪科版）

第09讲 图形的位似（2大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 位似图形的识别 题型二 判断位似中心 题型三 位似图形相关概念辨析 题型四 求两个位似图形的相似似比 题型五 画已和图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型六 求位似图形的对应坐标 题型七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型八 在坐标系中画位似图形 题型九 在坐标系中画位似中心 知识点01：位似多边形 1.位似多边形定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心. 要点： 位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心； 　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的． 4. 作位似图形的步骤 　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　　第四步：顺次连接各对应点. 要点： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 知识点02：坐标系中的位似图形 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|. 要点：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k. 【典型例题一 位似图形的识别】 1．（2023·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，把一个多边形的所有顶点坐标（其中有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上）分别乘以所对应的图形与原图形是（    ） A．位似变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．平移变换 2．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）下列选项中的两个图形（实线部分），不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北沧州·一模）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点 ，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与 的位似比为 ．    4．（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．    5．（22-23九年级下·全国·课后作业）下图中，△ABC与△DEF是位似图形.那么，DE与AB平行吗?为什么?EF与BC呢?DF与AC呢? 6．（22-23九年级下·全国·课后作业）指出下列各图中的两个图形是否是位似图形如果是位似图形，请指出其位似中心．      【典型例题二 判断位似中心】 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，两个四边形是位似图形，则它们的位似中心是（    ） A．点M B．点N C．点O D．点P 2．（22-23九年级上·福建宁德·期末）如图，四边形与四边形是位似图形，则位似中心是（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图所示，点O是等边△PQR的中心，P，Q＇，R＇分别是OP、OQ、OR的中点，则△P＇Q＇R＇与△PQR是 ，点O是 ，相似比是 . 4．（22-23九年级下·全国·期中）如图，等腰三角形OBA和等腰三角形ACD的位似图形，则这两个等腰三角形位似中心的坐标是 ． 5．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，是经过位似变换得到的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），位似中心是点O． (1)请在图中画出点O的位置； (2)若，，求的长． 6．（22-23九年级上·福建泉州·期中）如图，ABC与是位似图形，且相似比是1：2．若AB＝2cm，在图中画出位似中心O，并求的长． 【典型例题三 位似图形相关概念辨析】 1．（22-23九年级上·四川资阳·期末）下列说法错误的是（    ） A．位似图形一定是相似图形 B．顶角相等的两个等腰三角形不一定相似 C．两个相似三角形的周长比是，则其面积的比是 D．中，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形与的面积之比是 2．（2023·浙江温州·二模）如图，已知△ABC与△DEF是位似图形，O是位似中心，若OA＝2OD，则△ABC与△DEF的周长之比是（    ） A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．6：1 3．（22-23九年级上·全国·课后作业）画位似图形的依据是 ． 4．（2023·广东·一模）如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，位似比为，且三角尺的一边长为4cm，则投影三角尺的对应边长为 cm． 5．（22-23九年级·全国·假期作业）如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积． 6．（22-23九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2． （1）请在图中画出位似中心； （2）若AB＝2cm，则A′B′等于多少？ 【典型例题四 求两个位似图形的相似比】 1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，则的值为（    ）．    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，已知，点和分别在，的延长线上，且，连接，则与的位似比为（    ）    A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·湖南永州·期末）如图，以O为位似中心，把五边形的面积扩大为原来的9倍，得五边形，则 ． 4．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，已知和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．周长为5，若，则的周长为 ． 5．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（﹣2，3），将点O，A，B，C的横坐标和纵坐标都分别乘以﹣2． (1)画出以变化后的四个点为顶点的四边形； (2)由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比，如果不位似，请说明理由． 6．（22-23九年级上·山东青岛·单元测试）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）直接写出△ABC与的位似比； （3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系 【典型例题五 画已和图形放大或缩小n倍后的位似图形】 1．（22-23九年级上·山东济南·期中）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，四边形的面积是2，则四边形的面积是（　　） A．4 B．6 C．8 D．18 2．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）在如图所示的小正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）在中，，，以点为位似中心，把放大倍后得到，则 ． 4．（2023·湖南长沙·中考真题）如图，三个顶点的坐标分别为，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，已知点的坐标是，则点的坐标是 ． 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图所示，O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍(要求对应顶点在位似中心的两旁).    6．（22-23九年级下·全国·课后作业）(1)如图所示，作山四边形ABCD的位似图形A＇B＇C＇D＇，使四边形ABCD与四边形A＇B＇C＇D＇的相似比为2∶1； (2)若已知AB=2cm，BC=cm，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥DA，求四边形A＇B＇C＇D＇的面积. 【典型例题六 求位似图形的对应坐标】 1．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）在平面直角坐标系内，线段的两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，相似比为，将线段缩小得到线段，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，和位似，原点是位似中心，位似比为．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·吉林松原·期末）三个顶点的坐标分别为，以原点O为位似中心，相似比为，放大后对应点的坐标是 ． 4．（23-24九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，则点的对应点的坐标为 ． 5．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、、．以点为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且相似比为，写出点的坐标，求出的面积．    6．（23-24九年级上·四川遂宁·期中）如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中每个小正方形的边长为1）．    (1)以点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的位似比为； (2)若点是上的任意一点，则变换后的对应点的坐标是______． 【典型例题七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 1．（2023·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O为位似中心，若，则与的周长比是（    ） A．1:9 B．1:3 C．9:1 D．3:1 2．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 3．（2023·广东肇庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，与位似，点O是它们的位似中心，已知，则与的面积之比为 ． 4．（2023·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是 ． 5．（22-23九年级上·陕西榆林·期中）如图，在网格图中（小正方形的边长为1），的三个顶点都在格点上． (1)请以坐标系的原点为位似中心在轴右侧画出的位似图形，使得与的位似比为1：2； (2)直接写出（1）中的与的周长比． 6．（22-23九年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在第一象限内画出，使与关于点O位似，相似比为； (2)在（1）的条件下，______． 【典型例题八 在坐标系中画位似图形】 1．（22-23九年级上·湖北随州·期末）已知两点A（5，6），B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ） A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3）或（﹣2，﹣3） D．（3，3）或（﹣3，﹣3） 2．（22-23九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4）．点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1，则P1的坐标为（    ）    A．（3，3） B．（3，2）或（，） C．（3，3）或（，） D．（2，3）或（，） 3．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）． （1）作出与△ABC关于x轴对称的△A 1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）以原点O 为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使=，并写出点A2的坐标． 4．（22-23九年级上·山东青岛·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是 ． 5．（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B，C的坐标分别为，，，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，与的相似比为，点A、B、C的对应点分别为、、，且点在第三象限．在图中画出，并写出点的坐标． 6．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上． (1)在下图中画出．使得与关于点位似，相似比为2； (2)在下图中画出，使得，且． 【典型例题九 在坐标系中画位似中心】 1．（22-23九年级上·河北石家庄·期中）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，且顶点的坐标分别是A（5，2），B（4，3），C（3，3），A'（8，3），B'（6，5），C'（4，5），则位似中心的坐标是（  ） A．(2，1) B．(2，2) C．(1，2) D．(1，1) 3．（22-23九年级上·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′顶点的横、纵坐标都是整数．若△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是 ． 4．（22-23九年级·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，且顶点都在格点上.在图上标出位似中心P的位置，点P的坐标是 . 5．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图中的小方格都是边长为的正方形，与是关于点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．    (1)画出位似中心点； (2)求出与的位似比； (3)以点为位似中心，在所给的网格图的右边再画一个，使它与的位似比等于2． 6．（22-23九年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，．与是以点为位似中心的位似图形． (1)请画出点的位置，并写出点的坐标是______； (2)以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使相似比为． 【变式训练1 位似图形的识别】 1．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）如图是标准对数视力表的一部分，在图内下面的四个较小“E”中，和最上面较大“E”是位似图形的“E”居于（    ） A．左上 B．右上 C．左下 D．右下 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，线段相交于点O，点E、F分别在线段上，则图中与位似的三角形是（    ）．    A． B． C． D．与 3．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF分别交AC、CD于P、E，则图中的位似三角形共有 对．   4．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是 ．（选填“小明”或“小亮”）． 5．（22-23九年级·全国·假期作业）如图，AB与CD相交于点E，AC∥DB，△ACE与△BDE是位似图形吗？ 6．（22-23九年级·全国·假期作业）如图，如果AC∥BD，CE∥DF，那么△ACE与△BDF是位似三角形吗？为什么？ 【变式训练2 判断位似中心】 1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心为（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 2．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（      ）    A．点A B．点 C．点 D．点 3．（22-23九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 . 4．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．    5．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．    (1)请在方格图中画出位似中心； (2)请在方格图中将补画完整． 6．（22-23九年级上·山东青岛·单元测试）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）直接写出△ABC与的位似比； （3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系 【变式训练3 位似图形相关概念辨析】 1．（2024·重庆·二模）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的格点三角形位似，则位似中心为（    ） A．点N B．点 C．点 D．点 2．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（    ） A．每对对应点所在的直线相交于同一点 B．两个图形上的对应线段必平行 C．两个图形上的对应线段之比等于相似比 D．两个图形的面积之比等于相似比的平方 3．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，点是四边形与的位似中心，则 ； ， ． 4．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，四边形与四边形位似，位似中心为点O，，，，则 ． 5．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似三角形，使与的相似比为； (3)直接写出线段与线段的位置关系与数量关系． 6．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点和的顶点均为小正方形的顶点．    (1)在图中的内部作，使和位似，且位似中心为点，位似比为； (2)连接（1）中的，则线段的长度是________． 【变式训练4 求两个位似图形的相似似比】 1．（2024·河北沧州·三模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，如果和的面积比为，则应将放大为原图形的（    ）倍． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·重庆渝中·二模）如图，与关于点位似，位似比为，已知， 则的长等（　）    A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·二模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，若和的面积之比是 ． 4．（2024·浙江杭州·一模）如图，放缩尺是利用图形的位似将图形放大或缩小的工具，点的位置固定不变，在，处装有笔，当画笔沿图运动时，画笔画出图形，图形就放大了，反之，图形就缩小了．位似比可以通过调节点，的位置来确定，调整时确保，，点，，在同一直线上，若，图形的面积为1.5，则图形的面积为 ．    5．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图．在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网络的格点上，已知点C的坐标为． (1)以点O为位似中心，在给出的网格内作使与位似，并且点的坐标为； (2)与的相似比是______． 6．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，图中小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)与的位似比为______； (3)以点O为位似中心，再画一个使它与的位似比等于． 【变式训练5 画已和图形放大或缩小n倍后的位似图形】 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把缩小到原来的倍，则点A的对应点为（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．点、、三点共线 3．（22-23九年级下·山东烟台·期末）已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出 个．他们之间的关系是 . 4．（2023·山东青岛·一模）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(4，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，则端点D坐标为 ． 5．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知，以点O为位似中心画一个，使它和位似，且位似比为2． 6．（23-24九年级上·陕西延安·期末）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，．以原点为位似中心，将四边形缩小为原来的，得到四边形，点的对应点分别是点，且点在第四象限． (1)在平面直角坐标系中画出四边形； (2)写出点的坐标． 【变式训练6 求位似图形的对应坐标】 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 2．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东滨州·三模）在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，使与的位似比等于，则点的坐标为 ． 4．（2024·山东滨州·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是 ． 5．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知O是坐标原点，两点的坐标分别为． (1)以点O为位似中心，在y轴的左侧将放大2倍得到； (2)分别写出两点的对应点的坐标． 6．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为1∶2，变换后点的对应点分别为点，点在第一象限； (2)若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为 ． 【变式训练7 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 1．（2024·吉林长春·一模）如图，六边形和六边形是以点．O为位似中心的位似图形，．若六边形的周长为，则六边形的周长为 ． 2．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点为位似中心，点A，B的坐标分别为．当点的纵坐标是时，与的面积比是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西晋城·一模）在平面直角坐标系中，与关于原点位似，点及其对应点的坐标分别为，，则与的相似比为 ． 4．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是，则的面积是 ． 5．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点O为位似中心，位似比为，将作位似变换后得到，请在平面直角坐标系中画出． (2)设与，面积分别为和，试求的值． 6．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上． (1)以O点为位似中心，位似比的绝对值为2，将放大为，请在网格图中画出（只画出其中一种）； (2)若，的面积分别为S、，写出S、的数量关系． 【变式训练8 在坐标系中画位似图形】 1．（2023·北京海淀·二模）如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·北京西城·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为．则画出的一个三角形为 °． 4．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为 ．    5．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)以A为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为． 6．（2024·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，请画出； (2)以点B为位似中心，在所给的平面直角坐标系内，将放大为原来的2倍得到，请画出； (3)请直接写出（2）中点的坐标． 【变式训练9 在坐标系中画位似中心】 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·山西临汾·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心是（　　）    A． B． C． D． 3．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，点O是坐标原点，点A，B，C，D，E坐标分别为、、、、，则位似中心的坐标为 ． 4．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是 ． 5．（22-23九年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，．与是以点为位似中心的位似图形． (1)请画出点的位置，并写出点的坐标是______； (2)以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使相似比为． 6．（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形． (1)在图中标出点的位置，并写出点的坐标； (2)以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 1．（2023九年级上·全国·专题练习）下列每组的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·山西·期末）如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0）．把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍，得到点A、B、C，下列说法正确的是( ) A．△ABC和△ABC是位似图形，位似中心是（1，0）． B．△ABC和△ABC是位似图形，位似中心是（0，0）． C．△ABC和△ABC是相似图形，但不是位似图形． D．△ABC和△ABC不是相似图形． 3．（2023·山东菏泽·一模）如图，将以O为位似中心，扩大到，各点坐标分别为，，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，且的坐标为，则与的相似比为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则的面积是（ ） A．1 B． C． D． 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，和是位似图形，则位似中心是 ；图中与的关系是 ． 7．（22-23九年级·全国·课后作业）下列关于位似图形的说法：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确的是 ．（只填序号） 8．（2023·山东德州·一模）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ． 9．（22-23九年级上·四川眉山·期末）如图，与位似，点为位似中心，已知，的面积为2，则的面积为 ． 10．（22-23八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B'C′关于点P位似且顶点都在格点上，则位似中心P的坐标是 ． 11．（22-23九年级·全国·课后作业）指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心. （1）   （2）   （3）   （4） 12．（22-23九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形与四边形位似，位似中心是原点O．已知C与F是对应顶点，且O，C，F的坐标分别是，那么四边形与四边形的相似比是多少？四边形与四边形的相似比呢？ 13．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2． （1）在图中画出位似中心点O； （2）若AB=2cm，则A′B′的长为多少? 14．（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．    (1)将向上平移6个单位，再向右平移3个单位后得到，请在网格中画出； (2)以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出． 15．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，图中小方格都是边长为的正方形，与是关于点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上． 画出位似中心点； 与的位似比为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 图形的位似变换（2大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 位似图形的识别 题型二 判断位似中心 题型三 位似图形相关概念辨析 题型四 求两个位似图形的相似比 题型五 画已和图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型六 求位似图形的对应坐标 题型七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型八 在坐标系中画位似图形 题型九 在坐标系中画位似中心 知识点01：位似多边形 1.位似多边形定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心. 要点： 位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心； 　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的． 4. 作位似图形的步骤 　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　　第四步：顺次连接各对应点. 要点： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 知识点02：坐标系中的位似图形 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|. 要点：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k. 【典型例题一 位似图形的识别】 1．（2023·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，把一个多边形的所有顶点坐标（其中有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上）分别乘以所对应的图形与原图形是（    ） A．位似变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．平移变换 【答案】A 【分析】根据多边形的所有顶点坐标变化方式，判断即可． 【详解】由题可得，多边形的所有顶点坐标分别乘以 故原图形与新图形的对应点的坐标比为 又∵有一个顶点为原点 ∴新图形是原图形以原点为位似中心，相似比为，得到的位似图形 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握其性质是解题的关键． 2．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）下列选项中的两个图形（实线部分），不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点，所以A，B，C中的两个图形是位似图形， D中的两个图形不是位似图形． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形． 3．（2024·河北沧州·一模）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点 ，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与 的位似比为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似三角形，根据位似三角形的定义，进行判断，根据位似比等于相似比，求出位似比即可． 【详解】解：由题意和图可知：以点O为位似中心，格点的位似图形是格点， ∴， 该三角形与 的位似比为； 故答案为：；． 4．（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似变换，相似多边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接．利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出边长，再求出可得结论． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形正方形，， 又∵正方形的面积为4， ∴正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的外接圆的半径为， 故答案为：． 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）下图中，△ABC与△DEF是位似图形.那么，DE与AB平行吗?为什么?EF与BC呢?DF与AC呢? 【答案】DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC，理由见解析. 【分析】根据位似图形是相似图形，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，结合平行线分线段成比例定理即可求解. 【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形， ∴△ABC∽△DEF， ∴， ∴DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC. 故答案为DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC，理由见解析. 【点睛】本题考查位似的性质，关键是明确位似比与相似比的关系. 6．（22-23九年级下·全国·课后作业）指出下列各图中的两个图形是否是位似图形如果是位似图形，请指出其位似中心．      【答案】题图1和3中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是题图1中的点和题图3中的点；题图2中的两个图形不是位似图形． 【分析】根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】题图1和3中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是题图1中的点和题图3中的点；题图2中对应顶点的连线不交于一点，故题图2中的两个图形不是位似图形． 【点睛】本题考查了位似图形的概念，解题的关键是掌握基本的概念． 【典型例题二 判断位似中心】 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，两个四边形是位似图形，则它们的位似中心是（    ） A．点M B．点N C．点O D．点P 【答案】D 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线所在直线交于一点，交点就是位似中心，直接利用位似图形的性质得出答案． 【详解】解：如图，位似中心是点P． 故选D 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 2．（22-23九年级上·福建宁德·期末）如图，四边形与四边形是位似图形，则位似中心是（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,判断即可. 【详解】解:由图可知,对应边AG与CE的延长线交于点B， ∴点B为位似中心 故选B. 【点睛】此题考查的是找位似图形的位似中心，掌握位似图形的定义是解决此题的关键. 3．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图所示，点O是等边△PQR的中心，P，Q＇，R＇分别是OP、OQ、OR的中点，则△P＇Q＇R＇与△PQR是 ，点O是 ，相似比是 . 【答案】 位似图形 位似中心 1∶2 【分析】位似图形定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心； 观察图形可知，对应点的连线交于同一点O， 因而找出位似中心；利用P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，可求出相似比是P′Q′:PQ. 【详解】∵P，Q＇，R＇分别是OP、OQ、OR的中点， ∴P＇Q＇∥PQ， Q＇R＇∥QR， P＇R＇∥PR， ∴△P＇Q＇R＇与△PQR是位似图形； ∵各对应点的连线交于点O，那么位似中心为点O； ∴点O是位似中心； ∵△P′Q′R′与△PQR是位似三角形， ∴△P′Q′R′∽△PQR， ∴相似比等于P′Q′:PQ. ∵P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点， ∴P′Q′=PQ，P′Q′:PQ=1∶2. ∴△P′Q′R′与△PQR的相似比为1∶2. 故答案为  位似图形；     位似中心 ；    1∶2 . 【点睛】本题考查位似图形的相关知识，解题的关键是掌握位似图形的定义和性质. 4．（22-23九年级下·全国·期中）如图，等腰三角形OBA和等腰三角形ACD的位似图形，则这两个等腰三角形位似中心的坐标是 ． 【答案】（-2，0） 【分析】利用如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，进而得出位似中心． 【详解】 解：如图所示：点P（-2，0）即为所求． 故答案为（-2，0）． 【点睛】本题考查位似变换，根据题意得出位似中心的位置是解题的关键． 5．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，是经过位似变换得到的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），位似中心是点O． (1)请在图中画出点O的位置； (2)若，，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查位似变换，熟知位似图形性质是解题的关键． （1）根据位似图形的对应顶点的连线过位似中心，即可确定点O的位置； （2）根据位似性质即可求得答案． 【详解】（1）解：根据点O的位置如图所示． （2）∵是经过位似变换得到的， ∴， ∴． ∵，， ∴． 6．（22-23九年级上·福建泉州·期中）如图，ABC与是位似图形，且相似比是1：2．若AB＝2cm，在图中画出位似中心O，并求的长． 【答案】画图见解析，cm 【分析】连接对应点的连线的交点即为位似中心，根据位似比等于相似比，即可求得． 【详解】如图，连接，交点即为位似中心， 相似比是1：2， ， cm， cm． 【点睛】本题考查了根据位似图形找位似中心，根据相似比对应边的长，掌握位似的定义与性质是解题的关键． 【典型例题三 位似图形相关概念辨析】 1．（22-23九年级上·四川资阳·期末）下列说法错误的是（    ） A．位似图形一定是相似图形 B．顶角相等的两个等腰三角形不一定相似 C．两个相似三角形的周长比是，则其面积的比是 D．中，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形与的面积之比是 【答案】B 【分析】根据位似图形的前提就是相似，等腰三角形顶角相等，则底角一定相等，相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行判断即可． 【详解】解：A．位似图形一定是相似图形，故选项正确，不符合题意； B．顶角相等的两个等腰三角形一定相似，故选项错误，符合题意； C．两个相似三角形的周长比是，则其面积的比是，故选项正确，不符合题意； D．中，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形与的面积之比是，故选项正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，位似图形和相似图形的关系，熟练掌握相似的判定和性质是解决此题的关键． 2．（2023·浙江温州·二模）如图，已知△ABC与△DEF是位似图形，O是位似中心，若OA＝2OD，则△ABC与△DEF的周长之比是（    ） A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．6：1 【答案】A 【分析】根据位似图形的概念得到△AOB△DOE，根据相似三角形的性质求出AB：DE，根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形， ∴， ∴△AOB△DOE， ， ∴△ABC与△DEF的周长之比是2：1． 故选A． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质． 3．（22-23九年级上·全国·课后作业）画位似图形的依据是 ． 【答案】两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 【分析】由位似图形的定义：两个图形是相似图形，而且每组对应点所在的直线经过同一点，结合相似三角形的判定解答即可． 【详解】解：画位似图形的依据是：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 故答案为：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【点睛】本题考查了位似图形的有关知识，如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，熟知位似图形的概念是关键． 4．（2023·广东·一模）如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，位似比为，且三角尺的一边长为4cm，则投影三角尺的对应边长为 cm． 【答案】10 【分析】投影三角尺的对应边长为cm，根据位似比等于相似比即可列出方程求解． 【详解】解：投影三角尺的对应边长为cm，依题意得， 解得， ∴投影三角尺的对应边长为cm， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形，熟记位似比等于相似比是解题的关键． 5．（22-23九年级·全国·假期作业）如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积． 【答案】9 【分析】利用位似的定义和相似的性质得△DEF∽△BCF，所以＝（）2＝，则S△BCF＝4，再利用高相同，面积比等于底边之比，可计算出S△DCF＝2，S△BEF＝2，然后把所有三角形的面积相加可得到四边形EBCD的面积． 【详解】解：∵△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形， ∴△DEF∽△BCF， ∴＝（）2＝， ∴S△BCF＝4S△DEF＝4×1＝4， ∵EF：FC＝1：2， ∴S△DCF＝2S△DEF＝2，S△BCF＝2S△BEF， ∴S△BEF＝2， ∴四边形EBCD的面积＝1+4+2+2＝9． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．也考查了三角形面积公式． 6．（22-23九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2． （1）请在图中画出位似中心； （2）若AB＝2cm，则A′B′等于多少？ 【答案】（1）见解析；（2）4cm． 【分析】（1）作三组对应点所在直线，三直线的交点即为位似中心O； （2）根据△ABC与△A′B′C′是位似图形，可知△ABC∽△A′B′C′，利用位似比是1：2，即可求得A′B′=4cm． 【详解】（1）如图所示，点O即为位似中心； （2）∵△ABC与△A′B′C′是位似图形， ∴△ABC∽△A′B′C′ ∵位似比是1：2 ∴＝＝，且AB＝2cm， ∴A′B′＝2AB＝4cm． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比． 【典型例题四 求两个位似图形的相似比】 1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，则的值为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的性质，根据位似图形的面积比等于相似比的平方可得答案，熟记位似图形的性质是解本题的关键. 【详解】解：∵与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的， ∴， ∴， ∴； 故选B 2．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，已知，点和分别在，的延长线上，且，连接，则与的位似比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴与的位似比为， 故选B． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比． 3．（22-23九年级上·湖南永州·期末）如图，以O为位似中心，把五边形的面积扩大为原来的9倍，得五边形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的对应坐标，解题的关键是掌握位似图形的定义．根据五边形的面积扩大为原来的9倍，利用相似图形面积的比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：∵以O为位似中心，把五边形的面积扩大为原来的9倍，得五边形， 则， 故答案为． 4．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，已知和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．周长为5，若，则的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵，即， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， 与的周长比为， 周长为5， 的周长为15． 故答案为：15． 5．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（﹣2，3），将点O，A，B，C的横坐标和纵坐标都分别乘以﹣2． (1)画出以变化后的四个点为顶点的四边形； (2)由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比，如果不位似，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)得到的四边形与四边形OABC位似，位似中心是O（0，0），与原图形的相似比为2． 【分析】（1）按照有理数的乘法算出每个点的横纵坐标即可； （2）位似定义：关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心．根据定义判断即可． 【详解】（1）如图所示，四边形OA′B′C′即为所求四边形； （2）∵将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以﹣2可得出四边形OA′B′C′， ∴各对应边的比为2，对应点的连线都过原点， ∴得到的四边形与四边形OABC位似， 位似中心是O（0，0）， 与原图形的相似比为2． 【点睛】本题考查位似的判定，熟练掌握位似的定义是本题关键． 6．（22-23九年级上·山东青岛·单元测试）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）直接写出△ABC与的位似比； （3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系 【答案】（1）见解析；（2）2:1；（3）见解析 【分析】（1）各对应点连线所在直线的交点即为位似中心； （2）任意一对对应边的比即为两三角形的位似比； （3）以位似中心为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系即可． 【详解】（1）如图，各对应点连线所在直线的交点即为位似中心O； （2） △ABC与的位似比为； （3）如图，以位似中线为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系． 【点睛】本题考查了位似图形位似比与位似中心的确定，注意位似比为所给两三角形对应边的比，位置不能颠倒，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【典型例题五 画已和图形放大或缩小n倍后的位似图形】 1．（22-23九年级上·山东济南·期中）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，四边形的面积是2，则四边形的面积是（　　） A．4 B．6 C．8 D．18 【答案】D 【分析】根据从而得出位似图形的面积比，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形和四边形关于点O位似，， ∴， ∵四边形的面积是2， ∴四边形的面积是18． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似是特殊的相似，位似图形的面积比等于相似比的平方． 2．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）在如图所示的小正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似三角形的定义作出图形即可得出答案 【详解】解： 故选：C 【点睛】本题考查了画位似图形．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）在中，，，以点为位似中心，把放大倍后得到，则 ． 【答案】72° 【分析】在△ABC中，AB=AC，∠A=36º，则∠B=∠C=72º，以点A为位似中心，把△ABC放大3倍后得△AEF，则△ABC与△AEF相似，则对应角相等，因而∠E=∠B=72º. 【详解】解：∵AB=AC，∠A=36º， ∴∠B=∠C=72º， ∵△ABC∽△AEF， ∴∠E=∠B=72º. 故答案为72º. 【点睛】本题考查了位似变换. 4．（2023·湖南长沙·中考真题）如图，三个顶点的坐标分别为，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，已知点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】（1，2） 【详解】解：根据位似变换的性质及位似比，可知A′的坐标为（1，2） 故答案为（1，2） 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图所示，O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍(要求对应顶点在位似中心的两旁).    【答案】见解析. 【分析】直接利用位似图形的性质分别得出对应点位置，进而得出答案． 【详解】     连接AO，延长AO到A′使O A′=2OA，用同样的方法确定B，C的对应点，顺次连接对应点， 如图所示，△A′B′C′即为所要求作的三角形. 【点睛】本题考查作图-位似变换，可以根据位似比，结合定义和性质画出图形. 6．（22-23九年级下·全国·课后作业）(1)如图所示，作山四边形ABCD的位似图形A＇B＇C＇D＇，使四边形ABCD与四边形A＇B＇C＇D＇的相似比为2∶1； (2)若已知AB=2cm，BC=cm，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥DA，求四边形A＇B＇C＇D＇的面积. 【答案】(1)见解析；.(2). 【分析】（1）连结AC、BD，它们相交于点O，再分别取OA、OB、OC、OD的中点A′、B′、C′、D′，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2：1； （2）延长AB和DC，它们相交于点E，如图，先利用互余计算出∠E=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△BCE中可计算出CE=2BC=2，BE=BC=3，在Rt△ADE中可计算出AD= AE=，DE=AD=，则可利用S四边形ABCD=S△ADE-S△BCE计算出四边形ABCD的面积，然后根据相似的性质可计算出四边形A′B′C′D′的面积． 【详解】（1）如图，四边形A′B′C′D′为所求； （2）延长AB和DC，它们相交于点E，如图， ∵AB⊥BC，CD⊥DA， ∴∠ADE=∠EBC=90°， ∵∠A=60°， ∴∠E=30°， 在Rt△BCE中，CE=2BC=2，BE=BC=3， ∴AE=BE+AB=5， 在Rt△ADE中，AD= AE=，DE=AD=， ∴S四边形ABCD=S△ADE-S△BCE=， ∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2：1， ∴， ∴. 故答案为(1)见解析；.(2). 【点睛】本题考查位似图形的性质，作图-位似变换，熟练掌握作位似图形的步骤是解题的关键. 【典型例题六 求位似图形的对应坐标】 1．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）在平面直角坐标系内，线段的两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，相似比为，将线段缩小得到线段，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似变换的坐标变换规律，掌握位似变换中的坐标变换规律是解决此题的关键． 利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出点坐标． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小得到线段， ∴A点与点是对应点， ∵点的对应点A的坐标为位似比为：， ∴点的坐标为：或． 故选：D． 2．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，和位似，原点是位似中心，位似比为．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查位似图形的性质，注意位似比与坐标比的关系是解题的关键．根据位似图形的性质，若以原点为位似中心，且都在同一侧的两个位似图形，其坐标比等于相似比，相似比为，则对应的坐标比也为或，即可解得点的坐标． 【详解】∵和位似，原点是位似中心，位似比为，点的坐标为， ∴点的坐标为(，，即， 故选：A． 3．（23-24九年级上·吉林松原·期末）三个顶点的坐标分别为，以原点O为位似中心，相似比为，放大后对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与位似图形．分在原点的同侧和异侧，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，三个顶点的坐标分别为， 当位似图形在原点同侧时， 对应的坐标为：， 即：； 当位似图形在原点异侧时： 对应的坐标为：， 即：； 故答案为：或． 4．（23-24九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，且， 与的相似比为， B点坐标为， 点的对应点的坐标为即， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、、．以点为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且相似比为，写出点的坐标，求出的面积．    【答案】画图见解析，， 【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而画出图形，再根据图形得出的坐标，利用割补法计算面积即可． 【详解】解：如图，即为所求； 其中，， 的面积为．    【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． 6．（23-24九年级上·四川遂宁·期中）如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中每个小正方形的边长为1）．    (1)以点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的位似比为； (2)若点是上的任意一点，则变换后的对应点的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图——位似变换、坐标系与位似图形： （1）连接并延长，使得，得点，同理得：点，点，依次连接，即可求解； （2）根据位似变换的性质即可求解； 熟练掌握画位似图形的一般步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：连接并延长，使得，得点， 同理得：点，点，依次连接， 如图所示，即为所求：    （2）根据与的位似比为得： 变换后的对应点的坐标为：， 故答案为：． 【典型例题七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 1．（2023·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O为位似中心，若，则与的周长比是（    ） A．1:9 B．1:3 C．9:1 D．3:1 【答案】B 【分析】位似是相似的特殊形式，先求得对应边AB与DE之比为1：3，利用相似的性质可知△ABC的周长与△DEF的周长之比为1：3． 【详解】∵与位似，原点O是位似中心， ∴， ∴与的周长比为， 故选B． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长的比等于相似比． 2．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【分析】利用位似的性质得到AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，再利用相似多边形的性质得到得到四边形A′B′C′D′的面积． 【详解】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形， ∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3， ∴四边形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积＝4：9， 而四边形ABCD的面积等于4， ∴四边形A′B′C′D′的面积为9． 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键． 3．（2023·广东肇庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，与位似，点O是它们的位似中心，已知，则与的面积之比为 ． 【答案】4：1 【分析】根据位似变换的性质，点A、点C的坐标求出相似比，根据相似三角形的性质计算得到答案． 【详解】解：∵与位似，点O是它们的位似中心，已知， ∴△OAB与△OCD的相似比为2：1， ∴与的面积之比为4：1， 故答案为4：1． 【点睛】此题考查的是位似变换的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 4．（2023·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是 ． 【答案】2 【分析】根据位似的定义，即可得出位似比=OA：OC，而与周长的比值等于位似比，即可得出答案． 【详解】∵与位似，位似中心是坐标原点O，点，点 ∴OA=4，OC=2 ∴与的位似比为：4：2=2：1 ∴与周长的比值为：2：1 故答案为：2． 【点睛】本题考查了求位似图形的周长之比，求出位似比是本题的关键． 5．（22-23九年级上·陕西榆林·期中）如图，在网格图中（小正方形的边长为1），的三个顶点都在格点上． (1)请以坐标系的原点为位似中心在轴右侧画出的位似图形，使得与的位似比为1：2； (2)直接写出（1）中的与的周长比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据位似变换的性质得出点A、B、C的对应点、、的位置，顺次连接即可； （2）根据位似图形的周长比等于位似比可得答案． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵与的位似比为， ∴与的周长比为． 【点睛】本题考查了作位似图形，位似图形的性质，根据位似变换的性质得出对应点位置是解题的关键． 6．（22-23九年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在第一象限内画出，使与关于点O位似，相似比为； (2)在（1）的条件下，______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）把A、B的横纵坐标都乘以2得到、的坐标，然后描点即可； （2）利用位似的性质得到，然后根据比例的性质求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 如图，为所作； ； （2）解：∵与关于点O位似，相似比为； ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 【典型例题八 在坐标系中画位似图形】 1．（22-23九年级上·湖北随州·期末）已知两点A（5，6），B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ） A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3）或（﹣2，﹣3） D．（3，3）或（﹣3，﹣3） 【答案】C 【详解】试题分析：首先得出A点平移后点的坐标，再利用位似图形的性质得出对应点C的坐标． 解：如图所示：可得A点平移后对应点A′坐标为：（4，6）， 则点A′的对应点C的坐标为：（2，3）或（﹣2，﹣3）． 考点：位似变换；坐标与图形性质． 2．（22-23九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4）．点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1，则P1的坐标为（    ）    A．（3，3） B．（3，2）或（，） C．（3，3）或（，） D．（2，3）或（，） 【答案】C 【分析】根据矩形的性质求出点P的坐标为（2，2），根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】∵矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4），点P是BC的中点， ∴点P的坐标为（2，2）， 以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍， 则P1的坐标为（2×1.5，2×1.5）或（−2×1.5，−2×1.5），即（3，3）或（−3，−3）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质、矩形的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k． 3．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）． （1）作出与△ABC关于x轴对称的△A 1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）以原点O 为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使=，并写出点A2的坐标． 【答案】（1）画图见解析，A1(1，－3)；（2）画图见解析；A2(－2，－6)． 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标的变化得出A，B，C关于x轴的对称点，即可得出答案； （2）根据关于原点对称点的坐标以及使＝，得出对应点乘以-2即可得出答案． 【详解】解：(1)如图，△A1B1C1为所作，A1(1，－3)； (2)如图，△A2B2C2为所作，A2(－2，－6)． 【点睛】本题考查位似图形的性质以及关于x轴对称图形画法，根据已知得出对应点坐标是解题关键． 4．（22-23九年级上·山东青岛·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是 ． 【答案】图见解析，（4，2）或（﹣4，﹣2）． 【详解】试题分析：把A、B、C的横纵坐标分别乘以2或﹣2得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可． 试题解析：如图，如图△A1B1C1使或△A′1B′1C′1为所，点B的对应点B1的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）． 考点：作图-位似变换． 5．（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B，C的坐标分别为，，，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，与的相似比为，点A、B、C的对应点分别为、、，且点在第三象限．在图中画出，并写出点的坐标． 【答案】见解析，点的坐标为 【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中作位似图形，解题的关键是根据题意作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可． 【详解】解：如图，即为所求． 点的坐标为． 6．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上． (1)在下图中画出．使得与关于点位似，相似比为2； (2)在下图中画出，使得，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据位似图形的性质即可画出； （2）根据相似三角形的判定与性质画出，满足，使，即可． 【详解】（1）解：如图所示， ； （2）解：如图所示， ． 【典型例题九 在坐标系中画位似中心】 1．（22-23九年级上·河北石家庄·期中）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别连接、、，其所在直线交于点，即可得到答案． 【详解】 如图，分别连接、、，其所在直线交于点 则点G为所求的位似中心， 故选：C． 【点睛】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，且顶点的坐标分别是A（5，2），B（4，3），C（3，3），A'（8，3），B'（6，5），C'（4，5），则位似中心的坐标是（  ） A．(2，1) B．(2，2) C．(1，2) D．(1，1) 【答案】A 【分析】根据位似中心的概念结合图形画图即可得到结论． 【详解】根据位似变换的性质和图形可知，位似中心坐标是（2，1）． 故选A． 【点睛】本题考查了位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 3．（22-23九年级上·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′顶点的横、纵坐标都是整数．若△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是 ． 【答案】（8，0） 【详解】位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线． 解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（8，0），所以位似中心的坐标为（8，0）． 故答案为（8，0）． “点睛”本题考查位似中心的找法，各对应点所在直线的交点即为位似中心． 4．（22-23九年级·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，且顶点都在格点上.在图上标出位似中心P的位置，点P的坐标是 . 【答案】 【分析】根据位似图形的性质解答即可. 【详解】位似中心P的位置如图所示，点P的坐标是. 【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形对应点连线的交点是位似中心是解答本题的关键. 5．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图中的小方格都是边长为的正方形，与是关于点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．    (1)画出位似中心点； (2)求出与的位似比； (3)以点为位似中心，在所给的网格图的右边再画一个，使它与的位似比等于2． 【答案】(1)见解析 (2)与的位似比为 (3)见解析 【分析】（1）各对应点连线所在直线的交点即为位似中心； （2）任意一对对应线段的比为两三角形的位似比； （3），进而得出． 【详解】（1）解：分别延长、、，它们的交点即为O点，如图所示；    （2）解：∵， ∴与的位似比为； （3）解：延长到，使，延长到，使，延长到，使，此时即为所求，如图所示；    【点睛】本题考查了作图-位似变换，熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决本题的关键． 6．（22-23九年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，．与是以点为位似中心的位似图形． (1)请画出点的位置，并写出点的坐标是______； (2)以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使相似比为． 【答案】(1)图见解析，； (2)见解析 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出位似中心的位置； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点，再连接即可． 【详解】（1）解：点的位置如图所示： 点； 故答案为：； （2）解：如图所示：即为所求． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 【变式训练1 位似图形的识别】 1．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）如图是标准对数视力表的一部分，在图内下面的四个较小“E”中，和最上面较大“E”是位似图形的“E”居于（    ） A．左上 B．右上 C．左下 D．右下 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换的相关知识．开口向上的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换，故最上面较大的“E”与左下的“E”是位似图形． 【详解】解：根据位似变换的特点可知：最上面较大的“E”与左下的“E”是位似图形． 故选：C． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，线段相交于点O，点E、F分别在线段上，则图中与位似的三角形是（    ）．    A． B． C． D．与 【答案】D 【分析】本题考查位似图形．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，（对应边互相平行(或共线)），那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义，判定即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴， ∵相交于点O，点E、F分别在线段上， ∴与位似的三角形有和． 故选：D． 3．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF分别交AC、CD于P、E，则图中的位似三角形共有 对．   【答案】3 【详解】解：位似的三角形是△FDE与△FAB，△FDE与△BCE，△ECB与△BAF 所以位似三角形共有3对． 【点睛】本题主要考查了位似图形的定义∶ 若两个几何图形F与F′相似，而且对应点连线交于同一点O，则称F与F’关于点O位似，O叫做位似中心．把一个几何图形变换成与之位似的图形，叫做位似变换． 4．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是 ．（选填“小明”或“小亮”）． 【答案】小亮 【分析】根据位似图形的概念画出图形，得到答案． 【详解】解：延长、、、分别到、、、， 则四边形是四边形的位似图形， 所以小亮正确． 故答案为：小亮． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似的两个图形对应点的连线都经过同一点是解题的关键． 5．（22-23九年级·全国·假期作业）如图，AB与CD相交于点E，AC∥DB，△ACE与△BDE是位似图形吗？ 【答案】△ACE与△BDF是位似三角形，理由见解析 【分析】先证明△ACE∽△BDF，再利用位似图形的定义即可判断． 【详解】解：△ACE与△BDF是位似三角形， 理由：∵AC∥BD， ∴∠A＝∠B，∠C＝∠D， ∴△ACE∽△BDF， 又∵△ACE与△BDF对应点相交于点E， ∴△ACE与△BDF是位似三角形． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定，熟练掌握位似图形的定义是解题的关键．位似三角形的定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个三角形叫做位似三角形． 6．（22-23九年级·全国·假期作业）如图，如果AC∥BD，CE∥DF，那么△ACE与△BDF是位似三角形吗？为什么？ 【答案】△ACE与△BDF是位似三角形，理由见解析 【分析】利用相似三角形的判定与性质得出△OAE∽△OBF，进而得出AE∥BF，再利用位似图形的定义求出即可． 【详解】解：△ACE与△BDF是位似三角形， 理由：∵AC∥BD，CE∥DF， ∴，， ∴， 又∵∠AOE＝∠BOF， ∴△OAE∽△OBF， ∴∠OAE＝∠OBF， ∴AE∥BF， 又∵△ACE与△BDF对应点相交于点O， ∴△ACE与△BDF是位似三角形．． 【点睛】此题主要考查了位似图形的定义以及相似三角形的判定与性质，掌握位似图形和相似图形的关系是解题关键． 【变式训练2 判断位似中心】 1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心为（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据位似中心是位似点连线的交点判断即可． 【详解】如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心，    故选D． 【点睛】本题考查了三角形的位似，清楚位似中心是位似点连线的交点是解题的关键． 2．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（      ）    A．点A B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上，据此即可求解． 【详解】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点A、B为对应点， 位似中心在A、B所在的直线上， 点D在直线上， 点D为位似中心． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上是解题关键． 3．（22-23九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 . 【答案】或 【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点. 【详解】∵正方形和正方形中，点和点的坐标分别为， ∴ （1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点. 设AG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 当时，，所以EC与AG的交点为 （2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点 设AE所在的直线的解析式为 解得 ∴AE所在的直线的解析式为 设CG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 联立解得 ∴AE与CG的交点为 综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或 故答案为或 【点睛】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键. 4．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．    【答案】P． 【分析】把图形的对应定点连线，都相交的那个点就是位似中心. 【详解】如图所示：这两个三角形的位似中心是点P． 故答案为：P．    【点睛】本题考查的是位似图形的位似中心，解题的关键是知道位似图形的对应点的连线相交的点就是位似中心. 5．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．    (1)请在方格图中画出位似中心； (2)请在方格图中将补画完整． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了位似图形的性质，找位似中心． （1）连接对应点并延长，交点即为位似中心； （2）由（1）可知，，则连接并延长，使，再连接即可． 【详解】（1）解：如图所示：点O即为位似中心；    （2）解：补全如图所示：    6．（22-23九年级上·山东青岛·单元测试）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）直接写出△ABC与的位似比； （3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系 【答案】（1）见解析；（2）2:1；（3）见解析 【分析】（1）各对应点连线所在直线的交点即为位似中心； （2）任意一对对应边的比即为两三角形的位似比； （3）以位似中心为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系即可． 【详解】（1）如图，各对应点连线所在直线的交点即为位似中心O； （2） △ABC与的位似比为； （3）如图，以位似中线为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系． 【点睛】本题考查了位似图形位似比与位似中心的确定，注意位似比为所给两三角形对应边的比，位置不能颠倒，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【变式训练3 位似图形相关概念辨析】 1．（2024·重庆·二模）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的格点三角形位似，则位似中心为（    ） A．点N B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查图形的位似、位似中心等知识，熟练掌握寻找位似中心的作图方法是解决问题的关键．根据题意，结合位似中心的定义及作法：成位似关系的两个图形的对应点的连线交于位似中心，数形结合，作出图形即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 点为位似中心， 故选：B． 2．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（    ） A．每对对应点所在的直线相交于同一点 B．两个图形上的对应线段必平行 C．两个图形上的对应线段之比等于相似比 D．两个图形的面积之比等于相似比的平方 【答案】B 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式．根据位似图形的性质，对各选项依次分析可得答案． 【详解】解：A、每对对应点所在的直线相交于同一点，故本选项不符合题意； B、两个图形上的对应线段可能平行，也可能共线，故本选项符合题意； C、根据相似的性质，两个位似的图形上的对应线段之比等于位似比，故本选项不符合题意； D、根据相似的性质，两个图形的面积比等于位似比的平方，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，点是四边形与的位似中心，则 ； ， ． 【答案】 【分析】位似是特殊的相似，因而对应边的比相等，对应角相等． 【详解】解：点O是四边形与的位似中心，则这两个图形相似，因而对应边的比相等，对应角相等， 因而，，， 故答案为：；；；；． 【点睛】本题主要考查了位似的定义，掌握定义是解决此题的关键． 4．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，四边形与四边形位似，位似中心为点O，，，，则 ． 【答案】5 【分析】根据题意求出，再根据位似图形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形与四边形位似，位似中心为点O， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 5．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似三角形，使与的相似比为； (3)直接写出线段与线段的位置关系与数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可，与关于点O成中心对称； （2）根据位似进行作图即可； （3）由中心对称、位似的性质，判断作答即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求；    （2）解：如图1，即为所求； （3）解：由中心对称、位似的性质可知，，． 【点睛】本题考查了作旋转图形，中心对称的性质，位似作图，位似的性质．正确作图是解题的关键． 6．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点和的顶点均为小正方形的顶点．    (1)在图中的内部作，使和位似，且位似中心为点，位似比为； (2)连接（1）中的，则线段的长度是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用格点图的特点分别取的中点得到，然后顺次连接即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而利用位似比求出，由此即可求出的长． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：如图所示，连接，由位似图形的性质可知三点共线， 由勾股定理得， ∵和位似，且位似中心为点，位似比为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质和勾股定理，熟练掌握位似图形的画法和性质是解题的关键． 【变式训练4 求两个位似图形的相似似比】 1．（2024·河北沧州·三模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，如果和的面积比为，则应将放大为原图形的（    ）倍． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了中心位似图形的性质．熟练掌握中心位似图形的性质是解题的关键． 由和是以点为位似中心的位似图形，可知，则，可求，然后作答即可． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 解得，， ∴应将放大为原图形的2倍， 故选：B． 2．（2024·重庆渝中·二模）如图，与关于点位似，位似比为，已知， 则的长等（　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查位似的定义．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点．位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比．利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：与关于点位似，位似比为， ， ， ， 则． 故选：D． 3．（2024·四川成都·二模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，若和的面积之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到， ，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比为：， 故答案为：． 4．（2024·浙江杭州·一模）如图，放缩尺是利用图形的位似将图形放大或缩小的工具，点的位置固定不变，在，处装有笔，当画笔沿图运动时，画笔画出图形，图形就放大了，反之，图形就缩小了．位似比可以通过调节点，的位置来确定，调整时确保，，点，，在同一直线上，若，图形的面积为1.5，则图形的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似变换，平行线的性质等知识．利用位似变换的性质求解． 【详解】解：如图，因为，，在同一直线上，连接．    ∵， ， ， 图形的面积：图形的面积， 图形的面积为1.5， 图形的面积， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图．在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网络的格点上，已知点C的坐标为． (1)以点O为位似中心，在给出的网格内作使与位似，并且点的坐标为； (2)与的相似比是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查位似图形的作法及性质： （1）利用点C和的坐标特征得到位似比，进而得到、的坐标，然后描点连线即可； （2）根据位似比等于相似比即可求解． 【详解】（1）解：点C的坐标为，点的坐标为， ，， 与位似，点O为位似中心， 与的位似比为：， 连接至，使，连接至，使，得到、， 如下图所示； （2）解：由（1）知与的位似比为：， 与的相似比是， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，图中小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)与的位似比为______； (3)以点O为位似中心，再画一个使它与的位似比等于． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图--位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）连接对应点，交点即为位似中心； （2）求出对应线段长的比即为位似比； （3）对应线段长为作图即可． 【详解】（1）解：如图，连接，并延长交于点O，点O为所求； （2）解：与的位似比为． 故答案为． （3）解：由题意得：， ， ， 同理，找到， 如图所示：为所求． 【变式训练5 画已和图形放大或缩小n倍后的位似图形】 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把缩小到原来的倍，则点A的对应点为（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题考查了作图—位似变换，解题的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置．连接并延长到使得，则点是点A的对应点，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接并延长到使得，则点是点A的对应点，即点A的对应点为D点， 故选A． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．点、、三点共线 【答案】C 【分析】本题考查了位似，正确理解位似，确定对应关系是解题的关键． 【详解】A. ，正确，不符合题意；     B. ，正确，不符合题意； C. ，错误，符合题意；     D. 点、、三点共线，正确，不符合题意； 故选：C． 3．（22-23九年级下·山东烟台·期末）已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出 个．他们之间的关系是 . 【答案】 2 全等 【分析】在三角形中，以其一顶点为位似中心所作出的两个位似图形，必是关于点A成中心对称且全等． 【详解】解：以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC放大2倍的图形， 可作出两个位似图形， 由于其是关于同一个点的位似图形，所以其位似图形为关于点A成中心对称，而且全等． 故答案为：2；全等． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质问题，能够熟练掌握． 4．（2023·山东青岛·一模）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(4，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，则端点D坐标为 ． 【答案】(4，2) 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【详解】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，B（8，4），∴端点D坐标为（8，4），即（4，2）． 故答案为：（4，2）． 【点睛】本题考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 5．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知，以点O为位似中心画一个，使它和位似，且位似比为2． 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查了利用位似作图，可以根据位似的定义，结合图形的做法即可解答 【详解】解：连接延长到D，使，连接延长到E，使，连接延长到F，使，如图所示： 6．（23-24九年级上·陕西延安·期末）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，．以原点为位似中心，将四边形缩小为原来的，得到四边形，点的对应点分别是点，且点在第四象限． (1)在平面直角坐标系中画出四边形； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】本题考查了位似变换，位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． （1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，结合点在第四象限，把点的横纵坐标都除以，再根据即可确定点，，，，的坐标，然后描点连线即可； （2）由（1）得到点，的坐标． 【详解】（1）解：如图，四边形为所作；    （2）解：结合（1）中的图形可知：，． 【变式训练6 求位似图形的对应坐标】 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意横纵的坐标乘以，即可求解． 【详解】解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是 故选：D． 2．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 3．（2024·山东滨州·三模）在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，使与的位似比等于，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查位似变换，熟知位似变换的性质：如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．据此求解即可． 【详解】解：由题意，若以原点为位似中心，且点的坐标为． 在中，∵相似比是， ∴点的坐标为或， 故答案为：或 4．（2024·山东滨州·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，， ∴点A的对应点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 5．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知O是坐标原点，两点的坐标分别为． (1)以点O为位似中心，在y轴的左侧将放大2倍得到； (2)分别写出两点的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查位似变换，解题的关键是理解位似图形的性质得出位似图形对应点的位置． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而即可画图； （2）利用题（1）所画出的图形得出对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：∵两点的坐标分别为，和的位似比为． ∴． 6．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为1∶2，变换后点的对应点分别为点，点在第一象限； (2)若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示：△即为所求； ； （2）解：若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为：． 故答案为：． 【变式训练7 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 1．（2024·吉林长春·一模）如图，六边形和六边形是以点．O为位似中心的位似图形，．若六边形的周长为，则六边形的周长为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的六边形周长的比等于边长比进行求解即可． 【详解】解：由位似图形的性质，可得， 六边形的周长：六边形的周长， 六边形的周长为， 则 六边形的周长为， 故答案为：21． 2．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点为位似中心，点A，B的坐标分别为．当点的纵坐标是时，与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是坐标系中位似变换的性质，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：点B的坐标分别为．点的纵坐标是， 与位似比为， 与的面积比是， 故选：C 3．（2024·山西晋城·一模）在平面直角坐标系中，与关于原点位似，点及其对应点的坐标分别为，，则与的相似比为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了位似变换，根据题意得出位似比是解题关键．利用位似图形的性质，结合对应点的坐标得出位似比，即可得出答案． 【详解】解：∵与关于原点位似，点及其对应点的坐标分别为，， ∴与的相似比为． 故答案为：． 4．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是，则的面积是 ． 【答案】 【分析】 本题考查位似图形和相似三角形的性质，根据点A到点O的距离和点到点O的距离，得到这两个位似三角形的相似比，根据面积比是相似比的平方，求出的面积． 【详解】 解：∵点与点是对应点，原点是位似中心， ∴和的位似比是， ∴和的面积的比是， 又∵的面积是， ∴的面积是． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点O为位似中心，位似比为，将作位似变换后得到，请在平面直角坐标系中画出． (2)设与，面积分别为和，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了位似变换， （1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出面积比即可． 【详解】（1）如图所示： 即为所求； （2）与是位似图形，位似比为， 6．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上． (1)以O点为位似中心，位似比的绝对值为2，将放大为，请在网格图中画出（只画出其中一种）； (2)若，的面积分别为S、，写出S、的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】问题考查了位似图形的作图和性质． （1）连接并延长，使，在依次连接即可； （2）根据题意得出和相似比为，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求；（另一种同样给分） （2）解：∵，位似比的绝对值为2，放大为， ∴和相似比为， ∴ 即：． 【变式训练8 在坐标系中画位似图形】 1．（2023·北京海淀·二模）如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质，连接并延长，观察交点即可求解． 【详解】解：如图所示，连接并延长，    ∴的位似图形是． 故选：C． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查作图-位似变换，解题关键是画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．根据题意分两种情况画出满足题意的线段，即可做出判断． 【详解】解：画出图形，如图所示： 故选D． 3．（22-23九年级上·北京西城·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为．则画出的一个三角形为 °． 【答案】答案见详解. 【分析】根据位似三角形的定义，分别找到原三角形各个顶点的对应点，连接起来，即可. 【详解】∵三个顶点的坐标分别为，，， ∴以原点O为位似中心，使它与的相似比为的对应点坐标为：，，，如图所示： 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，作已知三角形的位似三角形，理解位似三角形的定义，是解题的关键，注意：本题的位似三角形有2个，画出一个即可. 4．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为 ．    【答案】 【分析】先画出图形，再根据图形可得的坐标． 【详解】解：如图，为所作；点的坐标为．    故答案为． 【点睛】本题考查的是位似变换的作图，坐标与图形，熟练的利用位似的性质进行作图是解本题的关键． 5．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)以A为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了中心对称作图和位似作图，解题的关键是作出对应点． （1）作出点A、B、C关于原点的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）以A为位似中心，作出点B、C的位似点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形． （2）解：如图，与即为所求作的三角形． 6．（2024·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，请画出； (2)以点B为位似中心，在所给的平面直角坐标系内，将放大为原来的2倍得到，请画出； (3)请直接写出（2）中点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点的坐标为． 【分析】本题考查作图—平移变换和作图—位似变换． （1）利用平移变换的性质分别作出、、的对应点，再顺次连接即可； （2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，再顺次连接即可； （3）根据点的位置写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：如图，即为所求， ； （3）解：由图得，点的坐标为． 【变式训练9 在坐标系中画位似中心】 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：B． 2．（22-23九年级上·山西临汾·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“位似图形对应点的连线所在的直线的交点为位似中心”，再延长交直线于点P，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长交直线于点P， 则点P是位似中心， 故选：D．    【点睛】本题考查的是确定位似图形的位似中心，熟记位似图形对应点的连线所在的直线的交点为位似中心是解题的关键． 3．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，点O是坐标原点，点A，B，C，D，E坐标分别为、、、、，则位似中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念，坐标与图形的性质，掌握相关性质是解决问题的关键 根据位似变换的相似比为，可求得位似中心的坐标为． 【详解】如图所示：位似中心在三条连线的交点位置， ∵点，点，位似变换的相似比为， ∴位似中心的坐标为． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了确定位似中心的位置，位似图形对应点的连线所在的直线交于一点，该点即为即为位似中心，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，分别连接，所在的直线相交于点， ∴它们位似中心的坐标是， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，．与是以点为位似中心的位似图形． (1)请画出点的位置，并写出点的坐标是______； (2)以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使相似比为． 【答案】(1)图见解析，； (2)见解析 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出位似中心的位置； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点，再连接即可． 【详解】（1）解：点的位置如图所示： 点； 故答案为：； （2）解：如图所示：即为所求． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 6．（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形． (1)在图中标出点的位置，并写出点的坐标； (2)以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 【答案】(1)作图见解析；点的坐标为 (2)作图见解析 【分析】（1）连接交于一点，从而得到在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形； （2）连接三个顶点与位似中心原点，取线段中点，连接三条线段中点即可得到所求的位似图形，使与的相似比为． 【详解】（1）解：作图如下： 点的坐标为； （2）作图如下： 即为所作． 【点睛】本题考查位似定义及性质，涉及找位似中心、作位似图形，熟练掌握位似的定义及性质是解决问题的关键． 1．（2023九年级上·全国·专题练习）下列每组的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案． 【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换的知识，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 2．（22-23九年级上·山西·期末）如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0）．把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍，得到点A、B、C，下列说法正确的是( ) A．△ABC和△ABC是位似图形，位似中心是（1，0）． B．△ABC和△ABC是位似图形，位似中心是（0，0）． C．△ABC和△ABC是相似图形，但不是位似图形． D．△ABC和△ABC不是相似图形． 【答案】B 【详解】三个顶点的坐标分别为（1,2），（-2,3），（-1,0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点可得两图形关于原点位似，即与是位似图形，位似中心是点（0,0）. 故选B. 3．（2023·山东菏泽·一模）如图，将以O为位似中心，扩大到，各点坐标分别为，，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设比例系数为k，根据2k=6求出k值，进一步求出点C坐标． 【详解】解：设比例系数为k，则有2k=6， 解得k=3， ∴点C的坐标为（1×3，2×3），即为（3，6）， 故选：B． 【点睛】本题考查位似变化，掌握位似变换中点的坐标变化特征是解决问题的关键． 4．（22-23九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，且的坐标为，则与的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若以原点为位似中心，点的坐标为，的坐标为，可求出，的长度，由此即可求解． 【详解】解：点的坐标为，的坐标为， ∴，， ∵以原点为位似中心， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查根据图形求位似比，掌握位似的基础知识是解题的关键． 5．（22-23九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则的面积是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，然后根据位似三角形的面积比等于位似比的平方，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ， ∵与的位似比为， ∴ ， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似三角形的面积比等于位似比的平方是解题的关键． 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，和是位似图形，则位似中心是 ；图中与的关系是 ． 【答案】 【分析】△OAB和△OCD是位似图形，可得其位似中心为O，进而利用角相等，可得线段之间的关系． 【详解】由题意，位似中心为O，∵△OAB和△OCD是位似图形，∴∠OAB=∠C，∴可得AB∥CD． 故答案为； 【点睛】熟练掌握位似图形的性质． 7．（22-23九年级·全国·课后作业）下列关于位似图形的说法：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确的是 ．（只填序号） 【答案】② 【分析】根据位似图形定义解答即可． 【详解】相似图形不一定是位似图形，故①错误； 位似图形一定有位似中心，故②正确； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形不一定是位似图形，故③错误； 位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故④错误； 故答案为：②． 8．（2023·山东德州·一模）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ． 【答案】 【分析】直接利用位似图形的性质得出和的周长比即可． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴与的周长比为：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了位似变换，掌握相似三角形的性质是解题关键． 9．（22-23九年级上·四川眉山·期末）如图，与位似，点为位似中心，已知，的面积为2，则的面积为 ． 【答案】18 【分析】利用位似的性质得到，，所以，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：与位似，点为位似中心， ，， ， ， ， ． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）． 10．（22-23八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B'C′关于点P位似且顶点都在格点上，则位似中心P的坐标是 ． 【答案】(4，5) 【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】解：如图所示：连接AA′，BB′，两者相交于点P， ∴位似中心P的坐标是（4，5）． 故答案为：（4，5）． 【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 11．（22-23九年级·全国·课后作业）指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心. （1）   （2）   （3）   （4） 【答案】见解析 【分析】根据位似图形的定义解答即可. 【详解】（1）、（2）和（4）中的两个图形都是位似图形，（1）中的位似中心是点A，（2）中的位似中心是点P，（4）中的位似中心是点O. 【点睛】本题考查了位似图形的的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形. 12．（22-23九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形与四边形位似，位似中心是原点O．已知C与F是对应顶点，且O，C，F的坐标分别是，那么四边形与四边形的相似比是多少？四边形与四边形的相似比呢？ 【答案】四边形与四边形的相似比是1:3，四边形与四边形约相似比是3:1． 【分析】利用位似图形的性质，结合图形的对应点坐标得出相似比即可． 【详解】解：∵四边形与四边形位似，位似中心是原点O， 且O，C，F的坐标分别是， ∴对应点坐标扩大到原来的3倍， 因为C，F是对应顶点，且它们横坐标的比、纵坐标的比都是1∶3，所以四边形OBCD与四边形OEFG的相似比是1∶3，四边形OEFG与四边形OBCD相似比是3∶1． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，得出对应点坐标变化是解题的关键． 13．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2． （1）在图中画出位似中心点O； （2）若AB=2cm，则A′B′的长为多少? 【答案】（1）见解析；（2）的长为 【分析】（1）根据位似图形的性质直接得出位似中心即可； （2）利用位似比得出对应边的比进而得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：连接BB′、CC′，它们的交点即为位似中心O； （2）∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2， AB=2cm， ∴A′B′的长为4 cm． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似比等于对应边的比得出是解题关键． 14．（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．    (1)将向上平移6个单位，再向右平移3个单位后得到，请在网格中画出； (2)以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可． 【详解】（1）如图，即为所求；    （2）如图，即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣位似变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，平移变换的性质． 15．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，图中小方格都是边长为的正方形，与是关于点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上． 画出位似中心点； 与的位似比为 【答案】详见解析； ． 【分析】（1）直接利用位似图形的性质连接对应点，进而得出点O的位置； （2）直接利用位似图形的性质得出位似比. 【详解】解：（1）如图所示： 点O即为所求. （2）∵ ∴与的位似比为1∶2. 故答案为1∶2. 【点睛】本题主要考查了位似变换. 正确掌握位似图形的性质是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$