第08讲 相似三角形的判定与性质（4大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（沪科版）

第08讲 相似三角形的判定与性质（4大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 证明两三角形相似 题型二 选择或补充条件使两个三角形相似 题型三 重心的有关性质 题型四 相似三角形的判定与性质综台 题型五 利用相似三角形的性质求解 题型六 明三角形的对应线段成比例 题型七 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型八 相似三角形--动点问题 题型九 相似三角形的综合问题 知识点01：相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 要点： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点02：相似三角形的判定定理 1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 3．判定定理（三）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 知识点03：相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点04：相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 要点：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【典型例题一 证明两三角形相似】 1．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列命题中一定错误的是（　　） A．所有的等腰三角形都相似 B．有一对锐角相等的两个直角三角形相似 C．全等的三角形一定相似 D．所有的等边三角形都相似 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，D，E分别是AB，AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是(    )    A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEB C．BE∶CD＝AB∶AC D．AD∶AC＝AE∶AB 3．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，若，则 ．    4．（22-23九年级·全国·课后作业）如图，已知，则 ， ． 5．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 6．（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：如图，在中，D、E分别在边上，连接，，，，，求证：． 【典型例题二 选择或补充条件使两个三角形相似】 1．（22-23九年级下·全国·课后作业）下列能判定的条件是(      ) A． B．且 C．且 D．且 2．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图所示的三个三角形中，相似的是（    ）            A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（2）和（3） 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，请添加一个条件 ，使得．    4．（2023·宁夏银川·二模）如图，，是边上的两个点，要使，添加一个条件是 （只写一个）． 5．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 6．（2024·陕西渭南·一模）如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    【典型例题三 重心的有关性质】 1．（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，在△ABC中，点G为△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与四边形DBCE的面积比为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·山东淄博·二模）如图，已知，Rt△ABC，∠C＝90°，中线AE与CF交于点P，PF＝1，则AB的长度为（　　） A．3 B． C． D．6 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）已知点G为的重心，若的面积为6，则的面积为 ． 4．（2023·江苏盐城·一模）如图，在中，D是的中点，点G是的重心．，则 ．     5．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上， 仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）． (1)在图1中画，使得与的相似比为． (2)在图2中画出的重心O． 6．（2023·吉林松原·二模）如图，在正方形网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）    (1)在图1中作的重心（提示：三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心）； (2)在图2中作，且G是格点．（画出一个即可） 【典型例题四 相似三角形的判定与性质综台】 1．（2024·云南楚雄·三模）如图，在中 ，垂直平分交于点E，则 的值为（    ） A． B． C． D．4 2．（2024·云南楚雄·三模）如图，点D、E分别在的、边上，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·云南文山·期末）在中，点、分别在边、上，且，若，则 ． 4．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压 ． 5．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，在中，为上一点，． 求证：． 6．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，、相交于点P，连接、，且，，，，求的长． 【典型例题五 利用相似三角形的性质求解】 1．（2024·重庆·模拟预测）已知两个相似三角形的对应边的比为，则它们的面积之比为（　　） A． B． C． D． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，，分别是的边，上的点，．如果，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2024九年级下·江苏·专题练习）两个相似三角形的面积比为，则它们的周长之比为 ． 4．（2024·湖南永州·一模）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡(看作一个点O)，灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面3m，灯泡距离纸片1m，则阴影与纸片的面积比为 ． 5．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)已知，的面积为6，求的面积． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且． (1)求证：； (2)求与四边形的面积比． 【典型例题六 证明三角形的对应线段成比例】 1．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知，且相似比为，则与的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级·全国·阶段练习）如图，AB是斜靠在墙上的梯子，梯脚距墙2米，梯子上的点D距墙1.8米，BD长0.6米，则梯子的长为(　　) A．5.6米 B．6米 C．6.1米 D．6.2米 3．（22-23九年级下·全国·课后作业）已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4，另一个三角形最长边长为12，则另外两边x、y的值为 . 4．（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图，，，那么与的相似比为 ．    5．（22-23九年级上·北京房山·期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，F是AB上一点，连接DF并延长交CB的延长线于E. 求证：AD：AF＝CE：AB 6．（22-23九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G． （1）求证：DF•AB=BC•DG； （2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG． 【典型例题七 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 1．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，下列阴影部分的三角形与相似的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与下图中的三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于 ． 4．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，在正方形网格上，若使，则点P应在 ． 5．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知图的 方格中有一个格点三角形（三角形的顶点在格点上），请在图、图两个方格里各画出一个格点三角形与它相似且它们都不全等．（工具不限，不要求写画法和证明） 6．（22-23九年级上·北京房山·期中）如图是边长为1的正方形网格，的顶点均为格点，在该网格中画出（的顶点均在格点上），使． 【典型例题八 相似三角形--动点问题】 1．（22-23九年级下·吉林长春·开学考试）如图，中，，，，，点是边上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的值是（    ）    A．2或 B． C．3或 D．3 2．（22-23九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（     ） A． B． C．或3 D．或4 3．（22-23九年级·浙江·期中）如图，在中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若，两点同时出发，则当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ． 4．（23-24九年级上·福建宁德·期中）如图，在中，，，，若点从点出发，沿以的速度向点匀速运动．则经过 时，． 5．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，，，，，点在上移动，当以，，为顶点的三角形与相似时，求的长． 6．（22-23九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A,D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E． （1）求证： （2）是否存在这样的点P，使的周长等于周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由． 【典型例题九 相似三角形的综合问题】 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，相似比为1：3，已知，则AD的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 3．（22-23九年级上·上海闵行·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为 . 4．（22-23九年级·江苏苏州·期末）如图，在△ABC中点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8，则AD：AB＝ ． 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）已知，如图， 在△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=3，求S△ADE：S△BCED的值． 6．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，如果，，和是位似图形吗？请说明理由. 【变式训练1 证明两三角形相似】 1．（2023·上海静安·一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）小明想要得到与相似的三角形，于是他用剪刀沿着图中虚线将剪开，虚线与边平行，如图所示，则他判定剪下的三角形（阴影部分）与相似的依据是（    ） A．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 B．三边成比例的两个三角形相似 C．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 D．相似三角形的三个角分别相等 3．（23-24九年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知，则图中相似三角形是 ．    4．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）在和中，如果，那么这两个三角形是否相似？答： ，理由是 ． 5．（2024·湖北武汉·二模）如图，相交于点．求证∶ 6．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，是的边上的一点，，，，求证：． 【变式训练2 选择或补充条件使两个三角形相似】 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点D在的边AC上，添加一个条件，不能判断与相似的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，D是上一点，下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形中，平分，且，．当 时，． 4．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，点D是边上一点，，连接．若添加一个条件使得与相似，你添加的条件是 ．（只填写一个你认为正确的答案） 5．（23-24九年级上·广东佛山·期末）已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 6．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 【变式训练3 重心的有关性质】 1．（2022·河北张家口·一模）如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，边AB,BC分别与网格线交于点D，E，连接AE，CD交于点F，则点F为△ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．中心 2．（2024·江苏盐城·一模）如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．（2024·江苏盐城·二模）如图，在中，、分别是，的中点，与相交于点，若，则 ． 4．（2023·河北邢台·二模）如图，中，点、分别为、的中点，连接，线段、相交于点，若，则 ．    5．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，点G是的重心，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 6．（22-23九年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知AD是等边△ABC的中线，请用尺规作图法，在线段AD上求作一点P，使得△ABP的面积是△ABC面积的．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练4 相似三角形的判定与性质综台】 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点分别是上的点，连接，，，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．2 2．（23-24九年级上·四川德阳·期末）如图，中，，，的面积是1，那么四边形的面积是（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 3．（2024·上海·模拟预测）已知在梯形中，，交于，若，则的值为 4．（2024·北京海淀·二模）如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为 ． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）小华和小林想用标杆来测量如图1所示的古塔的高，如图2，小林在F处竖立了一根标杆，小华走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和塔的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点C、F、A在一条直线上，，，，根据以上测量数据，请你求出该塔的高AB． 6．（2024·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论： ①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高，∴．∵，， ∴．∴（依据）．∴．即． (1)材料中的“依据”是指　　　　； (2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标． 【变式训练5 利用相似三角形的性质求解】 1．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形对应边上的高之比是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知两相似三角形对应高的比为，且这两个三角形的周长差为，求它们的周长分别为多少． 6．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知于点，于点，，，，为上点．若以A，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似，求的长．    【变式训练6 证明三角形的对应线段成比例】 1．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广西百色·期末）如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·上海闵行·期末）两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为 厘米． 4．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 5．（2023九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 6．（2023九年级·全国·专题练习）在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 【变式训练7 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 1．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（22-23九年级上·广东江门·期末）如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，则在下列选项中与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．（2023·江苏南通·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ． 4．（2023·黑龙江绥化·三模）如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是 ． 5．（2024·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，在线段上画出点M，使； (2)在图②中，在线段上画出点N，使； (3)在图③中，在线段上画出点Q，使．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．） 6．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 【变式训练8 相似三角形--动点问题】 1．（22-23九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ） A．1 B．4 C．7 D．4或7 3．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图， 在中，，， 动点P以的速度从A向B移动，（不与B重合）， 动点Q以的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、 Q同时出发，经过 秒后，与相似．    4．（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间为 秒． 5．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动如果与同时出发，那么经过几秒和相似？    6．（22-23八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，多长时间后，与相似？    【变式训练9 相似三角形的综合问题】 1．（22-23九年级下·四川成都·开学考试）如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3 2．（22-23九年级上·福建宁德·期末）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8 3．（2023·甘肃武威·一模）已知△ABC和△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比是1：4，已知△ABC的周长是6，则△DEF的周长是 ． 4．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是 ． 5．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3．在Rt△ABC内并排放入（不重叠）n个小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D、E分别在AC、BC上，求小正方形的边长（用n的代数式表示）． 6．（22-23九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在与中，，下列一定能使的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）下列说法：①有一个角等于30°的两个等腰三角形相似；②有一个角等于120°的两个等腰三角形相似；③相似三角形一定不是全等三角形；④相似三角形对应角平分线的长度比等于面积比．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，以下三个三角形中，相似的是（    ） A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（2）和（3） 4．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·广东佛山·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 6．（22-23九年级下·全国·课后作业）在和中，若，，，，则当 时，. 7．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）已知与相似，且与的相似比为，如果的面积为18，那么的面积等于 ． 8．（22-23九年级上·全国·期中）如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE． 9．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，在矩形ABCD中，，，点P是边AB上一点，若与相似，则满足条件的点P有 个 10．（2023·湖南张家界·一模）如图，点O是△ABC内一点，分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD，若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是 ． 11．（22-23九年级下·全国·课后作业）如果的两条直角边分别为3和4，那么以和（k是正整数）为直角边的直角三角形一定与相似吗？为什么？ 12．（22-23九年级上·湖北十堰·期末）如图，已知中，，为上一点，以为直线作与相切于点，连接并延长交的延长线于点. （1）求证：； （2）若，，求的半径长. 13．（22-23九年级上·福建漳州·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？” .其大意是:如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B出有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，求正方形城池的边长. 14．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分. 问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并写出相应的点C的坐标）． 15．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，点C关于DE的对称点F恰好落在AB边上，连接DF、EF，延长FE，交DC延长线于点G． （1）求证：△DFG∽△FAD； （2）连接BD，若BD＝6，菱形ABCD的边长为5． ①求菱形ABCD的面积； ②求CG的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 相似三角形的判定与性质（4大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 证明两三角形相似 题型二 选择或补充条件使两个三角形相似 题型三 重心的有关性质 题型四 相似三角形的判定与性质综台 题型五 利用相似三角形的性质求解 题型六 明三角形的对应线段成比例 题型七 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型八 相似三角形--动点问题 题型九 相似三角形的综合问题 知识点01：相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 要点： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点02：相似三角形的判定定理 1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 3．判定定理（三）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 知识点03：相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点04：相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 要点：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【典型例题一 证明两三角形相似】 1．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列命题中一定错误的是（　　） A．所有的等腰三角形都相似 B．有一对锐角相等的两个直角三角形相似 C．全等的三角形一定相似 D．所有的等边三角形都相似 【答案】A 【分析】根据相似三角形的定义依次判断各选项即可． 【详解】解：所有的等腰三角形都相似，如果顶角不相等，则两个等腰三角形不相似．故A错误． 有一对锐角相等的两个直角三角形相似，全等的三角形一定相似，所有的等边三角形都相似都可根据相似判定定理得出．故B，C，D正确． 故选：A． 【点睛】 本题考查了相似三角形的定义，解答关键是按照定义进行判定． 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，D，E分别是AB，AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是(    )    A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEB C．BE∶CD＝AB∶AC D．AD∶AC＝AE∶AB 【答案】C 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解： 根据相似三角形判定定理1：由 可知条件“∠B＝∠C”和“∠ADC＝∠AEB”符合题意； 根据相似三角形判定定理2：由 可知条件“AD∶AC＝AE∶AB”符合题意． 而由条件“BE∶CD＝AB∶AC”无法推出和相似． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； ③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．掌握以上知识是解题的关键． 3．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，若，则 ．    【答案】 【分析】根据∠B=∠DAC，∠C为公共角即可判定△ABC∽△DAC． 【详解】在和中， ∵， ∴． 故答案为：DAC. 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知三角形相似的判定方法. 4．（22-23九年级·全国·课后作业）如图，已知，则 ， ． 【答案】 △ACD △ABE △BOD △COE 【分析】根据相似三角形的判定定理即可证明哪两个三角形相似，填空即可． 【详解】解：∵，， ∴△ACD∽△ABE， ∵，， ∴△BOD∽△COE， 故答案为：△ACD，△ABE，△BOD，△COE． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练运用两个角对应相等的两个三角形相似进行判断推理． 5．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】题考查了相似三角形的判定，熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：如图，在中，D、E分别在边上，连接，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【典型例题二 选择或补充条件使两个三角形相似】 1．（22-23九年级下·全国·课后作业）下列能判定的条件是(      ) A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据两三角形相似的判定方法之一：两边对就成比例，且夹角相等，两三角形相似. 【详解】A只有两边对就成比例，不能判定相似； B.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； C有两对应成比例，但相等的两角一个是夹角，一个却是一边的对角，所以不能判定； D有两边对就成比例，相等的两角一边的对角，所以也不能判定两三角形相似． 故选：B. 【点睛】利用两边对边成比例且夹角相等判定两三角形相似来判定两三角形相似的关键在于能正确的找到成例的两条线段的夹角． 2．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图所示的三个三角形中，相似的是（    ）            A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（2）和（3） 【答案】A 【分析】根据相似的判定找到两组对应角即可． 【详解】题图（1）中三角形的三个内角分别为71°,65°,44°, 题图（2）中三角形的三个内角分别为71°,44°,65°, 题图（3）中三角形的三个内角分别为71°,67°,42°, 所以（1）和（2）相似． 故选A． 【点睛】本题考查相似的判定,关键在于熟练掌握相似的判定条件． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，请添加一个条件 ，使得．    【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵, ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 4．（2023·宁夏银川·二模）如图，，是边上的两个点，要使，添加一个条件是 （只写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，已知，根据相似三角形的判定定理即可求得答案． 【详解】∵，， ∴， 故添加条件即可求得． 同理可得：或可以得出． 故答案为： 或或． 5．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 【答案】（答案不唯一），见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：（答案不唯一） 证明：在和中， ∴．（有两角对应相等的两个三角形相似） 6．（2024·陕西渭南·一模）如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    【答案】（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应相等，且它们的夹角也相等的两三角形相似，据此添加条件并证明即可. 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵， ∴． 【典型例题三 重心的有关性质】 1．（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，在△ABC中，点G为△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与四边形DBCE的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AG并延长交BC于H，如图，利用三角形重心的性质得到AG=2GH，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到==，然后根据比例的性质得到△ADE与四边形DBCE的面积比. 【详解】解：连接AG并延长交BC于H，如图， ∵点G为△ABC的重心， ∴AG＝2GH， ∴＝， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝（）2＝， ∴△ADE与四边形DBCE的面积比＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的重心与相似三角形的性质与判定. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1. 2．（2023·山东淄博·二模）如图，已知，Rt△ABC，∠C＝90°，中线AE与CF交于点P，PF＝1，则AB的长度为（　　） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】先判断P点为△ACB的重心，根据三角形重心性质得到CP＝2PF＝2，然后根据斜边上的性质求解． 【详解】解：∵中线AE与CF交于点P， ∴P点为△ACB的重心， ∴CP＝2PF＝2， ∴CF＝3， ∵CF为斜边上中线， ∴AB＝2CF＝6． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）已知点G为的重心，若的面积为6，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了三角形的重心的性质，解题的关键是画出图形，利用三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，再结合三角形的面积公式求解． 【详解】解：为的重心， ， ，， 的面积的面积， 故答案为：2． 4．（2023·江苏盐城·一模）如图，在中，D是的中点，点G是的重心．，则 ．     【答案】4 【分析】 根据重心的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵D是的中点，点G是的重心， ∴， ∴； 故答案为：4． 【点睛】本题考查重心的性质，熟练掌握重心到顶点的距离是中心到对边中点距离的2倍，是解题的关键． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上， 仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）． (1)在图1中画，使得与的相似比为． (2)在图2中画出的重心O． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-相似变换，三角形的重心，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据相似三角形的性质作出图形即可； （2）根据三角形重心的定义即可得到结论． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，点即为所求． 6．（2023·吉林松原·二模）如图，在正方形网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）    (1)在图1中作的重心（提示：三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心）； (2)在图2中作，且G是格点．（画出一个即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据重心是三角形三边中线的交点，分别作出三边中线即可得到答案； （2）根据题意可知，因此只要保证等于即可，利用正方形的性质即可得解． 【详解】（1）解：如图①，点D即为所求； ； （2）解：如图2，，，，即为所求． ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，正方形的性质，三角形重心，熟知矩形的性质，正方形的性质是解题的关键 【典型例题四 相似三角形的判定与性质综台】 1．（2024·云南楚雄·三模）如图，在中 ，垂直平分交于点E，则 的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及相似三角形的判定与性质，因为垂直平分交于点E得出，证明，得出，即可作答． 【详解】解：∵垂直平分交于点E ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·云南楚雄·三模）如图，点D、E分别在的、边上，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．根据已知条件求出两个三角形的相似比是解决问题的关键． 首先得到，通过，可以得到与的面积的比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．（23-24九年级上·云南文山·期末）在中，点、分别在边、上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用面积比和相似比的关系．首先证明∽，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ∽， 而， ． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，由两角对应相等的三角形相似得，由三角形相似的性质得，即可求解；掌握判定方法及性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：， 故答案：． 5．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，在中，为上一点，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据一对三角形中有两组角对应相等即可判断两个三角形相似，据此即可作答． 【详解】解：，， ， ， ． 6．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，、相交于点P，连接、，且，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，列出比例式进行求解即可．解题的关键是得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即：， ∴． 【典型例题五 利用相似三角形的性质求解】 1．（2024·重庆·模拟预测）已知两个相似三角形的对应边的比为，则它们的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：面积比等于相似比的平方，相似比为， 面积比为， 故选：D． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，，分别是的边，上的点，．如果，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的对应边的比相等直接写出答案即可． 【详解】 解：．如果， ， 故选：B． 3．（2024九年级下·江苏·专题练习）两个相似三角形的面积比为，则它们的周长之比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为9：16， ∴它们的相似比为3：4， 则它们的周长比为3：4， 故答案为：3：4． 4．（2024·湖南永州·一模）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡(看作一个点O)，灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面3m，灯泡距离纸片1m，则阴影与纸片的面积比为 ． 【答案】/9 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，然后利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：由题意得：， ， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)已知，的面积为6，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，又， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且． (1)求证：； (2)求与四边形的面积比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可求证； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴ （2）解：∵，， ∴ ∴ 【典型例题六 证明三角形的对应线段成比例】 1．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知，且相似比为，则与的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案． 【详解】∵△ABC∽△DEF，且相似比为2:3， ∴△ABC与△DEF的对应高之比为2:3， 故选A. 【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质. 2．（22-23九年级·全国·阶段练习）如图，AB是斜靠在墙上的梯子，梯脚距墙2米，梯子上的点D距墙1.8米，BD长0.6米，则梯子的长为(　　) A．5.6米 B．6米 C．6.1米 D．6.2米 【答案】B 【详解】分析：由题意易得DE∥BC，那么可得△ADE∽△ABC，利用对应边成比例可得AB的长． 详解：如图： ∵DE⊥AC，BC⊥AC， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，且DE=1.8,BC=2,AB-AD=0.6. ∴AB=6. 故选B. 点睛：本题考查了相似三角形的应用：三边对应成比例. 3．（22-23九年级下·全国·课后作业）已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4，另一个三角形最长边长为12，则另外两边x、y的值为 . 【答案】6和9 【分析】根据三角形相似对应边成比例即可求出x、y的值. 【详解】∵已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4，另一个三角形最长边长为12， ∴相似比为===, ∴x=6,y=9. 【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是找到三角形的相似比. 4．（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图，，，那么与的相似比为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合已知求出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为相似比， ∵， ∴，即相似比为， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·北京房山·期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，F是AB上一点，连接DF并延长交CB的延长线于E. 求证：AD：AF＝CE：AB 【答案】见解析 【详解】分析：利用平行四边形的性质：对角相等和对边平行证明∠A=∠C和∠ADF=∠E，进而证明△ADF∽△CED，再利用相似的性质：对应边的比值相等可得比例式，再把相等的线段代换即可． 详解： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，∠A=∠C，AD∥BC， ∴∠ADF=∠E， ∴△ADF∽△CED， ∴AD：AF=EC：DC， 又∵AB=CD， ∴AD：AF=CE：AB． 点睛：考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ADF∽△CED得到AD：AF=EC：DC，再运用等量代换得出结论． 6．（22-23九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G． （1）求证：DF•AB=BC•DG； （2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）由BC2=BF•BA，∠ABC=∠CBF可判断△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论； （2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，易得AH∥DE，由点E为AC的中点得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可． 【详解】证明：（1）∵BC2=BF•BA， ∴BC：BF=BA：BC， 而∠ABC=∠CBF， ∴， ∵DE∥BC， ∴， ∴， ∴DF：BC=DG：BA， ∴DF•AB=BC•DG； （2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图， ∵DE∥BC， ∴AH∥DE， ∵点E为AC的中点， 为的中位线， ∴AH=2EG， ∵AH∥DG， ∴， ∴， ∴， 即2DF•EG=AF•DG． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 【典型例题七 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 1．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，下列阴影部分的三角形与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：在中， ，，， A、三边分别为，，，则，故与相似，符合题意； B、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意； C、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意； D、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握． 2．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与下图中的三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都可以表示出，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可判定选择项． 【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，，，所以三边之比为． A、三角形的三边分别为，，4，三边之比为，故本选项不符合； B、三角形的三边分别为2，，，三边之比为，故本选项不符合； C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为，故本选项不符合； D、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为，故本选项符合． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定， 属于基础题， 掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键， 难度一般 ． 3．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于 ． 【答案】2.5 【分析】画出图形，利用数形结合的思想，画出相似比为1：的三角形，求出面积即可． 【详解】解：如图△ABC是面积最小的格点三角形，△DEF是面积最大的格点三角形， =2.5 故答案为：2.5． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 4．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，在正方形网格上，若使，则点P应在 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形相似的条件的相关知识．由图可知一定是钝角，若要，则，可据此进行判断． 【详解】解：由图知：一定是钝角； ∵， ，， ， ， ， ， 只有点符合这样的要求， 故P点应该在处， 故答案为：． 5．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知图的 方格中有一个格点三角形（三角形的顶点在格点上），请在图、图两个方格里各画出一个格点三角形与它相似且它们都不全等．（工具不限，不要求写画法和证明） 【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】如图所示， 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定． 6．（22-23九年级上·北京房山·期中）如图是边长为1的正方形网格，的顶点均为格点，在该网格中画出（的顶点均在格点上），使． 【答案】见解析 【分析】把△A1B1C1的边长缩小一半，画出三角形即可． 【详解】解：如图，△A2B2C2即为所求． ∵A1C1＝4，A1B1＝2，A2C2＝2，A2B2＝， ∴＝＝2， ∵∠B1A1C1＝∠B2A2C2＝135°， ∴△A1B1C1∽△A2B2C2． 【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，准确作图． 【典型例题八 相似三角形--动点问题】 1．（22-23九年级下·吉林长春·开学考试）如图，中，，，，，点是边上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的值是（    ）    A．2或 B． C．3或 D．3 【答案】A 【分析】根据含30度的直角三角形的性质求出，分两种情况：①，根据相似三角形的性质和判定求出，求出；②，根据相似三角形的性质和判定求出，求出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时， ，， ∴， ∴，即， ∴， ∴；    当时， ，， ∴， ∴，即， ∴， ∴；    综上：的值是2或， 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识点，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键． 2．（22-23九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（     ） A． B． C．或3 D．或4 【答案】C 【分析】首先由∠ACD=∠ABC，得出∠A=∠DCE，然后由相似三角形的性质得出或，代入即可得解. 【详解】∵∠ACD=∠ABC， ∴∠A=∠DCE， ∵△DCE和△ABC相似， ∴或 ∵AC=6，AB=4，CD=2， ∴或 ∴CE的长为或3 故选：C. 【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解决此问题要注意分类讨论. 3．（22-23九年级·浙江·期中）如图，在中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若，两点同时出发，则当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．分两种情况：①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答． 【详解】解：根据题意，点从点到点的时间为；点从点到点的时间为， 如果两点同时运动，设运动秒时，以点、、为顶点的三角形与相似， 则． ①当D与B对应时，有， ∴， ∴， ∴； ②当与对应时，有． ∴， ∴， ∴． 故当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是或，符合题意， 故答案为：或． 4．（23-24九年级上·福建宁德·期中）如图，在中，，，，若点从点出发，沿以的速度向点匀速运动．则经过 时，． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，解题的关键是根据相似式得出对应比例式，继而求出． 【详解】解：∵， ∴，即，即， 解得：， ∴经过时，， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，，，，，点在上移动，当以，，为顶点的三角形与相似时，求的长． 【答案】3或 【分析】设DE=x，则BE=BD-x=6-x，根据垂直的定义得到∠B=∠D=90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△ABE∽△CDE，则；当时，△ABE∽△EDC，即；然后分别解方程求出x即可． 【详解】解：设DE=x，则BE=BD-x=6-x， ∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D， ∴∠B=∠D=90°， ∴当时，△ABE∽△CDE，即， 解得x=， 当时，△ABE∽△EDC，即， 整理得x2-6x+9=0， 解得x1=x2=3， ∴当DE为或3时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 6．（22-23九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A,D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E． （1）求证： （2）是否存在这样的点P，使的周长等于周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在这样的点P，使的周长等于周长的2倍；DP的长为8. 【分析】（1）首先根据余角的等量转化，得出∠CPD=∠AEP，∠APE=∠DCP，然后根据两角对应相等，两个三角形相似，即可判定； （2）首先假设存在这样的点，然后根据相似的性质得出CD：AP=PD：AE=2，即可得解. 【详解】（1）∵∠CPD=90°-∠APE=∠AEP， ∴∠CPD=∠AEP，∠APE=∠DCP． ∴（两角对应相等，两个三角形相似） （2）假设存在这样的点P， ∵Rt△AEP∽Rt△DPC， ∴CD：AP=PD：AE=2． 又∵CD=AB=4， ∴AP=2，PD=8， ∴存在这样的P点，且DP长为8． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题. 【典型例题九 相似三角形的综合问题】 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质，根据位似图形的性质、相似多边形的性质判断即可；掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为， ∴ ∴与的相似比为，，故①正确，②错误； ∴，，故③正确，④错误． 故正确的个数是个， 故选：B． 2．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，相似比为1：3，已知，则AD的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 【答案】B 【详解】∵与是位似图形，相似比为1：3， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，平行线分线段成比例等知识，掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 3．（22-23九年级上·上海闵行·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为 . 【答案】1 【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得，只要求出BM、BD即可解决问题． 【详解】 ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠DAC=∠ACD， ∴∠DAC=∠ABC， ∵∠C=∠C， ∴△CAD∽△CBA， ∴ ∴， ∴CD=，BD=BC-CD=6-=， ∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB， ∴△ADM∽△BDA， ∴，即， ∴DM=，MB=BD-DM=-=， ∵∠ABM=∠C=∠MED， ∴A、B、E、D四点共圆， ∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD， ∴△ABD∽△MBE， ∴， ∴． 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题. 4．（22-23九年级·江苏苏州·期末）如图，在△ABC中点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8，则AD：AB＝ ． 【答案】1：3． 【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△AEC， ∴=()2 ∵S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8， ∴S△ABC＝9， ∴=， ∴， 故答案为1：3． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）已知，如图， 在△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=3，求S△ADE：S△BCED的值． 【答案】25：39 【分析】根据DE∥BC，可知△ADE∽△ABC，根据AD=5，BD=3可知相似比为5:8，故S△ADE：S△ABC=52:82=25:64，设S△ADE的面积为25a，则S△ABC=64a，故可求出四边形BCED的面积，即可求出S△ADE：S△BCED的值. 【详解】∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵AD=5，BD=3， ∴AB=8, ∴△ADE与△ABC的相似比为5:8， ∴S△ADE：S△ABC=52:82=25:64， 设S△ADE为25a,则S△ABC=64a， ∴S△BCED= S△ABC-S△ADE=64a-25a=39a， ∴S△ADE：S△BCED=25：39 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的根据是找到两个三角形的面积比，从而算出四边形的面积进行求解. 6．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，如果，，和是位似图形吗？请说明理由. 【答案】和是位似图形.理由见解析 【分析】由，，得到，，从而得到.由对应点的连线都过O点，得到答案. 【详解】和是位似图形.理由如下： ∵，， ∴，，，. ∴，. ∴. 又∵对应点的连线都过O点， ∴和是位似图形. 【点睛】本题考查位似图形的判断，解题的关键是掌握位似图形的判断方法. 【变式训练1 证明两三角形相似】 1．（2023·上海静安·一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形相似的判定方法有（1）平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似； （2）如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，这2个三角形也可以说明相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.）； （3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似（简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.）； （4）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两个三角形相似）。 【详解】A选项符合判定方法（4），符合题意． B选项相等的角不是对应边的夹角，不符合题意． C选项相等的角不是对应角，不符合题意． D选项相等的角不是对应角，不符合题意． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定方法，解题的关键是牢记判定方法． 2．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）小明想要得到与相似的三角形，于是他用剪刀沿着图中虚线将剪开，虚线与边平行，如图所示，则他判定剪下的三角形（阴影部分）与相似的依据是（    ） A．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 B．三边成比例的两个三角形相似 C．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 D．相似三角形的三个角分别相等 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，作答即可． 【详解】解：由题意，判断的依据是：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 故选：C． 3．（23-24九年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知，则图中相似三角形是 ．    【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）在和中，如果，那么这两个三角形是否相似？答： ，理由是 ． 【答案】 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【分析】根据相似三角形的判定方法，判定即可． 【详解】解：∵， ∴，理由为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 故答案为：，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 5．（2024·湖北武汉·二模）如图，相交于点．求证∶ 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，由平行线的性质，得出，再结合两个对应角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答． 【详解】证明∶， ， ． 6．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，是的边上的一点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的证明，根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例和夹角相等即可得出结论． 【详解】证明：，， ， ， ， 为公共角， ． 【变式训练2 选择或补充条件使两个三角形相似】 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点D在的边AC上，添加一个条件，不能判断与相似的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：解：A、，，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意． B、与不是对应边，不能说明相似，选项错误，符合题意． C、，，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意． D、，，两组对边成比例，夹角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意． 故选B． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，D是上一点，下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键． 【详解】解：A. ，，不能得到，故符合题意； B.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； C.，，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； D.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； 故选A． 3．（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形中，平分，且，．当 时，． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：9． 4．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，点D是边上一点，，连接．若添加一个条件使得与相似，你添加的条件是 ．（只填写一个你认为正确的答案） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形相似的判定定理，选择适当的条件即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故可以添加如下条件：， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·广东佛山·期末）已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 【答案】（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理“有两个角相等的两个三角形相似；有两边成比例，且这两边夹角相等的两个三角形相似”即可解答． 【详解】解：①当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ②当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ③当添加时，证明如下： ∵，， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 6．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 或选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式训练3 重心的有关性质】 1．（2022·河北张家口·一模）如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，边AB,BC分别与网格线交于点D，E，连接AE，CD交于点F，则点F为△ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．中心 【答案】C 【分析】根据三角形重心的定义即可判断． 【详解】解：由图看出，CD，AE都是中线，所以点F为△ABC的重心． 故选：C． 【点睛】本题考查了重心的概念，三角形的重心就是三条中线的交点． 2．（2024·江苏盐城·一模）如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，熟记重心的性质是解题的关键．根据重心性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵是边上的中线，点是重心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（2024·江苏盐城·二模）如图，在中，、分别是，的中点，与相交于点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．先判断点为的重心，然后利用三角形重心的性质求出，从而得到的长． 【详解】解：、分别是，的中点， 点为的重心， ， ． 故答案为3． 4．（2023·河北邢台·二模）如图，中，点、分别为、的中点，连接，线段、相交于点，若，则 ．    【答案】4 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 根据重心定义得到点为的重心，再根据重心的性质得，所以． 【详解】解：点、分别为、的中点， 点为的重心， ， 而， ． 故答案为4 5．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，点G是的重心，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）由点G是的重心可得点E和点D分别是和的中点，证明，由相似三角形的性质得，即可得证； （2）先证明，由相似三角形的性质得，即，由AD=6即可求得GD的长． 【详解】（1）证明：∵点G是的重心， ∴点E和点D分别是和的中点 ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴； （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵AD=6， ∴． 【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6．（22-23九年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知AD是等边△ABC的中线，请用尺规作图法，在线段AD上求作一点P，使得△ABP的面积是△ABC面积的．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析． 【分析】根据三角形重心的性质、等边三角形的性质可得作出线段的垂直平分线，交于点即可． 【详解】解：如图，点即为所作． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质、等边三角形的性质、线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键． 【变式训练4 相似三角形的判定与性质综台】 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点分别是上的点，连接，，，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．根据已知条件证明，利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·四川德阳·期末）如图，中，，，的面积是1，那么四边形的面积是（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 首先根据得到，然后由，可证，从而根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求出，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故选：B． 3．（2024·上海·模拟预测）已知在梯形中，，交于，若，则的值为 【答案】 【分析】本题考查相似三角形性质，熟练掌握相似三角形面积比为相似比的平方是解题的关键，根据题意作图，已知，可以得到，再根据相似三角形面积比为相似比的平方，即可得到． 【详解】解：根据题意作图可得： ， ，， ， ， ， 故答案为：． 4．（2024·北京海淀·二模）如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据可证，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为： ． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）小华和小林想用标杆来测量如图1所示的古塔的高，如图2，小林在F处竖立了一根标杆，小华走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和塔的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点C、F、A在一条直线上，，，，根据以上测量数据，请你求出该塔的高AB． 【答案】该塔的高为38米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，过D作于P，交于N，求出，，，证明，由相似三角形的性质可得出，求出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：如图，过D作于P，交于N， 则，， ，， 由题意得，，， ， ， 即， ， ， 答：该塔的高为38米． 6．（2024·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论： ①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高，∴．∵，， ∴．∴（依据）．∴．即． (1)材料中的“依据”是指　　　　； (2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标． 【答案】(1)两角分别对应相等的两个三角形相似 (2)见解析 (3)顶点A的坐标为或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算． （1）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”即可解答； （2）②根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明即可得证；③根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明； （3）根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用证明的射影定理得，即可求出，由此求出顶点A的坐标． 【详解】（1）解：“依据”是：两角分别对应相等的两个三角形相似， 故答案为：两角分别对应相等的两个三角形相似； （2）证明：②，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； ③，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图，根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴顶点A的坐标为或． 【变式训练5 利用相似三角形的性质求解】 1．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形对应边上的高之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、对应高（中线、角平分线）的比等于相似比是解题的关键．由相似三角形的面积比等于相似比的平方先求得相似比，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是 ∴这两个相似三角形的相似比是 ∴这两个相似三角形对应边上的高之比是． 故选：D． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的高的比等于相似比是解答此题的关键．根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵和分别是和的高，若， ∴其相似比为， ∴与的面积的比为． 故选：A． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的周长的比为， 故答案为：． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了相似图形的性质，理解题意，掌握相似的性质是解题的关键． 根据即可求解． 【详解】解：根据题意，设蜡烛火焰高度为， ∴， 解得，， ∴蜡烛火焰高度为， 故答案为： ． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知两相似三角形对应高的比为，且这两个三角形的周长差为，求它们的周长分别为多少． 【答案】它们的周长分别为 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长之比等于相似比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的性质求出相似三角形的相似比，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为， 则， ∴， 经检验：是方程的解， 答：它们的周长分别为． 6．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知于点，于点，，，，为上点．若以A，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似，求的长．    【答案】或3或18 【分析】本题主要考查了三角形相似的性质，解题的关键是注意分和两种情况进行讨论． 【详解】解：设为，当时，， 即， 解得，， 当时，， 即， 解得； 综上分析可知，的长为或3或18． 【变式训练6 证明三角形的对应线段成比例】 1．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A，B，C正确,D错误 故选：D． 2．（22-23九年级上·广西百色·期末）如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解． 【详解】解：∵△ABC∽△ADB， ∴， ∴AB2=AC•AD． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是解题的关键． 3．（22-23九年级上·上海闵行·期末）两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为 厘米． 【答案】3 【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25 ∴两个三角形相似比为3:5 设：另一三角形对应边上的高为x ∴，解得x=3 故答案为：3 【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 4．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 【答案】4． 【分析】根据相似三角形性的性质得到对应边成比例，列式求出AD的长． 【详解】∵△ABC∽△ACD，∴， ∵AB＝9，AC＝6，∴，解得：AD＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 5．（2023九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】见解析 【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证． 【详解】如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质． 6．（2023九年级·全国·专题练习）在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 【答案】见解析 【分析】过D作交于G，证明和相似， 和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题． 【详解】证明：过D作交于G，则和相似， ∴， ∵， ∴， 由可得和相似， ∴即， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键． 【变式训练7 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 1．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定定理(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)即可判断． 【详解】解：中，是正方形的对角线， ∴，且，， 即， 要使， 则， 观察图形，只有是正方形的对角线，即， 且，， 即， ∴点符合题意， 故选：A． 2．（22-23九年级上·广东江门·期末）如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，则在下列选项中与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题． 【详解】解：由网格的特点知，、都是正方形的角平分线， 则，， 显然，选项A、D都不是直角三角形，不符合题意； 选项B中，夹直角的两边的比为，符合题意； 选项C中，夹直角的两边的比为，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，有一角相等及夹这角的两边对应成比例判定三角形相似的方法，本题中根据网格的特点求得，是解题的关键． 3．（2023·江苏南通·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ． 【答案】 【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴△ABC∽△DEF， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似． 4．（2023·黑龙江绥化·三模）如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是 ． 【答案】，2，． 【分析】直接利用网格结合勾股定理以及相似三角形的判定方法得出答案． 【详解】如图所示：△ABC∽△DEF， DF＝，ED＝2，EF＝． 故答案为，2，． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确运用勾股定理进行计算是解题关键． 5．（2024·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，在线段上画出点M，使； (2)在图②中，在线段上画出点N，使； (3)在图③中，在线段上画出点Q，使．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查了作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质． （1）利用网格的特点，根据相似三角形的性质，取格点D，C，，，连接交于M即可； （2）利用网格的特点，由相似三角形的性质，取格点F，E，，，连接，交于N即可； （3）利用网格的特点，根据相似三角形的性质，取格点G，，连接交于Q即可． 【详解】（1）解：如图，点M即为所求； ； （2）解：如图，点N即为所求； ； （3）解：如图，点Q即为所求． ． 6．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作相似三角形， （1）根据相似比得出各边均扩大2倍，通过计算求出扩大后三角形三边长再连接各点即可； （2）由面积的比得两三角形相似比为，画出所有对应边为原来倍的三角形即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． ； （2）解：如图：即为所求． ． 【变式训练8 相似三角形--动点问题】 1．（22-23九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理“有两个角分别相等的两个三角形相似”，按点P的运动轨迹，一次进行判断即可． 【详解】解：①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， 综上：一共有4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握“有两个角分别相等的两个三角形相似”． 2．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ） A．1 B．4 C．7 D．4或7 【答案】D 【分析】求出，分两种情况：当和，利用30°角直角三角形的性质求解即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 分两种情况： ①当时， ， ∴， ∵D为BC的中点， ∴E为的中点， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∵D为BC的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为4或7， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论． 3．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图， 在中，，， 动点P以的速度从A向B移动，（不与B重合）， 动点Q以的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、 Q同时出发，经过 秒后，与相似．    【答案】3或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，设x秒后与原三角形相似，则可用x表示出，由于与有公共角，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，分两种情况． 【详解】解：设x秒后与相似，则， ， ∴当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得． 即经过3秒或秒后，与相似． 故答案为：3或． 4．（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间为 秒． 【答案】秒或4秒 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，设运动时间为秒，分和，两种情况，利用相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为秒， 当时，如图：    则，，， ，即：， 解得：， 当时，如图：    则，，， ，即：， 解得：， 综上所述，运动时间为秒或4秒， 故答案为：秒或4秒． 5．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动如果与同时出发，那么经过几秒和相似？    【答案】秒或秒 【分析】本题主要利用相似三角形的判定，设经过秒和相似，先求出，，再利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设经过秒，两三角形相似，则，， ①当与是对应边时，， 即， 解得； ②当与是对应边时，， 即， 解得． 故经过秒或秒，两个三角形相似． 6．（22-23八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，多长时间后，与相似？    【答案】或 【分析】首先设经秒钟与相似，由题意可得，，，又由是公共角，分别从与分析，即可求得答案． 【详解】解：设经秒钟与相似， 则，， ，， ， 是公共角， ①当，即时，， 解得：； ②当，即时，， 解得：， 经过2或秒钟与相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 【变式训练9 相似三角形的综合问题】 1．（22-23九年级下·四川成都·开学考试）如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3 【答案】B 【分析】根据两三角形相似，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与位似，点O是它们的位似中心，且相似比为， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 2．（22-23九年级上·福建宁德·期末）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8 【答案】B 【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答． 【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，其位似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：4． 故选：B． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 3．（2023·甘肃武威·一模）已知△ABC和△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比是1：4，已知△ABC的周长是6，则△DEF的周长是 ． 【答案】24 【分析】根据位似图形周长比等于位似比，知道其中一个周长，就可以求出另外一个周长. 【详解】解：与的位似比是1:4， 所以周长比是1:4， ∵△ABC的周长是6， 则△DEF的周长是24 故答案为：:24 【点睛】此题重点考查学生对位似图形周长的计算，抓住周长比等于位似比是解题的关键. 4．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是 ． 【答案】12． 【详解】解：∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，∴△ABC∽△A1B1C1． ∵位似比是1：2，∴相似比是1：2．∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：4． ∵△ABC的面积为3， ∴△A1B1C1的面积是：3×4=12． 故答案为：12． 5．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3．在Rt△ABC内并排放入（不重叠）n个小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D、E分别在AC、BC上，求小正方形的边长（用n的代数式表示）． 【答案】x= 【分析】作CF⊥AB，交DE于点H，利用面积法求出CF的长，易证△DEC∽△ABC，CH:CF=DE:AB，即（-x）：=nx：5 【详解】作CF⊥AB，交DE于点H 易得CF= ∵DE∥AB ∴△DEC∽△ABC 又∵CH⊥DE，CF⊥AB ∴CH:CF=DE:AB ∴（-x）：=nx：5 解得x= 6．（22-23九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，先证明，再结合公共角可得结论，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】证明：∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在与中，，下列一定能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定条件：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）夹角相等，对应边成比例，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法，并结合题意逐一判断即可得到答案． 【详解】解：根据题意可画图如下：    ∵， ∴或可证得，故A、B选项都不符合题意； 可证得，故D选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）下列说法：①有一个角等于30°的两个等腰三角形相似；②有一个角等于120°的两个等腰三角形相似；③相似三角形一定不是全等三角形；④相似三角形对应角平分线的长度比等于面积比．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的判定方法，以及相似三角形的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：有一个角等于30°的两个等腰三角形不一定相似，故①错误； 有一个角等于120°的两个等腰三角形相似，故②正确； 相似比为1的相似三角形是全等三角形，故③错误； 相似三角形对应角平分线的长度比的平方等于面积比，故④错误； 故选A． 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，以下三个三角形中，相似的是（    ） A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（2）和（3） 【答案】B 【分析】由两角对应相等的两个三角形相似．即可判断． 【详解】第（1）个三角形的第三角是， 第（2）个三角形的第三角是， 第（3）个三角形的第三角是， ∴（2）和（3）两个三角形的两角对应相等， ∴（2）和（3）两个三角形相似． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握有两组角对应相等的两个三角形相似． 4．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 【详解】解：，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A． 5．（23-24九年级上·广东佛山·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的应用问题，证明，得到，求出的长即可得到答案，熟练运用相似三角形的性质与判定是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：里，里，里， 如图， ，，，经过点， ，， ，， ， ， 里，里，里， ， 里， 1里步， 步， 出南门315步而见木， 故选：D． 6．（22-23九年级下·全国·课后作业）在和中，若，，，，则当 时，. 【答案】3 【分析】在和中，已知了，要判定这两个三角形全等，可以利用定理“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，得到，即可求出的值． 【详解】由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，若要使， 已知，只要即可， 解得. 【点睛】本题考查的是利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定两三角形相似方法为图形补充条件，紧扣定理构成比例式是解题的关键． 7．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）已知与相似，且与的相似比为，如果的面积为18，那么的面积等于 ． 【答案】8 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可找到和的面积之比从而解决此题． 【详解】且相似比为 和的面积比为 故答案为：8 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解决本题关键． 8．（22-23九年级上·全国·期中）如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE． 【答案】∠D=∠B（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可． 【详解】解：∵∠DAB=∠CAE ∴∠DAE=∠BAC ∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时△ABC∽△ADE． 故答案为：∠D=∠B（答案不唯一）． 9．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，在矩形ABCD中，，，点P是边AB上一点，若与相似，则满足条件的点P有 个 【答案】3 【分析】设AP为x，表示出PB=8-x，然后分AD和PB是对应边，AD和BC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设AP为x， ， ， 和PB是对应边时， 与相似， ， 即， 整理得，， 解得，， 和BC是对应边时， 与相似， ， 即， 解得， 所以，当、4、时，与相似， 满足条件的点P有3个． 故答案为3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论． 10．（2023·湖南张家界·一模）如图，点O是△ABC内一点，分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD，若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是 ． 【答案】24 【分析】证明△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质得到，再证明△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵AD＝2OA，BE＝2OB， ∴，， ∴， ∵∠AOB＝∠DOE， ∴△AOB∽△DOE， ∴， 同理可得，，， ∴， ∴△ABC∽△DEF， ∴（）2，即， ∴S△DEF＝27， ∴阴影部分的面积＝27﹣3＝24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 11．（22-23九年级下·全国·课后作业）如果的两条直角边分别为3和4，那么以和（k是正整数）为直角边的直角三角形一定与相似吗？为什么？ 【答案】相似．因为两边成比例，比值为k，且夹角相等． 【分析】根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行判断． 【详解】解：因为 ，且两组对应边的夹角都为90°，所以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断以3k和4k（k是正整数）为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 12．（22-23九年级上·湖北十堰·期末）如图，已知中，，为上一点，以为直线作与相切于点，连接并延长交的延长线于点. （1）求证：； （2）若，，求的半径长. 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的判定定理得到OD∥AC，求得∠ODE=∠F，根据等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE，等量代换得到∠OED=∠F，于是得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：证明：（1）连接， ∵切于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴. ∵，， 由勾股定理得，， 设， 则， 解得：r=． 【点睛】本题考查切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 13．（22-23九年级上·福建漳州·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？” .其大意是:如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B出有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，求正方形城池的边长. 【答案】正方形城池的边长为300步 【分析】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例，列出方程，通过解方程即可求出小城的边长． 【详解】依题意得AB=30步，CD=750步. 设AE为x步，则正方形边长为2x步，根据题意， Rt△ABE∽Rt△CED ∴ 即.   解得x1=150，x2=-150（不合题意，舍去）， ∴2x=300 ∴正方形城池的边长为300步. 【点睛】本题考查相似三角形的应用. 14．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分. 问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并写出相应的点C的坐标）． 【答案】C1（3，0），C2（6，4），C3（6，），图形见解析． 【详解】试题分析：按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当∠BOA为公共锐角时，只存在∠PCO为直角的情况；当∠B为公共锐角时，存在∠PCB和∠BPC为直角两种情况． 试题解析：过P作PC1⊥OA，垂足是C1， 则△OC1P∽△OAB． 点C1坐标是（3，0）． 过P作PC2⊥AB，垂足是C2， 则△PC2B∽△OAB． 点C2坐标是（6，4）． 过P作PC3⊥OB，垂足是P（如图）， 则△C3PB∽△OAB， ∴． 易知OB=10，BP=5，BA=8， ∴． ∴C3（6，）． 符合要求的点C有三个，其连线段分别是PC1，PC2，PC3（如图）． 考点：相似变换． 15．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，点C关于DE的对称点F恰好落在AB边上，连接DF、EF，延长FE，交DC延长线于点G． （1）求证：△DFG∽△FAD； （2）连接BD，若BD＝6，菱形ABCD的边长为5． ①求菱形ABCD的面积； ②求CG的长． 【答案】（1）详见解析；（2）①24；② 【分析】（1）由菱形的性质判断出CD∥AB，∠A＝∠BCD，再由对称得出∠BCD＝∠DFG，得出∠A＝∠DFG，即可得出结论； （2）先利用勾股定理求出OA，进而得出AC，即可得出结论； ②先利用菱形的面积求出DF，再用勾股定理求出AH，进而得出AF，最后借助（1）的结论得出，即可求出DG，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠BCD， 由对称知，∠DFG＝∠BCD， ∴∠A＝∠DFG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠AFD＝∠FDG， ∴△DFG∽△FAD； （2）①如图，连接AC，BD相交于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠AOB＝90°，OB＝BD＝3，AC＝2OA， 在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝＝4， ∴AC＝2OA＝8， ∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×8×6＝24； ②过点D作DH⊥AB于H， ∴S菱形ABCD＝AB•DH＝5DH， 由①知，S菱形ABCD＝24， ∴5DH＝24， ∴DH＝， 在Rt△DAH中，AH＝＝＝， 由对称知，DF＝CD＝5， ∵DH⊥AF， ∴AF＝2AH＝， 由（1）知，△DFG∽△FAD， ∴， ∴， ∴DG＝， ∴CG＝DG﹣CD＝． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，对称的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出△DFG∽△FAD是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$