第07讲 比例线段（5大知识点+6大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（沪科版）

第07讲 成比例线段（5大知识点+6大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 比例的性质 题型二 比例线段 题型三 成比例线段 题型四 由平行判断成比例的线段 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 题型六 黄金分割 知识点01： 成比例线段 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 知识点02： 比例的性质 （1）基本性质：若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）合比性质：如果 如果 （3）等比性质：如果 （4）比例中项：若a:b=b:c ，则 =ac，b称为a、c的比例中项． 要点： 通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。 知识点03： 黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点. ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 要点： 线段的黄金分割点有两个. 知识点04： 平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点： (1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. （2）有推论可以得出以下结论： 知识点05： 把已知线段AB五等分 已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分. 作法 1. 以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5. 2. 连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点. 依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式 ∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5， ∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B, ∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分. 要点：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线. 【典型例题一 比例的性质】 1．（23-24九年级上·广西崇左·期中）若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海闵行·期中）在比例尺为的地图上测得A、B两地间的图上距离为，则A、B两地间的实际距离为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海松江·期中）如果 ，那么 ． 4．（23-24九年级上·湖南邵阳·阶段练习）若，则的值为 ． 5．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知， 求的值． 6．（22-23八年级上·山西阳泉·期末）若a，b，c，d均不为0，且式子成立，则称a，b，c，d成比例．如式子成立，故2，4，5，10这四个数成比例． (1)当a，b，c，d成比例，即成立时，分式与分式相等吗？请举例说明． (2)阅读下列推理过程，解决相应问题： 均不为0， 对于式子．① 两边同乘以，得．② 在式子的两边都除以，得．③ 问题1：从①式变形到②式的依据是：______． 问题2：若，则______，______． 【典型例题二 比例线段】 1．（22-23九年级上·上海静安·课后作业）已知点C是线段AB延长线上一点，且AB：BC＝3：2，则AC：AB为（   ） A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5 2．（22-23九年级上·福建三明·期中）在比例尺为1：10000的地图上，相距5cm的A、B两地的实际距离是（    ） A．500m B．500dm C．500cm D．500km 3．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）已知点在线段上，，那么 . 4．（22-23九年级上·河南洛阳·期中）如果两地相距，那么在1：20000000地图上它们之间的距离是 . 5．（2023·江苏淮安·三模）在A市建设规划图上，城区南北长为240cm，A市城区南北的实际长为18km，试写出该规划图的比例尺． 6．（22-23九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）若=，求代数式的值； （2）已知==≠0，求代数式的值． 【典型例题三 成比例线段】 1．（22-23九年级下·四川成都·开学考试）若a，b，b，c是成比例的线段，其中，，则线段b的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．15 2．（22-23九年级上·四川宜宾·期末）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（     ） A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．，，， D．1，3，4，7 3．（22-23九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知线段是线段、的比例中项，且，，那么 ． 4．（22-23九年级上·四川成都·期中）在太阳光下，小新站在水塔旁，已知他的身高是1.7m，他的影子长为5.1m，水塔的影长是42m，则水塔的高度为 ． 5．（22-23九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知线段，的比例中项线段，线段，求线段． 6．（22-23九年级·全国·假期作业）如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm． (1)求和； (2)线段，AB，，BC是成比例线段吗？ 【典型例题四 由平行判断成比例的线段】 1．（22-23九年级上·上海静安·期末）已知点P在线段AB上，且AP∶PB=2∶3，那么AB∶PB为（    ） A．3∶2 B．3∶5 C．5∶2 D．5∶3 2．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）在中，点、分别在边、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（    ） A．，，， B．，，， C．，， D．，，， 3．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，点P是△ABC的重心，过点P作DE∥AB交BC于点D，交AC于点E，若AB的长度为12，则DE的长度为 ． 4．（22-23九年级上·四川·阶段练习）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为 ． 5．（22-23九年级上·湖南衡阳·期中）如图，梯形ABCD中，DC//EF//AB，AC交EF于G．若AE=2ED，CF=2cm，那么CB的长是多少？ 6．（22-23九年级上·河北唐山·期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC． （1）若AD＝5，DB＝6，EC＝12，求AE的长； （2）若AB＝10，AD＝4，AE＝6，求EC的长． 【典型例题五 由平行截线求相关线段的长或比值】 1．（2023·浙江杭州·二模）如图，已知， ，，那么DF的长为（    ）    A．9 B．12 C．15 D．18 2．（2023·广东深圳·二模）小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值），若点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（    ）    A． B．2 C． D． 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 4．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，．则线段 ． 5．（22-23九年级上·安徽六安·期中）如图，，直线，与，，分别相交于点，，和点，，．若，，求的长． 6．（22-23九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，D，E分别是和上的点，且． (1)如果，那么的长是多少？ (2)如果，那么的长是多少？ 【典型例题六 黄金分割】 1．（22-23九年级上·山东·期中）若线段，C是的黄金分割点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·山西·期末）神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是．我们知道圆盘一周为，，．这体现了（    ） A．轴对称 B．旋转 C．平移 D．黄金分割 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）黄金分割能让人产生视觉上的美感．某本书的宽与长的比为黄金比（长宽），若该书长为，则宽为 cm．（结果精确到） 4．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）如图，二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的“千金”钩在琴弦长的黄金分割点处，奏出来的音调最和谐、最悦耳．一把二胡的弦长为，求“千金”钩出的下面一截琴弦长为 （保留根号）． 5．（22-23九年级上·上海静安·课后作业）已知线段AB=10cm，点C是AB上的黄金分割点，求AC的长是多少厘米？ 6．（22-23九年级上·安徽淮北·阶段练习）在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位） 【变式训练1 比例的性质】 1．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如果，那么的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）已知，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，那么的值为 ． 4．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．在图2的桔槔模型中，设支点O离物体A的桔槔端点距离为，离物体B的桔槔端点距离为，若，且物体A的质量为，则能汲起水的质量B为 ．    5．（22-23九年级上·安徽·期中）已知：，试说明：． 6．（22-23九年级·上海·假期作业）（1）若，则___________； （2）若，则___________； （3）若，则___________． 【变式训练2 比例线段】 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）若线段，，则（    ） A． B．5 C． D．2 2．（23-24九年级上·广西贺州·期中）小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长毫米、宽毫米的零件画在一张纸（）上，适合的比例尺是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）已知线段厘米，厘米，则它们的比例中项b为 . 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的地图上，测得 A、B 两地间的图上距离为3厘米，则其实际距离为 米． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图：点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AC：BC=3：2，且AD=8，求线段AB的长． 6．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）上午9时，小丽和小芳为了测量一根旗杆的高度，在同一时间同一地点做了以下实验（如图），根据下面的实验，请你求出这根旗杆的高度．    【变式训练3 成比例线段】 1．（23-24九年级上·四川成都·期中）在比例尺为的交通地图上，宝应到扬州的长度约为，则它的实际长度约为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）下面四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海·期中）已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项 厘米． 4．（2023·浙江丽水·模拟预测）已知三条线段的长度分别是3，6，5，试写出另一条线段的长度 ，使这四条线段成比例线段． 5．（23-24九年级上·湖南常德·期中）若，求的值． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知 ，，是a，b的比例中项，求c的值； 【变式训练4 由平行判断成比例的线段】 1．（2023九年级·江苏·专题练习）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽六安·阶段练习）已知线段a，b，c，求作线段x，使x满足的作图中不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，交于点，，，，当 时，可与平行． 4．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，，若，，，则的长等于 ． 5．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，且，，，求的长．    6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，M是的中点，的延长线交于N．求证：．    【变式训练5 由平行截线求相关线段的长或比值】 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）为制作风筝，小明做了如图所示的风筝支架示意图，已知点、点分别在射线与上，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南焦作·期中）如图，．若，，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 3．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，已知，如果，，那么的长等于 ． 4．（22-23九年级上·河南南阳·期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 5．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）如图，．若，，求的长． 6．（2024·陕西渭南·一模）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，若，，，求的长． 【变式训练6 黄金分割】 1．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知C是的黄金分割点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）小颖同学是校园艺术节的主持人，学完黄金分割后她想，主持节目时如果站在舞台长的黄金分割点的位置，会让台下的同学们看起来效果更好，于是她将舞台的长看作线段，量得米，若点是线段的黄金分割点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·三模）如图，点是线段的黄金分割点（即），若以为边的正方形的面积为100，则长为，宽为的矩形的面积为 ． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）战至终章，逐梦不止．第19届杭州亚运会的会徽，名为“潮涌”，它象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点C可看做是线段的黄金分割点（），，则 ．（结果保留根号） 5．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人美感．数学老师身高为160，下半身长x与身高h的比值是0.60，为尽可能达到最好的效果，请你帮她算一算，她应该穿的高跟鞋的高度大约是多少？(结果保留整数)． 6．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 成比例线段（5大知识点+6大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 比例的性质 题型二 比例线段 题型三 成比例线段 题型四 由平行判断成比例的线段 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 题型六 黄金分割 知识点01： 成比例线段 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 知识点02： 比例的性质 （1）基本性质：若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）合比性质：如果 如果 （3）等比性质：如果 （4）比例中项：若a:b=b:c ，则 =ac，b称为a、c的比例中项． 要点： 通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。 知识点03： 黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点. ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 要点： 线段的黄金分割点有两个. 知识点04： 平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点： (1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. （2）有推论可以得出以下结论： 知识点05： 把已知线段AB五等分 已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分. 作法 1. 以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5. 2. 连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点. 依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式 ∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5， ∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B, ∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分. 要点：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线. 【典型例题一 比例的性质】 1．（23-24九年级上·广西崇左·期中）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，利用设参法，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴； 故选A． 2．（23-24九年级上·上海闵行·期中）在比例尺为的地图上测得A、B两地间的图上距离为，则A、B两地间的实际距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查比例尺，根据：由比例尺 ，即可计算． 【详解】解：， 故选：C． 3．（23-24九年级上·上海松江·期中）如果 ，那么 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了比例的性质．利用合比性质求解即可，熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键． 【详解】解：， ． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·湖南邵阳·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，熟记比例的基本性质是解本题的关键． 5．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知， 求的值． 【答案】. 【分析】设比值为，然后用表示出、、，再把、、的值代入代数式进行计算即可得到答案． 【详解】设，∴， ∴ 【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出、、是解题的关键． 6．（22-23八年级上·山西阳泉·期末）若a，b，c，d均不为0，且式子成立，则称a，b，c，d成比例．如式子成立，故2，4，5，10这四个数成比例． (1)当a，b，c，d成比例，即成立时，分式与分式相等吗？请举例说明． (2)阅读下列推理过程，解决相应问题： 均不为0， 对于式子．① 两边同乘以，得．② 在式子的两边都除以，得．③ 问题1：从①式变形到②式的依据是：______． 问题2：若，则______，______． 【答案】(1)相等，说明见解析 (2)等式的基本性质；3，3 【分析】（1）仿照题干举例即可； （2）根据材料中的变形可得依据，根据结果进行计算． 【详解】（1）解：分式与分式相等， 如：，，，， 则，且； （2）问题1： 从①式变形到②式的依据是：等式的基本性质； 问题2： 若， 则； ． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是读懂材料，掌握基本知识并熟练运用． 【典型例题二 比例线段】 1．（22-23九年级上·上海静安·课后作业）已知点C是线段AB延长线上一点，且AB：BC＝3：2，则AC：AB为（   ） A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5 【答案】B 【分析】设AB＝3k，BC＝2k，则AC＝5k，计算求解． 【详解】设AB＝3k，BC＝2k，则AC＝5k， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了比例线段，设出BC＝2k，用含k的代数式表示出AC与AB是解题的关键． 2．（22-23九年级上·福建三明·期中）在比例尺为1：10000的地图上，相距5cm的A、B两地的实际距离是（    ） A．500m B．500dm C．500cm D．500km 【答案】A 【分析】设A、B两地的实际距离是xcm，根据题意得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设A、B两地的实际距离是xcm， 根据题意得：， 解得：x=50000（cm）=500m， 故选：A． 【点睛】本题考查了比例线段的应用，关键是根据题意得出方程，注意：比例尺=图上距离÷实际距离，1m=100cm． 3．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）已知点在线段上，，那么 . 【答案】1：4 【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、P三点之间的位置关系，再根据正确画出的图形解题． 【详解】解：如图 ， ∵AP=3PB，那么PB：AB=PB：（AP+PB）=PB：4PB，∴那么PB：AB=1：4． 故答案为1：5． 【点睛】在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 4．（22-23九年级上·河南洛阳·期中）如果两地相距，那么在1：20000000地图上它们之间的距离是 . 【答案】 【分析】根据比例尺的公式即可求出. 【详解】解： 故答案为 【点睛】此题考查的是比例尺，掌握比例尺公式是解决此题的关键. 5．（2023·江苏淮安·三模）在A市建设规划图上，城区南北长为240cm，A市城区南北的实际长为18km，试写出该规划图的比例尺． 【答案】该规划图的比例尺1:7500 【分析】根据比例尺的定义进行计算即可． 【详解】解：∵18km=1800000cm， ∴规划图采用的比例尺是：， 答：该规划图的比例尺1：7500． 【点睛】本题考查了比例尺的问题，掌握比例尺的定义是解题的关键． 6．（22-23九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）若=，求代数式的值； （2）已知==≠0，求代数式的值． 【答案】（1）      （2） 【分析】（1）先把原式化为，进而可得出结论； （2）直接利用已知得出，进而代入原式求解． 【详解】解：（1）∵=， ∴， ∴； （2）设===k，则， ∴=． 【点睛】本题考查了比例式的性质，解题的关键是正确用k表示a、b、c． 【典型例题三 成比例线段】 1．（22-23九年级下·四川成都·开学考试）若a，b，b，c是成比例的线段，其中，，则线段b的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．15 【答案】C 【分析】根据线段成比例，可以列出方程，代入数值求解即可． 【详解】解：∵a，b，b，c是成比例线段， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质，列方程求解． 2．（22-23九年级上·四川宜宾·期末）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（     ） A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．，，， D．1，3，4，7 【答案】B 【分析】把每个选项中的四条线段两两组合求比值，若是两两组合后比值相等，则是成比例线段． 【详解】解：A、选项中四条线段不能组成比值相等的两组线段，故不是比例线段； B、选项中，所以四条线段成比例线段； C、选项四条线段不能组成比值相等的两组线段，故不是比例线段； D、选项四条线段不能组成比值相等的两组线段，故不是比例线段； 故选B． 【点睛】本题主要考查比例线段的判断，熟练掌握比例线段的判断方法是解决本题的关键． 3．（22-23九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知线段是线段、的比例中项，且，，那么 ． 【答案】2 【分析】由题意直接根据比例中项的定义可得b2=ac，进而即可求出b． 【详解】解：是、的比例中项， ， 即， （负数舍去）． 故答案是：2． 【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义． 4．（22-23九年级上·四川成都·期中）在太阳光下，小新站在水塔旁，已知他的身高是1.7m，他的影子长为5.1m，水塔的影长是42m，则水塔的高度为 ． 【答案】14m 【分析】同一时刻，物体的高度与其影长成比例，再列比例式建立方程，再解方程即可. 【详解】解：设水塔的高度为m， 故答案为：m. 【点睛】本题考查的是成比例线段的应用，掌握“同一时候物体的高度与其影长成比例”是解题的关键. 5．（22-23九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知线段，的比例中项线段，线段，求线段． 【答案】4 【分析】根据线段比例中项的性质解答即可． 【详解】解：∵c是线段a、b的比例中项， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了线段比例中项的性质，熟练掌握并应用该知识点是解答本题的关键． 6．（22-23九年级·全国·假期作业）如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm． (1)求和； (2)线段，AB，，BC是成比例线段吗？ 【答案】(1)， (2)线段，AB，，BC是成比例线段． 【分析】（1）根据已知条件，代入和，即可求得结果； （2）根据和的值相等，即可判断线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段． 【详解】（1）∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm． ∴＝＝ ，＝＝ （2）由（1）知＝＝ ，＝＝； ∴＝， ∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段． 【点睛】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键． 【典型例题四 由平行判断成比例的线段】 1．（22-23九年级上·上海静安·期末）已知点P在线段AB上，且AP∶PB=2∶3，那么AB∶PB为（    ） A．3∶2 B．3∶5 C．5∶2 D．5∶3 【答案】D 【分析】根据比例的合比性质直接求解即可． 【详解】解：由题意AP∶PB=2∶3， AB∶PB=（AP+PB）∶PB=（2+3）∶3=5∶3； 故选择：D. 【点睛】本题主要考查比例线段问题，关键是根据比例的合比性质解答． 2．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）在中，点、分别在边、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（    ） A．，，， B．，，， C．，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理，分别求得各对应线段的比，比相等，即可判定DE与BC平行．注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：A、由AD＝6，BD＝4，可以得出 ，AE＝2.4，CE＝1.6，得出，就有 ，可以得出 DE∥BC； B、由DB＝2，AB＝6，可以得出，CE＝1，AC＝3得出，就有，可以得出DE∥BC； C、由AD＝4，AB＝6，可以得出，AE＝2，AC＝3得出，就有，可以得出DE∥BC； D、由AD＝4，AB＝6，可以得出，DE＝2，BC＝3得出，但是DE与BC不是被截线，故平行结论不成立． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意比例线段的对应关系． 3．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，点P是△ABC的重心，过点P作DE∥AB交BC于点D，交AC于点E，若AB的长度为12，则DE的长度为 ． 【答案】8 【分析】连接CP并延长交AB于点F，然后根据平行线所截线段成比例及三角形的重心把三角形的中线分成2∶1的两部分进行求解即可． 【详解】解：连接CP并延长交AB于点F，如图所示： 点P是△ABC的重心，过点P作DE∥AB交BC于点D， ， ， AB=12， ； 故答案为8． 【点睛】本题主要考查三角形的重心及相似三角形，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键． 4．（22-23九年级上·四川·阶段练习）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】由平行线分线段成比例定理，得，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 5．（22-23九年级上·湖南衡阳·期中）如图，梯形ABCD中，DC//EF//AB，AC交EF于G．若AE=2ED，CF=2cm，那么CB的长是多少？ 【答案】6cm． 【详解】试题分析：由平行线的性质可得，，进而再由题中条件即可求解BC与GC的长． 试题解析：∵DC∥EF∥AB，∴=2，又AG=5cm，∴GC=2．5cm．，CF=2cm， ∴BC=6cm．CB的长是6cm． 考点：平行线分线段成比例． 6．（22-23九年级上·河北唐山·期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC． （1）若AD＝5，DB＝6，EC＝12，求AE的长； （2）若AB＝10，AD＝4，AE＝6，求EC的长． 【答案】（1）10；（2）9． 【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】解：（1）∵DE∥BC， ∴＝，即＝， 解得，AE＝10； （2）DE∥BC， ∴＝，即＝， 解得，AC＝15， ∴EC＝AC﹣AE＝9． 【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键根据平行线分线段成比例定理列出比例式进行求解. 【典型例题五 由平行截线求相关线段的长或比值】 1．（2023·浙江杭州·二模）如图，已知， ，，那么DF的长为（    ）    A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理中的对应线段是解答的关键． 2．（2023·广东深圳·二模）小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值），若点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】分别求得和所对应的海拔差，求比值即可． 【详解】解：根据图可知所在海拔差为，所在海拔差为， 则 故选：D． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，理解每个海拔是平行的是解题关键． 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意线段要对应．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】∵， ∴，即， ∴． 故答案为：4． 4．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，．则线段 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴， 即， ∴． 故答案为：6． 5．（22-23九年级上·安徽六安·期中）如图，，直线，与，，分别相交于点，，和点，，．若，，求的长． 【答案】 【分析】根据两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，求解即可； 【详解】解：∵ ∴     ∵， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 6．（22-23九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，D，E分别是和上的点，且． (1)如果，那么的长是多少？ (2)如果，那么的长是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解即可； （2）利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键根据平行线分线段成比例定理列出比例式进行求解． 【典型例题六 黄金分割】 1．（22-23九年级上·山东·期中）若线段，C是的黄金分割点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，根据概念列比例式即可求解． 【详解】解：∵线段，C是的黄金分割点，且， ∴根据黄金分割的概念得：， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查黄金分割的含义，解题关键是理解黄金分割的概念，熟悉黄金比的值． 2．（22-23九年级上·山西·期末）神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是．我们知道圆盘一周为，，．这体现了（    ） A．轴对称 B．旋转 C．平移 D．黄金分割 【答案】D 【分析】根据黄金分割数的近似值为可直接得出答案． 【详解】解：，黄金分割数的近似值为， 体现了“黄金分割”． 故选：D． 【点睛】本题考查黄金分割的应用，解题的关键是牢记黄金比的近似值为． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）黄金分割能让人产生视觉上的美感．某本书的宽与长的比为黄金比（长宽），若该书长为，则宽为 cm．（结果精确到） 【答案】12.4 【分析】本题考查了黄金分割的定义∶一个点把一条线段分成两条线段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项那么就说这个点把这条线段黄金分割．根据黄金分割的定义得到书的宽与长之比为，即它的宽然后进行近似计算即可． 【详解】解∶ 设宽为， ∵长为， ∴，解得： 故答案为：12.4． 4．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）如图，二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的“千金”钩在琴弦长的黄金分割点处，奏出来的音调最和谐、最悦耳．一把二胡的弦长为，求“千金”钩出的下面一截琴弦长为 （保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，解题的关键是熟练掌握其概念“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．” 根据比值叫做黄金比进行计算即可得到答案． 【详解】解：依题意得：， ， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·上海静安·课后作业）已知线段AB=10cm，点C是AB上的黄金分割点，求AC的长是多少厘米？ 【答案】（）cm或（15−）cm 【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段；则AC＝或AC＝10−（）＝15−． 【详解】解：根据黄金分割点的概念，应有两种情况， 当AC是较长线段时，AC＝； 当AC是较短线段时，则AC＝10−（）＝15−． 故答案为：（）cm或（15−）cm． 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念．注意这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值是解题的关键． 6．（22-23九年级上·安徽淮北·阶段练习）在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位） 【答案】她选择跟高为7.5cm的高跟鞋看起来会更美 【分析】要想看起来更美，则鞋底到肚脐的长度与身高之比应为黄金比，所以要先根据已知条件求出肚脐到脚底的距离，再求高跟鞋的高度． 【详解】设她选择跟高为xcm的高跟鞋看起来会更美， 小明的妈妈脚底到肚脐的长度=160×0.6=96(cm)， 根据题意得=0.618， 解得x≈7.5． 答：她选择跟高为7.5cm的高跟鞋看起来会更美． 【点睛】本题主要考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割。其比值是，近似值为0．618． 【变式训练1 比例的性质】 1．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如果，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，利用设参法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴； 故选B． 2．（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）已知，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴不成立， 故选：D． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，先求出，再把代入所求式子中进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．在图2的桔槔模型中，设支点O离物体A的桔槔端点距离为，离物体B的桔槔端点距离为，若，且物体A的质量为，则能汲起水的质量B为 ．    【答案】9 【分析】题目主要考查比例的性质及杠杆平衡原理，根据题意得出，然后确定即可求解，理解是解题关键． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， ∵物体A的质量为， ∴， 故答案为：9． 5．（22-23九年级上·安徽·期中）已知：，试说明：． 【答案】见解析 【分析】根据比例的性质即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 6．（22-23九年级·上海·假期作业）（1）若，则___________； （2）若，则___________； （3）若，则___________． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）对化简得，再把代入，即可； （2）根据，得，把的值代入，即可； （3）对化简，得，把的值代入，即可 【详解】（1）∵， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：． （3）∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】考查比例性质运用中的基本计算，关键是掌握比例的基本性质． 【变式训练2 比例线段】 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）若线段，，则（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是线段比例问题，解题的关键是要统一单位再代入求值． 【详解】解：， ， 故选：B． 2．（23-24九年级上·广西贺州·期中）小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长毫米、宽毫米的零件画在一张纸（）上，适合的比例尺是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例尺的计算方法，图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离:实际距离”即可求得适合的比例尺.，解题的关键要掌握比例尺的计算方法． 【详解】解：∵零件的实际长度为，零件的图上长度为，即， ∴适合的比例尺， 故选：． 3．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）已知线段厘米，厘米，则它们的比例中项b为 . 【答案】厘米/12cm 【分析】根据比例中项的性质：比例中项平方等于两外项的积直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵线段厘米，厘米，它们的比例中项为b， ∴， 解得：（厘米），（厘米）（不符合题意舍去）， 故答案为：厘米； 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的地图上，测得 A、B 两地间的图上距离为3厘米，则其实际距离为 米． 【答案】 【分析】根据比例尺的定义，即可解答． 【详解】解：设实际距离为x米， 3厘米米， ， 解得：， 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查了比例尺的定义，解题的关键是掌握比例尺是图上距离与实际距离之比，注意单位的统一． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图：点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AC：BC=3：2，且AD=8，求线段AB的长． 【答案】10 【分析】先设AC=3x，BC=2x，根据AC+CD=8，可得3x+x=8，求得x=2，进而得到线段AB的长． 【详解】解：设AC=3x，BC=2x，则CD=x，AB=5x， ∵AD=8， ∴AC+CD=8，即3x+x=8， ∴4x=8， ∴x=2， ∴AB=5×2=10． 【点评】本题主要考查了比例线段以及两点间的距离，解题时注意运用线段中点的意义及线段的和差运算． 6．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）上午9时，小丽和小芳为了测量一根旗杆的高度，在同一时间同一地点做了以下实验（如图），根据下面的实验，请你求出这根旗杆的高度．    【答案】这根旗杆的高度为米 【分析】设这根旗杆的高度为x米，根据题意得，即可得． 【详解】解：设这根旗杆的高度为x米， ， ， ， ， 即这根旗杆的高度为米． 【点睛】本题考查了比例的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出比例． 【变式训练3 成比例线段】 1．（23-24九年级上·四川成都·期中）在比例尺为的交通地图上，宝应到扬州的长度约为，则它的实际长度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例尺、比例性质，根据比例尺=图上距离：实际距离求解即可，注意换算单位． 【详解】解：设实际长度约为， 根据题意，得， 解得， ， 故它的实际长度约为， 故选：C． 2．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）下面四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例线段，理解成比例线段的概念，判断四条线段是否成比例，必须将所给线段按照一定的顺序重排，通常按照从小到大即可，在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，中间两条相乘，看它们的积是否相等即可确定． 【详解】解：A、按照从小到大排列：，，，，则，故本选项符合题意； B、按照从小到大排列：，则，故本选项不符合题意； C、按照从小到大排列：，则，故本选项不符合题意； D、按照从小到大排列：，则，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24九年级上·上海·期中）已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段，根据比例中项的定义，即可求解． 【详解】解：依题意，厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：． 4．（2023·浙江丽水·模拟预测）已知三条线段的长度分别是3，6，5，试写出另一条线段的长度 ，使这四条线段成比例线段． 【答案】10或或 【分析】本题考查了成比例线段的关系．设所加的线段是x，则得到：或或，即可求得． 【详解】解：设所加的线段是x，则得到： 或或， 解得：或或． 故答案为：10或或． 5．（23-24九年级上·湖南常德·期中）若，求的值． 【答案】5 【分析】设，得到，进而可解答； 本题主要考查成比例线段的应用，掌握相关求解方法是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知 ，，是a，b的比例中项，求c的值； 【答案】4 【分析】本题考查了比例线段，比例中项的定义，掌握若，则b是a、c比例中项是解决问题的关键． 利用比例中项的定义得到，然后求出16的算术平方根即可． 【详解】解：∵c是a，b的比例中项， ∴， 而，， ∴， 而， ∴． 【变式训练4 由平行判断成比例的线段】 1．（2023九年级·江苏·专题练习）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，故本选项不符合题意； C．∵， ∴，故本选项不符合题意； D．∵， ∴，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 2．（22-23九年级上·安徽六安·阶段练习）已知线段a，b，c，求作线段x，使x满足的作图中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例依次判断即可． 【详解】解：A、作， 则，本选项作图正确，不符合题意； B、作， 则，本选项作图不正确，符合题意； C、作， 则，本选项作图正确，不符合题意； D、作， 则，本选项作图正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】题目主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握此性质是解题关键． 3．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，交于点，，，，当 时，可与平行． 【答案】 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案； 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，，若，，，则的长等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，且，，，求的长．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例． 根据平行线分线段成比例，可得，即可求解． 【详解】解：， ． ∵，，， ∴． 6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，M是的中点，的延长线交于N．求证：．    【答案】见解析 【分析】过D作交于N，证明，，即可证明结论． 【详解】证明：过D作交于N，如图所示：    ，， ∵M为的中点， ， ， 是边上的中线， ， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线是解题关键． 【变式训练5 由平行截线求相关线段的长或比值】 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）为制作风筝，小明做了如图所示的风筝支架示意图，已知点、点分别在射线与上，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据，得到，进而求出的长，再用，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 2．（23-24九年级上·河南焦作·期中）如图，．若，，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据题意利用比例关系和线段和即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，已知，如果，，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·河南南阳·期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）如图，．若，，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，根据即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 6．（2024·陕西渭南·一模）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，若，，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例得，即可求解，掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式训练6 黄金分割】 1．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知C是的黄金分割点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割比，即“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比”．根据黄金比值，即可求出较长线段的值． 【详解】解：C是的黄金分割点，且， ， ， ， 故选：A． 2．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）小颖同学是校园艺术节的主持人，学完黄金分割后她想，主持节目时如果站在舞台长的黄金分割点的位置，会让台下的同学们看起来效果更好，于是她将舞台的长看作线段，量得米，若点是线段的黄金分割点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割定理，解题关键是理解黄金分割的概念，熟悉黄金比的值．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比，由此进行求解即可． 【详解】解：线段，点是黄金分割点，， ． 故选． 3．（2024·陕西西安·三模）如图，点是线段的黄金分割点（即），若以为边的正方形的面积为100，则长为，宽为的矩形的面积为 ． 【答案】100 【分析】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．根据题意，代入数据计算即可． 【详解】详解：∵C是线段的黄金分割点，且， ∴， 又∵以为边的正方形的面积为100，矩形的长为，宽为， ∴， 故答案为：100． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）战至终章，逐梦不止．第19届杭州亚运会的会徽，名为“潮涌”，它象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点C可看做是线段的黄金分割点（），，则 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义列式计算，即可解答． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人美感．数学老师身高为160，下半身长x与身高h的比值是0.60，为尽可能达到最好的效果，请你帮她算一算，她应该穿的高跟鞋的高度大约是多少？(结果保留整数)． 【答案】8 【分析】本题主要考查黄金分割的应用，先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义列方程求解． 【详解】解：设她应该穿的高跟鞋的高度大约是， 根据题意得：，即 ， ∴， 解得： 答：她应该穿的高跟鞋的高度大约是8． 6．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    【答案】这双高跟鞋的高度偏高 【分析】本题主要考查了黄金分割比例，设出人体上半身长和下半身长成黄金比例时，高跟鞋的高，利用黄金比例求出此时高跟鞋的高是解题的关键. 【详解】解：设这双高跟鞋的高度为时，人体上半身长和下半身长成黄金比例， 由题意得：， 解得：， ， 这双高跟鞋的高度偏高． 1．（22-231九年级上·上海青浦·期中）如果，是的比例中项，则下面结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例中项可得，从而得出． 【详解】解：∵是的比例中项， ∴，即． 故选C． 【点睛】本题考查比例中项得性质．如果a、b、c三个量成连比例，即，则b叫做a和c的比例中项．它的性质：． 2．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】A选项： ， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B选项： ， ， 四条线段成比例，故本选项符合题意； C选项： ， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D选项： ， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查比例线段的概念，根据定义并准确计算来验证结论是本题的解题关键． 3．（22-23九年级上·全国·阶段练习）如果线段AB上的一点P把AB分割为两条线段PA、PB，当PA2=PB·AB，即PA≈0.618AB时，则称点P是线段AB的黄金分割点.现已知线段AB=10，点P是线段AB的黄金分割点，如图所示.那么线段PB的长约为(    )     A．6.18 B．0.382 C．0.618 D．3.82 【答案】D 【分析】根据点P是线段AB的黄金分割点，可求出PA，再利用PB=AB－PA即可. 【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点，AB=10 ∴PA≈0.618AB=6.18 ∴PB=AB－PA≈10－6.18=3.82 故选D. 【点睛】此题考查的是黄金分割点，读懂材料中黄金分割点的概念及公式是解决此题的关键. 4．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图，线段BD,CE相交于点A，DE//BC,若BD=6,AD=2,DE=1.5,则BC的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4.5 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：∵DE∥BC，BD=6，AD=2，DE=1.5， ∴AB=4 ∴，即， 解得：BC=3， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握线段的对应关系． 5．（22-23九年级上·山东临沂·期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的五个点A，B，C，D，E都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】过点A作平行横线的垂线，交点E所在的平行横线于点F，交点D所在的平行线于点G，交点C所在的平行线于点H，根据平行线分线段成比例定理列出比列式分别求出、，即可求的长． 【详解】解：过点A作平行横线的垂线，交点E所在的平行横线于点F，交点D所在的平行线于点G，交点C所在的平行线于点H，则，即， 解得：， 又∵，即， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键． 6．（22-23九年级·广东茂名·期末）若线段a，b，c满足关系，，则a：b：c＝ ． 【答案】9：12：20 【分析】根据分式的基本性质把两个比例式中的相同字母变成所占的份数相同，即可把三个字母的比的关系求解出来． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴a：b：c=9：12：20． 故答案为9：12：20． 【点睛】此题考查了比例线段，特别注意此类题的解法：把相同字母所占的份数相同，即可求得三个字母的比值． 7．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）点在线段上，且，，那么的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知点P为线段AB的黄金分割点，再根据“较长线段是整个线段的倍”即可算出BP的值． 【详解】在线段上，，即 点P是线段AB的黄金分割点且 故答案为： 【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，熟记黄金分割点的概念并能正确判断较长线段和较短线段是解决本题的关键． 8．（22-23九年级下·全国·单元测试）从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，她要穿约 cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到1cm）． 【答案】6． 【分析】设她要穿xcm的高跟鞋，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设她要穿xcm的高跟鞋， 由题意得， ， 解得x=6， 故答案为6． 【点睛】本题考查的是黄金分割的知识，根据题意列出方程是解题的关键． 9．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，直线，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】根据平行线所截线段对应成比例即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵，，， ∴ ， 故答案为4． 【点睛】本题考查平行线所截线段对应成比例，解题关键是找到相对应的线段代入求解． 10．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，，直线，分别与这三条平行线交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．由平行线可得比例式，代入可求得，再求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ， ， 故答案为： 11．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）已知实数x、y、z满足，试求的值． 【答案】4． 【分析】设，从而可得，再代入计算即可得． 【详解】解：设，则， ， ． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 12．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）如图，，直线交于点0，且分别与直线交于点和点，已知， (1)直接写出的长度为_________； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例，求解即可； （2）根据两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，     ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，     ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 13．（22-23九年级上·北京·开学考试）如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果BC·AB=AC2，那么称线段AB被点C黄金分割． 为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割，已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离（的近似值取2.2）． 【答案】60丈. 【分析】设太和门到太和殿的距离为x丈，根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可． 【详解】解： 由题意可得， ，（舍） x≈－50+50×2.2=60， 答：太和门到太和殿的距离为60丈． 故答案为60丈． 【点睛】本题考查黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割． 14．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）与在网格中的位置如图所示，如果每个小正方形的边长都是1． (1)求，，的值； (2)求的周长与的周长的比； (3)在，，，，，这六条线段中，指出其中三组成比例的线段． 【答案】(1) (2)的周长与的周长的比为 (3)，，，，是成比例线段；，，，是成比例线段；，，，是成比例线段 【分析】（1）根据图象，求出，，，，，的长度，即可求解， （2）计算，即可求解， （3）根据成比例线段的定义，即可求解， 本题考查了成比例线段，解题的关键是：熟练掌握成比例线段概念． 【详解】（1）解：由图可知，，，，，， ∴，， 故答案为：， （2）解：， 故答案为：的周长与的周长的比为， （3）， ，，，，是成比例线段； ， ，，，是成比例线段； ， ，，，是成比例线段， 故答案为：，，，，是成比例线段；，，，是成比例线段；，，，是成比例线段． 15．（22-23九年级上·山西太原·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务： 我们知道，利用尺规作已知线段的垂直平分线可以得到该线段的中点、四等分点…怎样得到线段的三等分点呢？如图，已知线段、用尺规在上求作点，使得，小志的作法是： ①作射线（点不在直线上）， ②在射线上依次截取线段，，使，连接并延长； ③在射线上截取线段，使； ④连接交线段于点. ∴点即为所求作的点. 任务：请你说明小志作法的合理性.    【答案】见解析 【分析】证明小志作法的合理性，只需证明AC与BC之间存在2倍的关系即可，作，利用平行线分线段成比例即可证明. 【详解】过点作交于点，    ∵， ∴，∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ 即点为三等分点. 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，能够作出AE的平行线是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$